相似三角形的判定课件

27.2.1相似三角形的判定27.2.1相似三角形的判定1相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.两个条件要同时具备相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等两个条件要2对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.相似三角形的判定:AC′B′A′CB∴△ABC∽△A´B´C´∵2、△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为符号语言：在△ABC和△A´B´C´中，对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三3对应角_______,对应边——————的两个三

角形,叫做相似三角形.相等成比例

相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F回顾66A△ABC∽

△DEFBCDFE相似比:

=kk1两三角形相似k=1

两三角形全等对应角_______,对应边——————的两个三

角形4当两个三角形的相似比为1

时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？思考：当两个三角形的相似比为1时，它们是全等5如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4

、l5.分别度量l3、l4

、l5

在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度，相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5

任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.相等吗？新课导入探究1ABCDEFl1l2l3l4l5任意平移l5，再6事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到

相等，还可以得到:平行线分线段成比例定理：ABCDEFl1l2l3l4l5三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到相等7ABCDEFl1l3l2........形象记忆ABCDEFl1l3l2........形象记忆8ABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例定理）6BC=\42BC3即=EFDEBCAB=\//l//ll解：321QABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例9ABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：此图与前面图形有何不同？ABCDEF（平行线分线段成比例定理）.nmmDFDE+=\.mnmDEDF即+=，mmnDEDEEF+=+mnDEEF=\nmEFDEBCAB==\,//l//ll321Q：证明ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：ABCDEF（平行10ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5如图，l3∥l4∥l5,请指出成比例的线段.练习：ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l511

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延12三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？探究2三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？探究213变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC相似吗?DABCE探索发现：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥B14变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC，△ADE与△ABC是否相似。ABCDE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点,过点D作DE∥B15变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?ABCEDGF∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与C16ABCDE如图，已知DE∥BC,则．．．．．．故△ADE∽△ABC,若DE∥BC则∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,ABCDE如图，已知DE∥BC,故△ADE∽△ABC,17ABDEC若DE∥AB则∠A=∠D,∠B=∠E,∠ACB=∠DCE,若△ABC∽△DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？ABDEC若DE∥AB则若△ABC∽△DEC,从上面18

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.ABCDEADBCE预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）19相似三角形的预备定理：△ADE∽△ABCDE//BC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的预备定理：△ADE∽△ABCDE//BC20平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）在△ABC中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC符号语言：ABCDE（图1）（图2）DEOBC“A”型“X”型平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的21ABDEC这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：“A”型和“X”型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！ABCDEABDEC这是两个极具代表性的这个两个模型在今后学习的过程中22

如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练习：三角形相似具有传递性!1.EF∥AB2.EF∥CDΔOAB∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABΔOEF∽ΔOCD或：ΔOEF∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABABFCDEO3.AB∥CDΔOAB∽ΔOCD如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角23已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：探究3已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：探究24

证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E根据前面的定理可得.A1B1C1ABCDE证明：在线段（或它的延长线）25∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴26如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简称：三边对应成比例，两三角形相似。知识要点三角形相似判定定理1△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两27理解例1：∴∵∴∽解：理解例1：∴∵∴∽解：28求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE小练习1.已知：解：∵求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE小练29延伸2.求证：三角形的三条中位线所组成的三角形与原三角形相似。已知：DABCEF求证：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线△ABC∽△FED证明：∵DE,DF,EF是△ABC的中位线∴DE=BC,DF=AC,EF=AB∴∴△ABC∽△DEF延伸2.求证：三角形的三条中位线所组成的三角形与原三角30探究4A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.求证：已知：∠B=∠B1.你能证明吗？探究4A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.求证：已知31探索新知

观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始=__________．在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？E知识探索类比猜想:我们在判断两个三角形全等时，使用了哪些方法？判断三角形相似是否有类似的方法呢？探索新知图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为32两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似ABC在△ABC与△DEF中∵∠B=∠E，DEF∴△ABC∽△DEF(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

上述判定方法中的“角”一定只能是两对应边的夹角吗？三角形相似的判定定理2：知识要点两边对应成比例且夹角相等的两个ABC在△ABC与△D33我爱思考想一想：在上述问题中如果这个角是这两条边中其中一条边的对角呢,两个三角形还一定相似吗？我爱思考想一想：在上述问题中如果这个角是这34G3.2C3.250°)4AB21.650°)EDF

两边对应成比例且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似G3.2C3.250°)4AB21.650°)EDF35例题解析例3 证明如图△AEB和△FEC相似．证明 ∵，∴∴△AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．

∵∠AEB＝∠FEC，例题解析例3 证明如图△AEB和△FEC相似．证明 ∵，∴36理解1.2.图中两个三角形是否相似？63105CABEE2693414相似不相似相似不相似小练习理解1.2.图中两个三角形是否相似？63105CABEE2637探究5ABCA′B′C′探究5ABCA′B′C′38如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。知识要点三角形相似判定定理3A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.那么即：如果∠A=∠A1，∠B=∠B1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角39如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。如果两个三角形有一个内角对应相等，那40△ACD∽△CBD∽△ABC小练习找出图中所有的相似三角形。“双垂直”三角形BDAC有三对相似三角形：△ACD∽△CBD△CBD∽△ABC△ACD∽△ABC△ACD∽△CBD∽△ABC小练习找出图中所有的相41探究6已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？ABCA1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.探究6已知：△ABC∽△A1B1C1.求证：你能证明吗？AB42如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理4HLABC△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么√A1B1C1Rt△ABC和Rt△A1B1C1.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个43课堂小结1.相似图形三角形的判定方法：

通过定义（三边对应成比例，三角相等）相似三角形判定的预备定理三边对应成比例，两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似两角对应相等，两三角形相似两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似A型

X型

课堂小结1.相似图形三角形的判定方法：通过定义（三边对应44对应角相等。对应边成比例。2.相似三角形的性质：对应角相等。2.相似三角形的性质：45（1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是100°的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是70°的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。1.判断下列说法是否正确？并说明理由。√×√×√×√×随堂练习（1）所有的等腰三角形都相似。1.判断下列说法是否正确？并4627.2.1相似三角形的判定27.2.1相似三角形的判定47相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形.两个条件要同时具备相似多边形的判定：回顾：对应角相等，对应边的比相等两个条件要48对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.相似三角形的判定:AC′B′A′CB∴△ABC∽△A´B´C´∵2、△ABC与△A´B´C´相似比为k,则△A´B´C´与△ABC相似比为符号语言：在△ABC和△A´B´C´中，对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三49对应角_______,对应边——————的两个三

角形,叫做相似三角形.相等成比例

相似三角形的———————,各对应边——————。对应角相等成比例∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F回顾66A△ABC∽

△DEFBCDFE相似比:

=kk1两三角形相似k=1

两三角形全等对应角_______,对应边——————的两个三

角形50当两个三角形的相似比为1

时，它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况。相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？思考：当两个三角形的相似比为1时，它们是全等51如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4

、l5.分别度量l3、l4

、l5

在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度，相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5

任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度.相等吗？新课导入探究1ABCDEFl1l2l3l4l5任意平移l5，再52事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到

相等，还可以得到:平行线分线段成比例定理：ABCDEFl1l2l3l4l5三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.事实上，当L3//L4//L5时，都可以得到相等53ABCDEFl1l3l2........形象记忆ABCDEFl1l3l2........形象记忆54ABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例定理）6BC=\42BC3即=EFDEBCAB=\//l//ll解：321QABCDEFl1l3l23?42[例一]（平行线分线段成比例55ABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：此图与前面图形有何不同？ABCDEF（平行线分线段成比例定理）.nmmDFDE+=\.mnmDEDF即+=，mmnDEDEEF+=+mnDEEF=\nmEFDEBCAB==\,//l//ll321Q：证明ABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFABCDEFl1l3l2[例二]注意观察：ABCDEF（平行56ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5如图，l3∥l4∥l5,请指出成比例的线段.练习：ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l557

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延58三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？探究2三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？探究259变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE与△ABC相似吗?DABCE探索发现：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式1：如图，在△ABC中,点D为AB中点,过点D作DE∥B60变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点,过点D作DE∥BC，△ADE与△ABC是否相似。ABCDE∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点,过点D作DE∥B61变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与CA的延长线交于点E，△ADE与△ABC相似吗?ABCEDGF∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DE∥BC，与C62ABCDE如图，已知DE∥BC,则．．．．．．故△ADE∽△ABC,若DE∥BC则∠DAE=∠BAC,∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,ABCDE如图，已知DE∥BC,故△ADE∽△ABC,63ABDEC若DE∥AB则∠A=∠D,∠B=∠E,∠ACB=∠DCE,若△ABC∽△DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？ABDEC若DE∥AB则若△ABC∽△DEC,从上面64

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.ABCDEADBCE预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）65相似三角形的预备定理：△ADE∽△ABCDE//BC平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的预备定理：△ADE∽△ABCDE//BC66平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）在△ABC中，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC符号语言：ABCDE（图1）（图2）DEOBC“A”型“X”型平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的67ABDEC这是两个极具代表性的相似三角形基本模型：“A”型和“X”型这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！ABCDEABDEC这是两个极具代表性的这个两个模型在今后学习的过程中68

如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。练习：三角形相似具有传递性!1.EF∥AB2.EF∥CDΔOAB∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABΔOEF∽ΔOCD或：ΔOEF∽ΔOCDΔOEF∽ΔOABABFCDEO3.AB∥CDΔOAB∽ΔOCD如图,已知EF∥CD∥AB，请尽可能多地找出图中的相似三角69已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：探究3已知：△ABC∽△A1B1C1.A1B1C1ABC求证：探究70

证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E根据前面的定理可得.A1B1C1ABCDE证明：在线段（或它的延长线）71∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴∴又A1B1C1ABCDE∴∴∴（SSS）∵∴72如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简称：三边对应成比例，两三角形相似。知识要点三角形相似判定定理1△ABC∽△A1B1C1.即：如果那么A1B1C1ABC如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两73理解例1：∴∵∴∽解：理解例1：∴∵∴∽解：74求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC即∠BAD=∠CAE小练习1.已知：解：∵求证：∠BAD=∠CAE。ADCEB∴ΔABC∽ΔADE小练75延伸2.求证：三角形的三条中位线所组成的三角形与原三角形相似。已知：DABCEF求证：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线△ABC∽△FED证明：∵DE,DF,EF是△ABC的中位线∴DE=BC,DF=AC,EF=AB∴∴△ABC∽△DEF延伸2.求证：三角形的三条中位线所组成的三角形与原三角76探究4A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.求证：已知：∠B=∠B1.你能证明吗？探究4A1B1C1ABC△ABC∽△A1B1C1.求证：已知77探索新知

观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为．将点E由点A开始=__________．在AC上移动，可以发现当AE＝________AC时，△ADE与△ABC相似．此时如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？E知识探索类比猜想:我们在判断两个三角形全等时，使用了哪些方法？判断三角形相似是否有类似的方法呢？探索新知图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为78两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似ABC在△ABC与△DEF中∵∠B=∠E，DEF∴△ABC∽△DEF(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)

上述判定方法中的“角”一定只能是两对应边的夹角吗？三角形相似的判定定理2：知识要点两边对应成比例且夹角相等的两个ABC在△ABC与△D79我爱思考想一想：在上述问题中如果这个角是这两条边中其中一条边的对角呢,两个三角形还一定相似吗？我爱思考想一想：在上述问题中如果这个角是这80G3.2C3.250°)4AB21.650°)EDF

两边对应成比例且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似G3.2C3.250°)4AB21.650°)EDF81例题解析例3 证明如图△AEB和△FEC相似．证明 ∵，∴∴△AEB∽△FEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）．

∵∠AEB＝∠FEC，例题解析例3 证明如图△AEB和△FEC相似．证明 ∵，∴82理解1.2.图中两个三角形是否相似？