高考数学《86 空间向量及其运算》课件

8.6

空间向量及其运算8.6空间向量及其运算-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有

和

的量叫做空间向量,其大小叫做向量的

或

.

(2)相等向量:方向

且模

的向量.

(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线

或

,则这些向量叫做

或

,a平行于b记作a∥b.

(4)共面向量:平行于同一

的向量叫做共面向量.

大小

方向

长度

模

相同

相等

平行

重合

共线向量

平行向量

平面

-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念大小-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积(1)两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作

,其范围是

,若<a,b>=,则向量a,b

,记作a⊥b.

(2)两个向量的数量积已知两个非零向量a,b,则

叫做向量a,b的数量积,记作

,即a·b=

.

<a,b>

0≤<a,b>≤π

互相垂直

|a||b|cos<a,b>a·b

|a||b|cos<a,b>-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积<a,b-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应-6-知识梳理双基自测23415(3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.-6-知识梳理双基自测23415(3)向量的数量积满足交换律2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.(

)(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.(

)(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案-9-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P92T3-10-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P98T10)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为

.

答案答案关闭-10-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P98T-11-知识梳理双基自测23415解析

以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点,DA,D-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P98T4)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P98T-13-知识梳理双基自测23415-13-知识梳理双基自测23415-14-知识梳理双基自测23415-14-知识梳理双基自测23415-15-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向-18-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-20-考点1考点2考点3例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共线定理、共面定理有哪些应用?-20-考点1考点2考点3例2已知E,F,G,H分别是空间四-21-考点1考点2考点3-21-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-25-考点1考点2考点3考向一

利用空间向量的数量积证明平行、垂直例3已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.思考如何利用空间向量的数量积证明平行、垂直?-25-考点1考点2考点3考向一利用空间向量的数量积证明平-26-考点1考点2考点3

证明

以点A为原点,AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).-26-考点1考点2考点3证明以点A为原点,AB,AC,-27-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点3-28-考点1考点2考点3考向二

利用空间向量的数量积求长度例4如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,使AB与CD所成的角为60°,求BD的长.思考如何利用空间向量的数量积求长度?-28-考点1考点2考点3考向二利用空间向量的数量积求长度-29-考点1考点2考点3-29-考点1考点2考点3-30-考点1考点2考点3考向三

利用空间向量的数量积求夹角例5在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为(

)答案答案关闭C-30-考点1考点2考点3考向三利用空间向量的数量积求夹角-31-考点1考点2考点3-31-考点1考点2考点3-32-考点1考点2考点3-32-考点1考点2考点3-33-考点1考点2考点3对点训练3(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD所成的角为30°.求证:①CM∥平面PAD;②平面PAB⊥平面PAD.-33-考点1考点2考点3对点训练3-34-考点1考点2考点3(1)证明

以点C为坐标原点,分别以CB,CD,CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.-34-考点1考点2考点3(1)证明以点C为坐标原点,分别-35-考点1考点2考点3-35-考点1考点2考点3-36-考点1考点2考点3-36-考点1考点2考点3-37-考点1考点2考点3(2)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.①求AC1的长;②求BD1与AC所成角的余弦值.-37-考点1考点2考点3(2)如图,在平行六面体ABCD--38-考点1考点2考点3-38-考点1考点2考点3-39-考点1考点2考点3-39-考点1考点2考点38.6

空间向量及其运算8.6空间向量及其运算-41-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念(1)空间向量:在空间中,具有

和

的量叫做空间向量,其大小叫做向量的

或

.

(2)相等向量:方向

且模

的向量.

(3)共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线

或

,则这些向量叫做

或

,a平行于b记作a∥b.

(4)共面向量:平行于同一

的向量叫做共面向量.

大小

方向

长度

模

相同

相等

平行

重合

共线向量

平行向量

平面

-2-知识梳理双基自测234151.空间向量的有关概念大小-42-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb.(2)共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组{x,y,z}使得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空间的一个基底.-3-知识梳理双基自测234152.空间向量的有关定理-43-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积(1)两个向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作

则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作

,其范围是

,若<a,b>=,则向量a,b

,记作a⊥b.

(2)两个向量的数量积已知两个非零向量a,b,则

叫做向量a,b的数量积,记作

,即a·b=

.

<a,b>

0≤<a,b>≤π

互相垂直

|a||b|cos<a,b>a·b

|a||b|cos<a,b>-4-知识梳理双基自测234153.两个向量的数量积<a,b-44-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应用设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).a1b1+a2b2+a3b3

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0-5-知识梳理双基自测234154.空间向量的坐标表示及其应-45-知识梳理双基自测23415(3)向量的数量积满足交换律和分配律,即a·b=b·a,a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.-6-知识梳理双基自测23415(3)向量的数量积满足交换律2-46-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件.(

)(2)对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若(3)对于空间非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0.(

)(4)对于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.(

)(5)非零向量a,b,c满足(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案答案关闭(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,-47-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭-8-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案-48-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P92T3)如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD的长为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-9-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P92T3-49-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P98T10)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为

.

答案答案关闭-10-知识梳理双基自测234154.(教材习题改编P98T-50-知识梳理双基自测23415解析

以D为原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),B(1,1,0),C(0,1,0),-11-知识梳理双基自测23415解析以D为原点,DA,D-51-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P98T4)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.-12-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P98T-52-知识梳理双基自测23415-13-知识梳理双基自测23415-53-知识梳理双基自测23415-14-知识梳理双基自测23415-54-考点1考点2考点3-15-考点1考点2考点3-55-考点1考点2考点3-16-考点1考点2考点3-56-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,这是用向量解决立体几何问题的基本要求,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.2.空间向量问题可以转化为平面向量问题来解决,即把空间向量转化到某一个平面上,利用三角形法则或平行四边形法则来解决.-17-考点1考点2考点3解题心得1.选定空间不共面的三个向-57-考点1考点2考点3-18-考点1考点2考点3-58-考点1考点2考点3-19-考点1考点2考点3-59-考点1考点2考点3例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量方法证明:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD∥平面EFGH.思考共线定理、共面定理有哪些应用?-20-考点1考点2考点3例2已知E,F,G,H分别是空间四-60-考点1考点2考点3-21-考点1考点2考点3-61-考点1考点2考点3-22-考点1考点2考点3-62-考点1考点2考点3-23-考点1考点2考点3-63-考点1考点2考点3-24-考点1考点2考点3-64-考点1考点2考点3考向一

利用空间向量的数量积证明平行、垂直例3已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.(1)求证:DE∥平面ABC;(2)求证:B1F⊥平面AEF.思考如何利用空间向量的数量积证明平行、垂直?-25-考点1考点2考点3考向一利用空间向量的数量积证明平-65-考点1考点2考点3

证明

以点A为原点,AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B1(4,0,4),D(2,0,2),A1(0,0,4).-26-考点1考点2考点3证明以点A为原点,AB,AC,-66-考点1考点2考点3-27-考点1考点2考点3-67-考点1考点2考点3考向二

利用空间向量的数量积求长度例4如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿对角线AC折起,