流体力学(流体静力学)课件

第二章流体静力学

1、作用在流体上的力

2、流体静压强及其特性

3、流体的平衡微分方程

4、流体静力学基本方程

5、压强的计算基准和量度单位

6、液柱式测压计

7、作用于壁面上流体的总压力第二章流体静力学1

§2－1作用在流体上的力表面力质量力§2－1作用在流体上的力2

§2—1作用在流体上的力

作用在流体上的力，按其物理性质分，有重力、惯性力、压力、粘滞力、表面张力等。按其作用特点又可分为表面力和质量力两大类。

一、表面力

●表面力是作用在被研究流体表面上，且与作用的表面面积成正比的力。

●表面力的表达形式是用单位面积上的切向分力(称为切应力或摩擦应力)和单位面积上的法向分力(称为压应力或正压强)来表示。表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。切力：

平行于作用面。§2—1作用在流体上的力3

如在流体中取出一隔离体，其表面上作用有与其交界的另一部分流体或其他物体对它作用的表面力。

ΔA面上的表面力的表达形式为：为面积ΔA上的平均压应力或平均正压强；为面积ΔA上的平均切应力或平均摩擦力。

A点处的压强p和切应力τ，即：如在流体中取出一隔离体，其表面上作用有与其交界的另一4

二、质量力质量力是作用在流体的每一质点上、且与作用的流体的质量成正比的力。如重力、惯性力等。质量力常用单位质量力来表示。若均质流体的质量为M，所受的质量力为F，则单位质量力为F/M。若F在直角坐标系x、y、z轴方向上的分量为Fx、Fy和Fz，则在x、y、z轴方向上的单位质量力分量X、Y、Z为：单位质量力具有与加速度相同的量纲[LT-2]。如果液体只受到重力的作用，取z轴铅直向上，xoy平面为水平面，则单位质量力在轴上的分量为X＝0Y＝0Z＝-Mg/M＝-g

二、质量力单位质量力具有与加速度相同的量纲[5

§2－2流体静压强及其特性流体静压强流体静压强的特性§2－2流体静压强及其特性6

§2—2流体静压强及其特性

一、流体静压强作用在受压面整个面积上的压力称为总压力或压力，作用在单位面积上的压力是压力强度，简称压强。作用在面积ΔA上的平均静压强，可以表示为：当面积ΔA无限缩小到一点时，则得该点的静压强

p

为：压强的国际制单位是N/m2(Pa)或kN/m2；工程制单位是kgf/cm2。通常把流体静压强叫做流体静压力。§2—2流体静压强及其特性一、流体静压强7因流体几乎不能承受拉力，故

p指向受压面。

二、流体静压强的特性1、流体静压强的方向与作用面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向。

证明要点：

因静止流体不能承受剪力，即τ＝0，故p垂直受压面；因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。8

即在静止流体中通过一点取1—1和2—2两个面，则作用在1—1面上的静压强p1与作用在2—2面上的静压强p2的大小相等。即

2、在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。即在静止流体中通过一点取1—1和2—2两个面，则作用9p2dxp3dzp1dsdxdzdsθzxy证明：从静止状态的流体中引入直角坐标系中二维流体微元来说明。设y方向宽度为1。ds即表示任意方向微元表面。分析z

方向的力平衡表面力：

p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力二维流体微元的体积：质量力：p2dxp3dzp1dsdxdzdsθzxy证明：从静止10根据平衡条件∑F＝0，有当dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点时，上式左端第三项的质量力与前两项的表面力相比为高阶无穷小，可忽略不计，因而可得：

p1

＝p2

同理可得：p1

＝p3这里的p1就是任意方向微元平面上的应力pn，它和该点坐标平面方向的应力px，pz相等。三维流体的结论是相同的(P21)：。根据平衡条件∑F＝0，有当dx、dy、dz趋于零，即四面体11

●不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器壁

●根据流体静压强的第二个特性，当需要测量流体中某一点的静压强时，可以不必选择方向，只要在该点确定的位置上进行测量即可。

结论：

●流体中各不同点处的静压强是不相同的，与该点所处的位置有关，所以某点的静压强可以表示成位置的函数。即●不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器壁12

§2－3流体的平衡微分方程平衡微分方程式(P24)等压面(P26)§2－3流体的平衡微分方程13

§2—3流体的平衡微分方程

一、平衡微分方程式在静止流体中，取一以任意点O′为中心的微小平行六面体。

1、表面力作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的压力。中心O′的压力为，垂直于

x轴的左右两个平面中心

M

和

N

上的的静压强，按泰勒级数展开，泰勒公式：§2—3流体的平衡微分方程一、平衡微分14按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成其中为压力在x方向的变化率。由于微元体的面积取得足够小，可以认为平面中点的静压强即为该面的平均静压强，于是作用在六面体左右两端面上的表面力为按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成其中为压力在x15因此沿

x轴方向的质量力据平衡条件，x

轴方向各作用力之和应等于零，∑Fx＝0，即2、质量力设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为X、Y、Z，流体的密度为ρ，则六面体的质量为：因此沿x轴方向的质量力2、质量力16以除上式各项，并化简得：同理（1）上式称为流体平衡微分方程式，它是Euler在1755年首先提出的，故又称欧拉平衡方程式。它表示流体在质量力和表面力作用下的平衡条件。以除上式各项，并化简得：同理17因为，所以(2)式右边为压力p的全微分：将欧拉平衡方程式中各式分别乘以dx、dy、dz并相加，得代入（2）式得：因为，所以(2)式右边为压力p的全微分：将18如果流体是不可压缩的，即ρ＝常数。因（4）式左边是压力的全微分dp，那么，右边也可看作是某个函数U（x，y，z）的全微分。即如果流体是不可压缩的，即ρ＝常数。因（4）式左边是压力的19（5）式与（4）式对比可得（4）（5）显然，函数U（x、y、z）在x、y、z轴方向的偏导数正好等于该坐标轴方向的单位质量力。

U是一个决定流体质量力的函数。称函数U（x，y，x）为力函数或势函数。满足这样势函数的力就称为有势的力。如重力。结论：不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能平衡。（5）式与（4）式对比可得（4）（5）显然，函数U20二、等压面

在静止和平衡流体中，由压强相等的点组合成的面称为等压面。静止流体或相对静止流体的自由表面就是等压面。由于，只有，则得。由此可见，等压面确实就是等势面。

★等压面三个重要性质

1、等压面是等势面在等压面上，p=常数，则dp=0。由式（5）得显然，在等压面上各点的压强相等，即：p=常数或dp=0。根据式（4）可以得到等压面方程式为二、等压面由于，只有，212、质量力与等压面相互垂直设想流体质点在等压面上移动一微小距离即质量力沿等压面所作的功为零。而质量力和位移都不为零，所以，质量力必垂直于等压面。再与两矢量互相垂直的充要条件是因此，根据质量力的方向可以确定等压面的形状。则单位质量力所作的功为

单位质量力2、质量力与等压面相互垂直即质量力沿等压面所作的223、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为等压面。简单证明：如果在分界面上任取两点A和B，这两点的静压差为dp，势差为dU。因为它们属于两种液体，若其中一种液体的密度为ρ1，另一种液体的密度为ρ2，则可分别写为

dp＝ρ1dUdp＝ρ2dU因为ρ1≠ρ2

且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程式才能成立。所以其分界面必为等压面或等势面。3、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为23§2－4流体静力学基本方程

重力作用下压力分布

相对平衡液体的压力分布§2－4流体静力学基本方程24

§2—4流体静力学基本方程

一、重力作用下压强分布如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ的静止的均匀液体，液体所受的质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。单位质量力在各坐标轴上的分量为

X＝0Y＝0Z＝－g代入（7）式得代入上式得则积分得（7）c—积分常数，在z＝H

处，p＝p0则§2—4流体静力学基本方程代入（7）式得25故式中p——液体内某点的压强，Pa

p0——液面气体压强，Pa

γ——液体的重度，N/m3

h——某点液面下的深度，m上式就是在重力作用下，静止液体内部压强分布规律的数学表达式，也称流体静力学基本方程。故式中p——液体内某点的压强，Pa26

取一微小面积ΔA，在ΔA的圆柱体的重量ρghΔA作用在面积ΔA上，按照压力的定义，ρgh就是单位面积上所受的力。从式可以得出结论：

(1)在重力作用下的液体内部压强随深度h按直线关系变化。(2)在重力作用下的液体中深度相同的各点静压强亦相同。

(3)重力作用下的液体中任何一点的压强p由两部分组成。一是作用在自由表面上的压强p0，二是流体自身重量引起的压强ρgh取一微小面积ΔA，在ΔA的圆柱体的重量ρghΔA27上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止液体中不论哪一点的()总是同一个常数。在应用中，z——位置水头；——压强水头或测压管高度；——测压管水头。

(4)将式改写为

或（9）

图表示一封闭容器，其中盛有重度为γ的液体，自由液面上的压力为p0。上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止28

二、相对平衡液体的压力分布

1、容器作等速直线运动如图所示，若一盛有流体的容器以速度u作等速直线运动时，流体质点之间也不存在着相对运动。流体内任一点的压力可用静力学基本方程式求得。二、相对平衡液体的压力分布29

2、容器作等加速直线运动(P27)将坐标系统x轴和y轴放在容器中的液体自由表面上。坐标原点放在液体自由表面中心，x轴的方向与运动方向一致，z轴向上。如图所示。

★等压面的方程式静力学平衡微分方程式为(a)2、容器作等加速直线运动(P27)★等压面的方程30式中

X＝－a(b)由于惯性力在y轴方向的分量均等于零，所以应取Y＝0

(c)Z的大小应等于重力加速度g，方向与z轴相反，即Z＝－g(d)将式(b)(c)(d)代入(a)得积分即得等压面方程式式中积分即得等压面方程式31显然，这是一个倾斜的平面族方程。不同的积分常数对应不同的平面。在自由表面上，x＝0，z＝0，则c＝0，自由面方程式为夹角即显然，这是一个倾斜的平面族方程。32

★压力分布规律由式积分得在自由表面处，x＝0，z＝0，p＝p0得c＝p0故若则上式与重力作用下的流体压力分布是相同的。★压力分布规律33§2－5压强的计算和量度单位压强的两种计算基准压强的量度单位§2－5压强的计算和量度单位34

§2—5压强的计算基准和量度单位

一、压强的两种计算基准

1、绝对压强

以毫无一点气体存在的绝对真空（零压力）为零点起算的压强，称为绝对压强。以pabs表示。当液面上作用的是大气压力pa时p0

＝

pa由静力学基本方程式（8）得液体内任意一点的压力为

2、相对压力

以当地同高程的大气压强pa为零点起算的压强。则称为相对压强，以pr表示。相对压强、绝对压强和大气压强的相互关系是

pr

＝

pabs－pa§2—5压强的计算基准和量度单位2、相对压35绝对压强可能大于大气压力，也可能小于大气压力，因此，相对压强可正可负。当相对压强为正值时，称该压强为正压，为负值时，称为负压。

负压的绝对值又称为真空度，以pv表示。即当pr＜0时，

为了建立绝对压强和相对压强的概念，现以

A点（pabsA＞pa）和B

点（pabsB＜pa）为例，将它们之间的关系用图来表示。(P30)绝对压强可能大于大气压力，也可能小于大气压力，因此，36

★为了理解相对压强的实际意义，现以图中气体容器的几种情况来说明：

(1)假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，p0＝pa，相对压强为零。容器内、外壁所承受的压强均为大气压强，力学效应相互抵消，等于没有受力。(2)假定容器的压强p0＞0，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。

(3)假定容器压强p0＜0。同样的，也正是这个低于大气压强的部分，才对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。上例说明，引起固体和流体力学效应的只是相对压强的数值，而不是绝对压强的数值。★为了理解相对压强的实际意义，现以图中气体容器的几种情况37

二、压强pressure的量度单位工程上常用的压强量度单位的三种。

1、用应力(stress)单位表示即以单位面积上所受力的大小来表示压强。在国际单位制中压强单位为N/m2，1N/m2＝1Pa。压强较大时，可用kPa或MPa表示，1MPa＝106Pa。在工程单位单位单位制中用kgf/m2或kgf/cm2。1kg/cm2＝98kPa.。

2、用工程大气压表示(Atmosphericpressure大气压力)压强的大小也常用大气压的倍数表示。国际上规定，一个标准大气压为

1atm＝101.325kPa＝1.033kgf/cm2工程上为了计算方便，一般不用标准大气压，而用工程大气压

1at＝98kPa＝1kgf/cm2二、压强pressure的量度单位38

3、用液柱高度表示

常用水柱高度或汞柱高度表示。其单位为mH2O、mmH2O、或mmHg,前面讲过压力与液柱高度的关系为,则。说明一定的压力p就相当于一定的液柱高度h。所以1at=98kPa=1kgf/cm2=10mH2O=736mmHg相应的汞柱高度为如一个工程大气压相应的水柱高度为3、用液柱高度表示所以1at=98kPa=39

例：图所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，液面上气体的绝对压强p，01=

0.75at(工程大气压)。右端倒装玻璃管内液体为汞，汞柱高度h2＝120mm。容器内A点的淹深度hA=2m。设当地大气压为1at。试求：(1)容器内空气的绝对压强p'02和真空度pv2；(2)A点的相对压强pA；(3)左侧管内水面超出容器内水面的高度h1。解:(1)求p'02和pv2

根据液体静力学基本方程则：例：图所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，液面上气体40容器内空气的真空度为

（2）求pA容器内空气的相对压强为因而（3）求h1容器内空气的真空度为41从图中可得（1）又（2）式（2）代入式（1）整理得从图中可得42§2－6液柱式测压计测压管压差计微压计§2－6液柱式测压计43一、测压管测压管是一根玻璃直管或U形管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端开口，直接和大气相通，如图。

图a中，测压管水面高于A点，pA为正值。即图b中，测压管水面低于A点，以1—1为等压面，则故A点的负压或真空度为：

或一、测压管图b中，测压管水面低于A点，以1—1为44

如果需要测定气体压强，可以采用U形管盛水，如图C。现仍以1—1为等压面，则

图d中，测压管水面低于A点，现仍以1—1为等压面，则故容器内气体压强的负压或真空度为：或如果需要测定气体压强，可以采用U形管盛水，如图C45

如果测压管中液体的压强较大，测压水柱过高，观测不便，可在

U形管中装入水银，如图。根据等压面规律，U形管1、2两点的压强相等，即p1＝p2。所以故得

或

如果测压管中液体的压强较大，测压水柱过高，观测不便，46

三、压差计

压差计是测定两点间压强差的仪器，常用U形管制成。根据压差的大小，U形管中采用空气或各种不同容重的液体，仍然应用等压面规律进行压差计算。图a为测定A、B两处液体压强差的空气压差计，由于气柱高度不大，可以认为两液面为等压面，故得故三、压差计故47当需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据1、2点为等压面得：故

如A、B两处为同种液体，即γA＝γB＝γ，则如A、B两处为同种液体，且在同一高程，即Z1＝Z2，则如果，A、B两处为同一气体，则当需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据1、48当测定时α为定值，只需测得倾斜长度l，就可得出压差。由于l＝h／sinα，倾斜角度越小，l比h放大的倍数就越大，量测的精度就更高。四、微压计微压计一般用于测定气体压强，它的测压管是倾斜放置的，其倾角为α。壶中液面与测压管中液面高差h的读数为l，而h＝l·sinα，则当测定时α为定值，只需测得倾斜长度l，就可得出压差。由于l49例对于压强较高的密封容器，可以采用复式水银测压计，如图所示。测压管中各液面高程为：▽1＝1.5m，▽2＝0.2m，▽3＝1.2m，▽4＝0.4m，▽5＝2.1m。求液面压强p5。解：根据等压面的规律，2-2，3-3及4-4都分别为等压面。则

由于气体容重远小于液体容重，因此，2—2及3—3间气柱所产生的压强可以忽略不计，即认为p2＝p3。于是＝133326（1.5－0.2＋1.2－0.4）－9800(2.1－0.4)＝263324(Pa)＝263.3kPa例对于压强较高的密封容器，可以采用复式水银测压计，如图所50§2－7作用于壁面上流体的总压力作用于平面上的总压力作用于曲面上总压力§2－7作用于壁面上流体的总压力51

一、作用于平面上的总压力

1、总压力设在静止液体中某一深处有一任意平面ab，其面积为A，与水平面的夹角为α。在ab平面上任取一微小面积dA，作用在该面上的压力为式中是平面ab对于x轴的静矩。作用在ab面上总压力为一、作用于平面上的总压力式中是平面a52式中——受压面（ab）形心在液面下的深度；——受压面形心点的压力。式中——ab平面的几何中心至x轴的距离。则上式说明，作用在任意平面上的流体总压力的大小等于该平面的面积与其形心点处静压力的乘积。总压力方向是沿着受压面的内法线方向。式中——受压面（ab）形心在液面下的深度；式中53——合力作用点到x轴的距离；y——微小面积中心到x轴的距离；dp——作用在微小面积dA上的合力

2、压力中心总压力的作用点称压力中心。理论力学中的合力矩定理：作用在面积A上的合力对x轴的静力距应等于每一微小面积上所受的力对x轴的静力矩之和。即因为则——合力作用点到x轴的距离；2、压力中心因54

由于，故，即压力中心D点一般在几何中心C点的下面，只有当受压面水平，或时，，D点与C点重合。

由力学中惯性矩定义知：为面积A对x轴的惯性矩Ix。即则得由移轴公式式中Ic——平面ab相对于通过几何中心c并与x轴平行的轴的惯性矩。故由于，故55解：闸门所受总压力P例：有一倾斜闸门AB，宽度B为1m，A处为铰链轴，整个闸门可绕此轴转动，已知H＝3m，h＝1m，闸门自重及铰链中的摩擦力可略去不计。求升起此闸门时所需垂直向上的拉力T。解：闸门所受总压力P例：有一倾斜闸门AB，宽度56压力中心根据理论力学平衡理论，当闸门刚刚转动时，力P、T对铰链A的力矩的代数和应为零。压力中心根据理论力学平衡理论，当闸门刚刚转动时，力P57三、作用于曲面上的总压力现讨论作用在二向曲面上的液体总压力。如图为垂直于纸面的柱体，其长度为l，受压曲面为AB，其左侧承受水静压力。设在曲面AB上，水深h处取一微小面积dA，作用在dA上的水静压力为：该力可分解为水平和铅直两个分力。水平分力为铅直分力为又∴三、作用于曲面上的总压力该力可分解为水平和铅直两个分力。水平58上式分别积分得式(1)右边的积分等于曲面AB在铅直平面上的投影面积Az对水面的水平轴y的静矩。设hC为Az的形心在水面下的深度，则因此

可见，作用于曲面上的水静压力P的水平分力Px等于该曲面在yoz面的铅直投影面上的水静压力。因此，可以引用平面水静压力的方法求解曲面上水静压力的水平分力。上式分别积分得式(1)右边的积分等于曲面AB在铅直平面上的投59式(2)右边的hdAx是以dAx为底面积水深h为高的柱体体积。所以，即为受压曲面AB与其在自由面xoy上的投影面积CD这两个面之间的柱体ABCD的体积，称为压力体，以V表示。作用于曲面上液体总压力P的铅直分力Pz等于其压力体内的液体重量。式(2)右边的hdAx是以dAx为底面积水深h为高的柱体体积60

★压力体是空间图形，它是由下列各面所包围的体积：①所研究的曲面；②经过曲面边缘至自由面所作的四个垂直平面；③自由液面或其延伸面。

若压力体和液体位于曲面的同侧——实压力体，则Pz的方向铅直向下；若压力体与液体分别位于曲面两侧——虚压力体，则Pz的方向铅直向上。Pz作用线通过压力体的重心。在求出Px和Pz后，则合力为合力P的作用线与水平面的夹角θ为：★压力体是空间图形，它是由下列各面所包围的体积：61

●曲面上的静水总压力的计算①计算水平分力正确绘制曲面对于铅垂平面的投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力。②计算铅垂分力正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延伸面。铅垂分力的大小即为压力体的重量。③总压力的合成总压力的大小用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。●曲面上的静水总压力的计算62

例1：求作用在直径d=2.4m，长L=1m的圆柱上的总压力和压力中心。解：水平分力

垂直分力总压力

例1：求作用在直径d=2.4m，长L=1m的圆63压力中心为合力P与水平线的夹角压力中心为合力P与水平线的夹角64

本章教学要求1、掌握作用在流体上的两种力2、掌握流体静压强两个特性和压强的概念3、掌握流体平衡微分方程（欧拉方程）的推导4、等压面的概念和三个性质及证明

5、掌握流体静力学基本方程式及计算，液柱式测压计测定计算

6、掌握流体静压强的单位和三种表示方法及它们之间的关系

7、掌握作用于平面和曲面上总压力的计算本章教学要求65第二章流体静力学

1、作用在流体上的力

2、流体静压强及其特性

3、流体的平衡微分方程

4、流体静力学基本方程

5、压强的计算基准和量度单位

6、液柱式测压计

7、作用于壁面上流体的总压力第二章流体静力学66

§2－1作用在流体上的力表面力质量力§2－1作用在流体上的力67

§2—1作用在流体上的力

作用在流体上的力，按其物理性质分，有重力、惯性力、压力、粘滞力、表面张力等。按其作用特点又可分为表面力和质量力两大类。

一、表面力

●表面力是作用在被研究流体表面上，且与作用的表面面积成正比的力。

●表面力的表达形式是用单位面积上的切向分力(称为切应力或摩擦应力)和单位面积上的法向分力(称为压应力或正压强)来表示。表面力按作用方向可分为：压力：垂直于作用面。切力：

平行于作用面。§2—1作用在流体上的力68

如在流体中取出一隔离体，其表面上作用有与其交界的另一部分流体或其他物体对它作用的表面力。

ΔA面上的表面力的表达形式为：为面积ΔA上的平均压应力或平均正压强；为面积ΔA上的平均切应力或平均摩擦力。

A点处的压强p和切应力τ，即：如在流体中取出一隔离体，其表面上作用有与其交界的另一69

二、质量力质量力是作用在流体的每一质点上、且与作用的流体的质量成正比的力。如重力、惯性力等。质量力常用单位质量力来表示。若均质流体的质量为M，所受的质量力为F，则单位质量力为F/M。若F在直角坐标系x、y、z轴方向上的分量为Fx、Fy和Fz，则在x、y、z轴方向上的单位质量力分量X、Y、Z为：单位质量力具有与加速度相同的量纲[LT-2]。如果液体只受到重力的作用，取z轴铅直向上，xoy平面为水平面，则单位质量力在轴上的分量为X＝0Y＝0Z＝-Mg/M＝-g

二、质量力单位质量力具有与加速度相同的量纲[70

§2－2流体静压强及其特性流体静压强流体静压强的特性§2－2流体静压强及其特性71

§2—2流体静压强及其特性

一、流体静压强作用在受压面整个面积上的压力称为总压力或压力，作用在单位面积上的压力是压力强度，简称压强。作用在面积ΔA上的平均静压强，可以表示为：当面积ΔA无限缩小到一点时，则得该点的静压强

p

为：压强的国际制单位是N/m2(Pa)或kN/m2；工程制单位是kgf/cm2。通常把流体静压强叫做流体静压力。§2—2流体静压强及其特性一、流体静压强72因流体几乎不能承受拉力，故

p指向受压面。

二、流体静压强的特性1、流体静压强的方向与作用面相垂直且指向该作用面，即沿着作用面的内法线方向。

证明要点：

因静止流体不能承受剪力，即τ＝0，故p垂直受压面；因流体几乎不能承受拉力，故p指向受压面。73

即在静止流体中通过一点取1—1和2—2两个面，则作用在1—1面上的静压强p1与作用在2—2面上的静压强p2的大小相等。即

2、在静止流体内部任意点处的流体静压强在各个方向都是相等的。即在静止流体中通过一点取1—1和2—2两个面，则作用74p2dxp3dzp1dsdxdzdsθzxy证明：从静止状态的流体中引入直角坐标系中二维流体微元来说明。设y方向宽度为1。ds即表示任意方向微元表面。分析z

方向的力平衡表面力：

p1dscosθ=p1dx和p2dx两个力二维流体微元的体积：质量力：p2dxp3dzp1dsdxdzdsθzxy证明：从静止75根据平衡条件∑F＝0，有当dx、dy、dz趋于零，即四面体缩小到原点时，上式左端第三项的质量力与前两项的表面力相比为高阶无穷小，可忽略不计，因而可得：

p1

＝p2

同理可得：p1

＝p3这里的p1就是任意方向微元平面上的应力pn，它和该点坐标平面方向的应力px，pz相等。三维流体的结论是相同的(P21)：。根据平衡条件∑F＝0，有当dx、dy、dz趋于零，即四面体76

●不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器壁

●根据流体静压强的第二个特性，当需要测量流体中某一点的静压强时，可以不必选择方向，只要在该点确定的位置上进行测量即可。

结论：

●流体中各不同点处的静压强是不相同的，与该点所处的位置有关，所以某点的静压强可以表示成位置的函数。即●不论器壁的方向和和形状如何，流体的静压强总是垂直于器壁77

§2－3流体的平衡微分方程平衡微分方程式(P24)等压面(P26)§2－3流体的平衡微分方程78

§2—3流体的平衡微分方程

一、平衡微分方程式在静止流体中，取一以任意点O′为中心的微小平行六面体。

1、表面力作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的压力。中心O′的压力为，垂直于

x轴的左右两个平面中心

M

和

N

上的的静压强，按泰勒级数展开，泰勒公式：§2—3流体的平衡微分方程一、平衡微分79按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成其中为压力在x方向的变化率。由于微元体的面积取得足够小，可以认为平面中点的静压强即为该面的平均静压强，于是作用在六面体左右两端面上的表面力为按泰勒级数展开，把M、N点的静压强写成其中为压力在x80因此沿

x轴方向的质量力据平衡条件，x

轴方向各作用力之和应等于零，∑Fx＝0，即2、质量力设作用于六面体的单位质量力在x、y、z轴方向的分量分别为X、Y、Z，流体的密度为ρ，则六面体的质量为：因此沿x轴方向的质量力2、质量力81以除上式各项，并化简得：同理（1）上式称为流体平衡微分方程式，它是Euler在1755年首先提出的，故又称欧拉平衡方程式。它表示流体在质量力和表面力作用下的平衡条件。以除上式各项，并化简得：同理82因为，所以(2)式右边为压力p的全微分：将欧拉平衡方程式中各式分别乘以dx、dy、dz并相加，得代入（2）式得：因为，所以(2)式右边为压力p的全微分：将83如果流体是不可压缩的，即ρ＝常数。因（4）式左边是压力的全微分dp，那么，右边也可看作是某个函数U（x，y，z）的全微分。即如果流体是不可压缩的，即ρ＝常数。因（4）式左边是压力的84（5）式与（4）式对比可得（4）（5）显然，函数U（x、y、z）在x、y、z轴方向的偏导数正好等于该坐标轴方向的单位质量力。

U是一个决定流体质量力的函数。称函数U（x，y，x）为力函数或势函数。满足这样势函数的力就称为有势的力。如重力。结论：不可压缩流体只有在有势的质量力作用下才能平衡。（5）式与（4）式对比可得（4）（5）显然，函数U85二、等压面

在静止和平衡流体中，由压强相等的点组合成的面称为等压面。静止流体或相对静止流体的自由表面就是等压面。由于，只有，则得。由此可见，等压面确实就是等势面。

★等压面三个重要性质

1、等压面是等势面在等压面上，p=常数，则dp=0。由式（5）得显然，在等压面上各点的压强相等，即：p=常数或dp=0。根据式（4）可以得到等压面方程式为二、等压面由于，只有，862、质量力与等压面相互垂直设想流体质点在等压面上移动一微小距离即质量力沿等压面所作的功为零。而质量力和位移都不为零，所以，质量力必垂直于等压面。再与两矢量互相垂直的充要条件是因此，根据质量力的方向可以确定等压面的形状。则单位质量力所作的功为

单位质量力2、质量力与等压面相互垂直即质量力沿等压面所作的873、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为等压面。简单证明：如果在分界面上任取两点A和B，这两点的静压差为dp，势差为dU。因为它们属于两种液体，若其中一种液体的密度为ρ1，另一种液体的密度为ρ2，则可分别写为

dp＝ρ1dUdp＝ρ2dU因为ρ1≠ρ2

且都不等于零，所以只有当dp和dU均为零时方程式才能成立。所以其分界面必为等压面或等势面。3、两种互不相混的流体当处于平衡时，它们的分界面必为88§2－4流体静力学基本方程

重力作用下压力分布

相对平衡液体的压力分布§2－4流体静力学基本方程89

§2—4流体静力学基本方程

一、重力作用下压强分布如图所示为一开口容器，其中盛有密度为ρ的静止的均匀液体，液体所受的质量力只有重力，又ρ＝常数，重度γ＝ρg也为常数。单位质量力在各坐标轴上的分量为

X＝0Y＝0Z＝－g代入（7）式得代入上式得则积分得（7）c—积分常数，在z＝H

处，p＝p0则§2—4流体静力学基本方程代入（7）式得90故式中p——液体内某点的压强，Pa

p0——液面气体压强，Pa

γ——液体的重度，N/m3

h——某点液面下的深度，m上式就是在重力作用下，静止液体内部压强分布规律的数学表达式，也称流体静力学基本方程。故式中p——液体内某点的压强，Pa91

取一微小面积ΔA，在ΔA的圆柱体的重量ρghΔA作用在面积ΔA上，按照压力的定义，ρgh就是单位面积上所受的力。从式可以得出结论：

(1)在重力作用下的液体内部压强随深度h按直线关系变化。(2)在重力作用下的液体中深度相同的各点静压强亦相同。

(3)重力作用下的液体中任何一点的压强p由两部分组成。一是作用在自由表面上的压强p0，二是流体自身重量引起的压强ρgh取一微小面积ΔA，在ΔA的圆柱体的重量ρghΔA92上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止液体中不论哪一点的()总是同一个常数。在应用中，z——位置水头；——压强水头或测压管高度；——测压管水头。

(4)将式改写为

或（9）

图表示一封闭容器，其中盛有重度为γ的液体，自由液面上的压力为p0。上式表明：对于重力作用下的静止液体来说，静止93

二、相对平衡液体的压力分布

1、容器作等速直线运动如图所示，若一盛有流体的容器以速度u作等速直线运动时，流体质点之间也不存在着相对运动。流体内任一点的压力可用静力学基本方程式求得。二、相对平衡液体的压力分布94

2、容器作等加速直线运动(P27)将坐标系统x轴和y轴放在容器中的液体自由表面上。坐标原点放在液体自由表面中心，x轴的方向与运动方向一致，z轴向上。如图所示。

★等压面的方程式静力学平衡微分方程式为(a)2、容器作等加速直线运动(P27)★等压面的方程95式中

X＝－a(b)由于惯性力在y轴方向的分量均等于零，所以应取Y＝0

(c)Z的大小应等于重力加速度g，方向与z轴相反，即Z＝－g(d)将式(b)(c)(d)代入(a)得积分即得等压面方程式式中积分即得等压面方程式96显然，这是一个倾斜的平面族方程。不同的积分常数对应不同的平面。在自由表面上，x＝0，z＝0，则c＝0，自由面方程式为夹角即显然，这是一个倾斜的平面族方程。97

★压力分布规律由式积分得在自由表面处，x＝0，z＝0，p＝p0得c＝p0故若则上式与重力作用下的流体压力分布是相同的。★压力分布规律98§2－5压强的计算和量度单位压强的两种计算基准压强的量度单位§2－5压强的计算和量度单位99

§2—5压强的计算基准和量度单位

一、压强的两种计算基准

1、绝对压强

以毫无一点气体存在的绝对真空（零压力）为零点起算的压强，称为绝对压强。以pabs表示。当液面上作用的是大气压力pa时p0

＝

pa由静力学基本方程式（8）得液体内任意一点的压力为

2、相对压力

以当地同高程的大气压强pa为零点起算的压强。则称为相对压强，以pr表示。相对压强、绝对压强和大气压强的相互关系是

pr

＝

pabs－pa§2—5压强的计算基准和量度单位2、相对压100绝对压强可能大于大气压力，也可能小于大气压力，因此，相对压强可正可负。当相对压强为正值时，称该压强为正压，为负值时，称为负压。

负压的绝对值又称为真空度，以pv表示。即当pr＜0时，

为了建立绝对压强和相对压强的概念，现以

A点（pabsA＞pa）和B

点（pabsB＜pa）为例，将它们之间的关系用图来表示。(P30)绝对压强可能大于大气压力，也可能小于大气压力，因此，101

★为了理解相对压强的实际意义，现以图中气体容器的几种情况来说明：

(1)假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，p0＝pa，相对压强为零。容器内、外壁所承受的压强均为大气压强，力学效应相互抵消，等于没有受力。(2)假定容器的压强p0＞0，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。

(3)假定容器压强p0＜0。同样的，也正是这个低于大气压强的部分，才对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。上例说明，引起固体和流体力学效应的只是相对压强的数值，而不是绝对压强的数值。★为了理解相对压强的实际意义，现以图中气体容器的几种情况102

二、压强pressure的量度单位工程上常用的压强量度单位的三种。

1、用应力(stress)单位表示即以单位面积上所受力的大小来表示压强。在国际单位制中压强单位为N/m2，1N/m2＝1Pa。压强较大时，可用kPa或MPa表示，1MPa＝106Pa。在工程单位单位单位制中用kgf/m2或kgf/cm2。1kg/cm2＝98kPa.。

2、用工程大气压表示(Atmosphericpressure大气压力)压强的大小也常用大气压的倍数表示。国际上规定，一个标准大气压为

1atm＝101.325kPa＝1.033kgf/cm2工程上为了计算方便，一般不用标准大气压，而用工程大气压

1at＝98kPa＝1kgf/cm2二、压强pressure的量度单位103

3、用液柱高度表示

常用水柱高度或汞柱高度表示。其单位为mH2O、mmH2O、或mmHg,前面讲过压力与液柱高度的关系为,则。说明一定的压力p就相当于一定的液柱高度h。所以1at=98kPa=1kgf/cm2=10mH2O=736mmHg相应的汞柱高度为如一个工程大气压相应的水柱高度为3、用液柱高度表示所以1at=98kPa=104

例：图所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，液面上气体的绝对压强p，01=

0.75at(工程大气压)。右端倒装玻璃管内液体为汞，汞柱高度h2＝120mm。容器内A点的淹深度hA=2m。设当地大气压为1at。试求：(1)容器内空气的绝对压强p'02和真空度pv2；(2)A点的相对压强pA；(3)左侧管内水面超出容器内水面的高度h1。解:(1)求p'02和pv2

根据液体静力学基本方程则：例：图所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，液面上气体105容器内空气的真空度为

（2）求pA容器内空气的相对压强为因而（3）求h1容器内空气的真空度为106从图中可得（1）又（2）式（2）代入式（1）整理得从图中可得107§2－6液柱式测压计测压管压差计微压计§2－6液柱式测压计108一、测压管测压管是一根玻璃直管或U形管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端开口，直接和大气相通，如图。

图a中，测压管水面高于A点，pA为正值。即图b中，测压管水面低于A点，以1—1为等压面，则故A点的负压或真空度为：

或一、测压管图b中，测压管水面低于A点，以1—1为109

如果需要测定气体压强，可以采用U形管盛水，如图C。现仍以1—1为等压面，则

图d中，测压管水面低于A点，现仍以1—1为等压面，则故容器内气体压强的负压或真空度为：或如果需要测定气体压强，可以采用U形管盛水，如图C110

如果测压管中液体的压强较大，测压水柱过高，观测不便，可在

U形管中装入水银，如图。根据等压面规律，U形管1、2两点的压强相等，即p1＝p2。所以故得

或

如果测压管中液体的压强较大，测压水柱过高，观测不便，111

三、压差计

压差计是测定两点间压强差的仪器，常用U形管制成。根据压差的大小，U形管中采用空气或各种不同容重的液体，仍然应用等压面规律进行压差计算。图a为测定A、B两处液体压强差的空气压差计，由于气柱高度不大，可以认为两液面为等压面，故得故三、压差计故112当需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据1、2点为等压面得：故

如A、B两处为同种液体，即γA＝γB＝γ，则如A、B两处为同种液体，且在同一高程，即Z1＝Z2，则如果，A、B两处为同一气体，则当需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据1、113当测定时α为定值，只需测得倾斜长度l，就可得出压差。由于l＝h／sinα，倾斜角度越小，l比h放大的倍数就越大，量测的精度就更高。四、微压计微压计一般用于测定气体压强，它的测压管是倾斜放置的，其倾角为α。壶中液面与测压管中液面高差h的读数为l，而h＝l·sinα，则当测定时α为定值，只需测得倾斜长度l，就可得出压差。由于l114例对于压强较高的密封容器，可以采用复式水银测压计，如图所示。测压管中各液面高程为：▽1＝1.5m，▽2＝0.2m，▽3＝1.2m，▽4＝0.4m，▽5＝2.1m。求液面压强p5。解：根据等压面的规律，2-2，3-3及4-4都分别为等压面。则

由于气体容重远小于液体容重，因此，2—2及3—3间气柱所产生的压强可以忽略不计，即认为p2＝p3。于是＝133326（1.5－0.2＋1.2－0.4）－9800(2.1－0.4)＝263324(Pa)＝263.3kPa例对于压强较高的密封容器，可以采用复式水银测压计，如图所115§2－7作用于壁面上流体的总压力作用于平面上的总压力作用于曲面上总压力§2－7作