三角函数的最值

三角函数的最值三角函数的最值三角函数的最值三角函数的最值（专题）一、知识要点1、配方法求最值主若是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转变成二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数ysin2xsinx1的最值，可转变成求函数yt2t1,t1,1上的最值问题。2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：asinxbcoxa2b2sin(x)，其中tan=b.a3、yasinxb（或yacosxb）型，解出sinx（或cosx）利用|sinx|1（或csinxdccosxd|cosx|1）去解；或用分别常数的方法去解决.4、数形结合形如：yasinxb（或yacosxb）型，可化归为sin(x)g(y)去办理；ccosxdcsinxd或用全能公式换元后用鉴识式法去办理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去办理.常用到直线斜率的几何意义，比方求函数ysinx的最大值和最小值。函数ysinxcox2cox2的几何意义为两点P(2,0),Q(cosx,sinx)连线的斜率k，5、换元法求最值对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式sinxcosx212sinxcosx,一般都可采用换元法转变成t的二次函数去求最值，但必定要注意换元后新变量的取值范围。特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型分析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例1：求函数ysin2x3sinxcosx1的最值，并求获取最值时的x值。练习：1、已知函数。（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；2．已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；3．已知函数f(x)4cosxsin(x)1。（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求6f(x)在区间,上的最大值和最小值。642、转变成闭区间上二次函数的最值问题。例2已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。2ππ练习：1、求函数f（x）=cosx+sinx在区间［－，］上的最小值？2、函数ysin2x3cosx3的最小值为（）.A．2B.0C.1D.643、求函数y=5sinx+cos2x的最值4、可否存在实数a，使得函数ysin2xacosx5a3在闭区间0,上的最大822值是1？若存在，求出对应的a值？若不存在，试说明原由。例题3。y=sinx的最大值是_________，最小值是_________.sinx2练习：1函数y=3sinx1的最大值是_______，最小值是_______.sinx22、求函数3、求函数

sinx(0x)的值域________y2sinx2cosx1y的值域________2cosx14求函数y=2sinx的最大值和最小值.2cosx1、y=2cosx（0＜x＜π）的最小值是________.sinx2、求函数ysinx(0x)的最大值________.2cosx3、换元法解决sinxcosx,sinxcosx同时出现的题型。例5．求函数y43sinx43cosx的最小值练习：1、求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域.2、函数y(1sinx)(1cosx)的最大值为_________最小值为__________[思想点拨]：遇到sinxcosx与sinxcosx相关的问题，常采用换元法，但要注意的取值范围是[2,2]，以保证函数间的等价转变小结：求三角函数的最值问题就是经过合适的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去办理.基本种类（1）yasin2xbsinxc（或yacos2xbcosxc）型，可令tsinx（或tcosx），|t|1，化归为闭区间上二次函数的最值问题.（2）yasinxbcosx型，引入辅助角，化为ya2b2sin(x)，利用函数|sin(x)|1即可求解.（3）yasinxb（或yacosxb）型，解出sinx（或cosx）利用|sinx|1csinxdccosxd（或|cosx|1）去解；或用分别常数的方法去解决.（4）yasinxb（或yacosxb）型，可化归为sin(x)g(y)去办理；ccosxdcsinxd或用全能公式换元后用鉴识式法去办理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去办理.（5）对于含有sinxcosx,sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinxcosxt,|t|2,将sinxcosx转变成t的关系式，从而化归为二次函数的最值问.（6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行谈论.三、牢固练习：1、当0x1cos2x8sin2x）时，函数f(x)sin2x的最小值为（2（A）2（B）23（C）4（D）432、已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( )(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2＋1k3、设a0，对于函数fxsinxa(0x)，以下结论正确的选项是（）sinxA．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值4、已知函数f(x)1(sinxcosx)1sinxcosx,则f(x)的值域是（）22(A)1,1(B)21,2(D)2,1(C)21,225、函数y=1sin2+4sin2x,xR的值域是（）2(A)［-1,3］(B)［-3,1］(C)［21,21］(D)［21,21］2222222222226、设函数yacosxb(a,b为常数）的最大值为1，最小值为-7，那么yacosxbsinx的最大值是.7、设实数x,y,m,n满足2222是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值m+n=a,x+y=b