站在“C位”的一元二次方程

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浦叙德

在团队拍照时，一般站在中间位置的人就是这个团队的核心，俗称“C位〞。初中数学共分“数与代数〞“图形与几何〞“统计与概率〞“综合与实践〞四大板块，其中“数与代数〞又分成“数与式、方程与不等式、函数〞五个部分。从代数的角度看，方程在初中代数中起着承上启下的桥梁作用，是名副其实的“C位〞。九年级的一元二次方程是初中方程家族的收官一章，它既是小学代数中方程知识的发展，又是高中代数中方程学习的奠基，从方程的角度看，一元二次方程也处于“C位〞。因此，我们十分有必要全面地认识一元二次方程，并整体地认识初中方程，由此展望认识后续的方程。

一、对一元二次方程的全面认识

本章主要学习一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系、解决问题四个方面的内容。从一元二次方程的概念来看，它是延续一元一次方程、二元一次方程的研究方法，通过列举一些具体的方程，给出“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程〞。这些概念都是用“元〞和“次〞来表达，其中“元〞代表未知数的个数，“次〞代表未知数的最高次数。在二元一次方程（组）的学习中，我们还遇到过三元一次方程（组）。二元一次方程和一元二次方程分别可以看成是在一元一次方程的基础上，对“元〞和“次〞进行拓展。概念中“未知数的最高次数〞的表述，说明方程中所含的代数式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程都属于整式方程的范畴。

本章介绍了一元二次方程的四种解法，分别是直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。它们之间有着紧凑的联系，其中公式法最为一般，适用于任何一个一元二次方程。对一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）来说，得到公式的过程就是配方法，配方后用到的方法就是直接开平方法。因式分解法的本质是通过将方程化成一般形式后对左边代数式进行因式分解，進而找到对应方程的根。因此，对于一个一元二次方程，首选因式分解法或直接开平方法，假如不行，再使用公式法，配方法一般只有在规定用这种解法时才使用。

本章最终介绍了用一元二次方程解决问题，学以致用是数学价值之一。我们发现，每学完一类方程，最终都是用该类方程知识解决实际问题。细心分析，我们不难发现，用方程解决实际问题都有一些共性：一是问题中都包含数量之间的相等关系;二是都依照“设未知数——找出相等关系——列出方程——检验方程的解是否符合方程本身和实际问题——作答〞的步骤进行;三是都把实际问题抽象成数学中的方程问题，建立方程模型，进而解决实际问题。唯一不同的就是问题中含有相等关系的个数以及列出方程的次数。可见，方程是解决实际问题十分重要的模型。它和不等式、函数共同组成初中代数中的三大主要模型。

二、对初中方程的整体认识

我们在七年级学习了一元一次方程、二元一次方程（组），在八年级学习了分式中的分式方程，在九年级学习了一元二次方程。假如把数、式、方程作为一个整体来看，那么初中所学方程都可以化成左边是一个代数式，右边等于0的形式，此时，我们就可以根据方程左边的代数式来判断方程的类型。如一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程化成右边等于0之后，可以发现，它左边的代数式都是整式，我们把这些方程统称为整式方程。同样，右边等于0之后的方程，假如左边是一个分式，那么这样的方程就是分式方程。由于从数学的角度看，方程还可以看成是数式的运用，所以我们发现，对方程的分类，跟数式的分类完全一致。

回想初中三年所学的方程，我们发现，对每一类方程的研究，都经历了一个一致的历程。一般地，从方程的概念出发，然后研究它的解法，最终用所学方程知识解决实际问题。初中所学的一元一次方程、二（三）元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程都是方程家族中特别的、简单的方程。其中分式方程去分母后转化为整式方程，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;一元二次方程通过四种解法，最终都达到了降次的目的，转化为一元一次方程;二（三）元一次方程（组）通过代入消元、加减消元最终也变成了一元一次方程。可见，一元一次方程是研究方程的基础，转化、化归是解方程的思想。

三、对后续方程的展望认识

上面我们介绍了对本章方程的全面认识和初中方程的整体认识，在此之后，我们不妨对后面可能会研究的方程作一个展望。从整式方程的概念来展望，在一元一次方程的基础上，我们可以分别对“元〞和“次〞进行无限扩展，依次得到一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）……n元一次方程（组），又可以得到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程……一元n次方程，还可以组合得到一元一次方程、二元二次方程（组）……就整式方程而言，就可以完成“从有限到无限〞的质的飞越。

假如把整式方程和分式方程放在一起，就组成了“有理方程〞。既然有有理方程，必定会有“无理方程〞。事实上，初中阶段也出现过无理方程，如[x]=2。只不过我们当时是从平方根、算术平方根（数的角度）来认识这个等式的。这里，我们可以从初中的视角将这些方程统称为实数方程。实数方程分为有理方程和无理方程，有理方程又分为整式方程和分式方程。怎么样，这种分类方式熟悉吗？对咯，它跟数式的分类完全一致。

再从解法的视角来展望，我们会解分式方程、整式方程等有理方程。那么，假如是无理方程，我们该怎么解？无理方程是未知数含在根号内的方程，只要想方法把根号去掉就可以了。事实上，在初中代数中我们也遇到过这样的问题，如