大二上-数理方程

CH1典型方程和定解条件的推导1

概念:定解问题、初始条件、边界条件;2三类典型方程对初始条件、边界条件的要求：波动方程，热传导方程，拉

斯方程；3

根据问题的描述，写出定解问题。1）概念:定解问题、初始条件、边界条件;2）三类典型方程对初始条件、边界条件的要求：波动方程，热传导方程，拉

斯方程；

2u

2

2u

t

2

a

x2f

(

x,

t

)弦的强迫横振动方程：2u

2

2ut

2a

x2

,弦的横振动方程：波方程均匀杆的纵向振动问题：以u(x,t)表示杆上各点的纵向位移，则

u(x,t)满足波方程。2u(

x,

t

)

-

a

u(

x,

t)

f

(

x,

t

),2t

2x

,

t

0二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波和声波的

）：ttxx

yyu

a2

u

u2ttxxu

uyyzzu

u

a热方程u(

x,

t

)

-

a2u(

x,

t

)

f

(

x,

t

),tu

2

2u2

u

a

t2x

y2u(x,y,z,t)

：物体在空间位置

x

以及时刻

t

的温度。二维齐次热传导方程三维非齐次热传导方程u

2

u

2u

2u

a2

t

x2

f

(

x,

y,

z,

t

)y2

z2x

,

t

0若物体

有热源Laplace方程,泊松方程u(

x)

f

(

x),u(

x)

0,

x

稳定的热场x

有源的稳定热场第一类边界条件直接给出

u

在边界

S

上的值，即u

f

.S

1第二类边界条件是给出

u

沿

S

的外法线方向的方向导数，即2S

u

f

n边界的值，即

u第三类边界条件是给出

u

以及

n

的线性组合在3

u

u

f

,

0.

nS弦振动问题：设初始位移、初始速度为(x),

(x),则波动方程的初值条件为u

t

0

(

x),

ut

t

0

(

x)热传导问题：若

f(M)

表示

t

=

0

时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件为u

M

,

t

|t

0

f

M

.泊松方程和拉

斯方程：描述稳恒状态的，与时间无关，所以不提初始条件。初始条件注意：不同类型的方程，相应初值条件的个数不同;初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。u

t

0

(

x),

ut

t

0

(

x)叠加原理设

L

是线性微分算子，若

ui满足线性方程（或线性定解条件）Lui

fi

,i

1,

2,,

n,则它们的线性组合i1u

ciui必满足方程（或定解条件）Lu

ci

fii

1CH2

分离变量法要求：掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法；掌握矩形域和圆域内拉

斯方程的分离变量法解法；会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。分离变量法（I）波动方程，热传导方程定解问题一、一一、二二、一二、二对波动方程和热传导方程，以下四种边界条件要求掌握：u

x0

0,

u

xl

0,

t

0u

x0

0,

ux

xl

0,

t

0ux

x0

0,

u

xl

0,

t

0ux

x0

0,

ux

xl

0,

t

0注：对于波动方程和热传导方程而言,边界条件唯一确定了其特征值和特征函数。X

X

0x

0x

l特征值特征函数取值范围——n2

2l

2sin

n

xln

1,

2,

—二

2n

1

2

2l

sin

2n

1

x2ln

0,

1,

2,

二二n2

2l

2cos

n

xln

0,

1,

2,

二—

2n

1

2

2l

cos

2n

1

x2ln

0,

1,

2,

斯方程的分离变2.掌握矩形域和圆域内拉量法解法；分离变量法（II）分离变量法（III）会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。非齐次方程的解经叠加后一般不再是原方程的解，所以分离变量法不再适应。分离变量法的基本要点和解题步骤一维波动方程和热传导方程：

(i)方程、边界条件齐次分离变量法（任意初始条件）(ii)边界条件齐次,方程非齐

次分为2个问题原初始条件＋齐次方程－－分离变量法齐次定解条件＋非齐次方程－－特征函数法（注意初始条件的变化）边界条件非齐次引进辅助函数－－齐次化边界条件,再用上述方法(2)

二维拉

斯方程的边值问题根据求解区域的形状适当的选取坐标系,使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单.例如,对于圆域、圆环、扇形等区域可以采用极坐标。应当，只有当求解区域非常规范时，才可以用分离变量法解拉斯方程的定解问题。特征解（解2

解1）方

程偏微分分离变量分离变量

方程1

方程2

常微分

常微分齐次边界条件（特征值问题）所求解＝

特征解特征值条件（特征函数）

解2

解1方程以及边界条件都是齐次的非齐次方程的解法利用叠加原理u

x,

t

V

x,

t

W

x,

t

2u

2

2u

f

x,t

, 0

x

l,

t

0

t2

a

x2utt

0

u

|

g

x

,u

|x0

u

|xl

0,

t

0,t

0

|

h

x

. 0

x

l|t

0

h

x

.a, 0

x

l

,

t

0W

|x

0

W

|x

l

0;Wt

t

2

2W

2W2x

2W

|t

0

g

x

,2V

a2

2V

f

x,

t

,

0

x

l,

t

0

t

2

x2|t

0

0.Vtx0

xlV

|

V

|

0;V

|t0

0,分离变量法特征函数法叠加原理xln1)设(2)的解具有如下形式V

x,

t

vn

t

sinn1其中n

(t

)是待定函数，下面要确定n

(t

)。2V

a2

2V

f

x,

t

,

0

x

l,

t

0

t

2

x2x0

xl|t0

0.(2)VtV

|

V

|

0;V

|t0

0,xln1)设(2)的解具有如下形式V

x,

t

vn

t

sinn1其中n

(t

)是待定函数，下面要确定n

(t

)。2)将方程中的非齐次项f(x,t)按照上述特征函数展开为傅立叶正弦级数:xnlnf

x,

t

fn

t

sinn1其中2

lfnt

0

f

x,t

sinxdxll,

n

1,2,...n

nl

na

2vn

''t

vnt

fn

t

v

0

v

'(0)

0代入方程得用拉斯变换法求得上述问题的解为0fn

sindl

tnana

t

lvn

t

x,

即得方程(2)的解。nl代入V

x,

t

vn

t

sinn1(2)xl2V

2V2

fx,t,

0

x

l,

t

0

t2a

x2V

|x0V

|

0;V

|

0,t0|t0

0.Vt非齐次边界条件的处理处理原则:不论方程是否为齐次的,都选取（容易求解的）辅助函数w(x,t

)，通过函数之间的代换:ux,t

vx,t

wx,t使得对新的未知函数

v(

x,

t

)

具有齐次边界条件如何选齐次化函数w(x,t

)?仅要求满足边界条件：w(0,t

)

u1(t

),w(l,t

)

u2

(t

)所以有很大的选择余地例如，可以取直线w(x,t

)

A(t

)x

B(t

)代入边界条件，可以定A(t

)和B(t

)1l

u1

,A(t

)

u2B(t

)

u也可以取抛物线w

A(t

)x2

B(t

),则2l

2

u1

,A(t

)

u2B(t

)

u如果边界条件不全是第一类的，则1)若u

|x

01

u

t

,2

u

t

u

|x

lx令

211w x,

t

x

u

t

.ut

ut2)若x0

1lxl

2

u

t,u|

u

t,u

|x令w

x,

t

u1

t

x

u2

t

u1

t

l2x01

xl3)若

u

|

u

t,u

|

u

t,xx令w

x,

t

x22l[u2

t

u1

t

]

u1

t

x.注意：对于给定的定解问题,如果方程中的项

f

和边界条件中的u1

,u2

都和自变量

t

无关，则可选取辅助函数w(x)，通过代换u

x,

t

v

x,

t

w

x

将方程和边界条件同时变成齐次的.行波法与积分变换法一维波动方程的达朗贝尔公式

x

uttt t

0

a

2

uxx

0

(

x

,

t

0)

(3.1.1)

u

(

x

),

u

(

x

),

t

0112xat2a

xatu

x,

t

[x

at

x

at]

d定义：二阶线性偏微分方程Auxx

2Buxy

Cuyy

Dux

Euy

Fu

G,

(*)的特征方程为Ady2

2Bdxdy

C

dx2

0解称为特征线.记(x,

y)

B2

AC称其为二阶线性偏微分方程的判别式(

x,

y)

0(

x,

y)

0(

x,

y)

0双曲型方程椭圆型方程抛物型方程特征对双曲型方程都是有效的.行波法适应于一些双曲型方程。Auxx

Buxy

Cuyy

Dux

Euy

Fu

G,B2dy

B

4

ACdx

2

A

1(

x,

y)

C1,2

(

x,

y)

C2

1(

x,

y),

2

(

x,

y)uAdy2

2Bdxdy

C

dx2

0行波法只适用于波动方程的初值问题。对于一维波动方程，通过特征变换将方程化为可以直接积分的形式。经过两次积分得到包含两个任意函数的“通解”。用初始条件确定这两个任意函数。特征通过特征变换将一维波方程化为可直接积分的形式。左右行波按特征线。波方程的重要性质积分变换法傅立叶变换F

:傅立叶逆变换F

f

(

x)

F

e

f

x

dx.i

x主要思想：降维拉

斯变换

L

:

0e

f

t

dt.

ptf

t

F

p

f

x

12i

xe F

d-1:

(F

-1

F

)(x)拉

斯逆变换

L

-1:

(L-1

F

)(t)卷积性质

f

(x)

gx

f

x

t

gtdt

f

tgx

t

dt

F

f

g

F

f

F

g

傅立叶变换的微分运算性质F

f

iF

f

F

f

(

n)

(i

)n

F

f

拉斯变换

0L

:

f

t

t

e

dt.

ptF

p

f基本变换L(tn

)

n!

,

n

0,1,

2,pn11p

aL(eat

)

,p

2

a

2L(sin

at

)

,app2

a

2L(cos

at

)

拉

斯变换的微分运算性质L[

f

't

]

pF

p

f

0,L[f

''t]

p2Fp

p

f

0

f

'0,L[

f

n

t]

pnF

p

pn1

f

0

pn2

f

'0

f

n1

0.卷积性质L

f

g

L

f

L

g

其中

f

s

g

t

sds0tf

gt

积分变换法求解定解问题的基本步骤：选取恰当的积分变换。自变量取值范围；①傅立叶变换（-∞，+∞）②

拉

斯变换（0，+∞）取变换的初始条件；①傅立叶变换：不需要②

拉

斯变换：0点的n-1初值L[

f

n

t

]

pn

F

p

pn

1

f

0

pn

2

f

'

0

f

n

1

0

.2)部分定解条件进行相应的积分变换；解含参变量的常微分方程;取相应的积分逆变换。拉斯方程的格林函数法要求：掌握拉

斯方程边值问题的提法：狄利克雷(Direchlet)问题与牛曼( ann)问题

。调和函数的概念三维情形下的第一、第二格林公式格林函数法求解三维情形下的特殊区域的格林函数狄利克雷问题的解狄利克雷(Direchlet)问题狄利克雷问题的解是唯一确定的。u

fu

0,

x

牛曼(ann)问题u

0,

x

fn

u牛曼内问题有解的必要条件为

fdS

0.牛曼问题的解在相差一个常数外是唯一确定的。u2vdV

gradugradv

dVu

v

dS

n––––→

–––––→第一格林公式n

n第二格林公式

(u

2

v

v

2

u)dV

(u

v

v

u

)dS

调和函数的积分表达式uM0

uM

rM

M01411rM

MdSnn

0

uM平均值公式设

u(M)

是

内的调和函数,

M0

,

Ka

表示以M0

为中心，a

为半径且完全落在

内的球面,则0u

M

1K

a4

a

2

udS格林函数M0M01GM,

M

4r

v,1,4

r0M

Mv

|

其中v

在是调和函数,并且狄利克雷问题2u

0,

u

u

|

f

的解：0nu

M

f

M

GdS拉斯方程的基本解注：拉斯方程的基本解基本解的物理意义：点M0

处单位正电荷所产生的电位。014rM

M在M0点有奇异性1)半空间的格林函数（对称法）2)球域的格林函数（电象法）

u

x

22

y

R2,2

ta2

u

1

u

1

u

2

2

2

2

u

x

,

y

,

u2x

2

y

2

Rt