专题07 等差数列与等比数列（考点清单+知识导图+ 13个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单07等差数列与等比数列（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】等差数列的有关概念一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．【清单02】等差数列的通项公式首项为,公差为的等差数列的通项公式为.【清单03】等差数列的四种判断方法和两种证明方法(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．(2)等差中项法：()是等差数列．(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法【清单04】等差数列的性质①②若，则（特别的，当，有）【清单05】等差数列的前项和公式1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式【清单06】等差数列前项和性质(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则(4)若等差数列的项数为,则，。(5)若等差数列的项数为,则，，，【清单07】等比数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()符号语言（或者）(为常数，，)【清单08】等比数列的判断（证明）1、定义：（或者）（可判断，可证明）2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）【清单09】等比数列常用性质设数列是等比数列，是其前项和．（1）(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.【清单10】等比数列前项和公式若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和【清单11】等比数列前项和的性质公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列(2)当是偶数时,;当是奇数时,(3)【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列核心方法：定义法【例1】（23-24高一下·上海·阶段练习）对于数列，以下命题正确的个数有（

）①若，则为等比数列；②若，则为等比数列；③若，则为等比数列.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式1-1】（多选）（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知数列为等比数列，下列结论正确的是（

）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C．数列为等差数列 D．数列为等差数列【答案】BCD【变式1-2】（多选）（2024·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且，若，则（

）A．是等比数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等差数列【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列核心方法：定义法【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，且.(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；(2)若在数列中，，且，则判断数列是否为等差数列，并说明理由.【变式2-1】（23-24高二下·北京怀柔·期中）在数列中，已知，且(1)求，的值；(2)是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（24-25高二上·全国·课后作业）若数列满足，且．证明：数列为等比数列．【考点题型三】等差（等比）数列的单调性核心方法：作差法【例3】（24-25高二上·北京）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【变式3-2】（24-25高二上·陕西西安）数列是等比数列，首项为，公比为q，则是“数列递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-3】（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是.【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项核心方法：【例4】（2024·全国·模拟预测）记为数列的前项和，已知，．(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)若，数列的最大项为，求的值．【变式4-1】（24-25高二上·江苏无锡）数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（

）A．9 B．10 C．11 D．12【变式4-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为．【变式4-3】（24-25高二·全国）已知数列的前项和为，且(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式(3)求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值，并说明理由．【考点题型五】等差数列角标和性质核心方法：若，则（特别的，当，有）【例5】（24-25高三上·上海·阶段练习）若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为【变式5-1】（2024·四川泸州·一模）为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【考点题型六】等比数列角标和性质核心方法：若，则（特别的，当，有）【例6】（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（

）A． B． C．11 D．10【变式6-1】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知等比数列满足，则的最小值为（

）A．48 B．32 C．24 D．8【变式6-2】（24-25高二上·甘肃·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，则.【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算核心方法：前项和公式【例7】（24-25高二上·甘肃张掖·阶段练习）解决下列问题：(1)已知等差数列中，，，求及通项公式；(2)已知等比数列中，，，求及通项公式.【变式7-1】（24-25高二·全国·课堂例题）已知数列是等差数列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【变式7-2】（2024高二·全国·专题练习）在等比数列中，（1）若，，，求和；（2）若，，求和；（3）若，，求和公比.【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）核心方法：设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列【例8】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式8-1】（23-24高三上·河北·期末）设是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【变式8-2】（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则.【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）核心方法：已知等差数列和的前项和分别为，，则.【例9】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）等差数列，bn的前项和分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【变式9-1】（23-24高二下·湖北·开学考试）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则．【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）核心方法：设等比数列的公比为，数列，，，,…组成公比为（）的等比数列【例10】（23-24高三下·上海·阶段练习）记为等比数列的前n项和，若，，则．【变式10-1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．550 B．520 C．450 D．425【变式10-2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（

）A．48 B．81 C．93 D．243【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）核心方法：设等比数列的公比为，当是偶数时,;当是奇数时,【例11】（2024高二·全国已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则（）A． B．C． D．【变式11-1】（24-25高二上·全国·单元测试）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（

）.A．8 B． C．4 D．2【变式11-2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【考点题型十二】已知与（）的关系，求核心方法：【例12】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知正项数列的前n项和为，且满足，.(1)求证：数列为等差数列，并求出它的通项公式；【变式12-1】（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知数列的各项均为正数，其前项和，.(1)求数列的通项公式：【考点题型十三】数列中新文化题【例13】（23-24高三下·江苏南京·开学考试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（

）A．23 B． C． D．33【变式13-1】（24-25高二上·江苏镇江·期中）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【变式13-2】（24-25高三上·天津·阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为．提升训练一、单选题1．（24-25高二上·江苏·期中）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（24-25高三上·江西·期中）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（

）A．4 B． C．1 D．3．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知等比数列的前项和为，则（

）A．1 B． C． D．5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是等比数列，，则“”是“数列单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知数列为正项等比数列，，则使成立的的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．67．（湖北省宜昌市协作体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题）记为等差数列的前项和，若，，则（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，则（

）A．若为等差数列，且，，则，B．若为等差数列，且，，则，C．若为等比数列，且，则D．若为等比数列，且，则9．（24-25高三上·河南安阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（

）A． B．C． D．10．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）设等比数列的公比为q，前n项积为，并且满足条件，.则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．的最大项为二、填空题11．（24-25高二上·甘