M03第三讲-微分法建模-杭州电子科技大学-数学建模课件

第三讲微分法建模处理静态优化问题

•静态优化问题现实世界中普遍存在建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数•求解静态优化模型一般用微分法第三讲微分法建模处理静态优化问题•静态优化问题现实世界3.1存贮问题3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4路灯安置优化问题3.1存贮问题3.1存贮问题问题背景1.工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生产之用。2.商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以零售。3.水库在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航运。3.1存贮问题问题背景1.工厂要定期地订购各种原料，存实例配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。实例配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设已知某产问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元问题分析与思考每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值周期短，产量小周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答问题模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货费、货物价格、货物储存费和资金占用费。资金占用费由资金量和时间决定。

R：每天利率k:单位货物价格注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货费、货物价格、货物储存允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’每天总费用一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天利润的增值每天投入的资金强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。问题关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c23.4

路灯安置优化问题

背景目前大多数公共场所都安装了路灯，

路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，

并没有从优化的角度进行考虑。1）一盏路灯的优化问题；2）两盏路灯间距最大的优化问题（即考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值）3）一排路灯的优化问题（即确定路灯高度，使得路灯之间的距离最大）；4）两排路灯的优化

问题3.4路灯安置优化问题背景目前大多数公共场所都安装背景知识

1.光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来量度，单位：坎德拉2.照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司

3.照度定律：点光源O预备照明平面中心A的距离为h时，平面上A点的照度

背景知识1.光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的其中，p为O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点的连线之间的夹角,h为光源的高度，s为光源到A点的距离4.为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为其中，p为O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点的连模型假设1.主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值

注：数据来源A路的路灯标签

额定电压为220伏，额定电流为10安2.在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，即处处等宽。即宽度为5米（数据来源：实地测量A路的宽度.）3.经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。在这里认为对所有物体照明强度不低于某定值

模型假设1.主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的模型假设4.经观测路长L=260米p:路灯的功率

L:路长

h:路灯的高度l:路灯的间距d:路的宽度记号模型假设4.经观测路长L=260米p:路灯的功率模型建立与求解一.一盏路灯的优化问题

由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。路灯到某点A的照明强度为：

其中p为灯的功率，h为灯的高度，r为灯在地面投映点到点A的距离.模型建立与求解一.一盏路灯的优化问题由物理学知识地面上物体可见的区域为：

有解条件：物体可见区域条件：物体可见区域的面积为以O为圆心，以r为半径的圆

地面上物体可见的区域为：有解条件：物体可见区域条件：物体模型为：

求解对s关于h求导可得：

此时面积达最大值，可求得路灯得最优高度。

代入，结果为：最优高度h为4.60米模型为：求解对s关于h求导可得：此时面积达最大值，可二两盏路灯间距最大的的优化问题主要考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值

目的如图1A二两盏路灯间距最大的的优化问题主要考虑当高度为何值时，如图，A点的照度在路面的各点中最小，所以l和h的只需满足:目的只需求当cA=c0时，使l最大的h值求解

如图，A点的照度在路面的各点中最小，所以l和h的只需满足对上式关于h求导得:h=6.5米时，l最大为15.5米

结果对上式关于h求导得:h=6.5米时，l最大为15.5米结三一排路灯的优化问题目的确定路灯高度h和路灯之间的距离l，使得路灯之间的距离最大

1.求最大的路灯间距

图2三一排路灯的优化问题目的确定路灯高度h和路灯之间的距离由上图可知,路灯l和m之间的路段，与中点Q相对的R点的照明强度最小，并且计算该点照明强度时，只需考虑路灯K,L,M,N对其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略。

R点的照明强度为

且要使R点的物体可见应有：

从而只需求当cR=c0时,求使得l最大的h值

由上图可知,路灯l和m之间的路段，与中点Q相对的R点的照明强同第二部分，用Matlab求解

得h=6.6米时，l最大。最大值为16.5米。

结果2．考虑边界问题

图3

同第二部分，用Matlab求解得h=6.6米时，l最大。最可解得：

x=3.5时c=20，此时x最大

3．计算所需的总的灯数

260-3.5=256.5因为9>3.5所以路的另一端还需一盏灯

256.5=15*16.5+9结果所需灯的总数为17盏

可解得：x=3.5时c=20，此时x最大3．计算所需的总四两排路灯的优化问题

路灯的布点是否适当直接关系到照明的效果

双侧布灯大体有两种方式：

对称布置

交错布置

对称布置的优点是比较美观，但不足之处是照度不够均匀，适合较宽的道路

交错布置美观上不如对称布灯，但照度比较均匀

选择交错布置

四两排路灯的优化问题路灯的布点是否适当直接关系到照1.求最大的路灯间距

图41.求最大的路灯间距图4由图可知，照明强度最低的点一定出现在路的中线上，且对图中AB段照明强度呈周期性变化

所以只需使AB的中点C照明强度大于等于

•计算该点照明强度时，只需考虑路灯J,H,M,N对其的影响，其他较远的路灯对其的影响可忽略

C点的照明强度为

由图可知，照明强度最低的点一定出现在路的中线上，且对图中AB且要使C点的物体可见应有：

只需求当c=c0时,求使得l最大的h值

同第二部分，用Matlab求解

结果得h=6米时，l最大。最大值为36.9米

2考虑边界问题

图5且要使C点的物体可见应有：只需求当c=c0时,求使得lA、C两点为路的边界，设距A点最近的灯E与A的距离为x米

J点的照明强度为：（只考虑E和H两灯的影响）满足结果x=6时c=20，此时x最大

3计算所需的灯数

如图5，在AE边上，AE=6米，260=6+36.9*6+32.6所以该边需装灯7盏

A、C两点为路的边界，设距A点最近的灯E与A的距离为x米J•另一端剩余32.6米。在CG边上CH=6+l/2=24.45米260=24.45+36.9*6+13.15•该边装灯7盏时距另一端13.15米，13.15>6米，

另一端总需8盏

安装两排灯时所需总数为15盏

结果注：大范围、复杂环境的路灯设计需考虑的因素非常多。需要认真调查，认真思考，同时还要多方面听取意见，进行多次讨论，按照多方面的要求统一协调，综合考虑，要根据实际发生的情况解决具体施工问题。校园不同的区域有不同的功能，同时环境也比较复杂。在设计室外照照时需要考虑的方面非常多。并且应考虑所选灯的类型，校园中一些支路上照度要求不很高，同时需要营造比较幽静的气氛，白帜灯正好满足这些要求。我相信通过大家的努力校园的夜景一定会更加美丽。•另一端剩余32.6米。在CG边上CH=6+l/2=24.4第三讲微分法建模处理静态优化问题

•静态优化问题现实世界中普遍存在建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数•求解静态优化模型一般用微分法第三讲微分法建模处理静态优化问题•静态优化问题现实世界3.1存贮问题3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4路灯安置优化问题3.1存贮问题3.1存贮问题问题背景1.工厂要定期地订购各种原料，存在仓库里供生产之用。2.商店要成批地购进各种商品，放在货柜中以零售。3.水库在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航运。3.1存贮问题问题背景1.工厂要定期地订购各种原料，存实例配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。实例配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设已知某产问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元问题分析与思考每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值周期短，产量小周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答问题模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货费、货物价格、货物储存费和资金占用费。资金占用费由资金量和时间决定。

R：每天利率k:单位货物价格注：上述模型需改进，对象涉及一次性订货费、货物价格、货物储存允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’每天总费用一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天利润的增值每天投入的资金强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。问题关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.关键是对B(t)作出合理的简化假设.问题分析失火时刻t=0模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为什么?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,c23.4

路灯安置优化问题

背景目前大多数公共场所都安装了路灯，

路灯的高度和路灯之间的间距一般是依靠经验进行设置的，

并没有从优化的角度进行考虑。1）一盏路灯的优化问题；2）两盏路灯间距最大的优化问题（即考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值）3）一排路灯的优化问题（即确定路灯高度，使得路灯之间的距离最大）；4）两排路灯的优化

问题3.4路灯安置优化问题背景目前大多数公共场所都安装背景知识

1.光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的物理量。以光源在某一方向上单位立体角所辐射的能量来量度，单位：坎德拉2.照度：单位面积上得到的光通量，单位：勒克司

3.照度定律：点光源O预备照明平面中心A的距离为h时，平面上A点的照度

背景知识1.光强度：光源在一定范围内发出可见光辐射强弱的其中，p为O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点的连线之间的夹角,h为光源的高度，s为光源到A点的距离4.为保证在该路段上处处都能有满足正常活动需要的照明强度，取照度的最小值为其中，p为O点的光强度，a为平面的法线方向与光源到A点的连模型假设1.主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的额定功率为定值

注：数据来源A路的路灯标签

额定电压为220伏，额定电流为10安2.在考虑一排路灯的情况时，假设为完全规范的，即处处等宽。即宽度为5米（数据来源：实地测量A路的宽度.）3.经查阅物理知识，照明强度直接影响可见度，只有照明强度不低于某定值时，才能认为物体可见。在这里认为对所有物体照明强度不低于某定值

模型假设1.主要考虑高度和间距的优化问题为简化模型设路灯的模型假设4.经观测路长L=260米p:路灯的功率

L:路长

h:路灯的高度l:路灯的间距d:路的宽度记号模型假设4.经观测路长L=260米p:路灯的功率模型建立与求解一.一盏路灯的优化问题

由物理学知识可知，被光线照射的物体的亮度依赖于它与光源之间的距离平方的倒数和光线的投射角度。路灯到某点A的照明强度为：

其中p为灯的功率，h为灯的高度，r为灯在地面投映点到点A的距离.模型建立与求解一.一盏路灯的优化问题由物理学知识地面上物体可见的区域为：

有解条件：物体可见区域条件：物体可见区域的面积为以O为圆心，以r为半径的圆

地面上物体可见的区域为：有解条件：物体可见区域条件：物体模型为：

求解对s关于h求导可得：

此时面积达最大值，可求得路灯得最优高度。

代入，结果为：最优高度h为4.60米模型为：求解对s关于h求导可得：此时面积达最大值，可二两盏路灯间距最大的的优化问题主要考虑当高度为何值时，两灯的距离可达最大值

目的如图1A二两盏路灯间距最大的的优化问题主要考虑当高度为何值时，如图，A点的照度在路面的各点中最小，所以l和h的只需满足:目的只需求当cA=c0时，使l最大的h值求解

如图，A点的照度在路面的各点中最小，所以l和h的只需满足对上式关于h求导得:h=6.5米时，l最大为15.5米

结果对上式关于h求导得:h=6.5米时，l最大为15.5米结三一排路灯的优化问题目的确定路灯高度h和路灯之间的距离l，使得路灯之间的距离最大

1.求最大的路灯间距

图2三一排路灯的优化问题目的确定路灯高度h和路灯之间的距离由上图可知