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文档简介
1如下图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1,BC1上分别有两点E,F,且B1E=C1F.求证:EF∥平面ABCD.证明方法一分别过E,F作EM⊥AB于M,FN⊥BC于N,连接MN.∵BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,∴EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.又∵B1E=C1F,∴EM=FN,故四边形MNFE是平行四边形,∴EF∥MN.又MN平面ABCD,EF平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.方法二过E作EG∥AB交BB1于G,连接GF,那么,∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴,∴FG∥B1C1∥BC,又EG∩FG=G,AB∩BC=B,∴平面EFG∥平面ABCD,而EF平面EFG,∴EF∥平面ABCD.2P为△ABC所在平面外一点,G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心.〔1〕求证:平面G1G2G3∥平面ABC;〔2〕求S△∶S△ABC.〔1〕证明如下图,连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F,连接DE、EF、FD,那么有PG1∶PD=2∶3,PG2∶PE=2∶3,∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABC内,∴G1G2∥平面ABC.同理G2G3∥平面ABC.又因为G1G2∩G2G3=G2,∴平面G1G2G3∥平面ABC.〔2〕解由〔1〕知=,∴G1G2=DE.又DE=AC,∴G1G2=AC.同理G2G3=AB,G1G3=BC.∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为1∶3,∴S△∶S△ABC=1∶9.3如下图,S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分别是AC、BC、SC的中点,试判断SG与平面DEF的位置关系,并给予证明.解SG∥平面DEF,证明如下:方法一连接CG交DE于点H,如下图.∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB.在△ACG中,D是AC的中点,且DH∥AG.∴H为CG的中点.∴FH是△SCG的中位线,∴FH∥SG.又SG平面DEF,FH平面DEF,∴SG∥平面DEF.方法二∵EF为△SBC的中位线,∴EF∥SB.∵EF平面SAB,SB平面SAB,∴EF∥平面SAB.同理可证,DF∥平面SAB,EF∩DF=F,∴平面SAB∥平面DEF,又SG平面SAB,∴SG∥平面DEF.5如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证:〔1〕BF∥HD1;〔2〕EG∥平面BB1D1D;〔3〕平面BDF∥平面B1D1H.证明〔1〕如下图,取BB1的中点M,易证四边形HMC1D1是平行四边形,∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1.〔2〕取BD的中点O,连接EO,D1O,那么OEDC,又D1GDC,∴OED1G,∴四边形OEGD1是平行四边形,∴GE∥D1O.又D1O平面BB1D1D,∴EG∥平面BB1D1D.〔3〕由〔1〕知D1H∥BF,又BD∥B1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF,且B1D1∩HD1=D1,DB∩BF=B,∴平面BDF∥平面B1D1H.6如下图,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,假设截面为平行四边形.〔1〕求证:AB∥平面EFGH,CD∥平面EFGH.〔2〕假设AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.〔1〕证明∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥HG.∵HG平面ABD,∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.同理可证,CD∥平面EFGH.解设EF=x〔0<x<4〕,由于四边形EFGH为平行四边形,∴.那么===1-.从而FG=6-.∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0<x<4,那么有8<l<12,∴四边形EFGH周长的取值范围是〔8,12〕.7如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.∵P、O为DD1、DB的中点,∴D1B∥PO.又PO∩PA=P,D1B∩QB=B,D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,∴平面D1BQ∥平面PAO.8正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE.证明方法一如下图,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.又∵AP=DQ,∴PE=QB,又∵PM∥AB∥QN,∴,,,∴PMQN,∴四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,∴PQ∥平面BCE.方法二如下图,连接AQ,并延长交BC于K,连接EK,∵AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ,∴=①又∵AD∥BK,∴=②由①②得=,∴PQ∥EK.又PQ平面BCE,EK平面BCE,∴PQ∥平面BCE.方法三如下图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.∵PM∥BE,PM平面BCE,即PM∥平面BCE,∴=①又∵AP=DQ,∴PE=BQ,∴=②由①②得=,∴MQ∥AD,∴MQ∥BC,又∵MQ平面BCE,∴MQ∥平面BCE.又∵PM∩MQ=M,∴平面PMQ∥平面BCE,PQ平面PMQ,∴PQ∥平面BCE.8如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC′,证明:BC′∥平面EFG.(1)解如图(1)所示.图〔1〕(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4×4×6-×(×2×2)×2=(cm3).(3)证明如图(2),在长方体ABCD—A′B′C′D′中,连接AD′,那么AD′∥BC′.因为E,G分别为AA′,A′D′的中点,所以AD′∥EG,从而EG∥BC′.又BC′平面EFG,图〔2〕所以BC′∥面EFG.9.如下图,正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13,M,N分别为PA,BD上的点,且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.〔1〕求证:直线MN∥平面PBC;〔2〕求线段MN的长.〔1〕证明连接AN并延长交BC于Q,连接PQ,如下图.∵AD∥BQ,∴△AND∽△QNB,∴===,又∵==,∴==,∴MN∥PQ,又∵PQ平面PBC,MN平面PBC,∴MN∥平面PBC.〔2〕解在等边△PBC中,∠PBC=60°,在△PBQ中由余弦定理知PQ2=PB2+BQ2-2PB·BQcos∠PBQ=132+-2×13××=,∴PQ=,∵MN∥PQ,MN∶PQ=8∶13,∴MN=×=7.10在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.证明:方法一,取PD中点E,连接AE,NE.∵底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,∴MA∥CD,∵E是PD的中点,∴NE∥CD,∴MA∥NE,且MA=NE,∴AENM是平行四边形,∴MN∥AE.又AE平面PAD,MN平面PAD,∴MN∥平面PAD.方法二取CD中点F,连接MF,NF.∵MF∥AD,NF∥PD,∴平面MNF∥平面PAD,∴MN∥平面PAD.11在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC,AB⊥AC,求证:A1C⊥BC1.【分析】要证明“线线垂直〞,可通过“线面垂直〞进行转化,因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可.证明:连接AC1.∵ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴AB⊥AA1.又AB⊥AC,∴AB⊥平面A1ACC1,∴A1C⊥AB.①又AA1=AC,∴侧面A1ACC1是正方形,∴A1C⊥AC1.②由①,②得A1C⊥平面ABC1,∴A1C⊥BC1.12在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,AP⊥PB,求证:平面PAC⊥平面PBC.【分析】要证明“面面垂直〞,可通过“线面垂直〞进行转化,而“线面垂直〞又可以通过“线线垂直〞进行转化.证明:∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,且AB⊥BC,∴BC⊥平面PAB,∴AP⊥BC.又AP⊥PB,∴AP⊥平面PBC,又AP平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBC.13如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ABB1是菱形,且垂直于底面ABC,∠A1AB=60°,E,F分别是AB1,BC的中点.(Ⅰ)求证:直线EF∥平面A1ACC1;(Ⅱ)在线段AB上确定一点G,使平面EFG⊥平面ABC,并给出证明.证明:(Ⅰ)连接A1C,A1E.∵侧面A1ABB1是菱形,E是AB1的中点,∴E也是A1B的中点,又F是BC的中点,∴EF∥A1C.∵A1C平面A1ACC1,EF平面A1ACC1,∴直线EF∥平面A1ACC1.(2)解:当时,平面EFG⊥平面ABC,证明如下:连接EG,FG.∵侧面A1ABB1是菱形,且∠A1AB=60°,∴△A1AB是等边三角形.∵E是A1B的中点,,∴EG⊥AB.∵平面A1ABB1⊥平面ABC,且平面A1ABB1∩平面ABC=AB,∴EG⊥平面ABC.又EG平面EFG,∴平面EFG⊥平面ABC.14如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点.(Ⅰ)求证:平面BEC1⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)求证:AB1∥平面BEC1.证明:(Ⅰ)∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴AA1⊥平面ABC,∴BE⊥AA1.∵△ABC是正三角形,E是AC的中点,∴BE⊥AC,∴BE⊥平面ACC1A1,又BE平面BEC1,∴平面BEC1⊥平面ACC1A1.(Ⅱ)证明:连接B1C,设BC1∩B1C=D.∵BCC1B1是矩形,D是B1C的中点,∴DE∥AB1.又DE平面BEC1,AB1平面BEC1,∴AB1∥平面BEC1.15在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,BD=2AD=8,.(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积.证明:(Ⅰ)在△ABD中,由于AD=4,BD=8,,所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD⊥平面PAD,又BD平面MBD,故平面MBD⊥平面PAD.(Ⅱ)解:过P作PO⊥AD交AD于O,由于平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P-ABCD的高,又△PAD是边长为4的等边三角形.因此在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为故16.如图,三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形,M,N分别为PA,BC的中点.(Ⅰ)求MN的长;(Ⅱ)求证:PA⊥BC.(Ⅰ)解:连接MB,MC.∵三棱锥P-ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形,∴,且底面△ABC也是边长为1的等边三角形.∵N为BC的中点,∴MN⊥BC.在Rt△MNB中,(Ⅱ)证明:∵M是PA的中点,∴PA⊥MB,同理PA⊥MC.∵MB∩MC=M,∴PA⊥平面MBC,又BC平面MBC,∴PA⊥BC.17.如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,且E、F分别是AB、BD的中点.求证:(Ⅰ)直线EF∥平面ACD;(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD..证明:(Ⅰ)∵E、F分别是AB、BD的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AD.又EF平面ACD,AD平面ACD,∴直线EF∥平面ACD.(Ⅱ)∵EF∥AD,AD⊥BD,∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点,∴CF⊥BD.∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面CEF.∵BD平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.18如图,平面ABEF⊥平
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