第二章 圆锥曲线与方程 题型归纳-高二上学期数学人教A版选修2－1

高二数学（理科）圆锥曲线全章复习——题型归纳椭圆题型归纳一、椭圆定义相关题例1、已知方程表示椭圆，求的取值范围．例2、已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．例3、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题例4、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．例5、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．三、轨迹方程相关题例6、已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．例7、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．例8、已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．四、探索问题及其他例9、的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．椭圆练习1.若平面内点M到定点F1(0，－1)、F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹为()A.椭圆B.直线F1F2C.线段F1F2D.直线F1F2的垂直平分线2.椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标为()A.(±3,0)B.(±eq\f(1,3)，0)C.(±eq\f(3,20)，0)D.(0，±eq\f(3,20))3.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|=2a(a>0且a为常数)；命题乙：P点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知△ABC的顶点B、C在椭圆eq\f(x2,3)＋y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是()A.2eq\r(3)B.6C.4eq\r(3)D.125.焦点在坐标轴上，且a2=13，c2=12的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,12)=1B.eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,25)=1或eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,13)=1C.eq\f(x2,13)＋y2=1D.eq\f(x2,13)＋y2=1或x2＋eq\f(y2,13)=16.点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)=1的内部，则a的取值范围是()A.－eq\r(2)<a<eq\r(2)B.a<－eq\r(2)或a>eq\r(2)C.－2<a<2D.－1<a<17.设F1、F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A.钝角三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.直角三角形8.若方程x2＋ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A.(0，＋∞)B.(0,2)C.(1，＋∞)D.(0,1)9.已知椭圆C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)=1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)=1，则()A.C1与C2顶点相同 B.C1与C2长轴长相同C.C1与C2短轴长相同 D.C1与C2焦距相等10.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是()A.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)=1B.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,9)=1C.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,45)=1D.eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,36)=111.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up16(→))·eq\o(MF2,\s\up16(→))=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A.(0,1)B.(0，eq\f(1,2)]C.(0，eq\f(\r(2),2))D.[eq\f(\r(2),2)，1)12.若直线y=kx＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)=1总有公共点，则m的取值范围是()A.m>1B.m≥1或0<m<1C.0<m<5且m≠1D.m≥1且m≠513.椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.[eq\f(1,2)，eq\f(3,4)]B.[eq\f(3,8)，eq\f(3,4)]C.[eq\f(1,2)，1]D.[eq\f(3,4)，1]二、填空题：14.椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2=________.15.椭圆eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)=1的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍.16.已知F1、F2为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点.若|F2A|＋|F2B|=12，则|AB|=________.17.已知点P(m，n)在椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)=1上，则2m－1的取值范围是________.18.F1、F2是椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________.19.椭圆：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y=eq\r(3)(x＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.20.M是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)=1上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，则|MF1|·|MF2|的最大值是________.双曲线题型归纳类型一双曲线的几何性质例1分别求适合下列条件的双曲线的离心率.(1)双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x；(2)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为eq\f(\r(3),4)c.训练1已知F1，F2是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率.类型二直线与双曲线例2已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为eq\r(2)，求实数k的值.训练2双曲线的方程是eq\f(x2,4)－y2＝1.(1)直线l的倾斜角为eq\f(π,4)，被双曲线截得的弦长为eq\f(8,3)eq\r(11)，求直线l的方程；(2)过点P(3,1)作直线l′，使其截得的弦恰被P点平分，求直线l′的方程.类型三与双曲线定义有关的应用问题例3已知双曲线的方程是eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点).跟踪训练3已知双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.双曲线练习1.点(1,0)到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.1D.eq\r(3)2.已知双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－x2＝1，则双曲线离心率为()A.eq\r(2) B.3C.eq\f(\r(6),2) D.eq\r(3)3.已知双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则双曲线的方程为()A.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,16)＝1 B.eq\f(y2,4)－eq\f(x2,3)＝1C.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1 D.eq\f(y2,3)－eq\f(x2,4)＝14.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()A.eq\f(3\r(14),14) B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)5.双曲线的一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)，则双曲线的标准方程为________________.6.过双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线有________条.7.已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点M(4，eq\r(3))，则双曲线的方程为________________.8.已知双曲线eq\f(x2,n)－eq\f(y2,12－n)＝1的离心率是eq\r(3)，则n＝______.三、解答题9.求两条渐近线为x±2y＝0且截直线x－y－3＝0所得弦长为eq\f(8\r(3),3)的双曲线方程.10.已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.11.已知斜率为1的直线l与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，求C的离心率.12.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.抛物线题型归纳例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）（2）例2若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．例3求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切．例4（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．例5已知定直线l及定点A（A不在l上），n为过A且垂直于l的直线，设N为l上任一点，AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证P的轨迹为抛物线．例6若线段为抛物线的一条焦点弦，F为C的焦点，求证：．例7设抛物线方程为，过焦点F的弦AB的倾斜角为，求证：焦点弦长为．例8定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标．例9过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求的最小值．例10已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为__________．抛物线练习一、选择题：1．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为()A．2B．3C．4D．52．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.eq\f(1,2)B．1C．2D．43．抛物线的焦点坐标为（）A.B.C.D.4．顶点在原点，经过圆的圆心，且准线与轴垂直的抛物线方程为（）A.B. C.D.5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，则等于（）A．B．C．D．6．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则△的面积为（）A．B．C．D．7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－28．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．489．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝2