数学命题教学设计课件

第五讲

数学命题教学设计华东师大数学系李俊第五讲

数学命题教学设计1数学命题（原理、规则）教学数学中的命题主要包括公理、定理、法则、公式，它们都是真命题。数学命题揭示了若干概念之间的联系。学习数学命题，不仅是为了掌握这些数学命题，而且是为了能运用它们解决实际问题或为进一步学习做必要的准备。与概念教学一样，也常常从具体例证开始。因为涉及几个概念以及它们之间的联系，所以学习层次和复杂程度会较概念学习高。数学命题（原理、规则）教学数学中的命题主要包括公理、定理、法2得出数学命题的一般顺序已有知识→发现命题，教师并不直接给出命题，学生通过回顾已有知识，观察、研究例证，推导或概括出命题，类似于概念的上位学习。教学中应注意联系学生已有的知识，并为推导或概括铺设难度适中的台阶。接受命题→例证检核，教师先给出命题（可证明也可不证明），再通过例证引导学生理解命题的意义，类似于概念的下位学习。教学中应特别注意让学生体会命题自然合理的一面。得出数学命题的一般顺序已有知识→发现命题，教师并不直接给出命3数学命题学习的认知过程观察例证发现命题接受命题例证检核建构解决问题反馈证明/分析数学命题学习的认知过程观察例证发现命题接受命题例证检核建构解4命题教学的一般过程（1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预备知识掌握情况；需要提供例证；需要引发认知冲突或营造问题情境。命题教学的一般过程（1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预5变枯燥乏味为跃跃欲试合并同类项今天，我们来一个点名做题比赛，我给出一个多项式：对这个多项式，由一个同学给出x、y各一个值，让另一个同学说出这个多项式的值，好吗？如果回答正确，就可以再给出x、y各一个值，去考他想考的同学。生1：x=0.15，y=10，请生2回答。生2：……师：我来回答吧，是1.5，想知道我是怎么算出来的吗？变枯燥乏味为跃跃欲试合并同类项6命题教学的一般过程（2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，如不需要证明，则提供材料让学生体会命题规定的合理性。命题教学的一般过程（2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，7

一初中教师花90秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题想到杂技节目“抛盘子”“过了这个村就没了那个店”怎么教？初中幂的除法m,n是正整数，m>n,则有一初中教师花90秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题想8如何就幂的除法讲道理m,n是正整数，m>n,则有方法1：因为所以，一般地有……方法2：因为方法3：因为n个am-n个a还有什么？开放题如何就幂的除法讲道理m,n是正整数，m>n,则有n个am-9命题教学的一般过程（3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。（4）循序渐进地应用（正用到逆用）命题，将命题纳入到已有的知识体系中去。命题教学的一般过程（3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过10公式法解一元二次方程复习提问复习“直接开平方法”，如x2=4；(x-2)2=7；(x-2)2=-7这种解法的理论依据是什么？局限性是什么？方程2x2+7x-4=0怎么解？配方成能够“直接开平方”，要求学生说明每一步的依据最关键是哪一步？它的运算依据是什么？公式法解一元二次方程复习提问11若把二次项的系数2改为3，-2，…一般地，改为a≠0，对方程ax2+7x-4=0会配方吗？若把一次项系数7变为b，把常数项-4变为c，对方程2x2+bx-4=0，2x2+7x+c=0，ax2+bx+c=0会配方吗？若把二次项的系数2改为3，-2，…一般地，改为a≠0，对方程12公式推导…与课本不一样！公式推导与课本不一样！13公式得出后的使用，要求说出a,b,c并解方程x2-3x+2=02x2=4-7xx2-2x+2=0小结使用公式法解方程的完整过程练习，达到熟练公式得出后的使用，要求说出a,b,c并解方程14一元二次方程应用例题1一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？练习1用100厘米长的铅丝，弯成一个长方形的模型，分别在下列条件下，求相邻两边的长（1）长方形的面积是525平方米（2）长方形的面积是625平方米（3）长方形的面积是700平方米练习2利用墙的一边，用篱笆围成一个长方形ABCD，总共用去篱笆35米，为了使这个长方形的面积为150平方米，AB和CD边各应多少米？练习3利用长为22米的墙的一边，用篱笆围成一个长方形ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，AB和CD边各应多少米？一元二次方程应用例题1一块长方形绿地的面积为1200平方15命题教学的一般过程（5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教学对有兴趣继续钻研的学生具有开放性和启发性。命题教学的一般过程（5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教16小结公式是什么？读法？根由方程的系数a,b,c完全确定，与未知数写成什么字母无关。它回答了解方程的三个基本问题：有没有解？多少解？解是什么。步骤？公式怎么来的？配方，推导过程前半部分是“配方法”，后半部分是“直接开方法”，开方的实质是把一个二次方程化归为两个一次方程。公式法具有通用性和简单性。公式之外还有什么？有了系数a,b,c，就能求出相应的根或者指出根不存在，那么，根与这三个系数之间应该有确定的关系，是什么呢？下节课继续研究。c=0，灵活；与其它方法的关联；两边乘更高次数方程的求解；公式解小结c=0，灵活；与其它方法的关联；两边乘更高次数方程的求解17数学命题教学的设计重点是什么(条件、范围、结论）为什么（推导/合理性）如何用（简单应用、逆用、变形等灵活应用）涉及例题和课堂练习的设计

引申和拓广：还有什么数学命题教学的设计重点是什么(条件、范围、结论）引申和拓广18Harmin

InspiringActiveLearning：aHandbookforTeachers教学的革命:创新教育课程设计施教篇激励篇组织课堂篇测试篇思考篇提供一套切实可行的教学策略营造一个有吸引力的课堂提高考试分数提高学习者的责任心减少不当行为便于新教师施教HarminInspiringActiveLearni19营造一个有吸引力的课堂在这种课堂上能够观察到以下五种高水准的品质尊严(Dignity)

自信、好学的精神面貌活力(Energy)参与、生机勃勃自我管理(Self-management)集体感(Community)共同学习，取长补短意识(Awareness)机灵、专注、好奇、富有创见营造一个有吸引力的课堂在这种课堂上能够观察到以下五种高水准的20培养学生高参与的策略活动流课程计划流畅，吸引快节奏集中注意力，避免问“还有什么问题吗？有层次，不条块分割螺旋上升，联系有限制的变化避免枯燥，多角度，避免混乱和不安全感培养学生高参与的策略活动流课程计划流畅，吸引21提高学生自信的策略使用真理启示语可以犯错误，那是我们的学习途径；勇于尝试，我们就能成就更多、学到更多。张贴并逐渐深入讨论超越表扬与奖励上瘾、不公、操纵、吹捧等副作用，真诚的欣赏，理解，关注，直截了当，对错误暂时保持沉默，表扬集体提升卓越奖励好学生是鼓励其他学生最差的一种方法，惩罚差学生是促进他们和其他普通学生最糟糕的一种方法提高学生自信的策略使用真理启示语可以犯错误，那是我们的学22评价策略家庭作业给学生以选择家庭作业的权利，量、内容、时间由学生自己定；学生互批、交流作业；简短地召见每一个学生了解困难考试与计分不强调分数，强调学习和形成良好的终身学习习惯，减轻拿不到高分的学生的沮丧与灰心，减少花在考试和评分上的时间；集体核对，成长档案（自我设计、自我管理的一个学习工具）；学生想提高分数的办法；与家长的联系卡评价策略家庭作业给学生以选择家庭作业的权利，量、内容、时23思考策略知识的复习与掌握集体回答，复习测验，小组互助学习，报告或表演激发思考归类，说出共同点与区别，写总结，预测，解释，解难题，小组讨论超越事实与细节围绕一个概念/规律而不是一串事实来组织一堂课；联系实例；让学生举例说明如何应用，说说你知道的和你想知道的思考策略知识的复习与掌握集体回答，复习测验，小组互助学习24马明老师的一个故事我在初中学习“用文字代表数”这一节就感到困难，而老师则不理解我的困难。题目是：已知长方形的长为a尺，宽为b尺，求周长。我算得结果是2(a+b)尺。我问老师：“究竟这个长方形的周长是多少？”老师：“你不是已经算出来了吗？”“没有呀!”“不是已经算出来了吗?2(a+b)尺呀！”“长方形一周究竟是几尺，我并没有算出来呀！”老师无语。马明老师的一个故事我在初中学习“用文字代表数”这一节就感到困25公式是一种形式化是“孺子不可教”还是老师实在不知道他在哪里产生了困难以及困难的原因是什么？字母代表数历来是初学者学习的难点，若小学用字母来表示周长、面积、运算律等，则教师要充分意识到字母表示数会比公式内容本身带来更大的困难引入之前要铺垫，引入时要解释字母表示的好处公式是一种形式化是“孺子不可教”还是老师实在不知道他在哪里产26法则教学讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习的兴趣讲得好，也会让学生看到数学理性的一面，而且蕴含着数学之美联系已有知识讲法则的道理很重要如何变枯燥乏味为跃跃欲试法则教学讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习27“有理数大小的比较”教材的安排：一周气温排序→在数轴上描点体会数轴上排序规定的合理性（气温排序，正数排序）→比较法则→练习“有理数大小的比较”教材的安排：一周气温排序→在数轴上描点体28第五讲数学命题教学设计课件29教材设计缺乏层次，“硬灌”成分多，可考虑重新设计。可粗分为正数之间比、一正一负比、两个负数比三类可以设第一层次的问题：“+6和+2哪一个大？在数轴上，它们哪一个在右？+6比+2大，在数轴上，+6在+2的右边。我们记作+6＞+2或+2＜+6。”数轴有理数的表示刚学两个正有理数大小的比较在数轴上表示两个正有理数，右边的总比左边的大比较两个正有理数可以看位置坐标法思想和数形结合思想第一层次问题：谁大？谁在右？√教材设计缺乏层次，“硬灌”成分多，可考虑重新设计。数轴有理数30第二层次问题，“想一想：甲地的温度是+4℃，乙地的温度是-10℃，哪一个地方暖和?在数轴上+4与-10哪个在右边?”一致!生活经验+4℃比-10℃暖和没学过+4与-10哪个大?一正一负有理数大小的比较在数轴上表示一正一负有理数，右边的总比左边的大比较一正一负有理数也可以看位置第二层次问题：哪一地暖和？谁在右？√第二层次问题，“想一想：甲地的温度是+4℃，乙地的温度是-131第三层次问题：“在数轴上，-3与-8哪一个在右边？”两个负有理数的大小比较，不再用甲乙两地温度比较的实际背景来引入，抽象到在数轴上比较，突出绝对值的几何意义。类比思想、转化思想-8-3第三层次问题：“在数轴上，-3与-8哪一个在右边？”类比思想32第四层次，归纳出结论“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的大。”以及“正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。”归纳思想第四层次，归纳出结论“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比33“负负得正”用到加法去了一些学生学习有理数的加减法时完成得很好，但学了乘除法之后回头再做加减法题目，比如（-2）+（-4），把“负负得正”用上去了。“负负得正”用到加法去了一些学生学习有理数的加减法时完成得很34日本学生对分数除法的认识清水美宪调查对象：小学6年级和初中7年级共590个学生题目：1. 8/15÷2/5正确率为97％和96.6％2. 有一个女孩是这样考虑的：“做8/15×2/5时，我是分子与分子相乘，分母与分母相乘，然后相除的，那么现在类似地，我就把分子与分子相除，分母与分母相除，即8/15÷2/5＝（8÷2）/（15÷5）＝4/3但是，做2/5÷3/4时她感到困难了。你对她的方法怎么看？正确率为73％和65％（1）是对的（2）是错的 （3）虽然与我的不同但也是对的 （4）其他请写出你作选择的理由。答“是错的”中的

61％和53％称“因为她没有颠倒”日本学生对分数除法的认识清水美宪调查对象：小学6356个月后对象：16名参加过第一次调查的7年级学生被分成8对。4对（错，错）4对（对，错）两人讨论。题目：与第一次测试完全类似的2道题结果：许多原来选“是错的”学生这次仍坚持说“是错的”，只有2名在与同伴一起讨论后彻底改变了立场，有5名始终丝毫不改变立场，在混合组中原来选“是错的”学生立场有些转变但不稳固6个月后对象：16名参加过第一次调查的7年级学生被分成8对。36清水美宪说：请注意高分背后的“思维固执”不用乘以倒数的规则所以是错的死抱法则，是不管条件符合不符合用了再说的根源会做不等于理解清水美宪说：请注意高分背后的“思维固执”37在上海的一个调查结果“老师既然说了方法，就一定是最简便的方法，所以（李明的方法）是错的。”“因为他不按照正确的方法去做，虽然有时碰巧能对了，但大布份（部分）是不行的。”“因为分数除以另一个分数＝分数乘以另一个分（数）的倒数，李明没有这么做。”“李明的概念不够清楚，将分数的乘法与除法搞混了，应该乘以倒数。”“老师不是这样教的，我是好孩子，听老师的。”在上海的一个调查结果“老师既然说了方法，就一定是最简便的方法38数学知识教学的常见病没有形成基础，强加于人对使用的条件印象模糊，不会应用死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，无法对付变化造成①不让学生参与形成概念的生动过程，降低概括水平；②不揭示命题的形成过程，降低了理解水平；③忽视数学方法的探讨过程，加重学生记忆负担，降低了分析水平。学生只会复制，不能发展，因循守旧，不能开拓创新。数学知识教学的常见病没有形成基础，强加于人39定理的教学定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难已有知识的熟练数学语言的听说读写形成逻辑推理的思维定理的教学定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难40 判定四边形为平行四边形平行四边形的性质：两组对比平行一组对边平行且相等对角相等判定四边形为平行四边形的途径？ 判定四边形为平行四边形平行四边形的性质：41在“三角形内角和定理”的课堂上如图，用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C固定不动，放松皮筋后，点A自动收缩，产生一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC……，请观察其内角和会产生怎样的变化？生：内角和不变，都是180°师：好，说说你是怎样观察出来的？生：小学老师教的。师：是的，小学介绍过三角形的内角和等于180°，但没有证明。进入中学阶段，我们要给出一个严格的证明。在“三角形内角和定理”的课堂上如图，用橡皮筋构成△ABC，其42通过图示我看到，当点A趋向于BC时，∠B，∠C趋向于0°，而∠A趋向于180°，合起来，三角形内角和趋向于180°；同时，这个图形还告诉我们怎么证明师：好，你说说证明。生：设三角形的内角和为x°，在BC上取一点D（相当于A的运动终点），连AD，有

……x+180°=2x，∴x=180°师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对？通过图示我看到，当点A趋向于BC时，∠B，∠C趋向于0°，而43改进版师：观察点A沿BA方向运动的情况。当点A变为BA延长线上的A1，A2，时，∠A变小，∠C变大；当点A奔向太阳，即∠A→0°的一瞬间，产生出平行线CA0∥BA，由同旁内角之和等于180°，∠C→180°-∠B，猜想内角和→180°且改进版师：观察点A沿BA方向运动的情况。当点A变为BA延长线44勾股定理设计一日本教材的编排是在章首提出两个问题：Q1下图①,②中，分别以直角三角形ABC的3条边为边向外画正方形。Q2求出Q1中各个正方形的面积，填入下表。并在图③中画与①,②不同的直角三角形，用相同的方法求面积。勾股定理设计一日本教材的编排是在章首提出两个问题：45猜想→证明→（三平方）定理证法一猜想→证明→（三平方）定理证法一46自由研究：勾股定理的其他证明证法二证法三还有没有其他证明方法？利用附录中的图来考虑一下自由研究：勾股定理的其他证明证法二证法三还有没有其他证明方法47附录给的三种图示证法附录给的三种图示证法48淡化发现与证明，注重应用该日本教材还设立2小节讲定理在平面图形中的应用（求平面中如边长、弦长、圆心距等、求两点间的距离、探究在数轴上表示带根号的数字的方法等问题）和它在空间图形中的应用（求空间中如长方体对角线长等问题）。淡化发现与证明，注重应用该日本教材还设立2小节讲定理在平面图49知道三边长，能求三角形面积吗？小明：“不知道三角形的高就没法求面积。”惠子：“作顶点A到BC的垂线AH，并设BH=xcm……。”小明：“△ABH和△ACH可以用勾股定理。那么AH2可以表示成两个方程式，x的方程式可以表示为……。”惠子：“若知道x的值，则AH的值也可知。3边的长都知道的话，那么三角形的面积也可以知道了！”知道三边长，能求三角形面积吗？小明：“不知道三角形的高就没法50在圆锥中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥侧面绕行一周。请回答以下问题。 （1）求圆锥的高和体积。 （2）求绕行轨迹的最短长度。在圆锥中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥侧面绕行一周。请回答以51勾股定理引入的设计二复习三角形三边的关系：两边之和大于第三边，即便是较小两边的和也大于第三边。引导学生猜测、思考：三角形较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢？（分别考察锐角三角形、钝角三角形和直角三角形）勾股定理引入的设计二复习三角形三边的关系：两边之和大于第三边52勾股定理引入的设计三教师展示一块方格布传说在一次盛大的宴会上，毕达哥拉斯被地面上奇妙的花纹吸引住了，你认为他会想到什么数学问题？勾股定理引入的设计三教师展示一块方格布53勾股定理引入的设计四老师首先向学生介绍一个曾经在科技展览馆中见到的模型：由一个直角三角形和以其三边分别向外作正方形而得到的平面模型。利用多媒体课件展示这个动态虚拟模型：充盈在上面两个正方形中的象征性液体缓缓的注入到下面的大正方形中（刚好注满大正方形）。勾股定理引入的设计四老师首先向学生介绍一个曾经在科技展览馆中54形成逻辑推理的思维初学证明时，有的学生会分不清何时举例可以证明，何时举例不能证明分不清要证明的结论，证明过程中条件、结论一起用，用特殊图形解读一般条件分不清应用定理前，先要陈述满足所有条件，不能缺也不能多对策形成逻辑推理的思维初学证明时，有的学生会55一般认知发展过程言语连锁学习水平：会说，会背，但不理解命题的本质正向产生式水平（正用水平）：已在心理上形成“若……，则……”这一正向产生式，能够由满足命题的条件信息推出结论信息逆向产生式水平（逆用水平）：已在心理上形成“要……，就要……”这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件变形产生式水平（变形使用水平）：已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学命题模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，解决问题。一般认知发展过程言语连锁学习水平：会说，会背，但不理解命题的56小结数学命题的教学要求，其基本精神与数学概念教学是相同的，要联系学生的现实，最后要在整体上建构，但它也还有自己的特点，那就是更加重视从逻辑上去论证或分析，更加重视证明与运用，寻求从多种角度去讲道理。小结数学命题的教学要求，其基本精神与数学概念教学是相同的，要57第五讲

数学命题教学设计华东师大数学系李俊第五讲

数学命题教学设计58数学命题（原理、规则）教学数学中的命题主要包括公理、定理、法则、公式，它们都是真命题。数学命题揭示了若干概念之间的联系。学习数学命题，不仅是为了掌握这些数学命题，而且是为了能运用它们解决实际问题或为进一步学习做必要的准备。与概念教学一样，也常常从具体例证开始。因为涉及几个概念以及它们之间的联系，所以学习层次和复杂程度会较概念学习高。数学命题（原理、规则）教学数学中的命题主要包括公理、定理、法59得出数学命题的一般顺序已有知识→发现命题，教师并不直接给出命题，学生通过回顾已有知识，观察、研究例证，推导或概括出命题，类似于概念的上位学习。教学中应注意联系学生已有的知识，并为推导或概括铺设难度适中的台阶。接受命题→例证检核，教师先给出命题（可证明也可不证明），再通过例证引导学生理解命题的意义，类似于概念的下位学习。教学中应特别注意让学生体会命题自然合理的一面。得出数学命题的一般顺序已有知识→发现命题，教师并不直接给出命60数学命题学习的认知过程观察例证发现命题接受命题例证检核建构解决问题反馈证明/分析数学命题学习的认知过程观察例证发现命题接受命题例证检核建构解61命题教学的一般过程（1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预备知识掌握情况；需要提供例证；需要引发认知冲突或营造问题情境。命题教学的一般过程（1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预62变枯燥乏味为跃跃欲试合并同类项今天，我们来一个点名做题比赛，我给出一个多项式：对这个多项式，由一个同学给出x、y各一个值，让另一个同学说出这个多项式的值，好吗？如果回答正确，就可以再给出x、y各一个值，去考他想考的同学。生1：x=0.15，y=10，请生2回答。生2：……师：我来回答吧，是1.5，想知道我是怎么算出来的吗？变枯燥乏味为跃跃欲试合并同类项63命题教学的一般过程（2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，如不需要证明，则提供材料让学生体会命题规定的合理性。命题教学的一般过程（2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，64

一初中教师花90秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题想到杂技节目“抛盘子”“过了这个村就没了那个店”怎么教？初中幂的除法m,n是正整数，m>n,则有一初中教师花90秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题想65如何就幂的除法讲道理m,n是正整数，m>n,则有方法1：因为所以，一般地有……方法2：因为方法3：因为n个am-n个a还有什么？开放题如何就幂的除法讲道理m,n是正整数，m>n,则有n个am-66命题教学的一般过程（3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。（4）循序渐进地应用（正用到逆用）命题，将命题纳入到已有的知识体系中去。命题教学的一般过程（3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过67公式法解一元二次方程复习提问复习“直接开平方法”，如x2=4；(x-2)2=7；(x-2)2=-7这种解法的理论依据是什么？局限性是什么？方程2x2+7x-4=0怎么解？配方成能够“直接开平方”，要求学生说明每一步的依据最关键是哪一步？它的运算依据是什么？公式法解一元二次方程复习提问68若把二次项的系数2改为3，-2，…一般地，改为a≠0，对方程ax2+7x-4=0会配方吗？若把一次项系数7变为b，把常数项-4变为c，对方程2x2+bx-4=0，2x2+7x+c=0，ax2+bx+c=0会配方吗？若把二次项的系数2改为3，-2，…一般地，改为a≠0，对方程69公式推导…与课本不一样！公式推导与课本不一样！70公式得出后的使用，要求说出a,b,c并解方程x2-3x+2=02x2=4-7xx2-2x+2=0小结使用公式法解方程的完整过程练习，达到熟练公式得出后的使用，要求说出a,b,c并解方程71一元二次方程应用例题1一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？练习1用100厘米长的铅丝，弯成一个长方形的模型，分别在下列条件下，求相邻两边的长（1）长方形的面积是525平方米（2）长方形的面积是625平方米（3）长方形的面积是700平方米练习2利用墙的一边，用篱笆围成一个长方形ABCD，总共用去篱笆35米，为了使这个长方形的面积为150平方米，AB和CD边各应多少米？练习3利用长为22米的墙的一边，用篱笆围成一个长方形ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，AB和CD边各应多少米？一元二次方程应用例题1一块长方形绿地的面积为1200平方72命题教学的一般过程（5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教学对有兴趣继续钻研的学生具有开放性和启发性。命题教学的一般过程（5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教73小结公式是什么？读法？根由方程的系数a,b,c完全确定，与未知数写成什么字母无关。它回答了解方程的三个基本问题：有没有解？多少解？解是什么。步骤？公式怎么来的？配方，推导过程前半部分是“配方法”，后半部分是“直接开方法”，开方的实质是把一个二次方程化归为两个一次方程。公式法具有通用性和简单性。公式之外还有什么？有了系数a,b,c，就能求出相应的根或者指出根不存在，那么，根与这三个系数之间应该有确定的关系，是什么呢？下节课继续研究。c=0，灵活；与其它方法的关联；两边乘更高次数方程的求解；公式解小结c=0，灵活；与其它方法的关联；两边乘更高次数方程的求解74数学命题教学的设计重点是什么(条件、范围、结论）为什么（推导/合理性）如何用（简单应用、逆用、变形等灵活应用）涉及例题和课堂练习的设计

引申和拓广：还有什么数学命题教学的设计重点是什么(条件、范围、结论）引申和拓广75Harmin

InspiringActiveLearning：aHandbookforTeachers教学的革命:创新教育课程设计施教篇激励篇组织课堂篇测试篇思考篇提供一套切实可行的教学策略营造一个有吸引力的课堂提高考试分数提高学习者的责任心减少不当行为便于新教师施教HarminInspiringActiveLearni76营造一个有吸引力的课堂在这种课堂上能够观察到以下五种高水准的品质尊严(Dignity)

自信、好学的精神面貌活力(Energy)参与、生机勃勃自我管理(Self-management)集体感(Community)共同学习，取长补短意识(Awareness)机灵、专注、好奇、富有创见营造一个有吸引力的课堂在这种课堂上能够观察到以下五种高水准的77培养学生高参与的策略活动流课程计划流畅，吸引快节奏集中注意力，避免问“还有什么问题吗？有层次，不条块分割螺旋上升，联系有限制的变化避免枯燥，多角度，避免混乱和不安全感培养学生高参与的策略活动流课程计划流畅，吸引78提高学生自信的策略使用真理启示语可以犯错误，那是我们的学习途径；勇于尝试，我们就能成就更多、学到更多。张贴并逐渐深入讨论超越表扬与奖励上瘾、不公、操纵、吹捧等副作用，真诚的欣赏，理解，关注，直截了当，对错误暂时保持沉默，表扬集体提升卓越奖励好学生是鼓励其他学生最差的一种方法，惩罚差学生是促进他们和其他普通学生最糟糕的一种方法提高学生自信的策略使用真理启示语可以犯错误，那是我们的学79评价策略家庭作业给学生以选择家庭作业的权利，量、内容、时间由学生自己定；学生互批、交流作业；简短地召见每一个学生了解困难考试与计分不强调分数，强调学习和形成良好的终身学习习惯，减轻拿不到高分的学生的沮丧与灰心，减少花在考试和评分上的时间；集体核对，成长档案（自我设计、自我管理的一个学习工具）；学生想提高分数的办法；与家长的联系卡评价策略家庭作业给学生以选择家庭作业的权利，量、内容、时80思考策略知识的复习与掌握集体回答，复习测验，小组互助学习，报告或表演激发思考归类，说出共同点与区别，写总结，预测，解释，解难题，小组讨论超越事实与细节围绕一个概念/规律而不是一串事实来组织一堂课；联系实例；让学生举例说明如何应用，说说你知道的和你想知道的思考策略知识的复习与掌握集体回答，复习测验，小组互助学习81马明老师的一个故事我在初中学习“用文字代表数”这一节就感到困难，而老师则不理解我的困难。题目是：已知长方形的长为a尺，宽为b尺，求周长。我算得结果是2(a+b)尺。我问老师：“究竟这个长方形的周长是多少？”老师：“你不是已经算出来了吗？”“没有呀!”“不是已经算出来了吗?2(a+b)尺呀！”“长方形一周究竟是几尺，我并没有算出来呀！”老师无语。马明老师的一个故事我在初中学习“用文字代表数”这一节就感到困82公式是一种形式化是“孺子不可教”还是老师实在不知道他在哪里产生了困难以及困难的原因是什么？字母代表数历来是初学者学习的难点，若小学用字母来表示周长、面积、运算律等，则教师要充分意识到字母表示数会比公式内容本身带来更大的困难引入之前要铺垫，引入时要解释字母表示的好处公式是一种形式化是“孺子不可教”还是老师实在不知道他在哪里产83法则教学讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习的兴趣讲得好，也会让学生看到数学理性的一面，而且蕴含着数学之美联系已有知识讲法则的道理很重要如何变枯燥乏味为跃跃欲试法则教学讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习84“有理数大小的比较”教材的安排：一周气温排序→在数轴上描点体会数轴上排序规定的合理性（气温排序，正数排序）→比较法则→练习“有理数大小的比较”教材的安排：一周气温排序→在数轴上描点体85第五讲数学命题教学设计课件86教材设计缺乏层次，“硬灌”成分多，可考虑重新设计。可粗分为正数之间比、一正一负比、两个负数比三类可以设第一层次的问题：“+6和+2哪一个大？在数轴上，它们哪一个在右？+6比+2大，在数轴上，+6在+2的右边。我们记作+6＞+2或+2＜+6。”数轴有理数的表示刚学两个正有理数大小的比较在数轴上表示两个正有理数，右边的总比左边的大比较两个正有理数可以看位置坐标法思想和数形结合思想第一层次问题：谁大？谁在右？√教材设计缺乏层次，“硬灌”成分多，可考虑重新设计。数轴有理数87第二层次问题，“想一想：甲地的温度是+4℃，乙地的温度是-10℃，哪一个地方暖和?在数轴上+4与-10哪个在右边?”一致!生活经验+4℃比-10℃暖和没学过+4与-10哪个大?一正一负有理数大小的比较在数轴上表示一正一负有理数，右边的总比左边的大比较一正一负有理数也可以看位置第二层次问题：哪一地暖和？谁在右？√第二层次问题，“想一想：甲地的温度是+4℃，乙地的温度是-188第三层次问题：“在数轴上，-3与-8哪一个在右边？”两个负有理数的大小比较，不再用甲乙两地温度比较的实际背景来引入，抽象到在数轴上比较，突出绝对值的几何意义。类比思想、转化思想-8-3第三层次问题：“在数轴上，-3与-8哪一个在右边？”类比思想89第四层次，归纳出结论“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的大。”以及“正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。”归纳思想第四层次，归纳出结论“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比90“负负得正”用到加法去了一些学生学习有理数的加减法时完成得很好，但学了乘除法之后回头再做加减法题目，比如（-2）+（-4），把“负负得正”用上去了。“负负得正”用到加法去了一些学生学习有理数的加减法时完成得很91日本学生对分数除法的认识清水美宪调查对象：小学6年级和初中7年级共590个学生题目：1. 8/15÷2/5正确率为97％和96.6％2. 有一个女孩是这样考虑的：“做8/15×2/5时，我是分子与分子相乘，分母与分母相乘，然后相除的，那么现在类似地，我就把分子与分子相除，分母与分母相除，即8/15÷2/5＝（8÷2）/（15÷5）＝4/3但是，做2/5÷3/4时她感到困难了。你对她的方法怎么看？正确率为73％和65％（1）是对的（2）是错的 （3）虽然与我的不同但也是对的 （4）其他请写出你作选择的理由。答“是错的”中的

61％和53％称“因为她没有颠倒”日本学生对分数除法的认识清水美宪调查对象：小学6926个月后对象：16名参加过第一次调查的7年级学生被分成8对。4对（错，错）4对（对，错）两人讨论。题目：与第一次测试完全类似的2道题结果：许多原来选“是错的”学生这次仍坚持说“是错的”，只有2名在与同伴一起讨论后彻底改变了立场，有5名始终丝毫不改变立场，在混合组中原来选“是错的”学生立场有些转变但不稳固6个月后对象：16名参加过第一次调查的7年级学生被分成8对。93清水美宪说：请注意高分背后的“思维固执”不用乘以倒数的规则所以是错的死抱法则，是不管条件符合不符合用了再说的根源会做不等于理解清水美宪说：请注意高分背后的“思维固执”94在上海的一个调查结果“老师既然说了方法，就一定是最简便的方法，所以（李明的方法）是错的。”“因为他不按照正确的方法去做，虽然有时碰巧能对了，但大布份（部分）是不行的。”“因为分数除以另一个分数＝分数乘以另一个分（数）的倒数，李明没有这么做。”“李明的概念不够清楚，将分数的乘法与除法搞混了，应该乘以倒数。”“老师不是这样教的，我是好孩子，听老师的。”在上海的一个调查结果“老师既然说了方法，就一定是最简便的方法95数学知识教学的常见病没有形成基础，强加于人对使用的条件印象模糊，不会应用死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，无法对付变化造成①不让学生参与形成概念的生动过程，降低概括水平；②不揭示命题的形成过程，降低了理解水平；③忽视数学方法的探讨过程，加重学生记忆负担，降低了分析水平。学生只会复制，不能发展，因循守旧，不能开拓创新。数学知识教学的常见病没有形成基础，强加于人96定理的教学定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难已有知识的熟练数学语言的听说读写形成逻辑推理的思维定理的教学定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难97 判定四边形为平行四边形平行四边形的性质：两组对比平行一组对边平行且相等对角相等判定四边形为平行四边形的途径？ 判定四边形为平行四边形平行四边形的性质：98在“三角形内角和定理”的课堂上如图，用橡皮筋构成△ABC，其中顶点B、C固定不动，放松皮筋后，点A自动收缩，产生一系列的三角形：△A1BC，△A2BC，△A3BC……，请观察其内角和会产生怎样的变化？生：内角和不变，都是180°师：好，说说你是怎样观察出来的？生：小学老师教的。师：是的，小学介绍过三角形的内角和等于180°，但没有证明。进入中学阶段，我们要给出一个严格的证明。在“三角形内角和定理”的课堂上如图，用橡皮筋构成△ABC，其99通过图示我看到，当点A趋向于BC时，∠B，∠C趋向于0°，而∠A趋向于180°，合起来，三角形内角和趋向于180°；同时，这个图形还告诉我们怎么证明师：好，你说说证明。生：设三角形的内角和为x°，在BC上取一点D（相当于A的运动终点），连AD，有

……x+180°=2x，∴x=180°师：证明出来了，同学们好好看一看，做得对不对？通过图示我看到，当点A趋向于BC时，∠B，∠C趋向于0°，而100改进版师：观察点A沿BA方向运动的情况。当点A变为BA延长线上的A1，A2，时，∠A变小，∠C变大；当点A奔向太阳，即∠A→0°的一瞬间，产生出平