人教版九年级数学下册《-2821解直角三角形》公开课课件-1

28.2.2应用举例第二课时28.2.2应用举例（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则，

，

.（4）30°、45°、60°角的三角函数值：（见下页）（3）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平人教版九年级数学下册《-2821解直角三角形》公开课课件_1方位角的定义活动1探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★1.方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．说出下列射线的方向．射线OA是____________，射线OB是____________，射线OC是____________，射线OD是____________________.北偏东55°南偏东30°南偏西35°北偏西45°或西北方向方位角的定义活动1探究一:什么是方位角、坡角？重点知识坡角的定义活动2探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：

＝tanα.坡角的定义活动2探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★应用知识，解决问题活动1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★例1.如图所示，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝

，∴BD＝AD•tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝AD•tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD•tan55°＝20＋AD•tan25°.∴AD＝

≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求公共边长度（即距离）.应用知识，解决问题活动1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中应用知识，解决问题活动1例2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★应用知识，解决问题活动1例2.同学们，如果你是修建三峡大坝解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵

，

，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵

＝sinα，∴AB＝

＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.应用知识，解决问题活动1点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解.探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★解：作BE⊥AD，CF⊥AD，应用知识，解决问题活动1点拨：方法总结活动2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三

角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★方法总结活动2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是构造单一直角三角形活动1探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A

＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝

，则BC＝AB•sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．构造单一直角三角形活动1探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方构造母子三角形活动2解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝

，∴AC＝

，即8＋x＝

，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．例2：如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造母子三角形活动2解：没有触礁的危险．理由如下：例2：如图构造母子三角形活动2变式例2：如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长。试说明理由．(参考数据：≈1.73

)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造母子三角形活动2变式例2：如图，在电线杆CD上的C处引拉人教版九年级数学下册《-2821解直角三角形》公开课课件_1构造背靠背三角形活动3例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1)；(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★解:过点A作,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形,,,,在中,,,(米),,,在中,,,(米),答:拉线CE的长约为5.7米.构造背靠背三角形活动3例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C构造背靠背三角形活动3解：(1)过C作CD⊥AB于点D.根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，则AD＝x•tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝

，则BD＝x•tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x•tan42°＋x•tan55°＝80.解得x≈34.4答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝

，∴BC＝≈60(海里)．答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造背靠背三角形活动3解：(1)过C作CD⊥AB于点D.探究与梯形有关的角直角三角形活动4例4：如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：

≈1.732，≈1.414)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★与梯形有关的角直角三角形活动4例4：如图，梯形ABCD是拦与梯形有关的角直角三角形活动4探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝AB·sinB＝6·sin60°＝3，BF＝AB·cosB＝6·cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四边形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3，FE＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝

＝

，∴EC＝ED＝×3＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)•DE＝(4＋16)×3≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.与梯形有关的角直角三角形活动4探究三：怎样灵活运用解直角三（1）方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角.（2）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝

＝tanα.（1）方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90（1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常作辅助线构造直角三角形.（2）构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破坏特殊角或已知角.（1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常作辅28.2.2应用举例第二课时28.2.2应用举例（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（1）锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，若∠C=90°，则，

，

.（4）30°、45°、60°角的三角函数值：（见下页）（3）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为.（2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平人教版九年级数学下册《-2821解直角三角形》公开课课件_1方位角的定义活动1探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★1.方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．2．说出下列射线的方向．射线OA是____________，射线OB是____________，射线OC是____________，射线OD是____________________.北偏东55°南偏东30°南偏西35°北偏西45°或西北方向方位角的定义活动1探究一:什么是方位角、坡角？重点知识坡角的定义活动2探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：

＝tanα.坡角的定义活动2探究一:什么是方位角、坡角？重点知识★应用知识，解决问题活动1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★例1.如图所示，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝

，∴BD＝AD•tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝AD•tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD•tan55°＝20＋AD•tan25°.∴AD＝

≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求公共边长度（即距离）.应用知识，解决问题活动1探究二：方位角、坡角在解直角三角形中应用知识，解决问题活动1例2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★应用知识，解决问题活动1例2.同学们，如果你是修建三峡大坝解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵

，

，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵

＝sinα，∴AB＝

＝≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.应用知识，解决问题活动1点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解.探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★解：作BE⊥AD，CF⊥AD，应用知识，解决问题活动1点拨：方法总结活动2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三

角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．探究二：方位角、坡角在解直角三角形中有什么应用？重点知识★方法总结活动2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是构造单一直角三角形活动1探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，斜边AB的长为2.1m，BC边上露出部分的长为0.9m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A

＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝

，则BC＝AB•sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．构造单一直角三角形活动1探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方构造母子三角形活动2解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB于C，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形．∴BC＝PC＝x.在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝

，∴AC＝

，即8＋x＝

，解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．例2：如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：≈1.73)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造母子三角形活动2解：没有触礁的危险．理由如下：例2：如图构造母子三角形活动2变式例2：如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长。试说明理由．(参考数据：≈1.73

)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★构造母子三角形活动2变式例2：如图，在电线杆CD上的C处引拉人教版九年级数学下册《-2821解直角三角形》公开课课件_1构造背靠背三角形活动3例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1)；(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？重点、难点知识★解:过点A作,垂足为H,由题意可知四边形ABDH为矩形,,,,在中,,,(米),,,在中,,,(米),答:拉线CE的长约为5.7米.构造背靠背三角形活动3例3：如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C构造背靠背三角形活动3解：(1)过C作CD⊥AB于点D.根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，则AD＝x•tan42°.在Rt△BCD中，tan∠BCD＝

，则BD＝x•tan55°.∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x•tan42°＋x•tan55°＝80.解得x≈34.4答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里．(2)在Rt△BCD中，cos55°＝

，∴BC＝≈60(海里)．答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．探究三：怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相