物质调运问题数学建模

物质调运问题数学建模物质调运问题数学建模物质调运问题数学建模物质调运问题数学建模编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:防洪物资调运问题姓名：夏茂江学号：3320姓名：吴帆学号：3320姓名：丁宇学号：3320摘要防洪物资调运问题实质是个运筹学网络规划中的最短路问题。由于灾害发生时间和地点等各种因素的影响，具有较大随机性，我们结合实际情况，对其建立了相应的模型。我们建的模型主要是考虑以最短时间或者最经济的调运方案将防洪物资进行分配，并且满足一定的要求。使用图论的思想将交通网络图转化为数学图形，比用图论的方法求出各企业到各储备库和仓库的最经济的路线和最短的路线。在进行物资调运的过程中，还是按照先满足储备库达到预测库存为目标一，使所有的仓库达到预测库存为目标二，让所有仓库和储备库达到最大库存为目标三分为三个阶段。第一阶段可以假设有足够的能力一次性运达，第二阶段和第三阶段还要考虑企业的生产能力。以上面的方法建立了模型，求得20天后的各库存量就比较容易了。根据前面的建立的模型我们根据路程最短为原则选取路线算出20天后的各仓库包括储备库的库存量。根据第问题二的调运方案中的调运路线看是否经过中断路段，如果不经过则调运方案时可行的，如果经过那么要考虑其它的线路，使路程最短，因为在汛期时间是第一目标。我们可以再图论中把中断路段所对应的边去掉，这样直观、明了，便于我们查看、计算。一、问题重述我国地域辽阔，气候多变，各种自然灾害频频发生，特别是每年在长江、淮河、嫩江等流域经常爆发不同程度的洪涝灾害，给国家和人民财产带来重大损失，防洪抗涝成为各级政府的一项重要工作。某地区为做好今年的防洪抗涝工作，根据气象预报及历史经验，决定提前做好某种防洪抗涝物资的储备。已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，各库库存及需求情况见附件1，其分布情况见附件2。经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里•百件，普通公路元/公里•百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运。（1）请根据附件2提供的信息建立该地区公路交通网的数学模型。（2）设计该物资合理的调运方案，包括调运量及调运线路，在重点保证国家级储备库的情况下，为给该地区有关部门做出科学决策提供依据。（3）根据你的调运方案，20天后各库的库存量是多少？312392726251114（4）如果汛期下列路段因洪水交通中断，能否用问题二的模型解决紧急调运的问题，如果不能，请修改你的模型。312392726251114中断路段：，，，附件1：各库库存及需求情况（单位：百件）库存单位现有库存预测库存最低库存最大库存产量（/天）企业1600——80040企业2360——60030企业3500——60020仓库1200500100800—仓库2270600200900—仓库3450300200600—仓库4230350100400—仓库58004003001000—仓库6280300200500—仓库7390500300600—仓库8500600400800—储备库12000300010004000—储备库21800250010003000—附件2：生产企业，物资仓库及国家级储备库分布图企业1企业1仓库5企业2企业3仓库2仓库4储备库1储备库2仓库3仓库1仓库6仓库7仓库875655258457280452250302830186870508078404870324028303832301048562826325846505636385060406270851510252625048425235504050456040380356898622825202116171819131415121011976842543122524232922282730263132333435363738394041 注：1312123高等级公路普通公路河流1312123等表示公路交汇点；30，50，28等表示公路区间距离，单位：公里，如与之间距离为80公里二、模型假设及符号说明1、模型假设1、假定该预测值是科学的可靠的；2、假设公路交汇点27为储备库1，交汇点30为储备库2；将交汇点15与28之间的交汇点9改为42；3、假设在整个生产过程中企业的生产不受限制，仓库的储存费、装卸费不考虑；4、假设在高级公路和普通公路的行驶速度相等且不变；5、为了表述方便假设将两储备库分别处理为仓库9、10；6、假设运输能力足够，能一次性把物资运达目的地。2、符号说明：表示企业的现有库存；：表示仓库的预测库存；：表示企业向仓库的调运量；：表示处理后企业到仓库的最短路程；三、问题分析可以根据题目的数据信息得以分析出，把实际的图形问题转换为理想的纯数学图形，再根据图论的知识，想办法把理想的纯数学图形放在图论中加以假设从而得到可以求解的数学模型。1、对于问题（1），其实就是把实际图形理论化，转化为我们数学上的图论问题。把企业、仓库、储备库转化为相应的定点，点与点之间的公路用线条表述，路程得以标出。2、对于问题（2），合理的调运方案包括最优的调运线路以及合适调运量。根据提议可知还要首先保证国家储备库的条件下进行最优选配。在建立方案时要考虑各企业库存和产量，各仓库的库存要求，特别是预测库存的重要性。在以上条件下使总运费最少，从而就转化为一个线性规划的问题。路线可以根据模型图统计出来。3、对于问题（3），根据2的方案，再考虑每个企业的总的生产量，得出20天后的各点的库存量。4、对于问题（4），根据2的调运方案，查看方案中的调运路线是否经过中断的路段，如果不经过，2的调运方案时可行的。如果经过中断的路段，那就需要重新考虑其他的路线，就在模型中去掉中断的路段，再重复2的步骤求解。四、模型的建立和求解1、关于问题（1）的模型建立和求解：根据题中给出的生产企业、物资仓库及国家级储备库分布图，建立该地区交通网数学模型，即用数学语言来描述各段公路的距离。从题中的图形中我们可以得到42个公路交汇点，其中包括三个企业、八个仓库和两个储备库等。两个顶点和他们之间直接连接的一条边线可以描述网络图中的一个基本组成单位。例如：从1点出发可以分别只经过一次直接到2、33、34点，且各段的路程分别为40、60、45。一次类推可以得到所有点的一次交通网，从而组成完整的交通网，当需要查询多次运输时，直接在这些一次的交通线上寻找连接一起即可。公路交通网如下图形所表述：表1：起点111222233344终点2333413792103656路程4060454035506235425030起点445555666667终点2930463940451140412路程67701714230304850起点778889999101010终点102714152822731403712路程801176062405228428052起点111111111212131313141414终点6152527101312202781723路程536780528080686050起点151515151516161617171818终点81118254218202314231516路程6358462812558655258125起点181818191919202020202122终点192325182226131622242219路程224550227228685880504572起点222223232323242425252525终点202114161718202611151826路程80455065524550304618起点262626262727272727272828终点192425277911132640829路程2830187011740807060起点282929303031313232323232终点424284399323134353839路程4260701552505025986862起点333333343435353636373738终点136371323239333333832路程6040384525981705040383568起点383939393940404040414142终点3753032355692764215路程3514215621703028482628起点4242终点2841路程42262、关于问题（2）的模型建立和求解：由于洪水是难以预期的，有一定的随机性。所以为了有效的防御，应该当在最短的时间保证各储备库和仓库达到预测库存，也就是说在储备库和仓库未达到预测库存之前以时间为第一目标函数建立模型。而当他们都达到预测库存之后，各地区都有充足的防洪能力了，所以我们可以以经济为第一目标函数建立模型。首先要对数据进行处理，把高级公路长度按运费折算成普通公路的等效长度。例如：企业1（点24）到储备库2（点30）之间的一条线路：24-26-25-11-6-4-30中分别从左至右的路程分别为30、18、40、32、30、70，总路程为220。但其中40和32是高级公路上的路程，由题可知高级公路单价为2元，普通公路为。可以把这两个路程转化为普通公路路程（40+32）*2/=120故这条线路上的总路程268。以此类推用这种方法就可以让路程等效。我们可以利用动态规划的顺序解法求解个两点间的路程最短的问题，以及最优路线。我们以求解企业1—仓库2的最短路程为例：局部简化线路图如图所示：（注：粗线表示高级公路）23181925262445223028231819252624452230281830（2）、当=2时，=30，（3）、当=3时，（4）、当=4时，（5）、当=5时，即最短路是24-26-19-18-23路程是125以此类推可以求得各个企业到各仓库的等效路程最短的路线。因为首先满足储备库，故首先考虑三个企业向储备库的调运，其次由于仓库3和仓库5现有库存超过预测库存，所以也要考虑仓库3和仓库5向储备库的调运。表2：起点目的地最优路线路程企业1储备库124-26-27100储备库224-26-25-11-6-4-30268仓库124-26-25-15-42-28164仓库224-26-19-18-23125仓库324-26-27-9-31-32-35340仓库424-26-27-9-31192仓库524-20-22130仓库624-26-27-9-2-3-36287仓库724-26-25-224仓库824-26-27-9-31310企业2储备库141-6-40-27储备库241-6-4-30148仓库141-42-2868仓库24157仓库342-35306仓库44158仓库54-22206仓库6436253仓库741-42-28-29128仓库842-38276企业3储备库134-32-31-9-27161储备库234-32-39-30152仓库134-32-39-30-4-29-仓库234-32-318-23332仓库334-32-35123仓库434-32-3175仓库534-32-322337仓库634-1-33-36145仓库734-32-39-30-4-29仓库834-32-3893仓库3储备库135-32-31-9-27240储备库235-32-39-30175仓库135-32-39-30-4-29-28仓库235-32-318-23405仓库435-32-31148仓库535-32-322410仓库635-32-34-1-33-36268仓库735-32-39-30-4-29仓库835-32-38166仓库5储备库122-19-26-27170储备库222--4-30338仓库122-8222仓库222-19-18-23139仓库322--32-35410仓库422-262仓库622-3-36357仓库722-8-29282仓库822--32-38380第一阶段：我们使储备库达到预测库存，由企业和超过预测库存的仓库3、5向储备库提供。此阶段以总调运时间最小为目标，但我们前面已经假设了把高级公路和普通公路路程等效，速度都是相等的恒定值。故要求总运调时间也就是总路程最短，且满足再最短路上调运量最大。模型1的建立：目标函数：总的调运时间最小，约束条件：各企业(包括仓库3、5)向外运输量不大于现有的库存量，使储备库要达到预测库存，用LINGO求解,得到第一阶段各企业向各储备库的具体分配量如下:表-3：分配量可运输量储备库1储备库2企业16006000企业236031050企业35000500仓库31500150仓库5400900第二阶段：使其他各个仓库达到预测库存。通过分析第一阶段的结果，发现三个企业现存量已全部运完，仓库3刚好达到预测库存，而仓库5超过预测库存310。通过公式（）得到各库存都达到预测值时间为天，即至少需要8天。然后我们把8天后各企业总产量处理为其在8天可调运的总量，建立以时间最少为目标的模型，得到每个企业向各仓库8天的总分配量。模型2的建立：目标函数:约束条件：各企业(包括仓库5)向外运输量不大于现有的库存量，被运输的各仓库要达到预备库存，用LINGO求解,得到第二阶段各企业向各仓库的具体分配量如下:表-4：分配量仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业1170700800000企业2130000001100企业3000400200100仓库50260000000第三阶段：在达到预测库存之后，该地区已经具备了防御一般洪水的能力，为了防御更大的洪水，应该使库存物资尽可能多。通过公式（）得到各库存都达到预测值时间为天，即至少需要39天。然后我们把39天后各企业总产量处理为其在39天可调运的总量，建立以运费最少为目标的模型，由于高级公路长度按运费折算成普通公路的等效长度，故求单位物资的调运费最小即为路程为最短。得到每个企业向各仓库39天的总分配量。建立模型3如下：目标函数：约束条件：企业1、2、3在达到预测库存后39天向外运输的总量分别不应超过、、，302245302245各库存不超过其最大储存量，模型3求解的企业后期调运分配方案如下：表-5：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业17100030000550000企业2290470300000001000企业30300030050020002003、关于问题（3）的模型建立和求解：在问题（2）中我们已经求得了各企业在三个阶段向仓库的调运量，我们现在需要先求出每个企业20天后的生产量，根据（2）中的方案求得第20天后各个库的存储量。我们认为有能力将现有库存及第一天的参量都运送出去，即第一天就能够使储备库达到预测库存值。对于调运的先后顺序问题，在优先考虑储备库到达预测库存之后，我们考虑线路的路程，越短越先满足，以达到经济的目的。前20天的分配方案如下表：表-6：时间//天企业至仓库调运量时间/天企业至仓库调运量11储160011174012储1310112131仓5储19011292712储25011352013储25001217401仓3储2150122151仓5仓22601229251114012352012130131740134201321821140132322221301335152342013385311331414153147141725321241421532761423253382014351141122143894141815143642141517442726152154382015232551118153511512515389514171614352161617375272416215536101623255381016351161161638961222171446141317173662112172156271817232563691735116381117389711618114071222182157141318232572112183511727181838973820191111811619142981222192158141319232582112193511827181938991740201149212120141092312017269298202159357202325938132035710174020386102130203106103520进而得到20天后各库存量分别为：表-7：储备库1储备库2仓库1仓库2仓库331592500697698455仓库4仓库5仓库6仓库7仓库83507773795606064、关于问题（4）的模型建立和求解：在汛期时,相当于紧急调运。与问题（2）的模型有所不同，此时，无论在什么情况下，都要以时间为第一目标，即要满足调运时所走路线的实际距离最短（不再把高级公路和普通公路等效）,不仅不用考虑调用的经济问题,而且不用考虑储备库优先的情况。分达到预测前和预测后两个阶段考虑。其中，我们要把中断路程处理为无路，我们可以利用动态规划的顺序解法求解个两点间的路程最短的问题，以及最优路线。我们以求解企业1—仓库2的最短路程为例：局部简化线路图如图所示：（注：粗线表示高级公路）23231819252624452230281830（1）、当=1时，==,（2）、当=2时，=30，（3）、当=3时，（4）、当=4时，（5）、当=5时，即最短路是24-26-25-18-23路程是123以此类推，可以求得各点之间的最短调运路线。如下表表-8：表-8：起点目的地路程最优路线企业1储备库116824-20-13-27储备库228224-26-25-仓库116424-26-25-15-42-28仓库212324-26-25-18-23仓库339724-26-25-35仓库440724-26-25-32-31仓库513024-20-22仓库634224-20-仓库722424-26-25-仓库842524-26-25-38企业2储备库111041-6-40-27储备库214841-6-4-30仓库16841-42-28仓库21574仓库32634仓库427341仓库52064-22仓库6253436仓库711841-6-4-29仓库829148企业3储备库118734-1-2-9-27储备库210234-32-39-30仓库127234-32-39-30-4-29-28仓库239134-32-39-5-6-仓库312334-32-35仓库47534-32-31仓库538534-0-22仓库614534-1-33-36仓库721234-32-39-30-4-29仓库89334-32-38仓库3储备库131035-32-34-1储备库217535-32-39-30仓库135-32-39-30-4-29-28仓库251035-32-34-5-18-23仓库414835-32-31仓库541135-39-仓库626835-32-34-1-33-36仓库735-32-39-30-4-29仓库816635-32-38仓库5储备库119822-20-13-27储备库233822--4-30仓库122222-8仓库213922-19-18-23仓库341122--5-39-35仓库441522--5-39-32-31仓库639322-7-9-2-3-36仓库728222-8-29仓库843322--5-39-32-38第一阶段，到达预测库存前。（模型6）目标函数：调运总时间最短，约束条件：各企业(包括仓库3、5)向外运输量不大于现有的库存量，被运输的各仓库要达到预备库存，用LINGO求解,在达到预备前各企业向各仓库的具体分配量如下:表-9：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库4仓库6仓库7仓库8企业19200000000企业2601303000001100企业3042000120200100仓库30150000000仓库520000330000第二阶段，达到预测库存后。（模型7）在问题（2）的基础上要加以改进，目标有所不同。目标函数：调运总时间最短，约束条件与问题（2）中的第三阶段相同。求解得到分配量如下：表-10：分配量储备库1储备库2仓库1仓库2仓库3仓库4仓库5仓库6仓库7仓库8企业17000030000550000企业2300470300000001000企业3030003005002000200五、计算机结果及分析本文采用了线性规划的方法和图论的思想，从实际问情况出发,并运用了数学图形思想。针对不同情况下的要求和不同侧重点建立了不同的模型，把问题分阶段考虑，让结果更合理。此外，模型表述清晰，简洁精练，可以对突发事件作出及时的调整。模型的改进，在本文中我们假设了车辆在高等级公路和普通公路的速度相同，而在实际过程中速度是不可能相同的。根据两者速度的比值对交通网络图中的路程数据作相应的处理，然后在按同样的模型求解，可以得到更好的实际调运方案。在问题（2）中模型1和模型而以时间为目标时，我们简化成路程最短不是很严谨，因为我们把高级公路和普通公路等效了，但实际是不可能的，进行了理想化。对于提前作好防洪物资储备的情况，利用模型2及模型3调运一段时间之后，如果此时发生洪涝灾害需要紧急调运时，我们可以以此时的库存量为起点，调整为按模型5进行紧急调运，以此来应对突发事件。在实际问题中，对于紧急调运问题，还可以考虑让发生灾害地区附近的仓库、企业及储备库都向灾区提供适量的物资援助，节省救助时间，尽量减小灾害所造成的损失。六、参考文献[1]朱求长.运筹学及其应用武汉大学出版社[2]谢兆鸿，范正森，王艮远.数学建模技术中国水利水电出版社[3]沙特算法设计技巧与分析2007年6月[4]魏晓平等《管理运筹学教程》江苏徐州：中国矿业大学出版社2003年2月[5]陈庆喜《浅析高速公路路网模型的建立与清分算法的实现》高速公路运营技术与管理[6]郑更新《物资调运问题的进一步讨论》中央民族大学学报(自然科学版)2003年7月第12卷第3期[7]范正森《粮食调运与储备问题的优化模型》粮食与饲料工业2003年第7期七、附录源程序代码：模型1代码：model:sets:z/1,2/:c;x/1..5/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=@sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j));@for(x(i):@sum(z(j):y(i,j))<d(i));@for(z(j):@sum(x(i):y(i,j))=c(j));data:d=600,360,500,150,400;c=1000700;l=100268148161152240175170338;enddataend模型2代码model:sets:z/1..8/:c;x/1..4/:d;links(x,z):l,y;endsetsmin=@sum(links(i,j):l(i,j)*y(i,j));@for(x(i):@sum(z(j):y(i,j))<d(i));@for(z(j):@sum(x(i):y(i,j))=c(j));data: 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