3第一章线性控制系统的状态空间描述lyq课件

第一章

线性控制系统的状态空间描述李玉庆飞行器动力学与控制研究所第一章

线性控制系统的状态空间描述李玉庆1第一章线性控制系统的状态空间描述1.1状态空间描述的概念1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间 描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.4状态方程的规范形式第一章线性控制系统的状态空间描述1.1状态空间描述的概念21.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述由输入-输出描述求状态空间描述的问题称为实现问题

仅对实现单输入-单输出系统的状态空间描述(A，B，C，D)具有代表性的方法。单输入-单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用高阶微分方程来描述1.2将一般时域描述转化为状态空间描述传递函数来描述1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述由输入-输出描31.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述因此由输入-输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵A，B，C，D的问题状态空间描述可选为系统的一组状态变量1.选取状态变量则求状态方程和输出方程的步骤①不包含输入函数导数高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述因此由输入-输41.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.化高阶微分方程为的一阶微分方程组系统的输出表达式为3.将方程组改写为向量形式令状态方程输出方程1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.化高阶微分51.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-12已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。解：选取写成向量形式1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-12已知61.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述②包含输入函数导数则求状态方程和输出方程的步骤1.选取状态变量通常可选取输出变量y和输入变量u各阶导数的适当组合

待定系数

1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述②包含输入函数71.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述中间变量

代入:1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述中间变量代入8对比等式的系数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述对比等式的系数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述91.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式3.向量形式1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.导出状态变101.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-13解：已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。选取状态方程和输出方程1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-13解：111.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.3将频域描述转化为状态空间描述单输入-单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用:高阶微分方程来描述

y：输出变量，u：输入变量传递函数来描述

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.3将频域描述121.3将系统的频域描述转化为状态空间描述①系统传递函数的特征多项式的根为两两相异当系统传递函数的特征根为两两相异时展开为部分分式的形式为状态变量,令其拉氏变换满足设L-1得状态方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述①系统传递函数的特131.3将系统的频域描述转化为状态空间描述L-1得输出方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述L-1得输出方程14矩阵形式对角线标准型矩阵形式对角线标准型151.3将系统的频域描述转化为状态空间描述已知试求其状态空间描述例1-15解：系统的极点为两两相异1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述已知试求其状态空间161.3将系统的频域描述转化为状态空间描述系统状态空间描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述系统状态空间描述171.3将系统的频域描述转化为状态空间描述②系统传递函数的特征多项式的根有重根时1.有一个重根,重数为r,其余为两两相异的根1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述②系统传递函数的特18选取状态变量的拉氏变换为选取状态变量的拉氏变换为191.3将系统的频域描述转化为状态空间描述状态方程和输出方程L-1得状态方程

输出方程的拉氏变换为:L-1得输出方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述状态方程和输出方程20矩阵形式1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述约当(Jordan)标准型矩阵形式1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述约当(J211.3将系统的频域描述转化为状态空间描述例1-16解：已知系统的传递函数为试求其状态空间描述系统有一个三重极点待定系数系统状态空间描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述例1-16解：已222.同时有单极点和多个重极点则可直接写出约当标准型的状态空间表达式:假定为单极点,为重极点,为重极点,且有2.同时有单极点和多个重极点则可直接写出约当标准型的状态空间233第一章线性控制系统的状态空间描述lyq课件241.4状态方程的规范形式1.4状态方程的规范形式线性定常系统的系统矩阵A的矩阵值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化为由特征值表征的约当规范型。当系统矩阵A的特征值为两两相异时，规范型具有对角线规范型的形式。1.4状态方程的规范形式1.4状态方程的规范形式线性定常251.4状态方程的规范形式特征值及其不变性线性定常系统系统的特征值，即系统矩阵A的特征值，即特征方程的根特征值的性质1．一个n阶系统的系统矩阵A，有且仅有n个特征值。2．物理上可实现的系统，系统矩阵A的各元均为实数，因此其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。3．对系统做非奇异变换，其特征值不变。证明命题得证1.4状态方程的规范形式特征值及其不变性线性定常系统系统的261.4状态方程的规范形式4.设—A特征值，非零n维向量—A的属于特征向量两两相异因此由这些特征向量组成的矩阵P必为非奇异—特征向量—特征值5．设线性无关1.4状态方程的规范形式4.设—A特征值，非零271.4状态方程的规范形式将状态方程化为对角线标准型定理可将矩阵A化为对角线标准型,其中若其特征值为两两相异，则必有非奇异阵为矩阵A相应于的特征向量，对于线性定常系统一、矩阵A为任意形式1.4状态方程的规范形式将状态方程化为对角线标准型定理可281.4状态方程的规范形式证明P为非奇异矩阵，且两端左乘命题得证1.4状态方程的规范形式证明P为非奇异矩阵，且两端左乘命题29例1-7线性系统其中试将状态方程化为规范形式。解：特征值两两相异可化为对角线规范型设特征向量例1-7线性系统其中试将状态方程化为规范形式。解：特征值两30同理状态方程的规范形式同理状态方程的规范形式311.4状态方程的规范形式二、矩阵A为相伴型矩阵A的特征值两两互异时，P可取范德蒙矩阵为矩阵A的互异特征值。友矩阵1.4状态方程的规范形式二、矩阵A为相伴型矩阵A的特征值两32例1-10已知线性系统其中试将状态方程化为规范型解：系统的特征值两两相异，取非奇异变换矩阵P为状态方程的规范型例1-10已知线性系统其中试将状态方程化为规范型解：系统的331.4状态方程的规范形式矩阵A能否通过线形变换化为对角线标准型,关键在于能否找到n个线性无关的特征向量。若矩阵A有相同的特征值仍存在n个线性无关的特征向量（化为对角型）线性无关的特征向量个数小于n（化为约当标准型）将状态方程化为约当标准型1.4状态方程的规范形式矩阵A能否通过线形变换化为对角线标341.4状态方程的规范形式比较上式两端各列合并整理两端左乘将式命题得证1.4状态方程的规范形式比较上式两端各列合并整理两端左乘将35定理1.6。则经非奇异变换，可将A化为设矩阵A有q个重特征值为而其余n-q个特征值为两两相异其中其中为相应于重特征值的特征向量；而为相应于其余单特征值的特征向量。它们满足分别为定理1.6。则经非奇异变换，可将A化为设矩阵A有q个重特征值361.4状态方程的规范形式例1-8设矩阵A为将A化为约当标准型。解：系统特征值为特征向量为1.4状态方程的规范形式例1-8设矩阵A为将A化为约当标准371.4状态方程的规范形式非奇异变换阵P为1.4状态方程的规范形式非奇异变换阵P为381.4状态方程的规范形式矩阵A有q个重特征值为，而其余n-q个特征值为两两相异时，P可取为为重特征值的特征向量组成的矩阵，而

为其余相异特征值组成的矩阵1.4状态方程的规范形式矩阵A有q个重特征值为，而其余n-39第一章

线性控制系统的状态空间描述李玉庆飞行器动力学与控制研究所第一章

线性控制系统的状态空间描述李玉庆40第一章线性控制系统的状态空间描述1.1状态空间描述的概念1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间 描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.4状态方程的规范形式第一章线性控制系统的状态空间描述1.1状态空间描述的概念411.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述由输入-输出描述求状态空间描述的问题称为实现问题

仅对实现单输入-单输出系统的状态空间描述(A，B，C，D)具有代表性的方法。单输入-单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用高阶微分方程来描述1.2将一般时域描述转化为状态空间描述传递函数来描述1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述由输入-输出描421.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述因此由输入-输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵A，B，C，D的问题状态空间描述可选为系统的一组状态变量1.选取状态变量则求状态方程和输出方程的步骤①不包含输入函数导数高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述因此由输入-输431.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.化高阶微分方程为的一阶微分方程组系统的输出表达式为3.将方程组改写为向量形式令状态方程输出方程1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.化高阶微分441.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-12已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。解：选取写成向量形式1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-12已知451.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述②包含输入函数导数则求状态方程和输出方程的步骤1.选取状态变量通常可选取输出变量y和输入变量u各阶导数的适当组合

待定系数

1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述②包含输入函数461.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述中间变量

代入:1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述中间变量代入47对比等式的系数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述对比等式的系数1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述481.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式3.向量形式1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述2.导出状态变491.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-13解：已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。选取状态方程和输出方程1.2将系统的一般时域描述转化为状态空间描述例1-13解：501.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.3将频域描述转化为状态空间描述单输入-单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用:高阶微分方程来描述

y：输出变量，u：输入变量传递函数来描述

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述1.3将频域描述511.3将系统的频域描述转化为状态空间描述①系统传递函数的特征多项式的根为两两相异当系统传递函数的特征根为两两相异时展开为部分分式的形式为状态变量,令其拉氏变换满足设L-1得状态方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述①系统传递函数的特521.3将系统的频域描述转化为状态空间描述L-1得输出方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述L-1得输出方程53矩阵形式对角线标准型矩阵形式对角线标准型541.3将系统的频域描述转化为状态空间描述已知试求其状态空间描述例1-15解：系统的极点为两两相异1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述已知试求其状态空间551.3将系统的频域描述转化为状态空间描述系统状态空间描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述系统状态空间描述561.3将系统的频域描述转化为状态空间描述②系统传递函数的特征多项式的根有重根时1.有一个重根,重数为r,其余为两两相异的根1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述②系统传递函数的特57选取状态变量的拉氏变换为选取状态变量的拉氏变换为581.3将系统的频域描述转化为状态空间描述状态方程和输出方程L-1得状态方程

输出方程的拉氏变换为:L-1得输出方程

1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述状态方程和输出方程59矩阵形式1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述约当(Jordan)标准型矩阵形式1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述约当(J601.3将系统的频域描述转化为状态空间描述例1-16解：已知系统的传递函数为试求其状态空间描述系统有一个三重极点待定系数系统状态空间描述1.3将系统的频域描述转化为状态空间描述例1-16解：已612.同时有单极点和多个重极点则可直接写出约当标准型的状态空间表达式:假定为单极点,为重极点,为重极点,且有2.同时有单极点和多个重极点则可直接写出约当标准型的状态空间623第一章线性控制系统的状态空间描述lyq课件631.4状态方程的规范形式1.4状态方程的规范形式线性定常系统的系统矩阵A的矩阵值是表征系统的动力学特性的一个重要参量。系统的状态方程通过适当的线性非奇异变换而化为由特征值表征的约当规范型。当系统矩阵A的特征值为两两相异时，规范型具有对角线规范型的形式。1.4状态方程的规范形式1.4状态方程的规范形式线性定常641.4状态方程的规范形式特征值及其不变性线性定常系统系统的特征值，即系统矩阵A的特征值，即特征方程的根特征值的性质1．一个n阶系统的系统矩阵A，有且仅有n个特征值。2．物理上可实现的系统，系统矩阵A的各元均为实数，因此其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。3．对系统做非奇异变换，其特征值不变。证明命题得证1.4状态方程的规范形式特征值及其不变性线性定常系统系统的651.4状态方程的规范形式4.设—A特征值，非零n维向量—A的属于特征向量两两相异因此由这些特征向量组成的矩阵P必为非奇异—特征向量—特征值5．设线性无关1.4状态方程的规范形式4.设—A特征值，非零661.4状态方程的规范形式将状态方程化为对角线标准型定理可将矩阵A化为对角线标准型,其中若其特征值为两两相异，则必有非奇异阵为矩阵A相应于的特征向量，对于线性定常系统一、矩阵A为任意形式1.4状态方程的规范形式将状态方程化为对角线标准型定理可671.4状态方程的规范形式证明P为非奇异矩阵，且两端左乘命题得证1.4状态方程的规范形式证明P为非奇异矩阵，且两端左乘命题68例1-7线性系统其中试将状态方程化为规范形式。解：特征值两两相异可化为对角线规范型设特征向量例1-7线性系统其中试将状态方程化为规范形式。解：特征值两69同理状态方程的规范形式同理状态方程的规范形式701.4状态方程的规范形式二、矩阵