五年级 和差积商变化规律

五年级和差积商变化规律五年级和差积商变化规律五年级和差积商变化规律xxx公司五年级和差积商变化规律文件编号：文件日期：修订次数：第1.0次更改批准审核制定方案设计，管理制度和、差、积、商的变化规律【和的变化规律】（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；（a-d）+b=c-d。（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。【差的变化规律】（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，（a-d）-b=c-d。（a＞d+b）（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），a-（b-d）=c+d。（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，（a-d）-（b-d）=c。【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。例如，84÷9=9……3，而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化【思路】一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。【练习1】1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化2.两个数相加，一个数加3.另一个数也加3.和起什么变化3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化【思路】一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。【练习2】1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化【思路】被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。【练习3】1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化和、差、积、商的变化规律（二）【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化【思路】被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12.减数应增加12－8=4。【练习1】1.两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化2.两数相减，如果被减数增加20，要使差减少12.减数应有什么变化3.两数相减，减数减少9，要使差增加16，被减数应有什么变化【例题4】小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的1错误地写成7，把另一个加数十位上的3错误地写成8，所得的和是1996。原来两个数相加的正确答案是多少【思路】根据题意，一个加数个位上的1被写成了7，这样错写一个加数比原来增加了6；另一个加数十位上的3写成8，增加了50。这样，所得的结果就比原来增加了6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是：1996－（6＋56）=1940。【练习4】1.小明在计算加法时，把一个加数十位上的0错写成8，把另一个加数个位上的6错写成9，所得的和是532。正确的和是多少2.小强在计算加法时，把一个加数十位上的7错写成1.把个位上的8错写成0，所得的和是285。正确的和是多少3.小亮在计算加法时，把一个加数个位上的5错写成3.把另一个加数十位上的3错写成8，所得的和是650。正确的和是多少【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0，这样算得差是189。正确的差是多少【思路】根据题意，被减数个位上的3写成5，因此增加了2；十位上的6写成0，因此减少60。这样错写的被减数比原来减少了60－2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多50。正确的差是：189＋58=247。【练习5】1.小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8，把十位上的0错写成6，这样算得的差是198。正确的差是多少2.小刚在做题时，把减数个位上的9错写成6，把十位上的3错写成8，这样算得的差是268。正确的差是多少3.小红在做题时，把被减数十位上的0错写成8，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。正确的差是多少一、和的变化规律(一)如果一个加数增加一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加同一个数．例如：3＋5=8(3＋2)＋5=8＋2(二)如果一个加数减少一个数，另一个加数不变，那么，它们的和也减少同一个数．例如：8＋6=14(8－4)＋6=14－4(三)如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同样的数，那么，它们的和不变．例如：8＋3=11(8＋2)＋(3－2)=11(8－6)＋(3＋6)=11(四)如果一个加数增加一个数m，另一个加数增加一个数n，那么，它们的和就增加(m＋n)．例如：5＋3=8(5＋2)＋(3＋7)=8＋(2＋7)(五)如果一个加数减少一个数m，另一个加数减少一个数n，那么，它们的和就减少(m＋n)．例如：30＋18=48(30－15)＋(18－9)=48－(15＋9)(六)如果一个加数增加一个数m，另一个加数减少一个数n，当m＞n时，它们的和就增加(m－n)；当m＜n时，它们的和就减少(n－m)．例如：8＋5=13(8＋7)＋(5－3)=13＋(7－3)(8＋2)＋(5－4)=13－(4－2)二、差的变化规律(一)如果被减数增加或减少一个数，减数不变，那么它们的差也增加或减少同一个数．例如：9－5=4(9＋3)－5=4＋3(9－2)－5=4－2(二)如果减数增加或减少一个数，被减数不变，那么，它们的差就减少或增加同一个数．例如：9－5=49－(5＋3)=4－39－(5－3)=4＋3(三)如果被减数和减数同时增加或减少同一个数，那么，它们的差相等．例如：15－8=7(15＋3)－(8＋3)=7(15－5)－(8－5)=7(四)如果被减数增加一个数m，减数减少一个数n，那么，它们的差就增加(m＋n)．例如：18－12=6(18＋4)－(12－3)=6＋(4＋3)(五)如果被减数减少一个数m，减数增加一个数n，那么，它们的差就减少(m＋n)例如：18－12=6(18－2)－(12＋1)=6－(2＋1)(六)如果被减数增加一个数m，减数增加一个数n，那么，当m＞n时，它们的差就增加(m＋n)；当m＜n时，它们的差就减少(n－m)．例如：20－12=8(20＋5)－(12＋3)=8＋(5－3)(20＋5)－(12＋6)=8－(6－5)(七)如果被减数减少一个数m，减数减少一个数n，那么，当m＞n时，它们的差要减少(m－n)；当m＜n时，它们的差要增加(n－m)．例如：40－22=18(40－3)－(22－2)=18－(3－2)(40－5)－(22－7)=18＋(7－5)加减法混合运算的性质(一)交换的性质在加减混合运算式题中，带着数字前的运算符号，变换加、减数的位置顺序进行计算，结果不变．如a＋b－c=a－c＋b(a≥c)＝b－c＋a(b≥c)(二)结合的性质在加减混合运算中，可以把加数、减数用括号括起来．当加号后面添括号时，原来的加数，减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数．如a－b＋c－d＋m=(a－b)＋(c－d)＋m(a≥b，c≥d)＝a－(b－c)－(d－m)(b≥c，d≥m)=a＋(m－b)＋(c－d)(m≥b，c≥d)可以归纳为，括号前面是加号，去掉括号不变“号”；加号后面添括号，括号里面不变“号”，括号前面是减号，去掉括号要变“号”，减号后面填括号，括号里面要变“号”．【例题2】两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少【思路】两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是8，余数是20×10=200。【练习2】1.两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少余数是多少3.两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少余数是多少【例题3】两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少【思路】一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。【练习3】1.两数相乘，积是20。如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小4倍，那么积是多少2.两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少3.两数相除，商是27。如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少积商的变化规律练习题知识要点：【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，（a÷n）×b=c÷n。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，或（a÷n）×（b×n）=c。练习题：12、两个因数相乘，一个因数乘6，另一个因数不变，那么积（）。3、两个因数相乘的积是5600，如果一个因数不变，另外一个因数除以10，那么积是（）。4、两个数相乘是75，如果一个因数乘7，另一个因数除以7，积是（）。5、已知A×B=400，如果A乘3，则积是（），如果B除以5，则积是（）。6、两个数相乘，一个因数乘10，另一个因数也乘10，积（）。7、两个因数的积是420，如果一个因数不变，另一个因数乘8，积是（）。8、两个数相乘的积是160，如果一个因数除以2，另一个因数也除以2，积是（）。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，（a÷n）÷b=q÷n。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么a÷（b×n）=q÷n，a÷（b÷n）=q×n。（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果a÷b=q，那么（a×n）÷（b×n）=q，（a÷n）÷（b÷n）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果a÷b=q（余r），那么（a×n）÷（b×n）=q（余r×n），（a÷n）÷（b÷n）=q（余r÷n）。例如，84÷9=9……3，而（84×2）÷（9×2）=9……6（3×2），（84÷3）÷（9÷3）=9……1（3÷3）。积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积就相应的乘或除以几。积不变规律：一个因数乘或除以几，另一个因数相应的除以或乘几，积不变。一个数乘一个比1大的数，积比原数大；一个数乘一个比1小的数，积比原数小。商的变化规律：被除数不变，除数乘或除以几，商就相应的除以或乘几。除数不变，被除数乘或除以几，商就相应的乘或除以几。商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。1、根据78×12＝936，填写下面各题的结果。×12＝（）×12＝（）×＝（）×（）＝9362、根据414÷18＝23，填写下面各题的结果。÷＝（）4140÷＝（）÷＝（）÷18＝（）第2/4页8、两个数相除，被除数不变，除数缩小到原数的1/10，商（）；若除数不变，被除数扩大到原数的1/100，商就（）。9、两数相乘，一个因数乘4，另一个因数不变，积就（）；若一个因数乘4，另一个因数除以4，积（10、两个因数的积是，如果一个因数扩大10倍，另一个因数扩大100倍，积应该是（）。11、两数相除，商是，被除数扩大10倍，除数缩小到原数的1/100，商应该是（）。12、扩大到它的()倍得到26870,再缩小到它的()得。13、甲乙两数的和是418，甲数的小数点向右移到一位后就等于乙数，甲数是（），乙数是（）。14、1000张纸叠起来厚厘米,平均每张纸厚()厘米,一厘米约有()张纸.15、一吨海水含盐吨,10吨海水含盐()吨,1000吨海水含盐()吨.16、由45到缩小到原数的().17、由到80,扩大到原数的().17、两个数相除，除数缩小到原数的1/4，商就（）。18、把一根粗细均匀的木头锯成两段用了小时，如果把它锯成8段一共用（）小时。19、一个小数与它自已相加、相减、相除，其和、差、商相加为，这个小数是（）。）。20、5．28除以最小的两位小数与最小的一位小数的积，商是（）。21、要使2□6800≈30万，□里可以填（）。22、把的小数点去掉以后，就扩大了它的（），再除以1000得（）。23、23的十分之一与79的一半和是多少列式是（）。24、幸福村有5个鱼塘，去年平均每个鱼塘产鱼980千克，每产1千克鱼的成本是元，幸福村的鱼塘一共产鱼多少千克成本是多少元25、甲乙两列火车于晚10时30分同时由两地开出,相对而行.甲车每小时行千米,乙车每小时行千米,第二天上午8时两车相遇,两地相距多少千米积与商的变化规律[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。解：12÷3=4答：积缩小了4倍。[试一试]1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180答：商将扩大180倍。[试一试]1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少[问题三]两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。解：略。答：商是6，余数是300。[试一试]1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少余数是多少3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少余数是多少[问题四]在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。[试一试]1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化[练一练]1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积是否起变化2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少余数是多少1.我会做。（1）在一道除法算式里，如果被除数除以5，除数也除以5，商（）。（2）在一道除法算式里，如果被除数乘10，要使商不变，除数（）。（3）在一道除法算式里，如果除数除以100，要使商不变，被除数（）。2、根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。（1）18÷6=3（2）480÷10=48（18×2）÷（6×2）=（480÷2）÷（10÷2）=（18×3）÷（6×3）=（480÷5）÷（10÷5）=3、在里填运算符号，在里填适当的数。（1）24÷8＝（24×2）÷（8×□）（2）360÷60=（360÷10）÷（60○10）（3）96÷6＝（96○□）÷（6○□）4．40秒竞赛。240÷30＝80÷20＝360÷90＝4800÷400＝440÷20＝9600÷800＝120÷40＝2400÷60＝5、两个因数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积有什么变化6、被除数扩大3倍，除数不变，商（）7、被除数缩小3倍，除数不变，商（）8、两个加数都扩大8倍，则和扩大（）倍9、被除数、除数和余数的和160。已知除数是20，余数是10，那么商是（）10、两数相除,被除数扩大3倍，除数缩小6倍，商()11、小明在计算除法时，把除数末尾的0漏写了，结果得到的商是500，正确的商是（）12、豪豪在计算除法时，把被除数的末尾多写了1个“0”，结果得到的商是132，正确的商是（）13、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是（）余数是（）14、两数相除，商是8，余数是40，如果被除数和除数同时扩大13倍，商是（）余数是（）15、两数相乘，积是96，如果一个因数扩大2倍，另一因数缩小3倍，积是（）16、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，商是（）17、两数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数扩大4倍，商是（）18、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数缩小4倍，商是（）19、两数相除，商是19，如果被除数缩小20倍，除数扩大4倍，商是（)三、判断：①210÷30=（210×15）÷（30×15）（）②48÷12=（48×3）÷（12×4）（）③60÷12=（60÷3）÷（12×3）（）④63÷7=（63÷10）÷（7÷10）（）⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。（）⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。（）五、根据上面的算式，在下面的括号里填上合适的数。（1）150÷50＝3（2）180÷3＝60（3）240÷80＝3（）÷50＝6540÷9＝（）240÷（）＝6（）÷（）=31800÷（）=60（）÷80=6（想一想每一题都是根据今天学的哪条规律）六：根据476÷17＝28，你能写出多少个商是28的除法算式七、竖式计算（运用商不变性质）。670÷20=960÷80=2600÷210=890÷50=7500÷620=970÷70=5800÷800=4500÷600=7800÷600＝860÷42＝8800÷80＝4400÷22=4、完成下列计算，说规律。18×24=105×45（18÷2）×（24×2）=（105÷5）×（45×5）=（18×2）×（24÷2）=（105×3）×（45÷3）=5、在○中填上运算符号，在□中填上数。24×75＝1800（24○6）×（75×6）＝1800（24○3）×（75○□）＝180036×104＝3744（36×4）×（104○4）＝3744（36○□）×（104○□）＝3744三、积的变化规律(一)如果一个因数扩大m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大m倍．例如：8×5=40(8×3)×5=40×38×(5×4)=40×4(二)如果一个因数缩小m倍，另一个因数不变，那么，它们的积也缩小m倍．如：25×4=100(25÷5)×4=100÷525×(4÷2)=110÷2(三)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小相同的倍数，那么它们的积不变．例如：45×10=450(45×2)×(10÷2)=450(45÷5)×(10×5)=450(四)如果一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n倍，那么，它们的积扩大(m×n)倍．例如：4×5=20(4×3)×(5×2)=20×(3×2)(五)如果一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n倍，那么，它们的积就缩小(m×n)倍．例如：20×8=160(20÷5)×(8÷4)=160÷(5×4)(六)如果一个因数扩大m倍，另一个因数缩小n倍，那么，当m＞n时它们的积扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的积就缩小(n÷m)倍．例如：8×6=48(8×10)×(6÷2)＝48×(10÷2)(8×2)×(6÷6)=48÷(6÷2)四、商的变化规律(一)如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，那么，它们的商不变．例如：42÷6=7(42×2)÷(6×2)=7(42÷3)÷(6÷3)=7(二)如果被除数扩大(或缩小)m倍，除数不变，那么，它们的商就扩大(或缩小)m倍．例如：16÷2=8(16×3)÷2＝8×3(16÷2)÷2=8÷2(三)如果除数扩大或缩小m倍，被除数不变，那么，它们的商反而缩小或扩大m倍．例如：44÷11=444÷(11×2)=4÷244÷(11÷11)＝4×11(四)如果被除数扩大m倍，除数缩小n倍，那么，它们的商就扩大(m×n)倍．例如：72÷9=8(72×2)÷(9÷3)＝8×(2×3)(五)如果被除数缩小m倍，除数扩大n倍，那么，它们的商就缩小(m×n)倍．例如：72÷6=12(72÷3)÷(6×2)=12÷(3×2)(六)如果被除数扩大m倍，除数扩大n倍，当m＞n时，它们的商就扩大(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就缩小(n÷m)倍．例如：96÷24=4(96×4)÷(24×2)=4×(4÷2)(96×2)÷(24×4)=4÷(4÷2)(七)如果被除数缩小m倍，除数缩小n倍，当m＞n时，它们的商就缩小(m÷n)倍，当m＜n时，它们的商就扩大(n÷m)倍．例如：64÷16=4(64÷4)÷(16÷2)=4÷(4÷2)(64÷2)÷(16÷4)=4×(4÷2)(八)有余数时，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变，但余数扩大（或缩小）相同的倍数例如：84÷9=93(84×2)÷(9×2)=96(84÷3)÷(9÷3)=9212、积与商的变化规律[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。解：12÷3=4答：积缩小了4倍。[试一试]1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180答：商将扩大180倍。[试一试]1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少[问题三]两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300。解：略。答：商是6，余数是300。[试一试]1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少余数是多少3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少余数是多少[问题四]在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。[试一试]1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化[问题五]在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是59，其中余数是2；如果被除数和除数同时扩大5倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是267。原来的被除数和除数分别是多少想：根据商不变的性质，虽然商不变，但余数也随着扩大5倍。所以267-59=208应该是原来被除数、除数与余数的和的5-1=4倍，原来被除数、除数与余数的和就是208÷4=52，则商=59-52=7，而原来被除数与除数的和=52-2=50。由此可知原来的除数=（50-2）÷（7+1）=6，原来的被除数=7×6+2=44。解：商：59－（267-59）÷（5－1）=7原来的除数：（59-7-2-2）÷（7+1）=6原来的被除数：7×6+2=44答：原来的被除数是44，除数是6。[试一试]1、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是77，其中余数是3；如果被除数和除数同时扩大8倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是465，其中余数是50；如果被除数和除数同时缩小10倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是51。原来的被除数和除数分别是多少[练一练]1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积是否起变化2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，得数会发生怎样的变化10、两个数相除，商是8，余数是3，如果被除数和除数同时扩大到它的20倍，商是多少余数是多少[挑战题]1、一个长方形的长和宽同时扩大3倍后，周长是72厘米，原来这个长方形的周长是多少厘米2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是71，其中余数是1；如果被除数和除数同时扩大9倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少积与商的变化规律[问题一]两数相乘，如果一个因数乘3，另一个因数除以12，积将有什么变化想：如果一个因数扩大3倍，另一个因数不变，积将扩大3倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小12倍，积将缩小12倍。积扩大3倍又缩小12倍，因此，积缩小了12÷3=4倍。解：12÷3=4答：积缩小了4倍。[试一试]1、两数相乘，如果一个因数缩小5倍，另一个因数扩大5倍，积是否起变化２、两数相乘，积是36，如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少3、两数相乘，积是72如果一个因数扩大4倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少[问题二]两个数相除，被除数扩大30倍，除数缩小6倍，商将怎样变化想：如果被除数扩大30倍，除数不变，商将扩大30倍；如果被除数不变，除数缩小6倍，商将扩大6倍；商先扩大30倍，又扩大6倍，商将扩大30×6=180倍。解：30×6=180答：商将扩大180倍。[试一试]1、两个数相除，被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化2、小明在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是500，正确的商应该是多少3、小冬在计算除法时，把除数末尾的“0”漏写了，结果得到的商是70，正确的商应该是多少[问题三]两数相除，商是6，余数是30，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少想：根据商不变的规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍，所以商是6，余数是30×10=300答：商是6，余数是300。[试一试]1、两数相除，商是8，余数是10，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少余数是多少2、两数相除，商是7，余数是3，如果被除数和除数同时扩大120倍，商是多少余数是多少3、两数相除，商是8，余数是600，如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少余数是多少[问题四]在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大4倍，除数缩小2倍，得数会发生怎样的变化想：根据积与商的变化规律，一个因数扩大4倍，另一个因数不变，得数将扩大4倍；被除数不变，除数缩小2倍，得数将扩大2倍。最后的得数实际扩大了4×2=8倍。解：4×2=8答：得数扩大8倍。[试一试]1、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，除数缩小3倍，得数会怎么变2、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数缩小4倍，除数缩小8倍，得数会怎么变3、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，一个除数缩小3倍，得数会发生怎样的变化[问题五]在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是59，其中余数是2；如果被除数和除数同时扩大5倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是267。原来的被除数和除数分别是多少想：根据商不变的性质，虽然商不变，但余数也随着扩大5倍。所以267-59=208应该是原来被除数、除数与余数的和的5-1=4倍，原来被除数、除数与余数的和就是208÷4=52，则商=59-52=7，而原来被除数与除数的和=52-2=50。由此可知原来的除数=（50-2）÷（7+1）=6，原来的被除数=7×6+2=44。解：商：59－（267-59）÷（5－1）=7原来的除数：（59-7-2-2）÷（7+1）=6原来的被除数：7×6+2=44答：原来的被除数是44，除数是6。[试一试]1、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是77，其中余数是3；如果被除数和除数同时扩大8倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是567。原来的被除数和除数分别是多少2、在一道有余数的整数除法计算题中，被除数、除数、商与余数这四个数的和是465，其中余数是50；如果被除数和除数同时缩小10倍，计算后被除数、除数、商与余数这四个数的和是51。原来的被除数和除数分别是多少[练一练]1、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积是否起变化2、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大9倍，积将有什么变化3、两个数相除，商是19，如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少4、两个数相除，商是27，如果被除数扩大12倍，除数扩大6倍，那么商是多少5、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化6、两数相除，被除数扩大5倍，除数扩大5倍，商将怎样变化7、小刚在计算除法时，把被除数的末尾多写了个“0”，结果得到商30，正确的商应该是多少8、芳芳在计算乘法时，把一个因数的末尾多写了个“0”，结果积是800，正确的积是多少9、在一道没有括号的乘除混合运算中，如果一个因数扩大6倍，另一个因数缩小3倍，一个除数缩小4倍，