人教新课标万有引力理论的成就精讲精练 市赛获奖

课堂互动三点剖析一、解决天体运动问题的两条思路1．万有引力提供天体运动的向心力=mω2r=m()2r实际应用时，根据题目条件选用适当的公式进行分析或计算．2．在星球表面上或绕星球表面附近的卫星所受的万有引力等于重力=mg其中g为星球表面的重力加速度，R为星球的半径．把m消掉后可得GM=gR2，此式称为黄金代换公式．二、计算天体的质量和密度1．已知绕中心星体运行的行星或卫星的轨道半径r和周期T可求出中心星体的质量；若再已知中心星体的半径R，还可以求出中心星体的密度．（1）思路展现：大多数行星或卫星的椭圆轨道都十分接近圆形，它们的运动可近似地看作匀速圆周运动，运动所需要的向心力由万有引力来提供．这样，利用万有引力定律和圆周运动的知识，列出方程，便可以导出计算中心星体质量和密度的表达式．（2）计算公式推导：设某个中心星体的质量为M，用m表示此天体的一个行星或卫星的质量，以r表示它们之间的距离，以T表示行星或卫星绕中心星体做圆周运动的周期．行星或卫星做匀速圆周运动的向心力为：F=mω2r=m()2r根据万有引力提供向心力可得：=m()2r方程两边消去m，所以有M=又已知中心星体的半径为R，则其体积为V=πR3所以中心星体的密度为ρ=若我们研究的卫星是在靠近中心星体的表面附近运行的，则其轨道半径r近似与中心星体的球体半径R相等，那么中心星体的密度可表示为ρ=.2．已知某星球表面的重力加速度g和该星球的半径R，可计算出该星球的质量与平均密度．（1）思路展现：在星球表面上物体所受到的重力近似等于该星球对物体的万有引力，利用万有引力和重力的这种近似关系，便可以求出该星球的质量和密度．（2）计算公式推导：设星球表面的重力加速度为g，该星球的半径为R，设星球表面上某一物体的质量为m，则根据公式mg=得M=该星球的平均密度为ρ=.3．说明：（1）在应用万有引力等于向心力测量星体的质量时，只能求出中心星体的质量和密度，而不能测量出行星或卫星的质量．（2）日常生活中已知的地球的公转周期、地球的自转周期、月球的周期及地球同步卫星的周期等，在计算天体质量和密度时作为已知条件．三、发现未知天体1781年发现天王星后，许多天文学家不断观察，发现不同时间的资料计算出的天王星的轨道各不相同，根本无法根据以前的观察资料预报天王星的位置．天王星“出轨”的现象，激发了法国青年天文学家勒维列和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣，通过查阅以前的观察资料，把自己的理论计算同观察资料比较，两人各自独立得出结论：天王星的附近，还有一颗新的行星．1846年9月23日晚，两人在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星，被人们称其为“笔尖下发现的行星”．1930年3月14日，用类似方法发现了太阳的第9颗行星冥王星．凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力．各个击破【例1】在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小．计算时不计火星大气阻力．已知火星一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r0的均匀球体．解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有=m′g′=m()2r设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有=2g′hv=由以上各式解得v=.答案：v=【例2】地球半径R=6400km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，地核的体积约为整个地球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％，试估算地核的平均密度．解析：不计地球自转的影响，地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即mg=，所以，地球的质量为M=则地球的平均密度为ρ=kg/m3=×103kg/m设地核的质量为M′，体积为V′，平均密度为ρ′,则有所以地核的平均密度为ρ′=××103kg/m3=×104kg答案：×104kg温馨提示：根据万有引力定律求天体的质量和密度有两种方法：一是根据万有引力和重力近似相等的关系求解；二是根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力来提供，由万有引力定律和向心力公式列方程求解．这两种方法在实际应用中根据题目条件灵活使用．类题演练1太阳光经500s到达地球，地球的半径为×106解析：地球到太阳的距离为r=ct=×108×500m=×10地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力．地球绕太阳公转周期为T=365d=365×24×3600s由=mr()2M地球表面的重力加速度g=9.8m／s2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的引力，即=mg,可得地球的质量M′=太阳质量和地球质量的比值为，代入数据得=3×105．答案：3×105类题演练2某行星的自转周期为T=6h，用弹簧秤在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧秤在赤道上的读数比在两极上的读数小10％（行星视为球体）．（1）该行星的平均密度是多大？（2）设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时的自转周期是多少？解析：(1)在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，即=mg；在赤道上，万有引力产生了两个作用效果，一是让物体随行星一起自转，需要自转向心力，二是让物体来挤压地面，产生重力．即在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解力自转向心力和重力=mg′+所以mg-mg′==该行星的质量为M=密度为ρ==×103kg/m3(2)对物体原来有：=ma向物体“飘”起来时有：=ma向′=由上面两式联立得T1=×6h=h.答案：（1）×103kg/m3温馨提示：由地球表面各处重力加速度变化的原因可知，位于该行星表面的物体在两极上与赤道上重力之差正好是在赤道上物体随行星一起自转的向心力．若赤道上物体“飘”起来，则是万有引力全部提供向心力．【例3】科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定（）A．这颗行星的公转周期与地球相等B．这颗行星的半径等于地球的半径C．这颗行星的密度等于地球的密度D．这颗行星上同样存在着生命解析：因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．答案：A类题演练3根据观测，某行星外围有一模糊不清的环，为了判断该环是连续物还是卫星群，测出了环中各层的线速度v的大小与该层至行星中心的距离R．则以下判断中正确的