《总体离散程度的估计》教案、导学案、课后作业

《9.2.4总体离散程度的估计》教案【教材分析】本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.【教学目标与核心素养】课程目标结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．会求样本数据的方差、标准差、极差．数学学科素养数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；数学运算：求方差、标准差;数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.【教学重点和难点】重点：难点：【教学过程】一、情景导入据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课209-2131、标准差和方差各指什么？2、标准差和方差的特征各是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究方差、标准差的定义x，x，…，xx表示这组数据的平均数，则这组数据的方差1 2 n为(x－x2－x2x为(x－x2－x2x－n ii＝1

n ii＝1

n ii＝1总体方差、总体标准差的定义Y，Y，…，YY，则NN2＝Ni＝1

(Y－Y)2i

1 2 N＝2NY，Y，…，YYf(i＝1,2，…，k)，1 2 k i i1k2＝N

f(Y－Y)2.i ii＝1样本方差、样本标准差的定义y，y，…，yy，则nn2＝ni＝1

(y－y)2i

1 2 n为样本方差，＝24.方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．四、典例分析、举一反三题型一标准差与方差的应用例1甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 10098 100 100 103乙：99 100102 99 100 100分别计算两组数据的平均数及方差；根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【答案】 (1)x

＝100，x

7＝100.2＝2＝1.甲 乙 甲 3 乙(2)乙机床加工零件的质量更稳定.【解析】 (1)x

1＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，甲 6x 1＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.乙 612＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－1002＋(100－100)2＋(100－100)2甲 67＋(103－100)2]＝，312＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－1002＋(99－100)2＋(100－100)2乙 6＋(100－100)2]＝1.(2)2>2，所以乙机床加工甲 乙零件的质量更稳定.解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．跟踪训练一1．小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80组同学在此次模拟测试中发挥比较好？x＝85(2＝31.25；x＝84(2＝1 1 2 241.75.理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．【解析】计算理科同学成绩的平均数x

1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋1 819＋94)＝85(2＝×[(79－85)2＋(7－85)2＋(81－85)2＋(81－85)21 8＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；计算文科同学成绩的平均数x

1＝×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)2 8184(2＝×[(73－84)2＋(80－84)2(80－84)2＋(81－84)2＋(84－2 884)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.xx，2<2，1 2 1 2所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．题型二用样本平均数和样本标准差估计总体2在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分23分别为170.612.5927160.6计吗？【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为x,x, ,x ，其平均数记为x，方差记1 2 23为s2；把女生样本记为y,y, ,y ，其平均数记为y，方差记为s2；把总样本x 1 2 27 y数据的平均数记为z，方差记为s2.根据方差的定义，总样本方差为s2

123

xz2

y z2，为了与50

i ji1 jx,y联系，变形为s2

123

xxxz2

y yyz2，计算后可得50

i ji1 j23i1

2xxxzi

27j

2yj

yz

.这样变形后可计算出s2．这也就是估计值．解题技巧(用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.换．跟踪训练二181247.43.7，56.211.8，计算这名选手得分的平均数和标准差．【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.x，x，…，xx，方1 2 82；把观众代表打分样本记为yyyy，方差记为x 1 2 122z2.yz

8 12×47.4＋×56.2＝52.68(分)，20 201总样本方差为：2＝ [20

(x－zi

12

(y－z)2]ji＝1 j＝11＝ {8[2＋(x－z)2]＋12[2＋(y－z)2]}20 x y1＝ {8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，20总样本标准差s＝10.37.52.68五、课堂小结9.2.4总体离散程度的估计1.方差、标准差的定义9.2.4总体离散程度的估计1.方差、标准差的定义122.总体方差、总体标准差的定义3.样本方差、样本标准差的定义4.方差、标准差的特征七、作业课本213页练习，214例习题9.2的剩余题.【教学反思】学生对公式的转化有一定的困难，需细细推敲.《9.2.4总体离散程度的估计》导学案【学习目标】知识目标结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)．会求样本数据的方差、标准差、极差．核心素养数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；数学运算：求方差、标准差;数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.【学习重点】：求样本数据的方差、标准差、极差.【学习难点】：用样本平均数和样本标准差估计总体.【学习过程】一、预习导入209-2131.方差、标准差的定义：x，x，…，xx表示这组数据的平均数，则这组数据的方差1 2 n1n为 (x－x)2＝ ，标准差为 .n ii＝1总体方差、总体标准差的定义Y，Y，…，YY，则1 2 N称2＝ 为总体方差＝ 为总体标准差如果总体的N个变量YYf(i1 2 k i i1,2，…，)，则总体方差为2＝ .样本方差、样本标准差的定义y，y，…，yy，则1 2 n称2＝ 为样本方差，＝2为样本标准差．方差、标准差特征标准差方差刻画了数据的 程度或波动幅度标准差越大数据的离散程度越 ；标准差越小，数据的离散程度越 ．在刻画数据的分散程度上方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用 ．小试牛刀1．7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是( )A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．不能确定数学老师对某同学在参加高考前的5次数学模拟考试成绩进行统计分析判断该同学的数学成绩是否稳定那么老师需要知道该同学这5次成绩的( )A．B．方差或标准差C．众数或频率D．频数或众数已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为 ．5x2x＋1，1 2 3 4 5 1 2 32x＋1，2x＋1这5个数的方差是 ．4 5【自主探究】题型一标准差与方差的应用例1甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 10098 100 100 103乙：99 100102 99 100 100分别计算两组数据的平均数及方差；跟踪训练一1．为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩(单位：分)记录如下．理科：79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80组同学在此次模拟测试中发挥比较好？题型二用样本平均数和样本标准差估计总体2在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分23分别为170.612.5927160.6计吗？跟踪训练二181247.43.7，56.211.8，计算这名选手得分的平均数和标准差．【达标检测】x,x1 2

,,x10

2x1

1，2x2

1110的标准差为（）A．8B．15 C．16 D．32在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发10710A．3，4B．10C．2，3D．2，337甲78109886乙910787782则下列判断正确的是（ ）A．甲射击的平均成绩比乙好B．乙射击的平均成绩比甲好C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极2已知样本9,10,11,x,y的平均数是10

，则xy .106请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；请用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．答案小试牛刀1.B.2．B.3．√2.4.28自主探究1【答案】(1)x

＝100，x

7＝100.2＝，2＝1.甲 乙 甲 3 乙(2)乙机床加工零件的质量更稳定.【解析】 (1)x

1＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，甲 6x 1＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.乙 612＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－1002甲 67＋(103－100)2]＝，312＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2乙 6＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又2>2，所以乙机床加工零件的质量更稳定.跟踪训练一1x

甲＝85(2＝31.25x

乙＝84(2＝1 1 2 241.75.理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．【解析】计算理科同学成绩的平均数x

1＝×(79＋79＋81＋81＋85＋89＋1 819＋94)＝85(2＝×[(79－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(81－85)21 8＋(85－85)2＋(89－85)2＋(92－85)2＋(94－85)2]＝31.25；计算文科同学成绩的平均数x

12＝8×(73＋80＋80＋81＋84＋90＋90＋94)184(2＝×[(73－84)2＋(80－84)2＋(80－84)2＋(81－84)2＋(84－2 884)2＋(90－84)2＋(90－84)2＋(94－84)2]＝41.75.xx，2<2，1 2 1 2所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．例2【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为x,x, ,x ，其平均数记为x，方差记1 2 23为s2；把女生样本记为y,y, ,y ，其平均数记为y，方差记为s2；把总样本x 1 2 27 y数据的平均数记为z，方差记为s2.根据方差的定义，总样本方差为s2

123

xz2

y z2，为了与50

i ji1 jx,y联系，变形为s2

15050

xxxz2i

y yyz2，计算后可得j i1 j23i1

2xxxzi

27j

2yj

yz

.这样变形后可计算出s2．这也就是估计值．跟踪训练二52.6810.37.【解析】把专业人士打分样本记为x，x，…，xx，方1 2 82；把观众代表打分样本记为yyyy，方差记为x 1 2 122z2.yz

8 12×47.4＋×56.2＝52.68(分)，20 201总样本方差为：2＝ [20

(x－zi

12

(y－z)2]ji＝1 j＝11＝ {8[2＋(x－z)2]＋12[2＋(y－z)2]}20 x y1＝ {8[3.72＋(47.4－52.68)2]＋12[11.82＋(56.2－52.68)2]}＝107.6，20总样本标准差s＝10.37.52.68当堂检测1-3.CDD4.96.5(1)(2)【解析】(1)甲、乙两人的射击成绩统计表如下：(2)x＝×(8×2＋9×2＋10×2)＝9(环)，环数678环数678910甲命中次数00222乙命中次数1010321x＝×(7×1＋9×3＋10×2)＝9(环)，乙 61 22＝×[(8－9)2×2＋(9－9)2×2＋(10－92×2]＝，甲 6 312＝×[(7－9)2＋(9－9)2×3＋(10－9)2×2]1，乙 6x＝x，2<2，甲 乙 甲 乙所以甲与乙的平均成绩相同，但甲的发挥比乙稳定．《9.2.4总体离散程度的估计》课后作业基础巩固1x(＝1,2,3x＋(＝1,2,3i i其中则下列结论正确的是( A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化40mm10A．极差 B．方差 C．平均数 D．众3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.48.49.49.99.69.49.7A．A．9.4，B．9.4，C．，D．，如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折xxs2s2，则A B A B（ ）xA

x ，s2B

s2BD．xA

x，s2B

s2B

B．xA

x ，s2B

s2B

C．xA

x，s2B

s2B20图所示.s,s,s1 2

分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ）s2

ss1

ss s1 3

s3

ss1

s s s3 2 1已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .xx1 2

,,x6

的方差是2，并且x2x1

2x6

2

18，x0，则x .某体校甲、乙两个运动队各有611号2号3号4号5号6甲队677877乙队676797若选择一个队伍参加比赛，应该选择哪一个队？能力提升PM2.59110PM2.5日均值（单位：g/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ）10PM2.53310PM2.53210PM2.5日均值的中位数大于平均数10PM2.544为了考察某校各班参加课外书法小组的人数在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为样本方差为且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .10名用户，得到用户的满意度评分分别为92，84，86，78，89，74，83，77，89.xs2；303335在（1）条件下，若用户的满意度评分在（xsxs）之间，则满意度等级为“A级”.试估计该地区满意度等级为“A303335参考数据：

5.48

5.74

5.92.素养达成12．1090090010900ABA87，4；B28，1.名学生的选做题得分的平均数与方差.《9.2.4总体离散程度的估计》课后作业答案解析基础巩固1x(＝1,2,3x＋(＝1,2,3i i其中则下列结论正确的是( A．平均数与方差均不变B．平均数变，方差保持不变C．平均数不变，方差变D．平均数与方差均发生变化【答案】BB.40mm10极差【答案】C

方差 C．平均数 D．众数【解析】由于极差反映所有数据中最大值与最小值的差的大小，方差反映所有数据的波动大小，平均数反映所有数据的平均值的大小，众数反映所有数据中出现次数最多的数的大小，因此由图可知不能从图中数据直接比较平均数的大小.故选:C在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.48.49.49.99.69.49.7A．A．9.4，B．9.4，C．，D．，【答案】D9.4,9.4,9.6,9.4,9.7x9.49.49.69.49.79.5，方差5D(9.49.5)2(9.49.5)2(9.69.5)2(9.49.5)2(9.79.5)25

0.016D如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折xxs2s2，则A B A B（ ）xA

x ，s2B

s2BD．xA

x，s2B

s2B

B．xA

x ，s2B

s2B

C．xA

x，s2B

s2B【答案】C【解析】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即xA

x；B显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即s2A

s2.B故选：C.20图所示.s,s,s1 2

分别表示甲厂、乙厂、丙厂这次抽检质量的标准差，则有（ ）s2

ss1

ss s1 3

s3

ss1

s s s3 2 1【答案】C【解析】由题，得甲厂的平均数x1

15758595108.5，20s21578.52588.52598.525108.521.25，1标准差s1

20 1.25 ；1.25x2

14768694108.5，20方差s21478.52688.52698.524108.521.05，2 20 1.05标准差s ；1.052x3

16748496108.5，20方差s21678.52488.52498.526108.521.45，3 20 1.45标准差s .1.453所以s3

ss.1 2故选：C已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .5【答案】.36788910【解析】由题意，该组数据的平均数为6

8，所以该组数据的方差是1[(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2]5.6 3xx1 2

,,x6

的方差是2，并且x2x1

2x6

2

18，x0，则x .【答案】2【解析】由题意结合方差的定义有：xx2x1 2

x2 x6

x

12 ①，而x2x1 2

2x6

2

18， ②，x2xx6 1 2x，6①-②有：6xx2xx6 1 2x，61 2xx1 2

x6

6x6x212x0，x0x22．某体校甲、乙两个运动队各有611号2号3号4号5号6甲队677877乙队676797若选择一个队伍参加比赛，应该选择哪一个队？【答案】派甲队参加比赛.【解析】甲、乙两队环数的平均数均为7.甲组数据的方差s212002001；甲6 3乙组数据的方差经s2120202201.乙6 所以甲、乙两队的平均水平相同，但甲队更稳定.所以派甲队参加比赛.能力提升PM2.59110PM2.5日均值（单位：g/m3）的折线图，则下列说法错误的是（ ）10PM2.53310PM2.53210PM2.5日均值的中位数大于平均数10PM2.544【答案】C【解析】由折线图得，这10天中PM2.5日均值的众数为33，中位数为313332，中位数小于平均数；前44424故选：C为了考察某校各班参加课外书法小组的人数在全校随机抽取5个班级