精算模型第三讲

表示其风险水平数学模型设为一个随量，

时，N的分布pk(P(Nk|

pdf，则N的分布列pkP(Nk)pk()u(或者

pkP(Nk)pk(i)u(iN的分布称为混合分布。{pk(),k0,1, }为泊松分布时的分布称为混合泊松分布混合分布性母函或者

PN(z)

(z|i)u(i其中PN(z|表示在条件下，N的母函数均值和方E(N)E(E(N|Var(N)E[Var(N|)]Var[E(N|定理：任意两个随量X和Var(X)E(Var(X|Y))Var(E(X|Y证明：由

Var(X|Y)E{[XE(X|Y)]2|。E(X2|Y)[E(X|Y因另一方从

E[Var(X|Y)]E{E(X2|Y)[E(X|YE(X2)E{[E(X|YVar[E(X|Y)]E{[E(X|Y)]2}{E[E(X|YE{[E(X|Y)]2}[E(XE[Var(X|Y)]Var[E(X|YE(X2)E{[E(X|Y)]2}E{[E(X|Y)]2}[E(XE(X2)[E(XVar(X常见的几种混合泊松分1、离散型混对于规模较小的保单组合，假设保单组合由n种不同,风险水平构成，泊松参数取值于 ,akP(kk0,1 ,n。当k时，保单的损失次从参数为k的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单nnP(Nk)P(Nk|i)P(i kaiei

k0,1,

ik服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为0.11，坏的一的泊松参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为e1 e2P(Nk)p 1(1p)

ke0k

ke070k2、连续型的混对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数u()表示ekP(Nk)

u()d，k0,1,k性质（自行阅读1、母函数的表达量和常数使得证明：设u()为的密度函P(z)e(z1)u((e(z1))u(2P1(z)和P2(z)是两个混合泊松分布的母函数，分别表示

e(z1)u(e(z1)v(若P1(zP2(z，则有u(v(。3*．设P(z)是混合泊松分布的母函数P(z)满足无穷可性，nP(z)(PnPn(z)也是一个母函数P(z)也是一个复合泊松分布的特别的，若PM(00，则PM(z是唯一的无穷可分的含义是指，设Y的特征函数是(x)，则对任意的都存在n个的独立同分布的随量X1,YX1X

Xn，使此时其中n(xX1

(x)nXn的特征函数n你能举几个无穷可分分布的例子吗例：设的母函数P(z) 求N的分布解：利用母函数公

logPN(z)P(exp((z log[exp((z (z1) (z 负二项分布可以看成是泊松分布和gamma分布的混合定理：设N|服从参数为的泊松分布，是一个随量服从gamma分布

1e，

服从负二项分布，数为r。

f(

( P(Nk)

P(Nk|)f()d

1e

0() k!d (11？？

()k!0

k

(

)ktk1et()k!0(k ()k!(1)k1()k

1

1

1 例Actuarieshavemodeledautowindshieldclaimfrequencies.haveconcludedthatthenumberofwindshieldclaimsfiledperyearperdriverfollowsthePoissondistributionwithparameter，wherefollowsthegammadistributionwithmean3andvariance3.Calculatetheprobabilitythatadriverselectedatrandomwillfilenomorethan1windshieldclaimnextyear.解：设gamma分布参数为和gamma分布的均值和方解得3，1

2由前面的定理知，N服从负二项分布，参数1，r于是计算得P(N1)p0p10.1250.18751：设从城市A到城市B的某航线每个月有70个航班，假设每个航班有20.00001步假设每趟飞机有200个座位每次飞行有90的就座率和6个机组人求每个月此航线的索赔次数的期望和方差。解：令SNNB(n1,p),n170,pP表示飞机上的数，M表示乘客MB(n2,p),n2200,

P6D表示发生事故的人数D P P则SD1D2 DN i.i.d与M分别相同，则SM1M2 MN的分布称为M的复合分布,N的MNMiiSM1M2 MNS1N

fN(nPN(zMfM(n),PM

SP(z)P(Nn)P(Sk|Nn)zkS k0 P(Nn)zkP(MM

k|N

kP(N

(z)nP

例：M服从泊松分布，N服从泊松分布，P(ze1z1)

(z)e2(z1)M(1 121SNP(z)(1p(z1))n(10.98(zNfD(0)0.99999，fD(6j)0.00001P(M P(z)zk k

(k)0.999990.00001[z6(10.9(z1))2002

E(S)E(M)E(NVar(S)E(N)Var(M)E(M证明：证明：令SnM1M2 MnE(S)E(S|Nn)P(NnE(M)P(NE(M)E(NE(S)E(E(S|N))E(NE(M))E(M)E(NVar(S)E(Var(S|N))Var(E(S|NE(NVar(M))Var(NE(ME(N)Var(M)Var(N)E(M11SE(N)n1pVar(N)700.980.02E(P)62000.9Var(P)2000.90.1E(P2)Var(P)E(P)2E(S)E(N)E(D)Var(S)E(N)Var(D)E(S)(68.60)(0.00186)3．SS三、免赔额对理赔次数的分布的影注意：当免赔额存在时，理赔次数不等于损失次数1、免赔额存在X表示损失NL表示损失次d表示免赔额vPXd，NP表示理赔次数。I

则P(I1v

I1 INLIP(z)P(I0)z0P(I1)z11v(zI由复合分布的母函数例：设某损失事件的损失额有几种可能255075,100200500发生的概率分别为0.20.30.20.150.10.05，假设损失事件的次数服从0.3r10的负二项分布，免赔额为50，求赔偿事件解vP(X50)0.20.150.10.05NPP(z)(10.3(10.5(z1)NP(10.15(z所以NP服从负二项分布*0.15r10N命题1：假设NL的母函数P(z;B((z1，其中B(是与参数无关的函数，则NLNP的分布类型没有变化。N证明 PP(z)PL(1v(z B((1v(z1)B(v(zNPL(z;vN注：所有的(a,b,0)分布都保持原来的类型损失次数NL的分理赔次数NP的参期望理赔次数泊松分*二项式分q*vq，n*负二项式分*v,r*r二项式分布的证明：设N服从二项式分布B(n,q)NP(z)(1q(zNPN*(z)PN(1v(z{1qv(zNP(z)P(z;,)(1)B[(z1)]B(N 1B( N其中PL(0P(N0。则N的母函数NPP(z)PL(z;v,NN*NNNP其中*P(NP0NP

(0)P

(1v;,N0N0NP的分布解：NL的分布母函数 M[1(z1)]r(1p0(1

1(10因此pMB(z1z)r根据命题NP服从ZMNB分布0*=3*0.5=1.5,*

M*

M

M[1v]r(1

1(10.40.6

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2、免赔额发生变化设原来的免赔额为d现在免赔额调整为d*请问调整后记Nd表示免赔额为dNd*表示理赔额为d*理赔次数，设v'表示在免赔额提高后，以前的索赔事件能够继续获得赔偿的比例，则1F(dv' 1FX(d令I1表示继续获得赔偿I0表示不能继续获得赔IIN当d*d时，v1Nd为（a,b0）分布时Nd*的分布类型Nd相同，只是参数发生变化。 1F(d*) 当dd时，则v' 1，此时N的参数可能超出原频1FX(d率分布的参数范围，因此不能考虑这种情形五、保单数目与保单组 赔次假设当前的保单组合中含有n份保单令Nj表示第j个保单产生理赔的次数则NN1N2 Nn表示保单组合产生赔的总次数。若假设N

P(z)(P 问题：假设现在保单组合中的保单数n个，问新保单组合的回答：令N'N1N2 Nn'，

(z)N1N

(z))n'

n