高二物理竞赛电磁感应与麦克斯韦方程组教案

第9章电磁感应与麦克斯韦方程组1820年奥斯特通过实验发现了电流的磁效应，英国实验物理学家法拉第(M.Faraday)从朴素的唯物主义和自发的辩证法思维出发很快就想到磁能否产生电，为寻找答案他刻苦钻研了十年，终于在1831年发现了电磁感应现象1833年俄国物理学家楞茨(Lenz)发现了楞茨定则，1845年德国物理学家诺埃曼(F.E.Neumann)把法拉第电磁感应现象以数学形式表达出来。1865年英国物理学家麦克斯韦(J.K.Maxwll)结合法拉第的电磁近距作用思想和安培开创的电动力学规律，用20个方程组成的方程组概括了电磁规律，建立了电磁场理论。在1890年赫兹把麦克斯韦20个方程简化成今天只包含四个矢量方程的形式。本章首先讨论电磁感应定律，以及动生电动势和感生电动势；其次介绍自感和互感，磁场的能量，最后在引入感生电场和位移电流的基础上，简要介绍麦克斯韦关于电磁场理论的方程组。通过本章学习，应当在掌握法拉第电磁感应定律和楞次定律基础上，理解感应电动势的概念，熟练掌握动生电动势和感生电动势的计算，掌握磁场能量密度和磁场能量的计算。理解感生电场和位移电流的概念，理解麦克斯韦方程组的积分形式。9.1电磁感应的基本规律9.1.1法拉第电磁感应定律当闭合回路中的磁通量发生变化时，回路中就有电流产生，称为电磁感应现象（electromagneticinduction）。回路中产生的电流叫做感应电流（inductioncurrent）。在回路中产生了电流，表明回路中有电动势存在。这种在回路中由于磁通量变化而引起的电动势，叫做感应电动势（inductionelectromotiveforce）。法拉第和与他同时代的法国物理学家诺埃曼、韦伯以及楞次等对电磁感应现象作了详细分析，总结得出感应电动势与磁通量对时间的变化率之间的定量关系，即我们通常所称的法拉第电磁感应定律(Faradaylawofelectromagneticinduction)，其具体内容是：不论任何原因使通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率的负值成正比，即式中，k为比例系数，量值取决各物理量所用的单位。在国际单位制中，感应电动势的单位是伏特（V），磁通量的单位是韦伯（Wb），时间t的单位是秒（s），则k=1。于是上式可写成(9.1)电磁感应定律成立于任一瞬时，即磁通量的瞬时变化率决定感应电动势在该瞬时的大小和方向，这表示定律有瞬时性。当闭合回路是由多匝线圈串联组成时，此时回路的总电动势应该是每匝线圈中的电动势之和。即(9.2)式中，为各匝线圈磁通量的总和，称为全磁通或磁链(magneticfiuxlinkage)。这里的含义扩展了，但定律的形式保持不变。在简单的情况下，各匝线圈的磁通量相等，则全磁通，其中为一匝线圈的磁通量，有若闭合回路的电阻为R，则感应电流为(9.3)式中各量的方向约定与电磁感应定律中的方向约定相同。若回路中只有感应电流，则在一个过程中流过闭合回路任一截面的感应电量为(9.4)其方向约定和电磁感应定律相同。上式表明，感应电量取决于磁通量的变化量，而与变化率无直接关系。如果测得感应电量，而回路中的电阻又为已知时，则根据上式，就可以计算出磁通量，进而测出磁感应强度。常用的磁通计就是根据这一原理设计而成的。【著名实验】1831年法拉第在关于电磁感应的第一篇重要论文中写到：有五种情况都可以产生感应电流：运动的磁铁，变化的电流，变化的磁场，运动的恒定电流，即在磁场中运动的导体，这些结论可由下面四个典型实验得以验证：实验一：如图9.1（a）若将一根磁棒插入没接电流的线圈，在插入过程中线圈中就有电流；当磁棒在线圈内停止不动，线圈中没有感应电流。若让线圈相对磁棒运动，也可得到同样的现象。实验二：如图9.1（b）,若用通有电流的线圈代替磁棒，其现象与上述实验完全相同。实验三：如图9.1（c），把一线圈与电源串联起来，插入另一线圈中，让两线圈位置固定，改变与电源串联的线圈中的电流，则会在另一线圈中产生电流。实验四：如图9.1（d），把接有电流计的一边可滑动的导体线框放在均匀的恒定磁场中，并使线框平面跟磁场方向垂直，则在滑动过程中线框里也会产生电流。概括上述四个实验中的共同点，我们可以得出结论：当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电流，或感应电动势。图9.1电磁感应现象实验图9.1电磁感应现象实验9.1.2楞茨定律1833年，楞次（E.F.H.Lenz）在总结大量实验结果的基础上，提出了一个判定电磁感应中感应电流方向的法则，称为楞次定律（Lenzlaw）。楞次定律指出：闭合回路中的感应电流的方向，是要使感应电流在回路所围面积上产生的磁通量，去抵消或反抗引起感应电流的磁通量的变化。楞次定律表明，电磁感应的结果反抗电磁感应的原因。这里的结果是指感应电流所产生的磁通量，原因是指引起电磁感应的磁通量的变化。考虑如图9.2所示的实验，一块条形磁铁穿过一个闭合线圈的过程。图(a)是磁铁向左运动靠近线圈的情况。这时线圈中的磁场向左且在增强，故磁通量在增加，按楞次定律，感应电流的磁通量应反抗的增加，即感应电流在线圈中的磁场应与方向相反即向右，再由右手螺旋法则就可以确定感应电流的方向应如图所示。图(b)是磁铁已穿过线圈继续向左运动的情况。这时磁场仍向左但在减小，故磁通量在减小。按楞次定律，感应电流的磁通量应反抗的减小，即感应电流的磁场应与方向相同即向左，故感应电流的方向应与(a)中相反。（（a）（b）图9.2感应电流的方向楞次定律中的反抗的含义就是要强迫外界为电磁感应的进行输入能量，借以提供感应中的能量输出，所以我们说，楞次定律是能量守恒定律在电磁感应中的具体表现。这不仅是在上述实验中是如此，实际上，电磁感应的所有实验都验证了能量守恒定律。9.2动生与感生电动势根据法拉第定律，磁通量的变化就要产生感应电动势。然而，磁通量变化有两种可能的原因。一是磁场不变，而导体回路的形状、大小或位置变化而引起的磁通量变化，这种情况下产生的感应电动势称为动生电动势（motionalelectromotiveforce）。这时一定包含有导体相对于磁场的运动。另一个情况是导体回路不发生任何变化，而是磁场随时间变化，从而引起磁通量变化而产生感应电动势称为感生电动势（inducedelectromotiveforce）。下面我们分别讨论这两种电动势。ab图9..3动生电动势9.2.1ab图9..3动生电动势如图9.3所示，在磁感应强度为的均匀磁场中，长为l的导线ab以速度向右移动，且与垂直。导体中的自由电子也被牵连而具有一个向右的速度，因而受到一个洛伦兹力作用方向由b指向a。在该力的作用下，电子由b向a运动，在a端积累出过剩的负电荷，同时在b端积累出过剩的正电荷。a、b两端正负电荷积累产生的电场，使受洛伦兹力作用的电子也受到一个电场力的作用，其方向是a指向b。随着两端正负电荷积累的增加，电场力逐渐增大，与洛伦兹力平衡，随着两端正负电荷的积累处于稳定终态。这时，这段运动的导体就是一个电源，提供一个动生电动势。在这里，洛伦兹力是非静电力，在导线中提供一个非静电场，其场强的大小为（9.5）方向是a指向b。非静电场的存在使导线成为一个电源，其提供的电动势是（9.6）方向是a指向b。可以证明，上式的含义也表示导线ab在单位时间所扫过的磁通量。如果磁场、导线ab和运动速度三者互相垂直，而且是直导线在均匀磁场中匀速运动，有（9.7）上述讨论表明：一段导线在磁场中运动时，洛伦兹力提供一个非静电力，从而形成一个电源。这个电源的电动势的大小是导线在单位时间内扫过的磁通量，其方向在简单的情况下可以用的方向来判定；在复杂的情况下可以用（9.6）式计算结果的符号来判定。而且应当明确，动生电动势的分布只存在于磁场中运动着的导线上。例9.1如图9.4所示，长度为l的直导线在均匀磁场B中以角速度绕其一端O转动，转轴与磁场方向平行，求导线上端电压。图9.4例9.1图解在导线上距O为r处取一线元dr，线元在磁场B中以速度垂直于磁场运动，故线元成为一微元电源。线元的方向、磁场方向和运动方向相互垂直，所以微元电动势为图9.4例9.1图方向指向O点。整个导线视为无数个微元电源串联，故导线上的电动势为方向指向O，即O端为电源正极。由于导线未接入回路，电源开路，故端电压等于电动势。以O点为参考点，端点电压是这说明O端电势高。例9.2如图9.5所示，在距长直电流I为d处有一直导线长为l，与电流共面，图中倾角为，导线以速度向上平动，求导线上的动生电动势。图9.5例9.2图解在直导线上取线元dl，该处磁场为图9.5例9.2图方向垂直纸面向内。线元dl产生的微元电动势是方向指向a端。导线上的电动势为各微元电动势的串联，则方向为b→a。9.2.2感生电场感生电动势当导体回路不动，由于磁场变化引起穿过回路的磁通量发生变化也会产生电动势，这时产生的电动势称为感生电动势。这时产生电动势的非静电力应该是什么样的力呢？在这种情况下推动电荷运动的非静电力肯定不是洛仑兹力，因为导体没有运动；也不是库仑力，因为库仑力不会与磁场的变化有关。麦克斯韦分析了这种情况，并提出如下的假说：变化磁场在其周围空间激发具有闭合电场线的电场，称为涡旋电场或感生电场（inducedelectricfield）。如果在变化磁场的空间有导体存在时，导体中的感生电动势就是这种涡旋电场作用于导体中的自由电荷的结果。麦克斯韦关于感生电场的假说完满解释感生电动势的形成机制，并得到近代物理实验的证明。例如在电子感应加速器中，一个电子在变化着的磁场产生的感生电场中获得加速旋转，并最终使电子加速到非常接近光速的水平。在变化磁场中，设有一个导线回路L，按法拉第电磁感应定律，可得出回路中的电动势若变化磁场激发的感生电场的场强是，按电动势和磁通量的定义其中面积S为回路L所包围的面积。于是有或(9.8)上式表示了感生电场和变化磁场的关系。式中负号表明：感生电场与磁场变化率成左旋关系。感生电场是一种新型的电场，它与静电场既有联系也有区别。它与静电场的共同之处是：对电荷有作用力（不论电荷运动与否）。但是，两者的区别是很大的。静电场是由电荷产生的，而感生电场是由变化磁场产生的；静电场是有源无旋场，而感生电场是无源有旋场。在磁场中，我们利用安培环路定律可以求出高度对称的电流分布所激发的磁场。同样道理，用感生电场和变化磁场的关系式，我们可以求出高度对称的磁场在变化时所激发的感生电场。图9.6例9.3图例9.3如图9.6所示，在一无线长直电流的右侧有一共面的矩形回路。设I=Iosint，且a、b、l、Io和均为常量，试求回路中产生的感应电动势。图9.6例9.3图解：将回路面积分成许多面积元，则通过任一面积元的磁通量为通过回路所围面积总的磁通量=根据法拉第电磁感应定律，回路中产生的感生电动势例9.4如图9.7所示，在半径为R的圆柱形螺线管中有一匀强磁场B，假定磁场大小随时间增长，且，求螺线管内、外感生电场Ek的分布。解由对称性可知，变化磁场所产生的涡旋电场是围绕着磁场的同心圆，用楞次定律可以判断，涡旋电场的方向是逆时针的，而且在r相同处的Ek的大小相等。根据感生电场的对称性，取O为圆心、r为半径的圆形回路L,当r时，由图9.7例9.4图图9.7例9.4图可得所以Ek=－当时，有Ek22所以Ek=－图9.8例9.5图例9.5如图9.8所示，真空中矩形回路与无限长直电导线共面，且矩形一边与直导线平行，导线中通过电流I=I0cos其中I0、为正常数，起始时回路左边与导线重合，并以匀速率垂直于导线运动。求：图9.8例9.5图（1）任意时刻通过回路的磁通量（2）任意时刻回路中动生电动势和感生电动势；（3）时，回路中感应电动势的方向。解（1）可利用前例结果，令a=x,则磁通量为注意图中所示电流方向向上和回路方向为顺时针方向。（2）由电磁感应定律，有显然 可视为电流不变（动生）和回路不动（感生）单独求出。（3）当 时，为顺时针方向。【科技博览】电子感应加速器(batatron)是利用变化磁场激发的感生电场来加速电子的一种装置，图9.9是其结构原理图。在圆形电磁铁的两极间有一环形真空室，电磁铁在交变电流激发下，两极间将产生具有对称分布的交变磁场，这交变磁场又在真空室中激发感生电场，其电场线是一系列同心圆（图9.9中实线所示），若用电子枪把电子沿切线方向射入真空室，电子将同时受到感应电场力和洛仑兹力的作用，感应电场力使电子沿切线方向加速，洛仑兹力则使电子维持圆周运动。图9.10交变电磁场的变化图9.10交变电磁场的变化图9.9电子感应加速器结构在磁场随时间作正弦变化的情况下，所激发的感生电场也随时间变化。图9.10标出了一个周期内磁场和感生电场变化情况。由于电子带负电，很容易看出，电子在第一和第四两个周期中才可能被加速，但在第四个周期中，由于的变向，电子所受的洛仑兹力背离圆心，不能起到向心力作用，故，只有在第一个周期内才能使电子做加速圆周运动，实际上在这个周期的时间内电子已经转了几十万圈，只要利用某种特殊的装置在该周期末将电子引离轨道射向靶子，就可获得了很高的能量。电子感应加速器主要用于核物理的研究，也用于工业探伤和医疗等方面。目前，利用电子感应加速器可把电子的能量加速到高达100Mev以上。*9.2.3涡流和趋肤效应一、涡流图9.11涡电流图9.12电磁阻尼大块金属导体置于变化的磁场中或在不均匀磁场中运动时，在导体内部会产生感应电流，由于电流望涡旋状，故称涡电流，简称涡流(eddycurrent)。图9.11是一圆柱形铁芯，外面绕有线圈并通以交变电流I。截面上虚线圆表示涡流分布，其方向由楞次定律来判断。大块金属电阻很小，涡流一般很大，具有很强的热效应和磁效应。涡流的热效应在冶金工业中有广泛的应用。比如用中频或高频感应炉来冶炼金属，这种方法还被广泛应用于无法直接加热的真空器件。涡流的磁效应可用于电磁驱动或电阻阻尼。图9.12是磁电式仪表电磁阻尼图9.11涡电流图9.12电磁阻尼图9.13趋肤效应图9.13趋肤效应图9.14趋肤效应原因一根粗细均匀导线，当通过直流电流时，电流密度的分布是均匀的，但电流在交变的情况下，随着频率的增加，电流密度的分布不再均匀而是向表面集中，导线轴线附近的电流越来越小，这种现象称趋肤效应。图9.13显示的正是这种情况。当f=1kHz时，导体截面电流分布与直流时差别不大，但当，f=10kHz时，电流已明显集中到表面附近了。趋肤效应使导线的有效截面减小，使它的等效电阻增大，从而加大电磁能量的损耗。为了减小这种效应，在频率不太高（10～100kHz）时常采用多股线代替实心导线，以增大表面积；有时在高频线圈表面还要镀银，已减小表面电阻。趋肤效应可用于工业上表面淬火，用高频强电流通过一块金属，由于趋肤效应，表面被加热到很高温度，内部温度较低，这时立即淬火使之冷却会使表面变得很硬，而内部却保持原有韧性。产生趋肤效应的原因在于涡流。如图9.14所示。当交变电流通过导线时，它的内部产生交变磁场B，而交变磁场激发了电流。根据电磁感应分析，在一个周期大部分时间内，在表面附近与方向相同，在轴线附近与方向相反，于是电流密度的分布边缘大于中心，从而形成趋肤效应。【前沿进展】1942年瑞典物理学家阿尔文(H.Alfven)在太阳黑子的理论研究中发现，处在磁场中的导电流体，在一定条件下可以使磁力线像振动的弦那样运动，出现一种磁流体波，这种波被称为阿尔文波。但当时人们并不理会他的发现，因为按照传统的电磁理论，在导电介质中是不可能存在电磁波的，过了7年，直到1949年隆德奎斯特(S.Lundquist)在实验里检测到这种波，1959年又在等离子体中得到证实，终于受到应有的重视，由于他在磁流体运动力学和等离子体物理学方面的重大贡献，获得1970年诺贝尔物理学奖产生磁流体波的原因是，当导电流体在磁场中运动时，根据电磁感应的基本定律，这时在流体中产生感生电场和感应电流，感应电流和磁场的相互作用又改变了流体的运动。这样，磁场和流体运动交替作用的结果将使某一部分具有初速流体的运动状态向它的周围传播出去，从而在流体中产生一种新的周期运动形式，即磁流体波。磁流体波的发现，在等离子体物理、天体物理和受控热核反映中都有着重要的应用。因此，磁流体力学在目前已是一门迅速发展着的科学。9.3自感与互感按电磁感应定律，当穿过回路的磁通量发生变化时，回路中就有感应电动势产生。作为一个普遍成立的定律，定律并不区分穿过回路的磁通量源于何处。通常的情况下，这有两个可能：磁通量或者是来源于回路自身中的电流，或者是来源于其它回路中的电流。下面分别对这两种情况进行讨论。9.3.1自感一、自感现象图9.15自感现象L由于回路自身电流变化引起回路中磁通量的变化，而在回路自身中激起感应电动势的现象称作自感现象，所激起的电动势称为自感电动势（self-inductionelectromotiveforce）图9.15自感现象L如图9.15所示，有一回路L，所围面积S的法向沿与L成右手螺旋方向。若回路中有电流I，则在回路周围存在一个磁场B，按毕奥—萨伐尔定律，任一点磁场B和电流I成正比，按磁通量的定义，通过面积S的磁通量也和I成正比，即有(9.9)其中的比例系数L称回路的自感系数（coefficentofmutualinductance），简称自感（self-inductance）。值得注意的是，L是一个与电流无关，而仅取决于回路形状和介质性质的常量。由上图可知，若电流为正，则磁通量为正，电流为负，则磁通量也为负，故L是一个正值。自感系数可记作(9.10)其物理意义为：某回路的自感在数值上等于回路中的电流为一个单位时穿过此回路所包围面积的磁通量。若回路是由N匝线圈串联而成，则应该理解为全磁通。全磁通与匝数相关，故自感L也与匝数相关。在国际单位制中，自感的单位是亨利（H）。根据法拉第电磁感应定律，回路中自感电动势可写成(9.11)如果回路的形状、大小和周围介质的磁导率都不随时间变化，亦即L保持不变，。因而(9.12)由于L是一正常量，故自感电动势与电流变化率反号，这表明自感电动势总是反抗电流的变化。因此，当电流增加时，自感电动势与原来电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原来电流方向相同。由此可见，要使任何回路中的电流发生改变，必然会引起自感应的作用，以反抗回路中的电流的改变。回路中的自感系数愈大，自感应的作用也愈大，回路中的电流也愈不容易改变。换句话说，回路中的自感应有使回路保持原有电流不变的性质，这一特性与力学中的物体的惯性有些相似，因此自感系数也可看作是电路本身的“电磁惯性”的量度。例9.6一长直螺线管长度l，截面积为S，内有磁导率为的磁介质，共密绕N匝线圈，求它的自感系数。解设螺线管电流为I，忽略磁漏和边缘效应，由安培环路定理可求得管内磁场为式中，是单位长度上的匝数。通过螺线管的磁链是螺线管的自感系数为其中V=lS为螺线管的体积。例9.7由两个同轴的导体薄圆筒组成同轴电缆，其间充满磁导率为的磁介质，如图9.16所示。使用时内、外圆筒分别沿轴向流过大小相等、方向相反的电流。设电缆长度为l，内外圆筒半径分别为图9.16同轴电缆R1和R2，求电缆的自感系数。图9.16同轴电缆解设电流为I，忽略边缘效应，由安培环路定理可知，内圆筒之内、外圆筒之外的磁场为内外圆筒之间的磁感应强度是取长为l的一段，穿过矩形PQRS的磁通量为故电缆的自感系数为单位长度上的自感系数为图9.17RL电路图9.17RL电路（1）电路的增长过程图9.17所示是一个含有自感L和电阻R的电路，若电键K打向1时，RL电路接上电源，电路中的电流处在增长过程，由于自感的作用电流不能立即达到稳定值,假设任意时刻电路中的电流为I,按闭合回路的欧姆定律得设t=0时，I=0,整理上式，取积分有积分整理后可得（9.13）图9.18电流随时间增长图9.19电流随时间衰减式中，是时的电流稳定值。此式表示RL电路中电流的增长情况。它说明接通电源后，电路中的电流不是立即达到稳定值，而按指数关系随时间增长，电流的增长有一个时间的延迟。从（9.13）式中可看出,当时，，即电路中的电流达到稳定值图9.18电流随时间增长图9.19电流随时间衰减的63％，一般用来反映自感电路中电流增长的快慢程度，把称为RL电路的时间常数或驰豫时间。RL电路中电流随时间的增长情况如图9.18所示。（2）电流的衰减过程在图9.17所示电路中，当电键转向2时，这时电路中已没有外电源，但是由于线圈中自感电动势的作用，电路中的电流并不立即衰减至零，要有一个延迟时间。按闭合回路的欧姆定律有设t=0时，,整理上式，取积分有积分整理后可得（9.14）此式表明，当切断外电源后，由于自感电动势的作用，电路中的电流将按指数规律衰减，如图（9.19）所示。当经过一段驰豫时间，即时，电流将减少到稳定值的37％。9.3.2互感I1I1L1L21I2如图9.20所示，有两个回路L1和L2，它们各自所围面积S1和S2的法向如图所示。若L1中有电流I1，则I1将在S2上产生磁通量，称作电流I1在回路L2中激起的磁通量。显然，正比于I1，即(9.15)其中M21称回路1对回路2的互感系数。同理，若L2中有电流I2，也有(9.16)式中，M12称回路2对回路1的互感系数。可以证明，M12和M21相等，记作M=M12=M21，称为两回路之间的互感系数（coefficentofmutualinductance），简称互感(mutualinduction).。。互感系数M的大小仅取决于两回路形状、相对位置及周围介质的磁导率，而与电流无关。互感可以写为(9.17)它表示两个回路的互感系数等于一个回路中有单位电流时，在另一个回路中产生的磁通量。所以，互感系数反映了两回路相互产生磁通量的能力。若两回路都是多匝线圈，则和应理解为全磁通，此时，M与两线圈的匝数相关。互感系数单位和自感系数相同，为亨利（H）。若回路L1中电流I1变化，则回路l2中的磁通量也将发生变化，于是L2中出现一个电动势，称为互感电动势，即(9.18)同理，我们也可以得到(9.19)在工程技术和日常生活中，自感和互感的应用很广泛，如无线电技术和电工中常用的扼流圈，日光灯用的镇流器等是自感现象的应用，而收音机的接收线圈，各种类型的变压器，电压互感器等则是互感现象的应用实例。但是，有些情况下要排除互感的干扰，如有线电话往往会由于两路电话之间的互感而引发串音。图9.21例9.8图例9.8如图9.21所示，一长直导线与一宽为a、高为b的单匝矩形回路共面，相距为d。若矩形回路中有顺时针方向的电流I，且I正以速率增加，求长直导线中的感应电动势。图9.21例9.8图解长直导线可看作在无限远处闭合的回路，如图中虚线所示，但感应电动势仅出现在矩形线框电流附近的长直导线中。此题用电磁感应定律很难求出，应先求出互感系数，再求互感电动势。设长直导线中有电流i，则i在矩形线框中产生的磁通量为两回路互感系数为故矩形线框中电流I变化时在长直导线中产生的互感电动势的大小为按楞次定律可知，长直导线所形成回路的互感电动势应是逆时针方向的，即长直导线上的电动势方向向下。9.5磁场的能量在静电场中，我们已经讨论过，电场具有能量。那么，磁场有没有能量呢？由于在建立磁场时总是伴随有电磁感应现象发生，所以我们可以从能量转换的角度分析电磁感应现象来进行探讨。图9.22LR电路考虑一个LR电路中电流增长的过程，如图9.22所示。在含有电阻和自感的电路中，当开关k未闭合时，线圈中的电流为零，这时线圈中没有磁场。当把开关闭合时，线圈中的电流由零逐渐增大，但是不能立即增大到它的稳定值I，因为在电流的增长过程中，线圈中有自感电动势产生，它会阻止磁场的建立。因此，在建立磁场的过程中，外界（电源）必须供给能量来克服自感电动势做功。所以在含有电阻和自感的电路中，电源供给的能量分成两部分：一部分转换为热能，另一部分则转换为线圈中磁场的能量。图9.22LR电路现在我们来定量研究自感电路中电流增长时能量的转换情况。由欧按欧姆定律有其中自感电动势为负值。为便于分析，把上式改写为其中为正值。此式表示电源电动势提供的电压，一部分用于克服自感电动势，一部分用于克服电阻发出焦耳热。上式两边同乘以电流I设t=0时I=0，而任意时刻t时的电流为I，把上式对电流增长过程积分，则有这个结果表示：电源对回路输入的能量，一部分储存在自感线圈之中，一部分转化为焦耳热输出到外界。把储存在自感线圈中的能量积分出来，即得即载流为I的自感线圈储存的能量为(9.20)若将回路中的电源取掉但仍保持回路闭合，则回路中的电流将逐步衰减其储存的能量将转变成焦耳热。这部分热量可以用积分算出，其值仍为。显然，这部分能量是自感中的磁场能量释放出来的。按照场的观点，磁场是能量的携带者，能量储存在磁场中，因此，磁场的能量应该用描述磁场性质的物理量来表示。为简单起见，我们以通有电流I的长直螺线管内的磁场能量为例讨论这个问题。按储能公式，螺线管的磁场能量为对于长直螺线管有：，。故上式表示磁场能量与螺线管的体积，即磁场所填充的空间成正比，这意味着能量确实是存在于磁场空间中的。螺线管的磁场是均匀磁场，故磁场能量也应是均匀分布的，由此可得到单位体积内的磁场能量即磁场能量密度为(9.21)它也可以改写为其它形式(9.22)对于非均匀磁场，从中取一体积元dV。在dV内，介质和磁场都可以看作是均匀的，所以磁场能量密度也可以看作是均匀的。若介质的磁导率为，磁感应强度为B。则体元内的磁场能量是而空间中某一体积V中的磁场能量为(9.23)例9.9同轴电缆由半径为R1和R2，长度均为l的两个同轴的导体薄圆筒组成，其间充满磁导率为的磁介质。内外圆筒分别流过大小相等，方向相反的电流，其截面图如图9.23所示，求电缆中的磁场能量。解同轴电缆的自感为图9.23例9.9图图9.23例9.9图故可由载流自感线圈的储能公式直接得到电缆的磁场能量下面我们利用磁场能量密度来计算磁场能量。电缆的磁场集中在两个圆筒之间，故只须计算这个体积内的磁场能量。如图取一长度为l，半径为r，厚度为dr的圆柱壳，它的体积为圆柱壳内磁场的大小是相同的故磁场能量密度是均匀的圆柱壳中的磁场能量为电缆中的磁场能量为这个结果与前面相同。这表明这两种方法是完全等效的。例9.10用磁场能量方法证明互感系数相等。图9.24例9.10解如图图9.24所示，开始时两线圈都是断路状态。图9.24例9.10首先接通线圈1，使其中电流由0增到，这时线圈1的磁能为，是线圈1的自感系数。在线圈1接通后，再接通线圈2，使其中电流也由0增到，同理线圈2中的磁能为，是线圈2的自感系数。考虑到在线圈2接通并且电流增长的过程中，在线圈1中将产生互感电动势，要想维持线圈1中的电流不变，在线圈1电路中电源必须克服互感电动势而做功，从而出现附加的磁场能量。利用（9.19）式，附加的磁场能量为因此在两线圈构成的系统中总磁能为同理，我们也可以先在线圈2中建立电流，再让线圈1中的电流为，同样可以推导出系统的磁能为能量是状态的单值函数，不应该与电流建立的先后次序有关，只要初末状态一样，其磁能也就一样，故，由此可得9.6位移电流法拉第电磁感应定律告诉我们，变化的磁场要产生电场，人们自然要问变化的电场能不能产生磁场呢？本节就来回答这个问题。麦克斯韦发现，将稳恒磁场中的安培环路定律应用于非恒定电流磁场中，出现了不可克服的矛盾。如图9.25(a)、(b)所示，分别表示一个平板电容器充电和放电时的情况。我们注意到，由于电路中有电容器，所以不论是充电或放电，在同一时刻通过电路中导体上任何截面的传导电流依然相等，但在电容器两极板之间传导电流I中断。也即是说，对于图(a)中以闭合曲线L为边界的S1和S2两个曲面来说，电流I只穿过曲面S1而不穿过曲面S2。(a)充电时(b)放电时图9.25位移电流图示对S1而言，由于穿过S1的电流为I，我们得到但对S2而言，由于穿过的电流为0，我们得到显然，在同一个回路上磁场环流不同，在理论上是相互矛盾。在稳恒情况下正确的安培环路定理，在非稳恒情况下就不正确了。上述矛盾的原因在于非稳恒情况下电流的不连续性，即穿过曲面S1的电流为I而穿过曲面S2的电流为零。设想一下，如果我们能在电容的两板之间寻求到一个物理量，其大小和方向都等于电流I，再假设这个物理量能如同电流一样激发磁场，那么电流就能借助于这个物理量而实现连续，而上式的右端就应该是这个物理量，因为它也等于I，于是矛盾将不再出现。下面我们来寻求这个等于I的物理量。在前述问题中，电容器中虽无电流通过，但在充电和放电的过程中，电容器极板间的电场会随着极板上电量的变化而随时间变化。从电场变化的方向来看，在充电时（见图(a)），电场加强，电位移矢量随时间的变化率的方向向右与场的方向一致，也与导线中电流方向一致；当放电时（见图(b)），电场减小，的方向向左与场的方向相反，但仍与导线中电流方向一致。这提示我们，中断的电流是否可以由电场的变化率来接替？能否借助于变化的电场来实现电流的连续性。考虑图(a)所示情况，我们把S1和S2组成一个闭合曲面S。按电流的连续性(即电荷守恒定律)，通过S面流出的电流应等于单位时间内S面内电量q的减少(9.24)指向曲面外法线方向。麦克斯韦假设，静电场高斯定理对于变化电场依然成立将上式两边对时间求导：再将其代入电流的连续性方程得据此，麦克斯韦创造性地提出一个假说：变化的电场可以等效成一种电流，称为位移电流（displacementcurrent）。并定义(9.25)为位移电流密度，即电场中某点的位移电流密度等于该点电位移矢量随时间的变化率，而(9.26)为位移电流，即通过电场中某截面的位移电流等于位移电流密度在该截面上的通量。

按位移电流的定义，流入闭合曲面S的电流(即通过图(a)中截面S1的电流I等于流出闭合曲面的位移电流(即通过截面S2的位移电流)，我们看到，电流通过位移电流实现了连续。麦克斯韦进而假设，在磁效应方面位移电流与传导电流等效，即它们都按同一规律在周围空间激发磁场。其本质表明：变化电场也要产生磁场。位移电流与传导电流还是有区别的。传导电流是电荷的定向运动，位移电流是变化电场的等效；传导电流要产生焦耳热，位移电流则没有。我们定义传导电流I和位移电流相加的和称为全电流。(9.27)显然，全电流总是连续的。由于位移电流产生磁场的规律是被假设为与传导电流一样的，因此麦克斯韦以全电流代替传导电流，对安培环路定律进行修正，把它从稳恒磁场推广到非稳恒的情况，并得到(9.28)图9.26例9.11上述结论称为全电流定律。图9.26例9.11例9.11一平行板电容器的两极板都是半径为5.0cm的圆导体片，两边连接无线长直线，如图9.25所示。在充电时，板间电场强度的变化率为。略去边缘效应，求：(1）两极板间的位移电流；（2）距两板中心连线为r(r<R)处的磁感应强度。解（1）两极板间的位移电流为（2）由于位移电流相当于轴对称分布的电流，因此所产生的磁场也具有轴对称分布，即圆周上各点H的量值相等，其方向沿圆周切线方向，与位移电流成右旋系。故选两板中间连线为轴，取半径为r的积分回路。根据安培环路定律有须要说明的是，这里的B是位移电流和传导电流共同产生的。9.7麦克斯韦方程组在电磁场中，电场由两个部分叠加而成。一是电荷产生的静电场，二是变化磁场产生的感生电场。磁场也是由两个部分叠加而成。运动电荷（电流）产生的稳恒磁场和变化电场产生的磁场。对于静止电荷激发的静电场和稳恒电流激发的稳恒磁场，它们满足如下的一些基本方程（静电场的高斯定理）（静电场的环路定理）（磁场的高斯定理）（安培环路定理）如果考虑到感生电场和变化电场产生的磁场，则上面的静电场的环路定理应修改为显然，这对静电场和有旋电场都能成立。同理，安培环路定理应修改为全电流定律其它方程不需要修改都适用于一般电磁场中的电场和磁场。于是电磁场所满足的四个基本方程为(9.29)上述四个方程称为麦克斯韦积分形式方程组(Maxwellequations)。式中的电场量、为电荷激发的电场和涡旋电场的总电场，磁场量、为传导电流和位移电流激发的总磁场。从方程组我们还可以看到，在电磁场中的电场和磁场是相互联系的、不可分割的。电磁场的所有特性都可以由上述四个方程来确定。其对应的微分形式是(9.30)在有介质存在时，、都和介质的性质有关，要完整地说明宏观电磁现象，除了上述四个方程外，还要加上下面三个关系式(9.31)上式是对各向同性均匀电介质而言。其中第一个和第二个式子是电位移矢量和磁场强度的定义式，第三个式子是欧姆定律的微分形式。如果再加上电磁力的基本规律，则麦克斯韦的电磁场理论就已经成就为一个非常完备的理论体系。从麦克斯韦方程组可以看出，在相对稳定的情况下，即只存在电荷和稳恒电流时，麦克斯韦方程组表现为静电场和稳恒磁场所遵从的规律。这时，电场和磁场都是静态的，它们之间没有联系。而在运动的情况下，即当电荷在运动，电流也在变化时，麦克斯韦方程组描述了变化着的电场和磁场之间的紧密关系。变化的电场要激发一个有旋磁场，变化的磁场又会激发一个有旋电场，电场和磁场就以这种互激的形式在同一空间相互依存并形成一个统一的电磁场整体，这就是麦克斯韦关于电磁场理论的基本概念。可以证明，电磁场一旦产生，即使场源电荷及电流不存在了，这种互激依然可以随着时间的流逝而在空间无限地伸延。在距离电荷和电流很远的空间，电磁场最终是以波动的形式在传播着，这就是电磁波。电磁波的波速，经麦克斯韦的计算，正好等于光速，于是麦克斯韦断言，光也是一种电磁波。光和电磁场在麦克斯韦理论中的统一，使得经典电磁学的发展到达顶峰，成为麦克斯韦最辉煌的成就。自此，电磁学已成为一门可与牛顿力学并立的完备的科学理论。【前沿进展】1959年英国物理学家阿哈罗诺夫(Y.Aharonov)和玻姆(D.Bohm)指出：让一电子束分为两股，从不同侧绕过螺线管后重新会合，在相遇处将发生干涉效应，称为AB效应。图9.27AB效应AB效应要说明的问题是：在经典电磁理论中，这是不可怀疑的。因为我们知道了E和B，就可以用洛伦兹力公式求出带电粒子受的力，从而能确定它们的运动情况。但是这种认识在量子力学中受到巨大的冲击。图9.27AB效应在经典电磁学中曾引入标势和磁矢势作为求E和B的辅助量，在那里不具有真实的物理含义。在量子力学中情况就有了变化，我们通过下面的实验来说明这一问题。如图9.27所示，它是一个电子双缝干涉试验装置。S为电子源，F为一带正电的金属丝，E为两个接地的金属板，它们和中间的金属丝之间就构成了电子可通过的双缝。由S发出的电子束经过此双缝后，在相遇处发生干涉，在照相底板P上将形成干涉条纹，然后在金属丝后面平行地放一细长螺线管w，当在螺丝管中通有电流后，发现在照相底板上形成的干涉条纹的位置发生了平移，这说明电子在经过的路径上受到了某种作用。按经典电磁理论，电子应该受到磁力的作用。但是，我们知道在通电的长直螺线管外部B是为零的，（利用超导屏蔽层可以做到），因此，不可能有洛伦兹力作用于电子，通过理论计算，在螺线管外部，磁矢势A不为零,这说明只能是A的场对电子发生了作用，它是产生电磁相互作用的物理实在。AB效应是有非常重大的意义，它说明尽管在宏观领域电磁场可以用E和B来描述，能够给出作用于带电粒子的力，由此可确定其运动情况，但在微观领域力的概念不再实用，经典电磁学认为是辅助量的标势和磁矢势却在微观领域起着实在的物理作用。这一点越是深入到量子理论中越加明显，在量子动力学的理论中，代替麦克斯韦方程组的是由标势和磁矢势作为基本量的另一组方程式。而E和B从物理定律的近代表述中慢慢地隐退了。【网络资源】电磁感应在日常生活中又很多应用，摇滚乐队演唱时会用到的电吉他就是利用这一原理做成的，详细内容请访问/guitars.htm磁悬浮列车的发明，使人类陆地旅行的速度大大提高，而磁悬浮列车正是应用了电磁感应的原理制造的，下面的两个网址给出了和磁悬浮列车原理相关的知识。http://www.rtri.or.jp日本的铁道技术研究所./str/post.html美国的LawrenceLivermore国家重点实验室本章小结本章以反映电磁感应现象基本规律的法拉第电磁感应定律为主线，分两个方面进行讨论的。首先，是从理论上分析产生感应电动势具体原因，并根据产生感应电动势的原因把它分为动生和感生两种情况来讨论。然后，麦克斯韦提出了两个基本假设，也就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念，在这基础之上，麦克斯韦又总结了静电场和稳恒电流的磁场的规律，推导出了麦克斯韦方程组，从而对电磁学给以了全面的概括。理解感生电场和静电场的异同点、位移电流和传导电流的异同点，理解麦克斯韦电磁场理论的基本概念和麦克斯韦方程组，掌握动生电动势和感生电动势的计算是本章学习的重点和难点。其次，是从电磁感应在电工学的具体应用中，根据产生感应电动势的内因和外因，把它分为自感和互感两种情况进行讨论的。然后，利用RL电路很自然地推导出磁场能量体密度，从而得到磁场能量表达式。理解自感和互感现象，自感系数和磁场能量的计算也是本章