历年西南大学网络与继续教育大作业答案-0044线性代数（汇编31份）

yyl＞西南大学2018年6网络与继续教育大作业答案-0044线性代数2、西南大学2018年6月网络继续教育大作业答案-0044线性代数3、西南大学2018年12月网络教育大作业答案-［0044］《线性代数》4、西南大学2018年12月网络与继续教育［0044］《线性代数》答案5、西南大学网络继续教育学院线性代数［0044］答案6、西南大学网络教育2018年春［0044］《线性代数》答案7、西南大学网络教育线性代数0044作业（1）8、西南大学网络教育线性代数0044作业9、西南大学网络与继续教育2018年12月0044（线性代数）答案10、西南大学网络与继续教育学院0044线性代数大作业答案11、西南大学网络与继续教育学院2016年12月［0044］《线性代数》答案12、西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷线性代数［0044］答案13、2015年12月西南大学（0044）《线性代数》大作业A标准答案14、2015年12月西南大学［0044］〈线性代数〉大作业A标准答案15、2015年秋西南大学(0044)《线性代数》A标准答案16、2016年6月西南大网络与继续教育学院线性代数［0044］A卷答案17、2016年12月西南大网络与继续教育学院［0044］线性代数(2)参考答案18、2016年12月西南大网络与继续教育学院0044线性代数参考答案⑴19>2016年12月西南大学网络与继续教育学院《线性代数》［0044］大作业答案20、2016年12月西南大学网络与继续教育学院《线性代数》［0044］大作业答案21、2016年年12月西南大学网络与继续教育《线性代数》［0044］大作业答案22、2016西南大学网络教育大作业《线性代数》0044答案23、2017年6月西南大网络与继续教育学院0044线性代数参考答案24、2017年6月西南大网络与继续教育学院0044线性代数大作业答案25、200年6月西南大学网络与继续教育学院［0044］〈线性代数〉大作业答案26、2017年6月西南大学网络与继续教育学院线性代数0044作业27、2017年秋西南大学继续教育0044线性代数28、2018年6月西南大学网教［0044］《线性代数》 上传29、2018年6月西南大学网教大作业答案-0044《线性代数》30、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-0044线性代数31、西南大学2017年12月网络教育大作业答案-0044线性代数类别：网教专业：计算机科学与技术 2018年6月课程名称【编号】：0044【线性代数】 A卷大作业 满分：100分一、大作业题目xa...anX n1.计算行列式"*-.的值.ClCLa・•X解：计算行列式Dnxa...aax...aaa・・・x把第2,3,・・・,n列都加到第1列，提出公因子x+(n・l)a,得1a...a1x...a1a…x第1行乘-1加到23,...,n行，得1a・..a0x-a...000...x-a这是个上三角形

所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)A(n-l).’20.已知P=01、0000、20,计算(P-JP。.02,.设线性方程组为X]一所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)A(n-l).’20.已知P=01、0000、20,计算(P-JP。.02,.设线性方程组为X]一-3x34-x4=1

2xt-2x2—5x3+3x4—4

4xj-4x2+3七+19%4=4

x1—x2—2x3+2x4=3(其中4为实数),(1)独何值时，该方程组有解?(2)在有解的情况下，求出其特解/以及其对应的齐次线性方程组的基础解系,进而求出原方程组的通解.211、.给定矩阵A=020.「413；(1)求出A的特征值及特征向量;(2)矩阵A能对角化?说明理由.解-211A=020-413入+2-1-1|AI-A|=0A-204・1X-3解得人=・1,2(两・)格特征值-1代入特征方程(AI-A)x=01-1-10-304-1-4箕3行,娥去行x4二(人*1)(入-2)2=01-1-10-300301-1-10-30000国2行逼取公因子•31-1-101000010-101000010-1；0oiolo00ill01050

ooih得到厦于特征值-1的特征向■(LOJ)I将特征值2代人特征方程（AI-A）x=O4-1-10004-1-1M3行盛会1U行4-1-100000014-1-10004-1-1M3行盛会1U行4-1-10000001:11--OjO-4：401Oil00odoi8U行身障公四六口2行,加上箕2行心4010:1001=0010:10001；01之. iodii4 —24.。花400； 001：04|得到属于特征值2的特征向墨（1,4,0。（L0,4）T得到特征向量矩阵P=111040104并且有P'1AP=A=diaq(-l,2,2)5.设向量组Q1,…4,线性无关，而向量组6,a,"线性相关,则向量b可由9,生,…,明,线性表示，且表示法是唯一的.解：由于al,a2,...,am,B线性相关所以存在一组不全为0的数kl,k2,...,km,k使得klal+k2a2+...+kmam+kB=0则必有kWO.否则klal+k2a2+...+kmam=0,而al,a2,...,am线性无关，所以kl=k2=...=km=0这与kl,k2,...,km,k不全为0矛盾.故有B=(-l/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al,a2,...,am线性表示.设B=klal+k2a2+..+kmamB=kl*al+k2*a2+..+km,am则(kl-kl')al+(k2-k2*)a2+..+(km-km，)am=0由al,a2,am线性无关知ki-ki*=0,即ki=ki',i=l,2,...,m所以表示法唯一.二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分;第3-4题选作一题，满分30分;第5题必作，满分40分。类别：网教专业：计算机科学与技术 2018年6月课程名称【编号】：0044【线性代数】 A卷大作业 满分：100分二、大作业题目Xx…".的值.CL・・x…".的值.CL・・•X‘200、2.已知‘200、2.已知P=012。bA=020,计算(pT/jp)50.。2,IX］一—313+彳4=12x1-2x2-5x3+”=4中a为实数)，4Xj-4x2+3.+19x4=z%)—x2—2x3+2x4=3⑴，取何值时，该方程组有解？(2)在有解的情况下，求出其特解屋以及其对应的齐次线性方程组的基础解系,进而求出原方程组的通解.'-211、.给定矩阵4=020「413,⑶求出A的特征值及特征向量;(4)矩阵A能对角化?说明理由..设向量组外,%,...,a,“线性无关，而向量组，力线性相关，则向量b可由外,线性表示，且表示法是唯一的.二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分；第3-4题选作一题，满分30分；第5题必作，满分40分。第一题答：计算行列式Dnxa...aax...aaa...x把第2,3,...»n列都加到第1歹U,提出公因子x+(n~l)a,得1a...ax...aa...x第1行乘-1加到2,3 n行，得a...a0x-a...000...x-a这是个上三角形所以行列式=[x+(n-l)a](x-a)'(n-l).第四题：答：

-(A*lXA-2)2-0解博人--1.2(RB)格特征值」代入特征方程(Al-A)x・01-1-10-304-1-41-1-10-30030■访tC±M2<7i・i・i0-30000・2杼曲公■于31-1-101000091杼SUJI2I710-1010000加.此次•事io-iboiobooih・1行KJJOfTlodi010:0OOlil将到厦于特征值，的特征向■(LO.W将特iM2代入特征方程(Al-A)x=O41-10004.11・1杼■3d4-1-1000000龊：4■1»7 听41.11441型才事1-7•为。44i90±■孙!4卜;■泗3U朽000000100|j01.1ooi!o14 E・劭・皿010:10001:0110(X1101*000110401000：10doi01博到属于特征值29W征同・(1.40)1(L0.4)t得到特征向墨矩药P=111040104并且有P1AP=A=diag(-L2.2)第五题答：由于al,a2,...,am,B线性相关所以存在一组不全为0的数kl,k2,...,km,k使得klal+k2a2+.・.+kmam+kB=O则必有kr0.否则klal+k2a2+.・.+kmam=O,而al,a2,...,am线性无关，所以kl=k2=...=km=O这与kl,k2,...,km,k不全为0矛盾.故有B=(T/k)(klal+k2a2+...+kmam)即B可由al,a2,・・.，am线性表示.设B=klal+k2a2+..+kmamB=kl'al+k2'a2+.・+km'am则(kl-kl*)al+(k2-k2,)a2+..+(km-km,)am=O由al,a2,...,am线性无关知ki-ki'=0,即ki=ki',i=l,2,...,m所以表示法唯1（注：因为这里公式编辑器里面不能输入矩阵,所以我只好用latex编辑后在这里插入图片，为了避免争议后面附上latex源码）题1:解:根据题设（2EC （一得出:TOC\o"1-5"\h\zC(2E-C-lB}AT=CC-* (1)(2C- = E (2)((2C- = Et (3)A(2C- = £ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.显然这是一个单位下三角矩阵其行列式为对角线集积等于1.且存在逆矩阵使用高斯消元法求解：

题4：证明设A=(«1,»2,«3)-则H=AA=>!(<»!,(»2,<»3)=0,显然.4<>,=0(«€{1,2,3}).所以A的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解根据齐次线性方程组理论..4X=<1的基础解系中.线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)<“一，(4).而.4的列向量组{.，如，、}是解空间的一部分.所以A的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即，,(▲))一定$基础解系中线性无关的解的个数.也就是<n-r(4),所以r(4)<n-r(.4),从而r(A}+r(4)=2r(4)<n=3,于是r(4)=1.题5:TOC\o"1-5"\h\z(1+A1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+AA/转换得到：(1+A1 1 0\1 14-A1 334-A3+A3+X34-A/显然当A=-3时有无穷多解.当A#-3时：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A00 -1 \0A0 200(A00 -1 \0A0 20011+A-1-2A-1/可见当A=0时无解，否则当八#一3时有唯一解.当入=-3时.原线性方程组与J-2xl+xa+r3=»同解X\—2^2+ ―3取了3为自由未知量令工3为（）得到特解7,.令，3=1.得到基础解系于是通解为其中人为任意常数附答案latex源码:解：根据题设$(2E-CA{-1}B)A"T=C，-1}$得出:\begin{align}C(2E-CA{-1}B)AAT&=CCA{-1}\\(2C-B)AAT&=E\\((2C-B)AAT)AT&=EAT\\A(2C-B)AT&=E\\A&=((2C-B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C-B)AT}A{-1}&=\left(\left(\begin{pmatrix}&2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O&0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix}A{-1}\end{align)显然这是一个单位下三角矩阵，其行列式为对角线乘积等于$1$,且存在逆矩阵.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage证明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.则$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,显然$A\alphaJ=O$$(i\in\{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齐次线性方程组$人*=0$的解.根据齐次线性方程组理论,$AX=O$的基础解系中，线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)$\leqn-r(A)$.而$A$的列向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空间的一部分，所以$A$的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即$r(A)$)一定$\leq$基础解系中线性无关的解的个数，也就是$\leqn-r(A)$,所以$r(A)\leqn-r(A)$,从而$r(A)+r(A)=2r(A)\leqn=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根据方程有增广矩阵$B=\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{pmatrix}$转换得到：$B\rightarrow\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda\end{pmatrix}$显然当$\lambda=-3$时有无穷多解.当$\lambda\neq-3$时：$\rightarrow\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix)\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix}\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可见当$\lambda=0$时无解，否则当$\lambda\neq-3$时有唯一解.当$\lambda=-3$时，原线性方程组与$\left\{\begin{matrix)-2x1+x_2+x_3=0\\x_1-2x_2+x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$为自由未知量，令$x_3$为$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基础解系为$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$为任意常数.（注：因为这里公式编辑器里面不能输入矩阵,所以我只好用latex编辑后在这里插入图片，为了避免争议后面附上latex源码）题1:解:根据题设（2EC （一得出:TOC\o"1-5"\h\zC(2E-C-lB}AT=CC-* (1)(2C- = E (2)((2C- = Et (3)A(2C- = £ (4)4=((2C-B)t)-* (5)于是.显然这是一个单位下三角矩阵其行列式为对角线集积等于1.且存在逆矩阵使用高斯消元法求解：

题4：证明设A=(«1,»2,«3)-则H=AA=>!(<»!,(»2,<»3)=0,显然.4<>,=0(«€{1,2,3}).所以A的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解根据齐次线性方程组理论..4X=<1的基础解系中.线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)<“一，(4).而.4的列向量组{.，如，、}是解空间的一部分.所以A的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即，,(▲))一定$基础解系中线性无关的解的个数.也就是<n-r(4),所以r(4)<n-r(.4),从而r(A}+r(4)=2r(4)<n=3,于是r(4)=1.题5:TOC\o"1-5"\h\z(1+A1 1 0\1 14-A 1 31 1 1+AA/转换得到：(1+A1 1 0\1 14-A1 334-A3+A3+X34-A/显然当A=-3时有无穷多解.当A#-3时：“ 1 1 o\t 1 1+A 1 3\ 1 1 1 1/(A00 -1 \0A0 200(A00 -1 \0A0 20011+A-1-2A-1/可见当A=0时无解，否则当八#一3时有唯一解.当入=-3时.原线性方程组与J-2xl+xa+r3=»同解X\—2^2+ ―3取了3为自由未知量令工3为（）得到特解7,.令，3=1.得到基础解系于是通解为其中人为任意常数附答案latex源码:解：根据题设$(2E-CA{-1}B)A"T=C，-1}$得出:\begin{align}C(2E-CA{-1}B)AAT&=CCA{-1}\\(2C-B)AAT&=E\\((2C-B)AAT)AT&=EAT\\A(2C-B)AT&=E\\A&=((2C-B)AT)A{-1}\end{align}于是，\begin{align}((2C-B)AT}A{-1}&=\left(\left(2\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&1&2&0\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2&-3&-2\\0&1&2&-3\\0&0&1&2\\O&O&0&1\end{pmatrix)\right)AT\right)A{-1}\\&=\left(\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}AT\right)A{-1}\\&=\begin{pmatrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix}A{-1}\end{align)显然这是一个单位下三角矩阵，其行列式为对角线乘积等于$1$,且存在逆矩阵.使用高斯消元法求解：\begin{align}(A|E)&=\left(\begin{matrix}&0&0&0\\&1&0&0\\&2&1&0\\4&3&2&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\right)\\&=\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{matrix}\left|\begin{matrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\0&-1&1&0w0&0&-1&1\end{matrix}\right)\\&=\left(\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}\left|\begin{matrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{matrix}\right)\\\end{align)得出$A=\begin{pmatrix)1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix)$.\clearpage证明：i5$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$.则$AA2=AA=A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=0$,显然$A\alphaJ=O$$(i\in\{1,2,3\!)$.所以$A$的每一列都是齐次线性方程组$人*=0$的解.根据齐次线性方程组理论,$AX=O$的基础解系中，线性无关的解的个数(或者说解空间的维数)$\leqn-r(A)$.而$A$的列向量组$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$是解空间的一部分，所以$A$的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(即$r(A)$)一定$\leq$基础解系中线性无关的解的个数，也就是$\leqn-r(A)$,所以$r(A)\leqn-r(A)$,从而$r(A)+r(A)=2r(A)\leqn=3$,于是$r(A)=1$.\clearpage解：根据方程有增广矩阵$B=\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3\\1&1&1+\lambda&\lambda\end{pmatrix}$转换得到：$B\rightarrow\begin{pmatrix)1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda&3+\lambda\end{pmatrix}$显然当$\lambda=-3$时有无穷多解.当$\lambda\neq-3$时：$\rightarrow\begin{pmatrix}1+\lambda&1&1&0\\1&1+\lambda&1&3W&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix)\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\1&1&1&1\end{pmatrix)$\rightarrow\begin{pmatrix}\lambda&0&0&-1\\0&\lambda&0&2\\0&0&1&1+\lambdaA{-1)-2\lambdaA{-1}\end{pmatrix)$可见当$\lambda=0$时无解，否则当$\lambda\neq-3$时有唯一解.当$\lambda=-3$时，原线性方程组与$\left\{\begin{matrix)-2x1+x_2+x_3=0\\x_1-2x_2+x_3=3\end{matrix}$同解，取$x_3$为自由未知量，令$x_3$为$0$得到特解$\etaA*=\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}$.令$x_3$=1,得到基础解系为$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$.于是通解为$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix)1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix)-1W-2\\0\end{pmatrix)$,其中$k_1$为任意常数.q120n3al3anan知已知3阶行列式如i4an6a23=6,则a2la22a23=().36i6a329色3色162a33答：1/652、为正父矩阵，则a=（ ）"=（ ）1731一遍6

173-2-na1万1一V6二V2

r I答,a=O,b=1/V253、TOC\o"1-5"\h\z/ \已知。=(1,2,3),则|0%|=\ 7答：「1 2：324 636 954、设上阶方阵4扇三个特征值为1,2,3,则|A+E|=(24).‘200、设三阶方阵乂=0x可逆，则x,A应满足条件（ ）.（023）答:3xW2y56、3-1f矩阵.4=-102所对应的二次型是（ ）.1 223x；-2x,x,+2x,Xj+4x、巧答：若线性方程组 2x2!元答：058.(，P已知吗=0.X?=4性方程组4"。有一个非答：口包59、p10若矩阵/=1k0、00k2答：K>160、N为3阶方阵：且|/卜答：.461、A为5x3矩阵,R(A)=一电=2无解，则尤=( ).弓=2+2’是3元非齐次线性方程组小=b的两个解向量，则对应齐次线零解向量，=是正定矩阵，则上满足( )=-2,/是,4的伴随矩阵，则|4/"+/1=( )'102、=3,B=020,贝ijR(AB)=( )、003,向量组日)：勺/2,…与向量组(3):4/2,…等价，目向量组(.4)线性无关，贝(Jr与s的大小关系是( ).答：r《63、).)•设向量组勺=1 =-2).)•一2答：364、设4为3阶方阵，且|4|=-2,4♦是.4的伴随矩阵，则|4/7+/.卜(答：-465、f1-1n设/='24a，且.4的特征值为4=6,4=%=2如果/有属于特征值2的两1-3-35)个线性无关的特征向量，则。=( 个线性无关的特征向量，则。=( )-答：-266、%67、%设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为«!=则数2=( y答：-i68、设.4=314"“3),8=(q+%+a力q+2a：+4%,%+3az+9a。，且⑷=L则圈=()-答：2

二次型曲,XI,3)=(XI-X2)2+(«-功?的矩阵A=(1-10、-12-1.1o-iij答：70、设线性方程组Ax=0,A是4x5阶矩阵，如果K(A)=3,则其解空间的维数为(2).71、设4设4B为同阶可逆矩阵，则O2/BO0 8")卜"°'答：,72、设a与/?的内积(a,#)=2,|回|=2,则内积(2a+//,/)=(-8).向量组％=。23,4),a,=(2,3,4,5),a,=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7)的秩为().答：2设.4满足3E+/-*=0,则/」=(答:设三阶方阵.4的特征值为1,2,-1,贝”;/川的特征值为( )答：176、

已知.4=P;］，求其特征值与特征向量.3Solution3Solution令A-)£|=.二(3-狈1-/)+7=Jl2=Jl2-14z+40=(^-4X2-10)=0.得/的特征值为4=4./=10.当2=4时，齐次线性方程组(A-4E)x=的基础解系为于是对应于2=4的特征向量为可当2=4时，齐次线性方程组(A-4E)x=的基础解系为于是对应于2=4的特征向量为可；当2=10时,为兄妣方程组(A-10E)x的基础解系3-10为I于是时应于1=10的特征向量为后=0.77、400…0anaxb20 0 0计算行列式0a2b3 0 0♦° 0 ° — bnSolutjon将所给行列式按第1行展开，有TOC\o"1-5"\h\zJj 0 0 …0 a.%与 0 … 0 00 a2 劣••• 0 0•••• •••°oo…0的4=岫…4+(-l),*1aIaa78、'X]+M+x3«1当4方为何值时，方程组, x2-x3=l 有无穷多解°并求出其结构解.2xi+3x2+(。+2此=b+3Solnrig对电广矩阵他行初等行交换化为显然火(/)ML要使原线防程组有无穷多个解，必须泡足&4)・R&-2,进而a・1「1020、5•“这时，2的行最简形邮为01-11.[0000,令巧=0,得特解/=[l]对应的点次线15方程组跑班续系为4=11,因而原线性方程组储构解为仅、仅、1(R中2为任it常数)79、已知向量组G1,az,03线性无关,fi/i=a\-ai,“产23-28+伤=01-02+2g.证明向量组加，即伤线性无关.答Proof假设上/1-21一号4=0,9]"[(%-"：)+*；(2«[+la.+%)+居(4-a：+2a,)=0,于是，伏i+此+品)《1+(-瓦+%-&)%+(左：+2&)a；=0.因为%,a：,a；线性无'匕+%：+y=0 121关，所以-&+2坛-&=0.由于-12-1=8#0,所以公=与=k；=0,因此与+%=0 012A&A,线忸关80、A,B是同阶对称矩阵，证明：48为对称矩阵的充要条件是A与8可交换.答Proof(=❖)因为AB是同阶对称矩阵，若AB为对称矩阵,则.4B=(.4fi):=B*.4t=BA«u)因为48是同阶若称矩阵，若」与8可交换，则AB=B.4=6：/：=UB)r单项选择题TOC\o"1-5"\h\z若方程组］/+巧=0有非零解，贝代=( ).］ ［物一士=0r2r0r1C-1.1111方程I :=0的所有根为( ).1 2-x 1Ir%=(1,0,0),a2r%=(1,0,0),a2=(0,1,0),%=(0.0,1)2.r«1=(12,3),02=(2,4,5)3r%=(L2,2)c=(212)4=(2.2J)4rai=(LZ3),%=(456)9=(ZL0)”4如果4是〃阶矩阵/的特征值：那么必有( )r0,1,2,3C1.2,3,4r0,1,,3下列各向量组线性相关的是( ).TOC\o"1-5"\h\z]「 |A- 0『 -4—4EhOC IA-AqE^Q “「 A-aoE=O已知人、儿是非齐次线性方程组小=。的两个不同的解，,、％是其导出组—=0< 的一个基础解系，M后为任意常数，则方程组4\・=。的通解可表成（ ）.- kya]+心心+—~~—C 2左冈+一（4+2）+4：'1 2r瓦6+后%+"；跖' 2 〃l kiai+无式A+2）+—产A下列关于X1,W3国的二次型正定的是（ 工O,*]Cx；+2xjX3+2宕+x；urx；+2xjrx；+2xxx2+2xjCix；+2X]%+2x；一岩7、向量组ai,e,.…a：的秩为r,且Ys,贝女 ）.].rE.G，©，…,心中任意人1个向量线性无关「ai,m,…,a：中任意尸+1个向量线性相关“.1勾，⑥，…,a：中任意r个向量线性无关8、设45均为3阶方阵，目/与3相似4的特征值为1,2,3,则（现“特征值为（ ）.111.r展7Y“r21-.「』33.1123r2,1,-29、下列矩阵为正交矩阵的是（）.rioo'-0103oo1niiin-iW_LT~210、矩阵a与8相似，则下列说法不正确的是（ ）.「style=Mtext-indent:32px"与8有相同的特征值

rA=B/rMl=WlCR(A)=R(B)设/为〃阶方阵，小-M2-几且⑷黄0,即，4= 4，则//=(7I、I、X4：已知一4为肛阶方阵，且满足4=2£,5为单位阵，则(/-幻"=( )12、rA-E.「E+A。13、设m,©是线性方程组.依=。的解，〃是对应齐次线性方程组,公=°的解，贝女13、设m,©是线性方程组.依=。的解，〃是对应齐次线性方程组,公=°的解，贝女).°C寸+（01・0?）是4r=0的解1。1+8是如:=»的解1广。1是心=0的解4.已知线性方程组的系数矩阵M是4x5矩阵，且.4的行向量组线性无关，则下小列结论正确的是（ ）rF.A的列向量组线性无关C线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关r线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关r线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关/15、下列各向量组线性相关的是（ ）.r=(1,2,3),Oj=(4,5,6),03=(2,1,0)0C%=(1,Z2).%=(2J2),%=(2.ZDr%=(L2,3),%=(2,4,5)1%=(1,0,0),%=(0,1,0),,=(0,0,1)设as为同阶可逆矩阵，幺了0为数，则下列命题中不正确的是( ).r(5=才“r(4-1)"=/r =BlAl二次型=M+100宕+W+2演再西+第工是（ ）.1/、c负定的C正定的「半正定的style=Htext-indent:14px;line-height:150%”>不定的1S设4为x阶方阵,.4的秩&4）=「<么那么在4的”个列向量中（ ）.1O\C必有r个列向量线性无关0C任意r个列向量都构成最大线性无关组C任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出C任意r个列向量线性无关TOC\o"1-5"\h\z19、设”阶矩阵彳满足4:=4,则.4的特征值为（ ）.r 0r 1C ±1C 0或1设45均为力阶方阵,E为”阶单位矩阵，则有( ).(A)(4+5)2=d+2AB+京 (B)(AB)3=4"(C)(A+3E\A-3E)=A2-9E (D)\-5A|=|-5\\A\20、]rA(A+3E\A-3E)=A2-9E0r\-5A\=\-5\\A\r(皿3=/好c(A+B)2=A1+2.4B+B1设/为三阶矩阵，且H=2,则(/*尸|=( ).21、1.122.C4)3.「彳”4.11设〃阶方阵4的行列式“|=0,则/中( ).1C.必有一列向量可有其余列向量线性表示”r必有两列元素对应成比例C任一列向量是其余列向量的线性组合C必有一列元素全为0”阶方阵N与对角阵相似的充要条件是( )CD.A有n个互异特征值rA是实对称阵CA有n个线性无关的特征向量/rA的特征向量两两正交2%设/是加X间矩阵，则齐次线性方程组Wt=O仅有零解的充分必要条件是（）.r1（】.B.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:I4px;line-height:150%H>A的行向量组线性相关A的行向量组线性无关r4的列向量组线性无关Cslyle="margin-top:7px：margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-heighl:150%">A的列向量组线性无关25、在下列矩阵中，可逆的是（ ）.Fo0、010L「I。。”’110、01121I—1,勺1o,2203.rI。。J。00、111主观题2勾23q3已知3阶行列式入214a心6a2326、3a316色29a33参考答案:alla126,贝ija2la22a23=()色1 色3设矩阵.4=±731一遍b173-2-V6a「存1瓶为正父矩阵，则4=( ),方=( ).27、参考答案:a=Qtb=1/V2已知a=(L2,3),则a%28、参考答案:1369,29、设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3,则|A+E|=(参考答案:243()、(1设三阶方阵x=0,00、y可逆，则x,J应满足条件(3,).参考答案：3x^2y'3-1f矩阵4=-102所对应的二;欠型是（ ）.L122参考答案：3x{- +2%^3+4x2x3+2x；西—2x2+3x3=—1若线性方程组 2七一七=2无解，则）=（a, Ax,=2+2参考答案：0T、 。、已知巧=0,与=4是3元非齐次线性方程组4-1-M 15,性方程组Ax=0有一个非零解向蚩J .33、 '）参考答案：0‘110、若矩阵/=1k0是正定矩阵，则上满足（*0巳34、参考答案：k>1）-=方的两个解向量，则对应齐次线）_N为3阶方阵，且|4|=-2,4♦是4的伴随矩阵，则|4k+/1=( )参考答案：-4'102、4为5x3矩年火(4)=3,B=Q2。，贝i」K(4B)=( )I。°3)参考答案：3向量组0)：%,%,…,凡与向量组(3):从：色,…等价，且向量组⑷线性无关，则尸与TOC\o"1-5"\h\z5的大小关系是( ).参考答案：r<sT] ,1]设向量组勺=1,%=-2,%=1线性相关,则数。=( )1 1 -2WV1/Vx7参考答案：33»设/为3阶方阵,且|岗=-2,/♦是/的伴随矩阵，则|4/-1+/卜( ).参考答案：-4::且，懒—―特征值由40、个线性无关的特征向量，则。=(40、个线性无关的特征向量，则。=().参考答案:设N=[]则4岫=41、参考答案：12009]01J42、则数2=（设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为«42、则数2=（参考答案:-1设.4=，8=Qi+%+2a2+4%：佝+3a[+96）,且⑷=1,贝U\B\43、=（ ）参考答案：2二次型/1,X2,X3）=（X1-X2）2+任2-X3）：的矩阵A=参考答案：T-10、-12-1.<0-11>设线性方程组Ax=0,A是4x5阶矩阵，如果&4）=3,则其解空间的维数为（ ）.参考答案:2设46为同阶可逆矩阵，则46、46、参考答案:B"47、设a与“的内积(a,#)=2,网=2,则内积(2a+.,/)=().参考答案：-8向量组%=(1,2,3,4),02-(2,3.4,5),a,=(3,4,5,6).4=(4,5,6,7)的秩为参考答案：2TOC\o"1-5"\h\z设.4满足3E+4-4=0,则/"=( )参考答案：衿一与设三阶方阵.4的特征值为1,2,-1,贝的特征值为( )50、 <2)参考答案：T,-2,1X]+X?+/=4-3当a为何值时，线性方程组,xx^ax2+x3=-2有无穷多个解，并求出其通解当a为何值时，线性方程组,A+叼+%=-251、51、参考答案:4.Solution将增广矩阵5化为"(\113MM0-14-34.Solution将增广矩阵5化为"(\113MM0-14-3、1-a1-%当a=1时，原线性方程组与毛+巧+毛=-2同解.取右,天为自由未知量，令.（T巧=0,覆=0得特解为I；=0. （5分AI。）r-nr-r分别金[ ：I]；|的基砒解系为4=i,和=0- »分"、°j 11•>于是通解为。20O-求矩阵.4=111的特征值和特征向量■参考答案:

2-A 03.Solution因为|2-A 03.Solution因为|.4一ZE|=1 1-z1-1=(2-A)1-A-113-2b—1 1 1 1二Q一或，3-广QT）2]3一十（2-4'所以/的特征值为2《。分》对于；1=2时，齐次线性方程组（-4-2石）*=0与毛-x?+w=0同解，其基砒解系o,(io分)，'-r+k'-r+k20(1>,其中占，自不全为0.（10分A于是…4的对应于2的特征向量为自16设2阶矩阵.4可逆，且4・；],对于矩阵R=[3PLit；|，令5=P3B，求炉上53、参考答案：2.Solution由已知，有PJ=由于5=PV4P,,于是B-1=P「ATP」 (10分)。a2Ab1-a2Ab1-26]+b]ax-2al+%(10分A1114求4阶行列式;；"的值一54、参考答案:54、参考答案:11141131Solution ♦*12111111-1.+501001111(10分a3000C—J(10分w(10分w01101111=6 (10分)讨论2为何值时，线性方程组(1+x)xj+巧+毛=0<再+(1+2)xj+巧=3毛+工？+Q+2)覆=2(1)有唯一解？(2)无解？(3)有无穷多解？并在此时求出其通解参考答案:-3、-2.于是0>'-1、+-2-3、-2.于是0>'-1、+-2,依为任意常数)„矩阵为中1-21—巨阵为11°)°3To

(J100、1,由此可知0>1+A1 1Solution同=1 1+A1=(3+A)A2.1 1 1+A(1)当2h-3且2H0时，有14|w0,方程组有唯一解.T出(4)=R(B)=2,方程组有无穷多解，解为x=k1■R(A)hR(B),原线性方程组无解.Xj+x2+2x3=—k上满足什么条件时，方程组・X1+2X2+3=M有唯一解，无解，有无穷多解"2x,+x,+k:x,=056、 Lr》参考答案:

Solution由于一.fSolution由于一.f1Mt0ojI。i2一左)n1k-2后+无一0-1k2-42k)101 2 -k1 k-2 k2+k0(左一2X左+3)封4+3)」(1)当k*2且k#-3时，线性方程组有惟一解.⑵当无=2时,有火(4)=2,及(6)=3,原线性方程组无解.(3)当上代+3)=0时，有R(A)=R(B),原线性方程组有解.当上=0时,0-0120J100200-0120J10020、00J这时线性方程组只有零解.当左=-3时，123、门1 2-3990,T0(01-16fo~-3990,T0(01-16fo~6Jk01-56,这时方程组有无穷多解.000,2已知矩阵.4=°057、000200020-308且.皿1=氐41+2£,求3参考答案:Solution因为.4BA1=BA1+2E,右乘.4得至ijWB=6+24,进而(4-E)B=2A,00、'1000、000 1001o，因此(/一£尸=-1010,故c3c10L0—0—1 7 1010-310由于.4-E=]、°0001670040O406-74O-2O=5'-1 1 0、计算矩阵-4 3 0的特征值与特征向量58 I1° 4参考答案：Solution由于-IT1 0-4 3—2 0 =(2—2)((-】1 0 2-2于是/的所有特征值为1.2.当2=1时，解线性方程组(4-E)x=0,Fl为占一2,其中用工0为任意常数.当2=2时，解线性方程组(N-2E)x=0为抬0,其中心工0为任意常数.fl1f设三阶方阵4=011',且/，一459、 10°J-^X3->i)+4)=(2-AXl-A)^f-q得基础解系为,-2，对应的所有特征向量,得基础解系为0卜对应的所有特征向量B=E,求矩阵B.参考答案:’1(4£)=001-12、001-1100 1(1-12、所以/"=’1(4£)=001-12、001-1100 1(1-12、所以/"=01-1I。。L’02-3、进而6=002*00>设4阶方阵.4、6、C满足方程（2E-=C-i,试求矩阵.4,其中’12-3-2、012-3B=0012、000 1,60、 、 '参考答案："1201"0120C—0012,0001,Solution根据(2E-C1B)At=Cl,得C(2£-C-15).4T=CC-1’1234、‘1-210123,因此（2（7-3尸=01-2由于2C—B=0012001、000、000(2C-B).4T=£,所以/丁=(2C-B)-1.011)1 0 00、-2100Solution显然4|=1*0,于是A可逆，因为-4*-AB=E,所以d-E=AB乘/T,得5=4—由于1-11001 fl101011010—>01001

01001J 100100-1

0

0因为仍一.4），=0-1

0

0因为仍一.4），=00、0101I0.(15分A[J]13a、-610,试确定当，为何值时，向量012,5=022月N,6,X满足(E-5-J)TbTX=E.求X,X“*61、参考答案：Z.Solution由于（七一6-14）1万3=七，即b（E-6J）『干=E,进而（B-A）rX=E,所以X=［（B--I1.（15分一组a］，G，/，内线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组■62、参考答案:"1o0、0-1-2

0

0(33-1—7"1o0、0-1-2

0

0(33-1—7”9-1一35132-1t+2-2、-40-2、—6

100010一斤为-3-

—>-1-2

0

0'100、03-1-703-1—4t—7-2-40

t-2-2、-412工+6,(15分w于是火（勺,火,。3，《4）之3,只有在"2=0,即S2时长（。卜的《3«4）=3,进而外,%,%,4线性相关.此时，可选外,%,%为极大戏组. （5分”向量组%=(1.3,2,0尸,％=(7,0,14,3)。6=(2,-L0,1)。&=(5,1,6,2/,%=(2,-1,4」尸，(1)计算该向量组的秩，(2)写出一个极大无关组，并将其余向量用该极q 大无关组线性表示.参考答案：Solution及(%%%4,6)=3,%,%生为一个极大无关组，2 1 1 1A用正交变换化二次型/(、叼多)=2*；+3*+3*?+4々为为标准型,并写出所作的变换-64、参考答案：‘200、■l.Solution所给二次型的矩阵.4=032."因为|N-因为|N-花|=002+q 5-A 2 1 2=(2—/) =(2-zX5-A) =(2—2X5—/XI—2),户版4的特DXLjz» XJ~~zL征值为1,2,5.（10分），’0、当；1=1时，齐次线性方程组（，-E）x=0的基砒解系为犬1=-1,单位化得（L0P\=(5分P\=(5分A1<a>当』时,_“9。3皿心皿(5分A当；I=5时，齐次线性方程组（.4-5E）x=0的基砒联系为芭3取P=S1，P”3）取P=S1，P”3）1o0，在正交变换X=凸•下得二次型的标准型为f=y\+2y：+5y/.（5分）。已知向量组《i,a：,as线性无关，且凶=ai-az,代=2ai+2az-a”隹=ai-a?+2a3.证明向_量组隹，用线性无关.参考答案：Proof假设无必+k2fl2+k3fl3=0,则左］（勺-a2）+k2（2ax+2a2+g）+Ar3（a1—a1+2a3）=0,于是，g+2冬+&网+（飞+2右一号）0+&+2号）a3=0.因为a1,名,外线性无'及+2&+号=0 121关，所以一自+2无2-自=0.由于-12—1=8*0,所以左1=e=&=0,因此的+2&=0 012匹鱼血线性无关―48是同阶对称矩阵，证明：48为对称矩阵的充要条件是A与8可交换.参考答案:Proof(=>)因为45是同阶对称矩阵，若一必为对称矩阵，则.4B=(皿T=5/T=R4(U)因为43是同阶对称矩阵，若4与5可交换，则AB=B.A 4T=(AB)T.设2=-5是”阶可逆矩阵A的一个特征值：证明：*=士是E+-4"的一个特征值，5其中E是”阶单位矩阵.参考答案：1 4Proof因为义=-5是”阶可逆矩阵.4的一个特征值，根据特征值的性质知."mI+oMg—55是E+N"的一个特征值.1设向量组4 …41n线性无关，向量从可由向量组N线性表示，而向量生不能由向蚩组<线性表示.证明向量组勺,…,a./1+2必线性无关.2.证明：(1)可逆方阵无特征根0.(2诺冬为可逆方阵A的一个特征根，则是4"的一个特征根.参考答案：LProof假设勺M,…%.M+鱼线性相关，则存在不全为0的数曷,自，自，…心,左，使得左1al+k2a2+k3a3…+kmam+k(fll+^2)=0,可证>#0,否则q,a：,…a”线性相关，矛盾”由于2#0,因此生=-：(&q+抬a?+依田…+院%+妫)，又因为向量4可k由向量组幺线性表示，而向量生不能由向量组.线性表示，与已知条件向量必不能由向量组d线性表示矛盾.所以外,%.…a”/1+生线性无关.Proof(1)设/为”阶可逆矩阵，.4的”个特征值为乙，4，…，儿,则有|.4|=4A2…4H0,故.4无特征值0.(2)设x为属于特征值4的特征向量，则有-=4乂A-l-Ax=^A~1xx=^A1x.由(1灿一工0,于是八=小,即有是的一个特征值.

69、5.设pi,p＞依次为n阶矩阵.4的属于特征值zi，z：的特征向量，且小，右,证明p\-pi不是4的特征向量69、参考答案：5.Proof假设一八是.4的对应于力的特征向量，即.451-八）=/3一八）一由于2-4（6—八）=Ap\~Ap-y=4Pl~~，所以4Pl-4八=z（n-尸。，于是（4-^）P\+（-4+^）Pi=o.（20分）~根据特征值的性质，知4一五=一4+；1=0,进而4=4，矛盾.（io分”设外n是矩阵N的不同特征值的特征向量.证明外+小不是N的特征向量♦70、参考答案：5.Proof令pi,2是/的对应于不同特征值4,否的特征向量，即Apx=X1p1,Api=A2P＞（10分9假设Pi+八是4的对应于/的特征向量，即.431+尸2）=/（巧+尸）由于。-4（「1+P。=珈+Ap：=4Pl+4P2，。所以4Pl+4P2=A(pj+p2)>于是(4-a)Pi+(Aj-a)p2=o.(20分a根据性质4,知4一2=22-2=0,进而4=4，矛盾.(io分“).若方程组有非零解，则2=().[foq-x2=0@A.-1。B.1OC.2OD.011111-X 1 1 y一,TOC\o"1-5"\h\z方程，，C,=0的所有根为( ).1 2—x 11 1 1 3-x◎A. 0, 1,2OB.1, 2,3OC. 0, 1,2, 3OD.1, 2,3, 43、下列各向量组线性相关的是(B).rA.%=(20)«2=(010)，6=。0，1)rB.%=(必3)«=(456)9=(ZLO)3,1c.勺=(93)4=(24,5)41D«i=(1,2,2), =(2,1,2),a3=(2,2,1)4、如果4是〃阶矩阵/的特征值，那么必有( )@A.14-4引=0@B.|-4-x^E|*0，C.A-^E=Q已知阮、内是非齐次线性方程组4=。的两个不同的解，■、是其导出组速，=0TOC\o"1-5"\h\z的一个基础解系，也依为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成（ ）.左阿+做A+A）+左YOA. 2左画+号（4+%）+>:“'6、下列关于巧，巧，毛的二次型正定的是（ ）-..a.x；+2冲2+2宕+x；@B.X；+2x；CX；+2xjX3+lx；OD.1x；+2xiW+2x”W7、向量组G,e,…‘心的秩为r,且Ys,贝" ）.a\,a：,…,a：线性无关ai,公，…,a：中任意r个向量线性无关•c.a】，公，…，处中任意r+1个向量线性相关D.©,0,…,a：申任意厂-1个向量线性无关8、设.4、5均为3阶方阵，且.4与5相似〃的特征值为1,2,3,则（”）一1特征值为（ ）.A.229、下列矩阵为正交矩阵的是（）.L1-2.rioo'-0103L00Iriirgiii©c.[111.T-21在⑥D.L52-10、矩阵A与8相似.则下列说法不正确的是( )@A.R(A)=R(B)©B.A=B•C.Ml=忸ID.style="text-indent:32px">>4^SW相同的特征值设/为设/为？!阶方阵,m-«2-ms=ns且⑷*0,即A=4 1则/“=（）.（4JTOC\o"1-5"\h\z4”4蝴A.14 J、A=A~l©B,、 石L'I 、A=A~l®C. 、 4t' 1、A=dj[-1©D.14 ）12、已知4为〃阶方阵，且满足4=2£,E为单位阵，则（/_e）-i=（ ）•A.E+AOB.E-AQC.A-E0D.413、设G,0是线性方程组Ax=A的解，〃是对应齐次线性方程组Av=0的解，则（A."+8是念=0的解•b_V+（ai-«2）是£v=0的解«1+公是Av=b的解©-公是4r=〃的解已知线性方程组的系数矩阵.4是4x5矩阵，且彳的行向量组线性无关，则下列结论正确的是（ ）®A.A的列向量组线性无关€>B.线性方程组的熠广矩阵的任意四个列向量线性无关@C.线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关♦D.线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关下列各向量组线性相关的是（ ）.A%=Q2,3),%=(2,4,5)%=Q22),4=(2J2),%=(2,2,1)C.%=(LO,O),Oj=(0,1,0), =(0,0,1).D=(1.2,3),Oj=(4.5,6),03=(2,1,0)16、设45为同阶可逆矩阵，为数，则下列命题中不正确的是( ).OA.{A'lYx=A(S)B.(5=讶(AS)-1=BXA-X17、二次型/=4+10。宕+行+2毛毛-再毛+毛毛是(•A.正定的B.负定的©C.半正定的style=,'text-indent:14px;line-height:150%,'>不定的18、设4为”阶方阵,4的秩R⑷=r<n,那么在A的〃个列向量中(⑥A.必有r个列向量线性无关OB.任意r•个列向量线性无关-C.任意r•个列向量都构成最大线性无关组•D.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出19、设”阶矩阵/满足Z'=.4,则.4的特征值为( ).©A.1OB.±1OC.0@D.0或1设4B均为n阶方阵,E为n阶单位矩阵，则有( ).(A)(1A+B)~= +2.4B~B' (B)(AB)'=A:B:(C)(A+3EXA-3E)=A2-9E (D)|一541=|-51|41vu、A(A+B)2=A2+2.4B+B2(--tB)3=A:B:.c(Z+BEX/TE)"-9E0D.\-5A\=\-5\\A\21、设4为三阶矩阵，且⑷=2,则1（/*）力=（ ）.1•A.4。B.1OG2OD.422、设«阶方阵/的行列式M=0,则4中（）.@A.必有一列向量可有其余列向量线性表示®B.任一列向量是其余列向量的线性组合C.必有一列元素全为0❷D.必有两列元素对应成比例〃阶方阵.4与对角阵相似的充要条件是（ ）©A.A是实对称阵dB.A有n个互异特征值@C.A有n个线性无关的特征向量D.A的特征向量两两正交24、设/是Rx"矩阵，则齐;谊戋性方程组Ax-0仅有零解的充分必要条件是（）.❷A./的行向量组线性无关OB.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-height:150%”>.4期亍向量组线性相关⑼C..4的列向量组线性无关D.style="margin-top:7px;margin-bottom:7px;text-indent:14px;line-height:150%”>.4胁i］向量组线性无关在下列矩阵中，可逆的是（ ]q10、2201000、011b2L勺00、111•C.V10”勺00、0100D."°426、设/、5是〃阶方阵，则K为用=|（亚）4|=万⑷|巩（（jaJ@B.x“设4,B为”阶方阵，则H+5TI+网OA.V@B.x28、设向量组勺，叼，…人的秩为万则—-A.a/⑥B.x_Q若/与5相似，^\A-/£=B-/£.QaJ@B.xTOC\o"1-5"\h\z30、方阵/可对角化的充要条件是.4有〃个不同的特征值.（ ）•A.y-B.x31、若向量组©,ai,as,G中姓，m,cu线性相关，贝ijai,a：,03,a,线性相关.（ ）€）B.x设.4、方为同阶方阵，则必有0+初/-而=--严（ ）32、@B.k33、若”阶方阵./=£•,贝k4=E或4=-E （ ）k.J®B.x3/若线性方程组4t=0有非零解，则。=0有无穷多个解.（ ）⑥AJB.x35、设3阶方阵.4=(ai,g,as),且固=2,则B=(-2ai+3m, 可逆.( )©AJOb.x36、若4r=6(b#0)有无穷多解，则4r=0也有无穷多解 ( )⑥A.J-B.x-11TOC\o"1-5"\h\z设4=1 1,则二次型/(XI,功=24T是负定的一 ( )3/\ —L©AJ(JB.X若名,久,…,科为线性方程组击=0的基础解系，则与％/2,小等价的向量组也为38、 此线性方程组的基础解系. ( )®>A.a/Ob.x4 i39设a=2是矩阵.4的特征值，则尤=：是矩阵的特征值.( )@AJOb.x设4、5为两个不可逆的同阶方阵，则⑶=网( )⑥AJOB.x转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( )⑥AJ若=0只有零解，则/r=b«b丰0)有唯一解.©AJOB.x43、已知4、5为〃阶方阵，贝=-A.a/<®B.xTOC\o"1-5"\h\z44、若”阶方阵45都可逆，则/+6与H5也都可逆.（ ）QaJ（&B.x设”阶实矩阵z=（%）»“,44…4,是它的“个实特征值，则有45 4%…4=14L （ ）与AJOB.x如果〃维向量组勺,外,外,对于任意一组不全为零的数I上2,招，总有46、占用+左2々2 成立,则向量组勺,火,々3线性无关 （ ）⑥AJOB.x47、设4、5为mx”矩阵，目尺0）=五（力，则存在可逆矩阵P、Q,使P4Q=A（ ）@AJ

.B.x48、设』、防〃阶方阵，且IB=0,但⑷*0,则5=0. （ ）@AJOb.x49、若.4可逆，则.4的伴随矩阵449、⑥AJCB.x

50、方阵43abla一定不可逆•OaJ<&B.x0n2123勾3anan93已知3阶行列式24r214a口6a23=6,则a：la21a23=(3a316a329a33a3la31a33)-1731忑b1V3-2一V6a/721A1币1一76772g为正父矩阵，则a=( ),*=( ).已知a=(l,2,3),则=53、f123]246、369,54、设三阶方阵a的三个特征值为1,2,3,则区+£]=( ).24(2设三阶方阵，4=0(2设三阶方阵，4=0x、0200、可逆，则匕N应满足条件(3xh2y3xh2y3矩阵"3矩阵"-156、L102所对应的二次型是（223x{-2巧巧+2xjX3+4x2x3+2xfA-2x2+3x3=-1若线性方程组＜ 2x?-否=2无解，则2=( )Ax3=之+20已知占=0,士=［是3元非齐次线性方程组.公=b的两个解向量，则对应开次线性方程组4r=0有一个非零解向量广58、 （159、fl若矩阵59、fl若矩阵.4=110k0是正定矩阵，则上满足（0段.4为3阶方阵，且|4|=-2,4♦是.4的伴随矩阵，贝lj|44"+/|=( )-4"102)N为5x3矩阵,灭(4)=3,5=020,贝i"(AB)=( )10。3,

向量组(H)：勺42,…,a,与向量组(5):从/力…等价，且向量组(.4农戋性无关，则r与TOC\o"1-5"\h\zs的大小关系是( ).7] /I) T、）.设向量组勺=1，=一2,%=1线性相关>则数”(）.Lv 11) 1-2,3设4为3阶方阵，且［41=一2,4♦是.4的伴随矩阵，则|44"+4*卜( ).-4T-1n设.4=2 4a,且4的特征值为4=6.& =2如果.4有属于特征值2的两1-3-35)65、个线性无关的特征向量，贝必=( ).p2009]101J设2阶实对称矩阵/的特征值为1,2,它们对应的特征向量分别为%=则数k=(设,4=31，%,々3），5=（。1+%+%，。1+2%+4%，。1+3%+9々3）,且⑷T,则\B\TOC\o"1-5"\h\z68、=（ ）•2_ I一次型作bX2,⑼n（Xl・X2）2+S-X3）?的矩阵/= .T-10、—12—1.、o-i L70、设线性方程组£r=0,.4是45阶矩阵，如果火(，)=3,则其解空间的维数为( ).2设46为同阶可逆矩阵，则=| )72、设a与倜内积(a,m=2,|同|=2,则内积(2a+.,/)=().-8向量组，=(L2,3,4),a,=(2,3,4,5),%=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7)的秩为73、( )・274、设/洒足3E-4・/=0,则/"M( ).-(A-E).(] 、-1设三阶方阵/的特征值为1,2,-1,贝的特征值为( )75、 12 )-1,-2,1已知4=；::,求其特征值与特征向量.76、Solution令|Z-AE|=-A-17 11-z=(3-zXH-A)+7=A2-14A+40=(2-4Xa-10)=0,得/的特征值为尤=4〃Solution令|Z-AE|=-A-17 11-z=(3-zXH-A)+7=A2-14A+40=(2-4Xa-10)=0,得/的特征值为尤=4〃=10.当/=4时，齐次线性方程组G4-4E)x=的基础解系为(二)，于是对应于2=4的特征向量为同二)，面x0.当/=10时，齐次线性方程组(4-10E)x=(3；10的基础解系C)4oo…oaaxb200 0计算行列式0a2b3…0 0::.....77、0 0 0 -4*1bn为11J,于是对应于x=10的特征向量为kzSolution将所给行列式按第1行展开，有“00…0anal b2 ° …。°0 a2 b3 — 0 00 0 0 …—bnb. 0b2a200-- 0b3- 0o0%=b向…4+(-1严。四2…4-X1+X2当X1+X2当a,匕为何值时，方程组， 孙*X3=1-X3=l 有无穷多解"并求出其结构