高等教育高数上期末总复习课件

高数(上)期末总复习高数(上)期末总复习1函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数函数:主要内容函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函2函数极限及连续典型例题函数极限及连续3例1解法讨论例1解法讨论4解:解:5例2解例2解6例3解例3解7[高等教育]高数上期末总复习课件8[高等教育]高数上期末总复习课件9求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分主要内容导数与微分求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分主10典型例题例1解:或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，则f(x)=g(x)+xg(x)，f(0)=g(0)+0=100！。

典型例题例1解:或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-11例2解例2解12例3解:例3解:13例4解:两边取对数例4解:两边取对数14例5解例5解15例6解例6解16例7解:例7解:17洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理主要内容导数的应用(一)洛必达法则RolleLagrange常用的CauchyTay18例1解典型例题例1解典型例题19[高等教育]高数上期末总复习课件20[高等教育]高数上期末总复习课件210；0；2/.0；0；2/.22

导数的应用(二)典型例题导数的应用(二)典23例1最大值例1最大值24例2解：例2解：25例3例326例4证例4证27例5证明例5证明28[高等教育]高数上期末总复习课件29例6解例6解30若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数31解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处32例7解奇函数例7解奇函数33[高等教育]高数上期末总复习课件34列表:极大值拐点极小值列表:极大值拐点极小值35作图作图36练习

练习37积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分主要内容不定积分积分法原函数选基第一换元法直接分部不定积分几38基本积分表是常数)基本积分表是常数)39[高等教育]高数上期末总复习课件40四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式41典型例题例1解典型例题例1解42例2解例2解43例3解(倒代换)例3解(倒代换)44例4解例4解45解得解得46例5解例5解47例6解例6解48例7解例7解49例8解例8解50例9解例9解51[高等教育]高数上期末总复习课件52[高等教育]高数上期末总复习课件53练习练习54[高等教育]高数上期末总复习课件55[高等教育]高数上期末总复习课件56[注]或[注]或57当a=0，b≠0时当a≠0，b=0时计算其中a，b是不全为0的非负常数解当a≠0，b≠0时当a=0，b≠0时当a≠0，b=0时计算其中a，b是不全为58计算求解原式=计算求解原式=59求解原式=求解令则从而求解原式=求解令则从而60求解法1原式=解法2原式=求解法1原式=解法2原式=61计算不定积分解法1原式=解法2令原式=计算不定积分解法1原式=解法2令原式=62计算解原式=计算计算解原式=计算63分部积分或三角代换分部积分或三角代换64[高等教育]高数上期末总复习课件65[高等教育]高数上期末总复习课件66答案答案67[高等教育]高数上期末总复习课件68测验题测验题69[高等教育]高数上期末总复习课件70[高等教育]高数上期末总复习课件71[高等教育]高数上期末总复习课件72[高等教育]高数上期末总复习课件73[高等教育]高数上期末总复习课件74[高等教育]高数上期末总复习课件75测验题答案测验题答案76[高等教育]高数上期末总复习课件77[高等教育]高数上期末总复习课件78典型例题例1.计算

解:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.

定积分典型例题例1.计算

解79例2.计算

解:设

,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：

再用分部积分公式计算上式的右端的积分。

设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.

于是：

例2.计算

解:设

80例3求

解:这是一个型未定式。

可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。例3求解:这是一个型未定式。可看成以u=cos81例4计算下列积分.解：1

原式=

2此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+lnx=t2,

.故原式=)tx=+ln11.2.例4计算下列积分.2此题用第二换元法(换元换82例5若f(x)在[0,1]上连续，证明证明：设,则dx=–dt,且当x=0时，；时，t=0.

于是

注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。

例5若f(x)在[0,1]上连续，证明证83定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形定积分的应用定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形定积84如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函85极坐标情形极坐标情形86(2)体积xyo(2)体积xyo87平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积88(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为89C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyoC．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo90(5)细棒的质量(6)转动惯量(5)细棒的质量(6)转动惯量91(7)变力所作的功(8)水压力(7)变力所作的功(8)水压力92(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根93二、典型例题例1二、典型例题例194解由对称性,有由对称性,有解由对称性,有由对称性,有95由对称性,有由对称性,有96例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有97[高等教育]高数上期末总复习课件98故所求速度为故所求速度为99故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为100例3在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积。解设要求的点为（x1，y1），y1=-x12+1,过（x1，y1）的切线方程为令x=0,y=0得切线的截距:于是，所求面积为例3在第一象限内求曲线101唯一驻点:唯一驻点:102解在点处的切线l方程为即所围面积令得t=1。又故t=1时，S取最小值。此时l的方程为求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的图形面积最小。解在点处的切线l方程为即所围面积令得t=1。又故t=1时，103故此切线方程为又因该切线过点P（1，0），所以即从而，切线方程为因此，所求旋转体的体积解设所作切线与抛物线相切于点，因过点P(1,0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。故此切线方程为又因该切线过点P（1，0），所以即从而，切线方1041.求曲线所围的面积.1)求交点.2)算面积.2.设平面区域D由x=0,x=1,y=a(o<a<1)及y=x2围成,试问a为何值时D的面积最小?1.求曲线1053.设平面图形A由求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。A的两条边界曲线方程分别为及x=y相应于[0,1]上任一小区间[y，y+dy]的薄片的体积元素为于是所求体积为解A的图形如下图所示，取y为积分变量，它的变化区间为[0,1]，所确定,3.设平面图形A由求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体1064.曲线和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。解在[1，2]上取积分元素，得求由曲线y=x2-2x,y=0,x=1,x=3所围平面图形分别绕x和y轴旋转一周,所得的旋转体体积.4.曲线和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周1075.计算曲线上相应于的一段弧的长度。解6.求摆线一拱（0≤t≤2π）的弧长S。解5.计算曲线上相应于的一段弧的长度。解6.求摆线一拱1087.求心形线的全长，其中a>0是常数。解由对称性得7.求心形线的全长，其中a>0是常数。解由对称1098.半径为R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重与水的相同,问:将球从水中取出需做多少功?解:建立坐标系如图.在小区间[y,y+y]上,

oxy对应球体的一小薄片,要提高2R高度,水上的行程:R+y,则dw=g·(R+y)·x2(y)dy·18.半径为R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重110高数(上)期末总复习高数(上)期末总复习111函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数函数:主要内容函数反函数隐函数反函数与直接基本初等函数复合函数初等函112函数极限及连续典型例题函数极限及连续113例1解法讨论例1解法讨论114解:解:115例2解例2解116例3解例3解117[高等教育]高数上期末总复习课件118[高等教育]高数上期末总复习课件119求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分主要内容导数与微分求导法则基本公式导数微分关系高阶导数高阶微分主120典型例题例1解:或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，则f(x)=g(x)+xg(x)，f(0)=g(0)+0=100！。

典型例题例1解:或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-121例2解例2解122例3解:例3解:123例4解:两边取对数例4解:两边取对数124例5解例5解125例6解例6解126例7解:例7解:127洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理主要内容导数的应用(一)洛必达法则RolleLagrange常用的CauchyTay128例1解典型例题例1解典型例题129[高等教育]高数上期末总复习课件130[高等教育]高数上期末总复习课件1310；0；2/.0；0；2/.132

导数的应用(二)典型例题导数的应用(二)典133例1最大值例1最大值134例2解：例2解：135例3例3136例4证例4证137例5证明例5证明138[高等教育]高数上期末总复习课件139例6解例6解140若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数141解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处的曲率圆的圆心为解此方程组得故所求作抛物线的方程为曲率圆的方程为两曲线在点处142例7解奇函数例7解奇函数143[高等教育]高数上期末总复习课件144列表:极大值拐点极小值列表:极大值拐点极小值145作图作图146练习

练习147积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分主要内容不定积分积分法原函数选基第一换元法直接分部不定积分几148基本积分表是常数)基本积分表是常数)149[高等教育]高数上期末总复习课件150四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式四种类型分式的不定积分此两积分都可积,后者有递推公式151典型例题例1解典型例题例1解152例2解例2解153例3解(倒代换)例3解(倒代换)154例4解例4解155解得解得156例5解例5解157例6解例6解158例7解例7解159例8解例8解160例9解例9解161[高等教育]高数上期末总复习课件162[高等教育]高数上期末总复习课件163练习练习164[高等教育]高数上期末总复习课件165[高等教育]高数上期末总复习课件166[注]或[注]或167当a=0，b≠0时当a≠0，b=0时计算其中a，b是不全为0的非负常数解当a≠0，b≠0时当a=0，b≠0时当a≠0，b=0时计算其中a，b是不全为168计算求解原式=计算求解原式=169求解原式=求解令则从而求解原式=求解令则从而170求解法1原式=解法2原式=求解法1原式=解法2原式=171计算不定积分解法1原式=解法2令原式=计算不定积分解法1原式=解法2令原式=172计算解原式=计算计算解原式=计算173分部积分或三角代换分部积分或三角代换174[高等教育]高数上期末总复习课件175[高等教育]高数上期末总复习课件176答案答案177[高等教育]高数上期末总复习课件178测验题测验题179[高等教育]高数上期末总复习课件180[高等教育]高数上期末总复习课件181[高等教育]高数上期末总复习课件182[高等教育]高数上期末总复习课件183[高等教育]高数上期末总复习课件184[高等教育]高数上期末总复习课件185测验题答案测验题答案186[高等教育]高数上期末总复习课件187[高等教育]高数上期末总复习课件188典型例题例1.计算

解:设x=asint,则dx=acostdt,且当x=0时，t=0；当x=a时，t=π/2.

定积分典型例题例1.计算

解189例2.计算

解:设

,且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：

再用分部积分公式计算上式的右端的积分。

设u=t,dv=etdt,则du=dt,v=et.

于是：

例2.计算

解:设

190例3求

解:这是一个型未定式。

可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。例3求解:这是一个型未定式。可看成以u=cos191例4计算下列积分.解：1

原式=

2此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+lnx=t2,

.故原式=)tx=+ln11.2.例4计算下列积分.2此题用第二换元法(换元换192例5若f(x)在[0,1]上连续，证明证明：设,则dx=–dt,且当x=0时，；时，t=0.

于是

注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。

例5若f(x)在[0,1]上连续，证明证193定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形定积分的应用定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形定积194如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函数如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积参数方程所表示的函195极坐标情形极坐标情形196(2)体积xyo(2)体积xyo197平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积198(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为(3)平面曲线的弧长弧长A．曲线弧为弧长B．曲线弧为199C．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyoC．曲线弧为弧长(4)旋转体的侧面积xyo200(5)细棒的质量(6)转动惯量(5)细棒的质量(6)转动惯量201(7)变力所作的功(8)水压力(7)变力所作的功(8)水压力202(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根(9)引力(10)函数的平均值(11)均方根203二、典型例题例1二、典型例题例1204解由对称性,有由对称性,有解由对称性,有由对称性,有205由对称性,有由对称性,有206例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有例2解如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点,有207[高等教育]高数上期末总复习课件208故所求速度为故所求速度为209故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为210例3在第一象限内求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积为最小，并求此最小面积。解设要求的点为（x1，y1），y1=-x12+1,过（x1，y1）的切线方程为令x=0,y=0得切线的截距:于是，所求面积为例3在第一象限内求曲线211唯一驻点:唯一驻点:212解在点处的切线l方程为即所围面积令得t=1。又故t=1时，S取最小值。此时l的方程为求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成的图形面积最小。解在点处的切线l方程为即所围面积令得t=1。又故t=1时，213故此切线方程为又因该切线过点P（1，0），所以即从而，切线方程为因此，所求旋转体的