人教版八年级下册《菱形》拓展练习

《菱形》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）A．cmB．cmC．cmD．cm2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的地点，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD订交于点K，GD的延伸线交EF于点H，连结DE，则以下结论：DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．则此中全部建立的结论是（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF交AC于点M连结DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则以下结论：△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；FB⊥OC，OM＝CM；④四边形EBFD是菱形；MB：OE＝3：2此中正确结论的个数是（）第1页（共26页）A．5B．4C．3D．24．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延伸线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）A．6B．5C．2D．45．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）A．35°B．45°C．50°D．55°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线切割成4个菱形，则a的值能够是．7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连结EF，若EF＝2，则的值为．第2页（共26页）8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B对于直线AM对称的点是N，连结DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y对于x的函数分析式是．9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC均分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连结PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连结BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；2）如图2，点G在AC上，连结FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．第3页（共26页）12．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．（1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并经过绘图考证了猜想；小丽经过探究，以为应当以CE＝EF为打破口结构两个三角形全等；小倩遇到小丽的启迪，试试在BC上截取BM＝BE，连结ME，如图②，很快就证了然△CEF是等边三角形，请你依据小倩的方法，写出完好的证明过程．13．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上随意一点，F是线段BC延伸线上一点，且CF＝AE，连结BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其余条件不变时，请你判断（1）中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，说明原因．14．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，延伸AC到E，使CE＝CO，连结EB，ED．第4页（共26页）1）求证：EB＝ED；2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝45°，①试判断△ABF的形状，并加以证明；②设CE＝m，求EF的长（用含m的式子表示）．15．（10分）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD订交于O，点E，F分别是AD，DC的中点，已知OE＝，EF＝3，求菱形ABCD的周长和面积．第5页（共26页）《菱形》拓展练习参照答案与试题分析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于点G，AG＝cm，则GH的长为（）A．cmB．cmC．cmD．cm【剖析】先求出菱形的边长，而后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，而后得出AH，勾股定理可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8cm，BD＝6cm，AO＝4cm，BO＝3cm，在Rt△AOB中，AB＝＝5cm，BD×AC＝AB×DH，∴DH＝cm，在Rt△DHB中，BH＝＝cm，则AH＝AB﹣BH＝cm，∴GH＝＝＝cm．应选：B．【评论】本题考察了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形第6页（共26页）的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．2．（5分）如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的地点，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD订交于点K，GD的延伸线交EF于点H，连结DE，则以下结论：DG＝DE；②∠DHE＝∠BAD；③EF+FH＝2KC；④∠B＝∠EDH．则此中全部建立的结论是（）A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③【剖析】第一证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断；【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCEF是菱形，AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，∴∠GAD＝∠F，∵∠ADG＝∠FDH，∴△ADG≌△FDH，DG＝DH，AG＝FH，EG⊥AB，∴∠BGE＝∠GEF＝90°，DE＝DG＝DH，故①正确，∴∠DHE＝∠DEH，∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，∴∠DHE＝∠BAD，故②正确，EF+FH＝AB+AG＝BG，故③正确，∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，∴∠B＝∠EDH，故④正确．应选：A．第7页（共26页）【评论】本题考察菱形的性质、平移变换、全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的重点是正确找寻全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（5分）矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF交AC于点M连结DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则以下结论：△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；FB⊥OC，OM＝CM；④四边形EBFD是菱形；MB：OE＝3：2此中正确结论的个数是（）A．5B．4C．3D．2【剖析】①由矩形的性质和全等三角形的判断方法即可证明①△AOE≌△COF；②依据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF对于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；③由于△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．④先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，从而证得OB⊥EF，由于BD、EF相互均分，即可证得四边形EBFD是菱形；⑤依据三角函数求得MB和OF的长，依据OE＝OF即可求得MB：OE的值．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，第8页（共26页）AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，O为AC的中点，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF，∴①正确；连结BD，∵四边形ABCD是矩形，AC＝BD，AC、BD相互均分，∵O为AC中点，BD也过O点，OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF对于直线BF对称，FB⊥OC，OM＝CM；∴③正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，第9页（共26页）∴∠ABO＝∠OBF，AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，OA＝OC，易证△AOE≌△COF，OE＝OF，OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴④正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，MB＝，OF＝，OE＝OF，MB：OE＝3：2，∴⑤正确；综上可知此中正确结论的个数是4个，应选：B．【评论】本题考察矩形的性质、等边三角形的判断和性质．全等三角形的判断和第10页（共26页）性质等知识，解题的重点是灵巧运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延伸线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（）A．6B．5C．2D．4【剖析】先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，OE＝OA＝OC，BD＝4，OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝4，OE＝OA＝4．应选：D．【评论】本题主要考察了菱形的判断和性质，平行四边形的判断和性质，角均分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的重点．5．（5分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD＝110°，则∠FPC的度数是（）第11页（共26页）A．35°B．45°C．50°D．55°【剖析】延伸PF、EB交于点G；连结EF，易证△BGF≌△CPF，则点F为PG的中点，FP＝FG＝FE，则∠FPC＝∠FGB＝∠GEF；连结AC，则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，从而可求出∠FPC的度数．【解答】解：延伸PF、EB交于点G；连结EF，∵四边形ABCD是菱形，∴AG∥DC，∴∠GBF＝∠PCF，∵F是BC中点，∴BF＝CF，在△BGF和△CPF中，，∴△BGF≌△CPF，∴PF＝GF，∴点F为PG的中点，∵∠GEP＝90°，∴FP＝FG＝FE，∴∠FPC＝∠FGB＝∠GEF，连结AC，则∠GEF＝∠BAC＝∠BAD＝55°，∴∠FPC的度数是55°．应选：D．【评论】本题考察了菱形的性质、全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边上的中线的性质，题目的综合性较强难度较大，解题的重点是正确增添协助线，第12页（共26页）结构全等三角形，从而获得点F为PG的中点．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，已知平行四边形的两条边长分别为1，a（a＞1），它能被平行于边的直线切割成4个菱形，则a的值能够是4或2.5或或．【剖析】联合菱形的性质画出图形，依据图形能够直接获得答案．【解答】解：以下图，a＝4或a＝2.5或a＝或a＝；故答案是：4或2.5或或．【评论】本题主要考察菱形的性质，平行四边形的性质，解题时，采纳了“分类议论”和“数形联合”的数学思想，使抽象的问题变得形象化，降低了题的难度．7．（5分）如图，菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连结EF，若EF＝2，则的值为1或．【剖析】①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，可得＝1，②当点F′是CD的中点时，由BE＝EC，DF′＝CF′，推出EF′＝BD＝2，知足条件，【解答】解：如图，连结AC、BD交于点O．第13页（共26页）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴易知△ABC，△ADC都是等边三角形，AC＝AB＝4，OB＝OD＝2，BD＝4，①当点F与A重合时，易知EF＝2，此时DF＝DC＝4，∴＝1，②当点F′是CD的中点时，∵BE＝EC，DF′＝CF′，EF′＝BD＝2，知足条件，此时DF′＝2，DC＝4，＝，故答案为1或．【评论】本题考察菱形的性质、等边三角形的判断和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的重点是学会用分议论的思想思虑问题，属于中考常考题型．8．（5分）在菱形ABCD中，M是BC边上的点（不与B，C两点重合），AB＝AM，点B对于直线AM对称的点是N，连结DN，设∠ABC．∠CDN的度数分别为x，y，则y对于x的函数分析式是y＝．【剖析】①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0；②当72°＜x＜90°时，如图2中，依据菱形的邻角互补，建立方程求解；③当0＜x＜72°，如图3中，同法可得；【解答】解：①当x＝72°时，如图1中，易知点N在CD上，此时y＝0．第14页（共26页）②当72°＜x＜90°时，如图2中，AB＝AM＝AN＝AD，∴∠ABM＝∠AMB＝∠AMN＝∠ANM＝x，∠ADN＝∠AND＝x﹣y，∵∠B+∠BAD＝180°，x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x﹣y）]＝180°，y＝x﹣180°．③当0＜x＜72°，如图3中，同法可得：x+（360°﹣4x）+[180°﹣2（x+y）]＝180°，第15页（共26页）∴y＝180°﹣x．综上所述，y＝．故答案为y＝．【评论】本题考察菱形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，解题的重点是学会用分类议论的思想思虑问题，属于中考常考题型．9．（5分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【剖析】延伸FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再联合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延伸FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延伸线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，第16页（共26页）GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．【评论】本题考察了菱形的性质、平行四边形的判断和性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的协助线是解题的重点．10．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC均分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连结PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【剖析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°获得线段AM，连结PM，想方法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°获得线段AM，连结PM，作AH⊥BP于H．第17页（共26页）∵四边形ABCD是菱形，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，BM＝PC＝10，PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2?△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．【评论】本题考察菱形的性质、等边三角形的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在AD上，连结BE，点F、H在BE上，△AFH为等边三角形．（1）如图1，若CE⊥AD，BE＝，求菱形ABCD的面积；第18页（共26页）2）如图2，点G在AC上，连结FG，HC，若FG∥AH，HC＝2AH，求证：AG＝GC．【剖析】（1）第一证明△ABC，△ADC都是等边三角形，由CE⊥AD，推出AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE中，依据BE2＝CE2+BC2，建立方程求出m即可解决问题；（2）作CK∥AH交BE于点K．想方法证明FH＝FK，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC∴△ABC，△ADC都是等边三角形，CE⊥AD，AE＝DE，BC⊥CE，设AE＝DE＝m，则AD＝BC＝2m，CE＝m，在Rt△BCE中，∵BE2＝CE2+BC2，∴4m2+3m2＝63，∴m＝±3，∵m＞0，∴m＝3，∴BC＝6，EC＝3，第19页（共26页）∴S菱形ABCD＝BC?CE＝18．2）作CK∥AH交BE于点K．∵△AFH是等边三角形，∴∠AHF＝∠AFH＝60°，AH∥CK，∴∠AHF＝∠CKE＝60°，∴∠AFB＝∠BKC＝120°，∵∠ABF+∠CBK＝60°，∠CBK+∠BCK＝60°，∴∠ABF＝∠BCK，AB＝BC，∴△ABF≌△BCK（AAS），BK＝AF，∵∠BAC＝∠FAH＝60°，∴∠BAF＝∠CAH，BA＝AC，AF＝AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴BF＝CH，CH＝2AH，AH＝AF＝FH＝BK，∴BK＝FK＝FH，AH∥FG∥CK，FH＝FK，AG＝CG．【评论】本题考察菱形的性质、等边三角形的判断和性质、全等三角形的判断和性质、平行线分线段成比率定理等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，第20页（共26页）正确找寻全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°．1）如图①，若点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF．求证：△CEF是等边三角形；2）小明发现若点E、F分别在边AB、AD上，且∠CEF＝60°时△CEF也是等边三角形，并经过绘图考证了猜想；小丽经过探究，以为应当以CE＝EF为打破口结构两个三角形全等；小倩遇到小丽的启迪，试试在BC上截取BM＝BE，连结ME，如图②，很快就证了然△CEF是等边三角形，请你依据小倩的方法，写出完好的证明过程．【剖析】（1）想方法证明△BEC≌△AFC（SAS），即可解决问题；2）想方法证明△ECM≌△FEA（ASA），即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠B＝60°，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，∴∠B＝∠CAF＝∠ACB＝60°，∵BC＝AC，BE＝AF，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△ECF是等边三角形．2）证明：∵BE＝BM，∠B＝60°，∴△BEM是等边三角形，∴∠EMB＝∠BEM＝60°，∠EMC＝∠AEM＝120°，第21页（共26页）AB＝BC，∠EAF＝120°，∴AE＝CM，∠EAF＝∠EMC，∵∠FEC＝60°，∴∠AEF+∠CEM＝60°，∵∠CEM+∠ECM＝60°，∴∠AEF＝∠ECM，∴△ECM≌△FEA（ASA），∴EF＝EC，∵∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．【评论】本题考察菱形的性质、等边三角形的判断和性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的重点是正确找寻全等三角形解决问题．13．（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上随意一点，F是线段BC延伸线上一点，且CF＝AE，连结BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其余条件不变时，请你判断（1）中的结论能否建立？若建立，请证明；若不建立，说明原因．【剖析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；2）过点E作EG∥BC交AB延伸线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，而后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，AB＝BC，∵∠ABC＝60°，第22页（共26页）∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，CF＝AE，∴CE＝CF，∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，∴∠CBE＝∠F＝30°，BE＝EF；（2）解：结论建立；原因以下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，∴∠ECF＝120°，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB＝AC，∠ACB＝60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE＝∠ABC＝60°，又∵∠BAC＝60°，∴△AGE是等边三角形，AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，又∵CF＝AE，GE＝CF，在△BGE和△CEF中，，第23页（共26页）∴△BGE≌△ECF（SAS），BE＝EF．【评论】本题考察了菱形的性质、全等三角形的判断与性质、等边三角形的判断与性质、等腰三角形的判断与性质；娴熟掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的重点．14．（10分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，延伸AC到E，使CE＝CO，连结EB，ED．1）求证：EB＝ED；2）过点A作AF⊥AD，交BC于点G，交BE于点F，若∠AEB＝4