历年浙江省高等数学微积分竞赛工科类试题

04年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（工科类）一．计算题（每小题15分，满分60分）1．计算：解:原式。其中原式.①②在课堂上作为一个典型的例子;2．计算：解:原式。.其他想法:原式后者,看来做不下去了!!!3．求函数在上的最大、小值。解:①在圆内(开集),,解得驻点,但不在圆域内.②在圆周上,求的极值,是条件极值问题.解得:驻点,故最大值为,最小值为.4．计算：，其中。这题不能用对称、奇偶性等性质来做！二．（本题满分20分）设，求.解:,则,则两边对求阶导数,由莱布尼茨公式得:,令,得:,而,则.三．（本题满分20分）设椭圆在点的切线交轴于点，设为从到的直线段，试计算。解:方程两边对求导得:,则,直线段的方程为:令,,则,.四．（本题满分20分）设函数连续，，且，试证明：，。证明:①由于,故,无论怎么分、怎么取，存在且相等，即由于连续，故，，；（理由说的不够充分）②假设存在，使得，不妨设，则，由于函数连续，故在内存在最大、最小值分别为，显然，而与矛盾，，故假设错误，即。五．（本题满分15分）判别级数的敛散性。解：斯特林公式：极限形式：.故收敛.判别的敛散性:证明:(1)证明1)当,即,显然成立;2)假设时也成立,即;3)当时,而是单调递增数列,而且有界(证明两个重要极限里第2个).,而,由夹逼定理得:.,而收敛,由比较判别法得:也收敛.六．（本题满分15分）设函数在上连续，证明：，。证明:.许瓦兹不等式:①有限项情况:,(乘积和的平方小于等于平方和的乘积)②可推广到可数情况:;③均值的形式:④积分的形式:;2005年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分满分散60分）1．计算2．设可导，求常数的值3．计算4．计算5．求函数的值。二、（本题满分20分）设在点二阶可导，且，求和的值。三、（本题满分20分）证明：当四、（本题满分20分）设时，，试比较A，B，C的大小。五、（本题满分15分）设（1）求；（2）证明数列单调减少。六、（本题满分15分）对下列分别说明是否存在一个区间，并说明理由。使（1）（2）（3）2005年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题解答一．1.解.2.解：，，，因为在，处连续，所以，由在处可导，，于是.3.解：4.解：.，，，，，.5.解：当时，；当时，；当当时，；时，.二．解：；；，，所以.三．证明：令因为，；，；，；，，所以即得，进而，，，.四．解：；，由于，得，，利用得，，，于是故，.五、设，.（1）求；（2）证明数列单调减少.解：（1）显然故有.（2），，于是数列单调减少.六．解：（1）欲使，在上严格单调递增，，必有，.考虑，，，，，所以存在区间，使.（3）在上严格单调减少，欲使，必有，.，，所以存在区间，，使得.（4）欲使必须在上严格递增，，，.，，，此方程无实数解，故不存在区间，，使得.2006浙江省高等数学(微积分)竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1、计算.解:。2、求解:..3、求解:..4、求过解:令则且与曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.,,令所求平面方程为:,在曲面则上取一点上取一点,则切平面的法向量为,在曲面,则切平面的法向量为,则.解得:即所求平面方程为:.二、(15分)设,问有几个实根?并说明理由.解:当,当,且的增长速度要比来得快!所以无实根.三、(满分20分)求中的系数.解:当时,故中的系数为.四、(20分)计算,其中是球面与平面的交线.解：而,,,故.五、(20分)设为非负实数,试证:的充分必要条件为.证明：必要性由于,则,.充分性;要证明,只需证明:,这里,若,不等式显然成立;即只需证明:,而,故只要说明:,即,当时,显然成立;时,也成立,即时,假设当当;.六、(15分)求最小的实数,使得满足解:的连续函数都有.,取,显然,而,取而,显然,,故最小的实数.2007浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)一.计算题（每小题12分，满分60分）1、求解:.。2、求解:..3、求的值,使解:.被积函数是奇函数,要积分为零,当且仅当积分区间对称,即:,解得:.4、计算.解:,其中如右图.5、计算解:,其中为圆柱面.被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求:(1);(2).解:(1),;(2)(图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，若在轴正向上，求：重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点（1）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为：，化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为：.四、(20分)求函数值.,在的最大值、最小解：由于具有轮换对称性,令,或解得驻点:或对,,在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数数.的系数满足,,,求此幂级数的和函证明：而,即:一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解为:,由于,解得,故的和函数.六、(15分)已知(1)证明:二阶可导,且,,,.(2)若,证明.证明:(1)要证明,只需证明,也即说明是凹函数,,,故是凹函数,即证.(2),即:.2008浙江省高等数学(微积分)竞赛试题(解答)(一.计算题1、求解:.。2、计算解:.。法二：，令。3、设，求.解:,则，则被积函数是奇函数,要积分为零,当且仅当积分区间对称,即:,解得:.4、计算.解:,其中如右图.5、计算解:,其中为圆柱面.被积函数关于是奇函数,积分区域关于对称,二、(20分)设,,求:(1);(2).解:(1),;(2)(图来说明积分上下).三、(满分20分)有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点，为的中点，现将纸卷成圆柱形，使与重合，与重合，若在轴正向上，求：重合，并将圆柱垂直放在平面上，且与原点（3）通过，两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程；（4）此旋转曲面、平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积.解::旋转曲面上任意取一点则的坐标为：，化简得：所求的旋转曲面方程为：，（2），故过垂直轴的平面方程为：令，解得在坐标面上的曲线方程为：，图中所求的旋转体的体积为：.四、(20分)求函数值.,在的最大值、最小解：由于具有轮换对称性,令,或解得驻点:或对,,在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;在圆周令上,由条件极值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值为,最小值为.五、(15分)设幂级数数.的系数满足,,,求此幂级数的和函证明：而,即:一阶非齐次线性微分方程---常数变易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解为:,由于,解得,故的和函数.法二：，同学们自行完成。六、(15分)已知(3)证明:二阶可导,且,,,.(4)若,证明.证明:(1)要证明,只需证明,也即说明是凹函数,,,故是凹函数,即证.(2),即:.2009年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题一、计算题（每小题12分，满分60分）1.求极限解=====2．计算不定积分解==3．设，求解=4．设，，求此曲线的拐点解，，令当当得时，，时，，，当时，因此拐点为5．已知极限，求常数的值解===1于是，由，得另解＝1二、（满分20分）设，证明：当时，证设则由，且，，知当时，。又设则，所以从而,,不等式得证.三、（满分20分）设，求的最小值，故当证当时，，，，时单调增加；当当时，故当时单调减少；时，，=。由故得。当时，，当时，，是的极小值点，又=，故的最小值为四、（满分20分）=五、（满分15分）设，证明：（1）为偶函数；（2）证（1）（2）=六、（满分15分）设为连续函数，且，证明在上方程有唯一解证设则，在上连续，在，当内可导，时，，是方程的解；当又时，，由零点定理，得至少存在一点使，即方程至少有一解。，故在上严格单调递增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大学生高等数竞赛试题（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限2．计算3．设为锐角三角形,求的最大值和最小值。4．已知分段光滑的简单闭曲线（约当曲线）落在平面：的面积为A,求上，设在上围成,其中的方向成右手系。5．设连续，满足,求的值。二、（满分20分）定义数列如下：，求。三、（满分20分）设有圆盘随着时间t的变