数列专题课程-3.与不定方程

积微积微精课2017高一数列专题课 积 积微精课2017高一积微教育2017课第三 数列与不定方①利用整除②利用奇偶③利用有理数的④不等式分析⑤数列的单调引例：设公d（d为奇数d1）的等差数列{ann项和SnSm19Sm0，其m3mN*an．3n1、已知数列a,ba3,ab

ab ,nNn n n nn求证：数列1是等差数列，并求数列bb bn

1a设数列cn满足cn2an5p，是否存在正整数qrpqr，使1,1,1成等差数列？若存在，试用pqr；若不存在，请说明理cpcqaa2a2a2d的值a 1a2 设a1,d均为正整数，若 1是正整数，求证：对于任意正整数d

都是数列{an}(nN)中的 若不是，请说

ab

2ab

答n n

1a n 1nn4nnab2a2 2

bn

2 n ， n n

b

n n 1

1

1n b

21b1

b an 131n1n2即b n（2）由（1）

n2

2nnp1cpc11,cq2q1,cr2rn即1,1,1成等差数 21 即cpcq 2q 2rpq q2,r 2q 2r 不成2q 2r当p2时，1,1,1成等差数列，同理可得：

cpcq

4p2q

2q 2p12r2r 2q12p 2p12q12r12p12q1r2pqp2q4p2q1 4p2q1q2p1r4p25pp q2p1p,rq4p27p34p12p1q2p1r4p25p2符合题意p2q2p1r4p25p2、解：（1）a2，a2，a2成等比，得(a2)2a2a2ad)2(ad)2 2d2(2a2d202d＝0d＝2a2d＝－

1 dd＝0可知，数列{an}(n∈N*)为非零的常数数列（常数为a)

d＝2a2d＝2(a1＋d)，则d＝－2－d＝－2a2d＝－2(a1＋d)，则d＝－2＋故所求的d＝0，或－2－2，或－2＋

由题意a2－a1是正整数可知，存在正整数l，使得a2－a d111na2＝a1＋lda2＝a1a2是等差数列{a}l＋1111n对于任一给定的正整数a2ak1)d)2a22a(k1)dk1)2d2 a2＝a 得a2ald2a(k1)dk1)2d2al2a(k1)k1)2d)d 由a1，l，k，d均为正整数，可知l2a1(k1)(k1)2d为正整数，不妨记为s，那么a2asd，所以有a2a sk的任意性，可知结由题意，a2，a2，a2均是数列{a} k，l，ma2akd(ad)2ald(a2d)2amd 由此可知a1，d均为有理数，且4a1，2d均为整数．a12＝a1＋kd4a12＝4a1＋4kd，则4a12为整数，又a1为有理数，从而2a1为整数．由2a1＋d＝l－k，得d为整数．a1不为整a1＝p，其p为奇数2盾．所以a1为整数．从而对于任意整数n，an为整数课后练2an,n2k 1、已知数列aam

ar,n

(kNrRnSn 当m与r满足什么关系时，对任意的nN*，数列a都满足 对任意实数mrpq，使得a2n+1p与a2nq是同一个等比数列？若存在，请求出p,q满足的条件；若不存在，请说明理由； 若数列{an的通项公式an2n，判断{an是否为“G数列等差数列{and0a12d，求证：{an是“G数列Snan满足1qSnan1ra12t0q0．若非零数列{an是“G数列”，试找出一组满足条件的q,r．积微精课积微精课2017高一数列专题课 积 积微精课2017高一 若数列{a}是首项为，公比 的等比数列，求数列{b}的通项公式 若bnna23，求数列{an在（2）的条件下，设c ，求证：数列{c}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之 bnb答ra3a1mr0 2an,n2k

m,n

(kN)a所以aam，aa2m，故对任意的nN*，数列a都满足 aa （2）a2n1a2nr=2a2n1ra2n1r=2(a2n1r

r=mr，所以mr0a2n1r是等比数列

r)2n(mr)2n为使a2n1p是等比数列pr 同理，当mr0时， 2r=(mr)2n，则欲a2r是等比数列，则q 综上所述①mr0，则不存在实pq，使得a2n1p与a2nq是等比数列②mr0，则pqq2p2ra2n1p与a2nq是同一个等比数列 （3）当mr1时，由（2）可得 2n1，a=2n1 n2kaa=2k1 Sn

2122…+2k2223…+2k13k32k1k2)

3 ) 2k1 k (1k)2k 令ck ，则ck1ck 0，所以n n2k1 2k2 2k1 (2k22)(2k1 n 2k 当n2k1时，a =2k1，S 32k1k2)(2k12)2k 2k

43k2k1

Sn1，1综上所述，实数的最大值为2（1）解

2(12nSn

2n12m1 当n22m6m不是正整数∴{a不是“G数列（2）证明Snan(n1d2dnn(n1)

，即2dn

n(n2

d2d(m

n(n2n,n1是一奇一偶，m一定是正整 ∴{a}是“G数列（3）n2时，1qSnan1r1qSn1an1qanan1an0an1积微积微精课2017高一数列专题课 积 积微精课2017高一 又1q2ta2 记a2r2qt2tpan，q1an

Sn2tn1rr不恒成立显然an不是“G数列p1qn12tp

q1Sn2t

1

1 1n1,S1a1，an是“G数列”n2时,mN*

2t

1q

1

pqq2,p2t,r4t2t2t,rq2,r

21

n 1 2S

3

n111

33

3 1

23

3 b n

3 an 21 3 3 若bnn2Snnan2Sn1n1an12an1n1an1nan2nann1an1n1an1n2an两式相减可得n2nann1an1n1an1n2an2n1ann1an1n1an2anan1an1an2S1a12可得：a12，因为a23d ann由（2）得