必修5正弦定理(苏教版)

课题：11.1正弦定理授课目的：掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应企图识;在问题解决中,培养学生的自主学习和自主研究能力;供应合适的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互议论,提高学生的合作意识与交流能力.授课重点：正弦定理及其证明过程授课难点：正弦定理的推导与证明授课种类：新授课课时安排：1课时教具：几何画板授课过程：一.问题情境序言：从金字塔的建筑到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观察到精美仪器的制造,人们都离不开对几何图形的丈量,设计和计算.丈量河流两岸码头之间的距离,确定待建地道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,都可以转变成求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步研究三角形的边角关系.研究1:在Rt△ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系?sinA=a,sinB=b,sinC=c=1,ccc即c=a,c=b,c=c．sinAsinBsinC∴a=b=csinAsinBsinC研究2:在任意三角形里,abc还成立吗?==sinCsinAsinB(几何画板演示)二.学生活动数学实验:分组一:对于锐角三角形考据结论可否成立?AcbBaDC分组二:对于钝角三角形考据结论可否成立?AcbBaCD数学猜想:abcsinA==;sinBsinC三.建构数学:正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即a=b=csinAsinBsinC数学证明:证法一:

=2R（R为△ABC外接圆半径）cbBaCD过程：ADADsinB=c，sinC=sin（1800-C）=b，得csinB=bsinC，bc得sinB=sinCac同理可得：=sinCsinAabc所以=sinB=sinCsinA证明二：（等积法）在任意斜△ABC中间S=1absinC1acsinB△ABC22两边同除以1abc即得：a=b=c2sinAsinCsinB证明三：（外接圆法）以下列图，∠Ａ＝∠Ｄ∴aa2RCDsinAsinD同理bc＝2RsinB=2R，sinC证明四：（向量法）

Acb过程：BaDCADAD，sinB=，sinC=cbbc得csinB=bsinC，得sinB=sinCac同理可得：sinA=sinCabc所以==C1bcsinAa2bOBcADAcBDa

在ABC中,有BC=BA+ACBCAD=(BA+AC)ADb=BAAD+ACAD0=BAADcos(90+B)+ACADcosC当C为直角也许锐角时,=90-C;当C为钝角时,=C-90.故可得csinB=bsinCbcac即sinB=sinC,同理sinA=sinC,abc所以sinA=sinB=sinC.研究活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它表达出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?正弦定理拥有结构友善,对称,表现了数学的友善美与对称美;若改成余弦,除正三角形外,其余三角形都不成立.研究活动4:这个式子包含了哪些等式?每个等式有几个量?它可以解决斜三角形中的哪些类型的问题?三个等式:a=b,b=c,a=c;sinAsinBsinBsinCsinAsinC每个式子中有四个量,若是知道其中三个可以求出第四个?正弦定理的应用从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其余两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其余的边和角（见图示）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:(原因是三角形全等的判判定理)⑴若A为锐角时:absinA无解bsinA一解(直角)bsinAab二解(一锐,一钝)ab一解(锐角)已知边a,b和ACCCCbbbbaaaaaAAAAHBB1HB2HBa<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<bab无解仅有一个解有两个解仅有一个解ab无解⑵若A为直角或钝角时:一解锐角ab)(四.数学运用：例1:在△ABC中,A=300,C=1000,a=10,求b,c注:这是已知两角以及其中一角的对边,求另一角对边,方法:直接用正弦定理.例2:在△ABC中:(1)已知a=16,b=26,A=300,求B,C,c;(2)已知a=30,b=26,A=300,求B,C,c;(3)已知a=25,b=11,B=300,解这个三角形;注:这是已知两边以及其中一边的对角,求另一边对角,方法:直接用正弦定理,注意比较确定几解.五.牢固练习：1P9练习2在△ABC中，A2RBR

abck,则k为()sinAsinBsinC1C4RDR(R为△ABC外接圆半径)23△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为()A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D等腰三角形P六.回顾小结本节课经过自己的努力发现并证了然正弦定理，我们经历了数学实验→数学猜想→数学证明的科学治学历程,获取了正弦定理,其表达式拥有友善性,对称性的特