专题11 利用导数研究函数不等式+零点+双变量问题（期末压轴专项训练30题）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

专题11利用导数研究函数不等式+零点+双变量问题（期末压轴专项训练30题）一、单选题1．若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题【分析】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可.【详解】由题设，显然，由，即，即，设，，则，而，则函数在上单调递减，所以，即在上恒成立，即在上恒成立，设，，则，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，又，所以a的取值范围是.故选：B.2．已知函数，，若对任意两个不相等正数，，都有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性，结合导数的性质进行求解即可.【详解】不妨设，由，得，令，所以在区间上单调递减，所以在上恒成立，即，所以，即的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键由变形为，然后通过构造新，利用导数的性质进行求解.3．若对任意的且，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解.【详解】对任意的，，且，，易知，则，所以，即．令，则函数在上单调递减．因为，由，可得，所以函数的单调递减区间为，所以，故，即实数的取值范围为．故选：C．4．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究能成立问题、函数最值与极值的关系辨析【分析】因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，又当时，，故只需即可.【详解】由，又，因为任意，都有，所以是函数的最小值，也是极小值，故有两实根，即有两实根，则，记二次函数的零点为，且，则在，上单调递增，在上单调递减，当时，，因为是最小值，所以，即，解得，故，故选：B．5．已知为函数的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】利用导数研究函数的零点【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解.【详解】由得，即，即，因为，所以，所以为方程的根，令，则，所以在上单调递增，又，所以，即，即，故选：B．6．函数存在3个零点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点【分析】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得.【详解】函数，求导得，当时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点；当时，由，得或，由，得，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，函数存在3个零点，当且仅当，解得，所以的取值范围为.故选：C7．已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究方程的根【分析】作出的大致图象，方程有3个不同的实数根等价于曲线与直线一共三个交点，由数形结合判断即可.【详解】当时，，，则当，当，所以在上单调递减，在上单调递增，且当，又，；当时，，，则当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，则.所以的大致图象如图所示.由，解得或.由图象可知，没有根，所以关于的方程有3个不同的实数根，等价于有3个不同的实数根，由图象可知，有3个不同的实数根，只需.故选：B.8．已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．|【答案】B【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、利用导数研究方程的根【分析】根据题意将问题转化为函数的图象与直线有3个不同的交点，然后对求导，求出单调区间和极值，画出图象可得答案.【详解】因为关于x的方程有三个不同的实数解，所以函数的图象与直线有3个不同的交点，由，得，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极小值，函数图象如图所示

由图象可知当时，两图象有3个不同的交点，所以实数m的取值范围是，故选：B9．已知若对于任意两个不等的正实数、，都有恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题【分析】设，构造函数，分析可知函数在上为增函数，可知对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围.【详解】不妨设，可得，可得，令，则，所以，函数在上为增函数，对任意的恒成立，所以，，当时，，当且仅当时，等号成立，所以，.故选：B.10．已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题【分析】设，由题意，原问题等价于，令，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解.【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立，等价于，即，令，则，所以在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以函数在上单调递减，在单调递增，又，，且，所以，所以，解得，故选：A.11．已知函数．若对任意的，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】利用导数研究双变量问题【分析】先利用导数可求得的单调性及在，上的取值情况，再根据题意可得或，由此建立关于的不等式组，解出即可．【详解】，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，又对任意的，，都存在唯一的，，使得成立，或，又，，故，，解得．故选：C二、填空题12．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】就、分类讨论，前者再就分类后结合导数的符号讨论单调性后可得相应范围，后者结合常见的函数不等式可得恒成立，故可得参数的取值范围.【详解】当时，，设，则因为，故均为上的增函数，故在上为增函数，若即，则在上恒成立，故在上为增函数，故恒成立，故为上为增函数，故恒成立，故符合，若即，此时，而，故存在，使得，且，即在上为减函数，故，即在上为减函数，故，与题设矛盾，当时，设，则，故在上为增函数，故即，设，则，在上为增函数，故即，而，故，即即，故也成立，综上，，故答案为：.【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，注意验证区间的端点处的函数值，如果函数值为零，则往往需要讨论导数（或二阶导数）在端点处的函数值的符号，从而得到分类讨论的标准.13．已知若存在，使得成立，则的最大值为.【答案】/【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】根据两函数的同构特征，不难发现，考查利用函数的单调性推得，从而将转化为，最后通过的最大值求得的最大值.【详解】因则，由知时，，即函数在上单调递增.由可得：且,故得：，则，不妨设，则，故当时，，递增，当时，，递减，即，故的最大值为.故答案为：.14．已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是．【答案】【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】根据题意转化为在区间上恒成立，得到在区间上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为函数在区间上没有零点，且趋向正无穷时，趋向正无穷，所以在区间上恒成立，所以在区间上恒成立，设，可得，因为，，可得，所以，所以在区间上单调递减，所以，所以，所以，实数的取值范围为.故答案为：.15．已知函数，若函数仅有一个零点，则实数a的取值范围是.（结果用区间表示）【答案】【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点【分析】分类求导数确定函数的单调性，极值，函数的变化趋势，作出大致图形，再作出直线，观察直线与函数图象有1个交点得的范围．【详解】时，，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，且此时，时，，求导得，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，且此时，因此函数在处取得极小值，在处取得极大值，又，，当时，，而函数在上的取值集合为，因此在上的取值集合为，函数的图象如图，观察图象得当或时，直线与的图象有1个交点，所以实数a的取值范围是．故答案为：16．已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为．【答案】【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究方程的根、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，作出函数的图象，令，则所求等价于有两个不同实根，则.当时，不满足，舍去．则或，根据二次方程根的分布即可求解.【详解】，当时，f′x>0，函数单调递增；当时，f′x<0故当时函数有最小值．当时，，且时，；当时，，且时，.作出函数的图象如图所示：

令，则所求等价于有两个不同实根，则.不妨设，当时，不满足，舍去．则或．当时，可得,与矛盾，故舍去；当，设，因为，所以,即，所以.故答案为:.17．已知函数，若，则的最小值为.【答案】【知识点】利用导数研究双变量问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果.【详解】因为，若，则，令，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，，所以，故的最小值为.故答案为：.三、解答题18．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)当时，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可；（2）分，和三种情况，求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可；（3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可.【详解】（1）因为，所以，得到，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）因为，定义域为，所以．当时，令，即，解得，，所以，当x变化时，，的变化情况如下表所示，单调递减极小值单调递增极大值单调递减此时的单调递减区间为和，单调递增区间为，当时，，易知时，，，，此时的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，令，即，解得，，若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示，x单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时的单调递增区间为和，单调递减区间为，若，即时，恒成立，当且仅当时取等号，此时在上单调递增，若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示，单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时的单调递增区间为和，单调递减区间为.（3）当，且时，由（2）知，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因为对于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因为，所以，所以a的取值范围是．19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）转化问题为不等式对于恒成立，设，，进而结合导数分析函数的单调性，进而求解即可.【详解】（1）当时，，，则，则，所以所求切线方程为，即.（2）由，即，，整理得，，即不等式对于恒成立，设，，则，当时，，，则；当时，，，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即实数的取值范围为.20．已知函数.(1)当时，求函数在处切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间；（3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围.【详解】（1）当时，，则，所以，，故在处切线方程为，所以.（2）由题设，且，当时，，即的递增区间为，无递减区间；当时，有，有，此时的递增区间为，递减区间为.（3）原条件等价于在上存在实数解.所以在上存在实数解，令，则，在上，得，故在上单调递增，所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解.21．已知函数.(1)讨论函数在区间上的单调性；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解．【详解】（1），解得，因为x∈0,π，所以当，当，所以在上单调递减，在上单调递增；（2），当时，由可得不成立，当时，，令恒成立，故在单调递减，所以，所以的取值范围为.22．已知函数．(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.【详解】（1）由，可得．因为，，所以切点坐标为，切线方程为：，因为切线经过，所以，解得．（2）由题知的定义域为，，令，解得或，因为所以，所以，令，即，解得：，令，即，解得：或，所以增区间为，减区间为．因为，所以函数在区间的最大值为，函数在上单调递增，故在区间上，所以，即，故，所以a的取值范围是.23．已知函数，(1)若，求在点处的切线方程.(2)若有两个零点，求a的取值范围.【答案】(1)；(2).【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（含参）【分析】（1）把代入，求出导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）求导后，分别在、和的情况下，求得单调性和最值，结合零点存在定理可确定符合题意的取值范围.【详解】（1）当时，，求导得，则，而，所以函数的图象在点处的切线方程为.（2）函数的定义域为R，求导得，①当时，恒成立，函数在R上单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当时，由，解得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，则，当时，，则，则至多有一个零点，不合题意；当时，，则，而，则在上有唯一零点；由（1）知，当时，，函数在上单调递增，当时，，即，当时，，在上有唯一零点；因此当时，有两个不同零点，所以实数的取值范围为.24．已知函数，(1)当时，求在上的最大值；(2)求的零点个数．【答案】(1)1(2)答案见解析【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点【分析】（1）求导，根据单调性即可求解最值，（2）参数分离，构造函数，求导确定函数的单调性，即可求解.【详解】（1），，令，则单调递减，且从而，，单调递增；，，单调递减．故，最大值为1，（2）令，则由，故，令，则从而在上单调递减，在上单调递减．若，当时，，若，当时，；若，当时，，当时，．从而当时，与有一个交点，时，与有两个交点故时，有一个零点；时有两个零点．25．设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若已知，且的图象与相切，求的值；(3)在（2）的条件下，的图象与有三个公共点，求的取值范围．【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为．(2)(3)【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）求导，根据导数的正负即可求解单调性，（2）设出切点，根据点斜式求解切线方程，即可列等量关系，联立方程求解，（3）将问题转化为有三个实数根，即可对求导确定函数的单调性求解值域求解.【详解】（1）当时，，则，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）因，则，设函数与直线相切的切点是，因为，所以，所以有，可得，又，相减得，所以，所以，解得：；（3）时，，的图象与有三个公共点，即方程有三个实数根，设函数，则，时，或时，，在和上单调递增，在上单调递减，时取极大值时取极小值，所以的取值范围为．26．已知，函数．(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)当时，若，求证：【答案】(1)(2)见解析【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究双变量问题、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）分别对，求导，讨论和，得出和的单调性，即可求出，的极小值，即可得出答案.（2）首先将函数零点代入函数，变形为，不等式转化为，再利用换元，构造函数，，利用导数证明不等式成立，即可证明.【详解】（1），定义域均为，，

当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；

又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；依题意，解得：，（2）当时，，由题意可知，，两式相减得，整理为，要证明，即证明，不妨设，即证明，即，设，即证明，设，，所以函数在区间单调递减，且，即在区间恒成立，即,即，得证.27．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究双变量问题【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（2）设，分析可知函数在上为增函数，则在上恒成立，结合参变量分离法可得出，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：函数定义域为，.当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；当时，由得，由得.此时函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）解：由，即.令，因为，则，所以，函数在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，，在单调递增，所以.综上所述，实数的取值范围为.28．设函数．(1)若，求的单调区间和最小值；(2)在（1）的条件下，若存在零点，则讨论在区间上零点个数；(3)若存在，使得，求a的取值范围．【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是，最小值(2)仅有一个零点(3)【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究能成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点【分析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【详解】（1）函数的定义域为，，由解得．与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，无极大值，所以的最小值为.（2）由（1）知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，即，从而．当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．（3）设，．①若，则，符合题意．②若，则，故当时，，在上单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，解得．③若，则，故当时，；当时，．在上单调递减，在上单调递增．所以，存在，使得的充要条件为，而，所以不合题意．综上，的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用导数确定函数的单调性、单调区间，进而确定函数的最值从而求解.29．已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2).（i）当时，求的最小值；（ii）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在0,+∞上单调递增.(2)（i）；（ii）【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间【分析】（1）求出，就、分类讨论后可得函数的单调性.（1）（i）求出，讨论