人教版数学必修三

人教版数学必修三第二章统计重难点解析第二章课文目录2．1随机抽样2．2用样本估计总体2．3变量间的相关关系重难点：1、正确理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法及随机数法的步骤，并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。2、正确理解系统抽样的概念，能够灵活应用系统抽样的方法解决统计问题。3、正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题。4、会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。能通过样本的频率分布估计总体的分布。5、用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。能应用相关知识解决简单的实际问题。6、作出散点图和根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。对最小二乘法的理解。一、随机抽样三种常用抽样方法：1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。（1）抽签法制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取次；成样：对应号签就得到一个容量为的样本。抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。（2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数一致；数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。成样：对应号签就得到一个容量为的样本。结论：①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；②基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；③简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔.当是整数时，；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N´能被整除，这时（3）确定起始的个体编号。在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号；（4）抽取样本。按照先确定的规则（常将加上间隔）抽取样本：；。3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。结论：（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于；（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。典型例题：【例1】某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适A.系统抽样C.分层抽样B.简单随机抽样D.随机数表法解析：总体由差异明显的三部分组成，应选用分层抽样.【例2】为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为A.40B.30C.20D.12解析：k==40.【例3】从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为A.B.nC.［］D.［］+1解析：当不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩余个体数N′能被n整除，这时k=，故选C.【例４】系统抽样适用的总体应是A.容量较少的总体B.总体容量较多C.个体数较多但均衡的总体D.任何总体解析：系统抽样的适用范围.【例5】下列说法正确的个数是①总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法②在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样③百货商场的抓奖活动是抽签法④整个抽样过程中，每个个体被抽取的机率相等（有剔除时例外）A.1B.2C.3D.4解析：①②③显然正确，系统抽样无论有无剔除都是等机率抽样；④不正确.选C.【例6】一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比为4∶３∶１，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为______________.解析：设三种灯泡依次抽取的个数为a=4k，b=3k，c=k，则4k+3k+k=40.所以k=5.因此，a=20，b=15，c=5.答案：20、15、5【例7】从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取一个容量为３０的样本，若每个零件被抽取的机率为０.25，则N等于A.150B.200C.120D.100解析：∵=0.25，∴N=30÷0.25=120.【例8】一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.答案：3，9，15，21，27，33，39，45，51，57解析：即按等差数列抽取，首项为3，公差为6.【例9】体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，采用的是系统抽样法吗？为什么？解析：是系统抽样，系统抽样的步骤可概括为总体编号，确定间隔总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步.该抽样符合系统抽样的特点.【例10】某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示.很喜爱喜爱一般不喜爱2435456739261072电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出60人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出多少人？分析：首先确定抽取比例，然后再根据各层人数确定各层要抽取的人数.解析：∵=,∴≈12,≈23，≈20，≈5.故四类人应分别抽取12、23、20、5人进行调查.二、用样本估计总体〈一〉频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差1、决定组距与组数2、将数据分组3、列频率分布表4、画频率分布直方图〈二〉频率分布直方图的特征：1、从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势。2、从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。〈三〉频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息。根据这条曲线，可求出总体在区间（a，b）内取值的概率等于该区间上总体密度曲线与x轴、直线x=a、x=b所围成曲边梯形的面积。总体分布密度密度曲线函数y=f(x)的两条基本性质：①f(x)≥0(x∈R)；②由曲线y=f(x)与x轴围成面积为1。典型例题：【例1】为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。解析：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为又因为频率=所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为【例2】某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h解析：=0.9.【例3】把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.分析：已知前七组的累积频率为0.79，而要研究后三组的问题，因此应先求出后三组的频率之和为1－0.79=0.21，进而求出后三组的共有频数，或者先求前七组共有频数后，再计算后三组的共有频数.解析：由已知知前七组的累积频数为0.79×100=79，故后三组共有的频数为21，依题意=21，a1（1+q+q2）=21（整解方程）∵q>2,∴1+q+q2>7.∴a1=1，q=4.∴后三组频数最高的一组的频数为16.答案：16点评：此题分析只按第二种思路给出了解答。【例4】某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表：分数段人数［0，80）2［80，90）［90，100）6）5分数段人数［100，110）8［110，12012［120，130）6分数段［130，140）［140，150）那么分数在［100，110）中的频率和分数不满110分的累积频率分别是_____、_______（精确到0.01）.解析：由频率计算方法知：总人数=45.分数在［100，110）中的频率为=0.178≈0.18.分数不满110分的累积频率为=答案：0.180.47≈0.47.【例5】对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）估计电子元件寿命在100～400h以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率.分析：通过本题可掌握总体分布估计的各种方法和步骤.解析：（1）频率分布表如下：寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600合计频数20频率0.10累积频率0.100.250.650.85130800.150.400.200.1514030200（2）频率分布直方图如下：（3）由累积频率分布图可以看出，寿命在100～400h内的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100～400h内的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35.点评：画频率分布条形图、直方图时要注意纵、横坐标轴的意义.三、变量间的相关关系1、相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.注意：（一）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系，（二）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.（三）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.2、回归分析：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.例如，施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15水稻产量y330202530354045345365405445450455观察表中数据，大体上随着施化肥量的增加，水稻的产量也在增加.只是表中两者之间的关系表现的不是很真切，需要对数据进行分析.我们可以作统计图、表，以便对两者有一个直观的印象和判断.散点图是研究相关关系最常用的一种统计图.我们把表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图.上例的散点图如下图.从散点图可以看出两变量的确存在一定关系，可见散点图能形象地反映各对数据的密切程度.从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域，这种相关关系称作正相关.若因变量随自变量的增大而减小则称作负相关，负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域.图中的点分布在一条直线附近，这说明这一正相关可以用这一直线来逼近.3、最小二乘法：回归直线的定义,使离差的平方和Q=最小的那条直线,这种使“离差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法,要掌握用最小二乘法求回归直线系数a、b的公式:b=,a=－b.求回归直线方程的步骤：(1)将已知的数据列表,列出x,y,并求出x2,y2,xy.(2)利用公式b=,a=－b,计算回归系数b,a.(3)写出回归直线方程=bx+a.典型例题：【例1】有关线性回归的说法，不正确的是A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有回归方程解析：只有线性相关的数据才有回归直线.【例2】下面哪些变量是相关关系A.出租车费与行驶的里程B.房屋面积与房屋价格C.身高与体重D.铁的大小与质量解析：A、B、D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系.【例3】回归方程=1.5x－15，则A.=1.5－15D.x=10时，y=0B.15是回归系数a解析：D中x=10时=0，而非y=0，系数a、b的意义要分清.【例4】r是相关系数，则结论正确的个数为①r∈［－1，－0.75］时，两变量负相关很强②r∈［0.75，1］时，两变量正相关很强③r∈（－0.75，－0.3］或［0.3，0.75）时，两变量相关性一般④r=0.1时，两变量相关很弱A.1B.2C.3D.4解析：相关系数r的性质.【例5】线性回归方程=bx+a过定点________.答案：（，）解析：=bx+a，=bx+－b，（－）=b（x－）.【例6】已知回归方程=4.4x+838.19，则可估计x与y的增长速度之比约为________.答案：解析：所求应是回归方程斜率的倒数.【例7】为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计调查队随机调查10个家庭，得数据如下：家庭编号12345678910xi（收入）千0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8元yi（支出）千0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5元求回归直线方程.解析：用计算机Excel软件作出散点图（如图2－3－12），观察呈线性正相关，并求出回归方程=0.8136x－0.0044.图2－3－12图2－3－13【例8】某市近10年的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年份1993199419951996199719981999200020012002x用户（万户）y（百万立方611.271.69.81.81222.53.244.24.512.114.5202425.427.5米）（1）检验是否线性相关；（2）求回归方程；（3）若市政府下一步再扩大5千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少.解析：用计算机Excel软件作出散点图（如图2－3－13），观察呈线性正相关，并求出回归方程.用计算机Excel软件求回归方程时，点选“显示r2的值”可进一步得到相关系数.（1）r=0.998>0.632=r0.05（2）=0.08+6.06x；，线性相关；（3）x0=4.5+0.5=5，代入得=30.38，所以煤气量约达3038万立方米.【例9】有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的饮料杯数与当天气温的对比表：摄氏温度热饮杯数-50471215192389279331763654156150132128130116104（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮杯数之间关系的一般规律；（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。解析：（4）当x=2时，y=143.063【例10】一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125人,35～49岁的有280人,50岁以上的有95人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取？解析：抽取人数与职工总数的比是100:500=1:5,则各年龄段(层)的职工人数依次是125:280:95=25:56:19,然后分别在各年龄段(层)运用简单随机抽样方法抽取.所以,在分层抽样时,不到35岁、35～49岁、50岁以上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人.【例11】某校500名学生中,O型血有200人,A型血有125人,B型血有125人,AB型血有50人,为了研究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为20的样本.按照分层抽样方法抽取样本,各种血型的人分别多少？写出抽样过程.解析：用分层抽样方法抽样,O型血抽8人,A型血抽5人,B型血抽5人,AB型血抽2人,各种血型的抽取可用简单随机抽样(如AB型)或系统抽样(如A型),直至取容量为20的样本.【例12】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次实验,收集数据如下:零件数x(个)加工时间y(分钟)1062206830754081508960957080102108(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论？解析:(1)散点图略.(2)Ⅰ.先把数据列成表.项目类型零件数x加工时间Yx2Y2xYABCDEFGH10203040506070803606268758189951021086801004009001600250036004900640020400384446245625656179219025104041166459668620136022503240445057007140864033400∑Ⅱ.计算b,a的值.由上表分别计算x,Y的平均数得=,=.代入公式b=,a=－b,得(注意:不必把,化为小数,以减小误差)b===0.666667,a=－0.666667×=85－30=55.Ⅲ.写出回归直线方程.=55+0.666667x.(3)回归直线方程=55+0.666667x中的回归系数b=0.666667,它的意义是:零件数每增加一个,加工时间平均增加0.666667min.《统计》单元测试题一、选择题：（本题共14小题，每小题4分，共56分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、抽样调查在抽取调查对象时A、按一定的方法抽取C、全部抽取B、随意抽取D、根据个人的爱好抽取2、对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性。A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④3、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是A、分层抽样法，系统抽样法C、系统抽样法，分层抽样法B、分层抽样法，简单随机抽样法D、简单随机抽样法，分层抽样法4、某小礼堂有25排座位，每排有20个座位。一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下了座位号是15的所有的25名学生测试。这里运用的抽样方法是A、抽签法B、随机数表法C、系统抽样法D、分层抽样法5、我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A、45，75，15B、45，45，45C、30，90，15D、45，60，306、中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众。现采用系统抽样方法抽取，其组容量为A、107、对总数为的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则为A、150B、200C、100D、120B、100C、1000D、100008、某中学有高级教师28人，中级教师54人，初级教师81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是A、简单随机抽样C、分层抽样B、系统抽样D、先从高级教师中随机剔除1人，再用分层抽样9、一个容量为35的样本数据，分组后，组距与频数如下：个；个；个；个；个；个。则样本在区间上的频率为A、20%B、69%C、31%D、27%10、在用样本估计总体分布的过程中，下列说法正确的是A、总体容量越大，估计越精确B、总体容量越小，估计越精确C、样本容量越大，估计越精确D、样本容量越小，估计越精确11、下列对一组数据的分析，不正确的说法是A、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定C、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定D、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定12、下列两个变量之间的关系是相关关系的是A、正方体的棱长和体积B、单位圆中角的度数和所对弧长C、单产为常数时，土地面积和总产量D、日照时间与水稻的亩产量13、对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是A、都可以分析出两个变量的关系B、都可以用一条直线近似地表示两者的关系D、都可以用确定的表达式表示两者的关系C、都可以作出散点图14、观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为A、0.001B、0.1《统计》测试题答题卷班级姓名学号成绩一、选择题答题处：题号答案1234567891011121314二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案填写在横线上）15、若总体中含有1650个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样本，分段时应从总体中随机剔除个个体，编号后应均分为段，每段有个个体。16、某工厂生产的产品用传送带将其送入包装车间之前，质检员每隔5分钟从传送带某一位置取一件产品检测，则这种抽样方法是。17、某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为一个容量为的样本，样本中A种型号的产品共有16件，那么此样本的容量。现用分层抽样的方法抽出件。18、数据平均数为6，标准差为2，则数据的平均数为，方差为。19、管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有