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文档简介
高等代数
IIAdvanced
Linear
Algebra主讲教师:高峡理科楼1478S助教:马一方马卫军大课
周二
5
-
6
节
周四
3
-
4节二教107习题课周一10-11
节三教
107
三教
303••
/index.jsp讲义资料设
R
是整环,a
R
非零非可逆.
若由a
=b
c
(b,c
R
)
都能推出b
或c
可逆,则称a
是R
的不可约元.若
R
的每个(非零非可逆)元素都能唯一地写成不可约元的乘积,
则称
R是唯一分解整环
(
UFD
).定理:
若
R
是
UFD,
则
R
[
x
]
也是
UFD.例: K
[
x
]
是
UFD
K
[
x1
,
x2
]
是
UFD
…
K[x1
,x2
,…,xn
]是UFD即K[x1
,x2
,…,xn
]每个次数
1
的多项式可唯一地写成不可约多项式的乘积.第七章多项式环6
多元多项式字符
x1
,
x2
,
x3
的多项式
:f
(
x1
,
x2
,
x3
)
=
1
+
x1
–
3
x
3
+
x1
x2
x3
+
x
72
1g
(
x1
,
x2
,
x3
)
=
x
3
+
x
3
+
x
3
–
3
x1
x2
x31
2
3设K
是数域,x1
,x2
,…,xn
形式符号(不定元)称为第(i
1
,i
2
,…,i
n
)次项系数i
1
!
i
n称a为字符Kx1
,x2
,…,xn
的多项式,i
n!
xnd1
dn1
2n1xx2i
ia
i
!
i
1
21
nf
(
x ,
x ,
!
,
x )
!
i
1
0 i
n
0设K
是数域,x1
,x2
,…,xn
形式符号(不定元)第(i1
,i2
,…,in
)次项i1
+i2
+…+in
称为单项式的全次数,deg
f
=系数非零单项式全次数的最大值i
n!
xnd1
dn1
2n1x2!
x
i
1
0 i
n
0i
ia
i
!
i
1
21
nf
(
x ,
x ,
!
,
x )
若多项式
f
所有单项式的全次数都为
m
,则称
f
是m次齐次多项式.例:a0
0a1
x1
+a2
x2
+
…+
an
xnx
3
+
x
3
+
x
31
2
3–
3
x
x
x1
2
30
次齐次1
次齐次3
次齐次齐次多项式m
次多项式
f
都可唯一地写成f
=
f
0
+
f1
+
f2
+
…
+
fm其中
f
i
是i
次齐次多项式,
称为
f
的i
次齐次部分.n
元多项式的齐次成分按齐次成分排序f
(
x1
,
x2
)=1
次部分2
次部分121a0
+
a10
x1
+
a11
x2
+
a20
x
2
+
a x
x
+
a1
2x
222
2+an0
x
n++
a+
a
xx
n1n1
12n-1x
+nn
2n
次部分若则n
元多项式的加法21i
i
inx
!
xi
1
!
i
n
12
na
xi1
,
!
,
inj1
,
!
,
jnf
x
j1
xjnnj2
!xj
1
!
jn
1
2gbin21i
1
,
!
,
i
ni
1
!
i
nni2ii
1
!
i
n
1!
x)
x
x
bf
g
(
a若则n
元多项式的乘法21i
i
inx
!
xi
1
!
i
n
12
na
xi1
,
!
,
inj1
,
!
,
jnf
x
j1
xjnnj2
!xj
1
!
jn
1
2gbkn21nk2kk
1
!
k
n
1!
xx
xcf g
a
i
1
!
i
n
b
j
1
!
jnc
k
1
!
k
n
!k
1
,
!
,
k
ni
1
j1
k
1i
n
jn
k
n若fg=
f
0
+
f1
+
f2
+
…
+
fm=
g
0+
g1
+
g2
+
…
+
gn则f
g=+
(f0
g
0
+
(
f1
g
0
+
f0
g1
)f2
g0
+
f1
g1
+
f0
g2
)
+…
+
fm
gn全体字符x1
,x2
,…,xn
的系数在K
中的多项式,在多元多项式加法、乘法运算下,构成交换幺环,记作
K[x1
,x2
,…,xn
].可逆元?带余除法?满足消去律(整环)?唯一分解性质?f
(x1
,x2
,…,xn
)的单项式与字符x1
,x2
,…,xn的指数向量(
i1
,
i2
,
…
,
in
)一一对应iix2
2
!xn
nix1
1a
i
!
i1
n若有
i1
= j1
,
…,
is-1
=
js-1
,则规定is
>
js
(
1
s
n
)( i1
,
i2
,
…
,
in
)
>
( j1
, j2
,
…
, jn
)全体n
元指数向量被排成一条队若有(
i1
,
i2
,
…
,
in
)( j1
, j2
,
…
,
jn
)则(
i1
,
i2
,
…
,
in
)>
( j1
, j2
,
…
, jn
)>
( k1
,
k2
,
…
,
kn
)>
( k1
,
k2
,
…
,
kn
)传递性作业：4
月9
日交§7.93,6,
8,11§7.102,3,
6,14补充题:1,2补充题:1.求椭圆曲线y
2
=x3
+5的四个有理点.注:若有理数
x
,
y
满足曲线方程,
则称点(
x,
y
)
是曲线的有理点.2.
证明:
在曲线
x
3
+
3
xy+
y
3
=
1
上有且仅有一组点
{
A
,
B
,
C
},
使得ABC
是正三角形.在字典排序法下,
多项式
f
(
x1
,
x2
,
…,
xn
)第一个系数非零的单项式称为
f
的首项.例:5
2
2
22
x1
x2
x3
+
x1
x3
+
3
x1
x2在字典排序法下23
x1
x22
2
5+
x1
x3
+ 2
x1
x2
x3若有( i1
,
i2
,
…
,in
)(
k1
,
k2
,
…
,
kn
)则(
i1
+
k1
,
…
,
in
+
kn
)>>
( j1
, j2
,
…
, jn
)(
m1
,
m2
,
…
,
mn
)> (
j1+
m1
,
…
,
jn+
mn
)向量加法保持次序定理:
在
K[
x1
,
…,xn
]
中,
非零多项式乘积的首项等于多项式首项的乘积.证:设在字典排序法下1f
=
a
x
p1+a
0x
p2
x
pn2ng
=
b
x
q1
x
q21
2x
qn+b
0n则p1+q1
p2+q2f
g
=
a
b
x1
x2xnpn+qn
+f
=
f
0
+
f1
+
f2
+
…
+
fm
,g
=
g
0
+
g1
+
g2
+
…
+
gn
,fm
0gn
0则f
g
=
f0
g
0
+
(
f1
g
0
+
f0
g1
)+
(
f2
g0
+
f1
g1
+
f0
g2
)
+…+
fm
gnfm
0
,
gn
0
fm
gn
0deg(
f
g
)
= deg(
f
)
+
deg(
g
)命题:
f
,
g
K[
x1
,
x2
,
…,
xn
],
有deg(
f
+
g
)
max
{
deg(
f
)
,
deg(
g
)
}deg(
f
g
)
= deg(
f
)
+
deg(
g
)约定:(
–
∞
)
+
n
=
–
∞
,(
–
∞
) +
(
–
∞
) =
–
∞
n
Z
,
n
0推论1.K[x1
,x2
,…,xn
]中无零因子,即非零多项式的乘积仍是非零多项式.推论
2.
K[
x1
,
x2
,
…,
xn
]
满足消去律.h
0
,
h
f
=
h
g
f
=
g推论
3.
K[
x1
,
x2
,
…,
xn
]
的可逆元为零次多项式
(
非零常数
).定理: n
元多项式环
K[
x1
,
x2
,
…,
xn
]
是唯一分解整环
(
UFD
),
即每个次数
1
的n
元多项式都能唯一地写成不可约多项式的乘积.推论: K[
x1
,
x2
,
…,xn
]
中任意多个多项式都有最大公因式.例:
齐次多项式
f
(
x1
,x2
,…
,xn
)
的因式也是齐次多项式
.证:
设
f
=
h
g=
(
hs
+
hs
+1
+
…
+
hm
)
(
gt
+
gt
+1
+
…
+
gr
)=
hs
gt
+ (
hs
gt
+1
+
hs
+1
gt
) +
…
+
hm
grhs
0
,
gt
0hm
0
,
gr
0
hs
gt
0
hm
gr
0f
齐次
s
+
t
=
m
+
r
s
=
m, t
=
r定理:
设幺环
R
是数域
K
的扩环
,t1
,交换,,tn
R
两两可则
: K[
x1
,
x2
,
…,
xn
]
→
Rf
(
x1
,
x2
,
…,
xn
)
!f
(
t1
,
t2
,良定义且保持加法与乘法运算,t),n(
f
+
g
)
=
(
f
)
+
(
g
)
,即(
f
g
)
=
(
f
)
(
g
)
,
f
,
gK[x1
,x2
,…,xn
]中的等式都是恒等式,放在任何环上也都成立;
反过来,
其它环上的等式,
不一定能搬到
K[
x1
,x2
,
…,
xn
]中来.例:
在
K[
x
,
y
]
中,多项式x
,y
互素(最大公因式为1);不存在u
,v
K[x
,y
],使得u
x
+
v
y
=1
.证:比较两边常数项…法则能用n元多项式表达的函数叫做n
元多项式函数.例:
f
(
x
,
y
)
=
x
+
x
3
–
x
y
2
R[
x
,
y
]
,R2则
f
:
R(
a
,
b
)
!
a
+
a
3
–
a
b
2是R2
上的一个2
元多项式函数则f
:R2
R(
a
,
b
)
!
a
+
a
3
–
a
b
2是R2
上的一个2
元多项式函数引理:
若
f
K[
x1
,
x2
,
…,
xn
]
满足f
(
a1
,
a2
,
…,an
)
=
0
,
a1
,
…,
an
K则
f
是零多项式
.证:
对n
做归纳.
当n=
1
时,
由f
(
a
)
=
0
,
a
K
一元多项式f
(x
)有无穷多个根
f
(x
)是零多项式设引理对n
–1
元多项式都成立,f是n元多项式的情况.若
f
0,
则f =
u0
(
x1
,
…
,
xn-1
)
+
u1
(
x1
,
…
,
xn-1
)
xnn+
…
+
um
(
x1
,
…
,
xn-1
)
x
m其中um
(x1
,…,xn-1
)
0.由归纳假设,
存在
a1
,
…
,
an-1
K
,
使得um
(a1
,
a2
,
…
,an-1
)
0.于是u0
(
a1
,
…
,
an-1
)
+
u1
(
a1
,…,
an-1
)
xnn+
…
+
um
(a1
,
…
,
an-1
)
x
m是
xn的非零多项式,
故存在
an
K
,
使得u0
(a1
,
…,an-1
)
+
u1
(
a1
,
…,an-1
)ann+
…
+
um
(a1
,
…
,
an-1
)
a
m
0
.即这与题设f
(
a1
,…,an-1
,
an
)
0
.,
故
f
是零多项式
.定理:若K
是数域,
则
K[
x1
,
…,
xn
]
中不同的多项式给出Kn
上不同的多项式函数.多项式函数相加,相乘Kn(
a1
,
…
,
an
)(
a1
,
…,
an
)
K!
f
(
a1
,
…,
an
)
+
g
(
a1
,
…,
an)!
f
(
a1
,
…,an
)
g
(
a1
,
…,
an
)结果仍是多项式函数.Kn
上的多项式函数在函数加法,乘法下构成环,称为n
元多项式函数环,记作Kn,
polK[
x1
,
…,
xn
]f
(
x1
,
…,
xn
)!Kn,
polf既单又满,
保持加法,
乘法运算,
是K
上的n
元多项式环到n
元多项式函数环的同构.推论:Kn,
pol
也是唯一分解整环(UFD)形式表达式Kn
到K
的函数f
在Kn
上若点
(
c1
,
…,
cn
)
Kn
满足f
(
c1
,
…,
cn
)
=
0
,则称(c1
,…,cn
)是n元多项式的一个零点.n
=2,n
=3,f
在K2上的零点集构成代数曲线;f
在K3上的零点集构成代数曲面…多元多项式的零点K2
上的三次光滑曲线经有理变换都能写成E
:
y
2
=
x
3
+
a
x
+
b这里
x
3
+
a
x
+
b
无重根,
即
4
a3
+
27b
2
0
.若有理数
x,
y
满足曲线方程,
则称
(
x
,y
)是椭圆曲线的有理点.例:椭圆曲线例:椭圆曲线上的有理点E
:
y2
=
x
3
–
5
x
+
8f
(
x
)
=
x
3
–
5
x
+
8例:椭圆曲线上的有理点PRP
+QE
:
y
2
=
x
3
–
5
x
+
8Q第七章多项式环一元多项式环整除性与最大公因式不可约多项式与唯一分解性质重因式C,R
与Q
上的不可约多项式多元多项式对称多项式有限域满足
f
(
x
,y)
=
f
(
y
,x
)
的
2
元多项式称为字符
x
,
y
的对称多项式.x
+
y,
x
y
;x
3
+y
3
+
3
x
y定理:
所有
x
,
y的对称多项式都能唯一地写成
x
+
y
,
x
y
的多项式.集合{1,2,…,n
}到自身的双射称为置换
:
{
1,
2,
…,
n
}
{
1,
2,
…,
n
}1,
2,
…,
n
!
i1
,
i2
,
…,
inn
元置换与
n
元排列
一一对应,
共有
n
!
个i1
,
i2
,
…,
in置换与排列若多项式
f
(
x1
,
…
,
xn
)
在字符
x1
,
…
,
xn的任意置换下保持不变,
即则称f
(x1
,…,xn
)是对称多项式.f
(
xσ(1)
,
xσ(2)
,
!
,
xσ(n)
)
f
(
x1
,
x2
,
!
,
xn
)
σ对称多项式例:字符x
,y
,z
的对称多项式x
+
y
+
z
,x
y
+y
z
+z
y
,x
3
+
y
3
+
z
3x
y
z
;(
x
+
y
+
z
)5
+
3
(
x
y+
y
z
+
z
y)
x
yz
…作业：4
月16
日交§7.11
2(2),§7.12
3,3(4),
4,
56,
10,
11补充题:
1,
2补充题:求以下多项式在F2[x]中的分解x
5
+
x
+
1
, x
6
+
x
+
1
.求有限域
F2
上的多项式函数
,
使得f
(
x
,
y
,
z
)
=
“
if
x
then
y
else z
”g(x
,
y
,
z
)
=
“
maj(
x
,
y
,
z
)
”1
:
=
x1
+
x2
+
…+
xn2
:
=
x1
x2…+x1
x3
+…+
xn-1
xn…x1
x2
…
xnn
:
=
t1
t2tn1
2
n=
x
t1+…+
tn12x
t2+…+
tnnx
tn
+
…初等对称多项式首项定理:每个n
元对称多项式都能唯一地写成h
(
1
,
…
,
n
)的形式,
其中
h
(
x1
,
…,xn
)
是n
元多项式,1
,…,n
是x1
,…,xn
的初等对称多项式.对称多项式基本定理3
3
3x1
+
x2
+
x3
–
3
x1
x2
x32
2
2=
–
3
x1
x2
–
3
x1
x3
–
3
x1
x2
–
9
x1
x2
x32
2
2–
3
x1
x3
–
3
x2
x3
–
3
x2
x3在字典排序法下,3
2
2
2x1
x1
x2
x1
x3
x1
x2
x1
x2
x32
x x
2
x
3
x
x
x x
2
x
31
3
2
2
3
2
3
3–
(x1
+
x2
+
x3
)33
3
3x1
+
x2
+
x3
–
3
x1
x2
x32
2
2=
–
3
x1
x2
–
3
x1
x3
–
3
x1
x2
–
9
x1
x2
x32
2
2–
3
x1
x3
–
3
x2
x3
–
3
x2
x33
(
x1
+
x2
+
x3
)
(x1
x2
+x1
x3
+x2
x3
)=
3
(x
2
x
+
x
2
x
+
x x
2
+
3
x
x
x1
2
1
3
1
2
1
2
3+
x1
x
2
+
x
2
x
+
x x
2
)3
2
3
2
3–
(x1
+
x2
+
x3
)33
3
33–
3
x1
x2
x3
=
1
–
3
1
2x1
+
x2
+
x3= (
x1
+
x2
+
x3
)3–
3
(
x1
+
x2
+
x3
)(
x1
x2
+
x1
x3
+x2
x3
)=
(
x1
+
x2
+
x3
)(
x
2
+
x
2
+
x
21
2
3–
x1
x2
–
x1
x3
–
x2
x3
)=
(
x1
+
x2
+
x3
)(
x1
+
w
x2
+
w2
x3
)(
x1
+
w2
x2
+
w
x3
) (
w3
=
1
)问题:
任给单项式
xk2k1x1
2nknx
,能否用
1
,…,
n
构造一个多项式,
使其首项恰为给定的单项式
?3例:
h
(
1
,
2
,
3
)
的首项
=
x
3
?对称多项式的首项有何特点?引理:
对称多项式
f
的首项1c x
k1x
k22x
knn一定满足
k1
k2
…
kn
.若有
k1
< k2
,
则f
(
x1
,
x2
,
…,
xn
)
=
f
(
x2
,x1
,
…
,xn
)k1
k2=
x1
x2k1
k2=
x2
x1x3
k3x3
k3xnkn
+
…xnkn
+
…引理:
任给整数
k1
k2
…
kn
0
,
以下对称多项式的首项为2k
knxk1x1
:
2xnk
–
k k
–
k1
2
2
3kn-1–
knkn
1
2n-1
n= (
x1
+
…
)
k1–
k2
(
x1
x2
+
…
)
k2–
k3xn-1
+
…
)
kn-1
–
kn
(
x1
x2(
x1
x2xn
)
kn=
x
k1
x
k21
2xnkn+
…定理:
每个
n
元对称多项式f
都写成1
,…,n
的多项式.全次数
deg
f
的n
元单项式只有有限多个
,1knx2
n,将它们按字典法排序.
若
f
的首项是k212cx
k1
x
k
k
…
k
.则对称,1f
–
c
k1–
k2
k2–
k3n仍
kn2
n且有更靠后的首项;
重复以上过程…定理:n
元对称多项式都能唯一地写成h
(
1
,
…,
n
)的形式,
其中
h
(
x1
,
…,xn
)
是n
元多项式,1
,
…,
n
是
x1
,
…,
xn
的初等对称多项式.对称多项式基本定理1
:
=
x1
+
x2
+
…+
xn2
:
=
x1
x2…+
x1
x3
…+
xn-1
xn…n
:
=
x1
x2
…
xn(
y
–
x1
)
(
y
–
x2
)
…
(
y
–
xn
)= y
n
–
1
y
n-1+
2
y
n-2+
…
+
(
–
1
)n
n初等对称多项式首项唯一性:
若有非零多项式
h
(x1
,
…
,xn
)
,使得H(x1
,…,xn
)=h(1
,…,n
)=0.则有c1
,…,cn
K,
0.记1
,
2
, ,
n是使得
h
(
c1
,
…
,
cn
)
y
n
–
c1
y
n-1
+
…+
(
–
1)n
cn的n个复根.
则H
(
1
,
…,
n
)
=
h
(
c1
,
…
,
cn
)
0
,!在
K[x1
,
…,
xn
]
中,
对称多项式在加减法和乘法下封闭,构成
K[x1
,
…,xn
]的子环,
称为
n
元对称多项式环.推论:n
元对称多项式环=K[
1
,…,
n
]n
元对称多项式环例:在K[
x
1,
x
2,
x
3
]中,
由全体
10
次齐次多项式与零多项式构成的实线性空间的维数是
;其中由全体
10
次齐次对称多项式与零多项式构成的子空间的维数是
.待定系数法:
x
3
+
x
3
+
x
3
–
3
x
x
x1
2
3
1
2
33=
1
+
c1
1
2
+
c2
3(
x1
,
x2
,
x3
)(
1
,
2
,
3
)(
1
0
0
) (
1
1
0
) (
1
1
1
)(
1
0
0
) (
2
1
0
)
(
3
3
1
)1 8
+2c1
27
+
9c1+
c21
2
0
3
+
c
+
c
1
1
1
2
2
33
3
3x1
+
x2
+x3
–
3
x1x2x3
c1
=
–
3
,
c2
=
0
(
x
θi
)1
i
nf
=
a0
x
n
+
a1
x
n-1
+
…+an
=
a0的判别式定义为一元多项式ji0
(
θ1
i
j
nθ
)2disc(
f
)
=
a
2n2
i
<
j
(xi
–
xj
)2
=
h(
1
,
…,
n
)利用根与系数关系,
1
+
2
+
+
=n
1
22n-2n–
a1
/
a0
;…= (
–
1
)n
an
/
a02disc(
f
)
=
a0i
<
j
(
i
–
j
)2n-2
n=
a0
h(
–
a1
/
a0
,
a2
/
a0
,
…,
(–
1
)
an
/
a0
)例:
求
f
=
a0
x
2
+
a1
x
+
a2
的判别式.解:于是(
x1
–
x2
)
22=
1
–
4
22
2disc(
f
)
=
a0
(
(
–a1
/
a0
)
–
4
a2
/
a0
)2=
a1
–
4
a0
a2例:
求
f
=
a0
x
3
+
a1
x
2
+
a2
x
+
a3
的判别式.解:(
x1
–
x2
)2
(
x2
–x3
)2
(
x3
–
x1
)22
2
3
3
2=
1
2
–
4
1
3
–
4
2
+
18
1
2
3
–
27
3于是2
2disc(
f
)
=
a1
a2
+
18
a0
a1
a2
a33
3
2
2–
4
a1
a3
–
4
a0
a2
–
27
a0
a3n321αn-1αn-1αn-1αn-1α2α2
α2
α2n"3"2"1"
(
αk
αl
)1
l
k
n1α11α21α3!!1αn!!nn1
α
!1αn-1αn-1αn-12"n21αn-1αn-1αn-111!11α1!α1α2!αn1α2!"""""!ns1!s1s2!""sn-1sn!sn-1sn"s2n2
(
αk
αl
)21
l
kn牛顿公式:1记
sk
=
x
k
+x
k
+…+
x
k
,2
nk
=
1,
2…当k>n
时,有sk
–
1
sk-1
+
2
sk-2
+
…+
(
–1)n
n
sk-n
=
0当1
k
n
时,有sk
–
1
sk-1
+
2
sk-2
+
…+
(–
1
)k-1
k-1
s1+
(
–1
)k
k
k
=
0
(
x
αi
)1i
mf
=
a0
x
m
+
a1
x
m-1
+
…+am
=
a0b0
(
x
βj
)1
jnji
(
α
β
)1i
m1
jnres(
f
,
g
)
=
a
n
b
m0
0g
=
b0
x
n
+
b1
x
n-1
+
…
+
bn
=(m,n
1)的结式定义为定理:res(
f
,
g
)
=a0
a1
!
ama0
a1
!
am"
"
"a0
a1
!
amb0
b1
b2
!
bn"
"
"
"b0
b1
b2
!
bnn
行m
行证:
记bn
S
b0am
a0"b2
!a1
!
ama
a
!
a0
1
m"
"
"a0
a1
!b1
b2
!
bn"
"
"b0
b1m+n
阶n
行m
行在S
的右边乘Vandermonde
矩阵VV
mmα
mn-1
1α
mn-11
n""1
!α1
!1
!αm1α
2α
2"
"1
!β1
!1
!nβn1β
2β
2!!β
mn-1
β
mn-1得到对角分块矩阵
diag{
V1
,
V2
}00"000"01m
m""1g(α
)
!mg(α
)g(α1)α
m-1!
g(α
)α
m-1n1n
n1
1f
(β
)βn2f
(β
)β
n2f
(β
)β
n10"00"0n
n"1
1"f
(β
)!
f
(β
)!
f
(β
)βn1!!!!!!取行列式,
得
|
S
|
|
V
|
=
|
V1
|
|
V2
|其中|
V
|
(
αi
αj
)
(βi
βj
)
(βj
αi
)1
i
m1
jnβj
)i
ji
jf
(βn
)
(
βii
j|
V1
|
f
(
β1
)
!i
j(β
j
αi
)
(β
i
β
j
)0
a
n1
i
m1
j
n于是|
V2
|
g(
α1
)
!
g(
αm
)
(
αi
αj
)i
j
i
j(
αi
β
j
)
(
αi
α
j
)0
b
m1
i
m1
j
njiβ )
res(
f
,
g
)1i
m1
jn|
S
|
a
n
b
m
(
α0
00res(
f
,
g
)
=
a
n1≤
i
≤m
i
g(
)res(
g
,
f
) =
(
–
1)mn
res(
f
,
g
)res(
f
g
,
h
)
= res(
f
,
h
)
res(
g
,
h
)若
h
C[
x
], deg(
f
–
hg
)
=
r
>0,
则res(
g
,
f
)
=
b0m-r
res(
g
,
f
–
hg
)f
=
a0
x
m
+
a1
x
m-1
+
…+am
=
a0
(
x
αi
)ji0
(
α1i
j
m
α
)2a
2m21i
m的判别式定义为多项式disc(
f
)
=注意到
f
(i
)
=a0
(
αij
i
αj
)1
i
m j
i0
a
2m1ji
(
α
α
)1
i
mi
f
'
(
α
)0=
a
m1ji0
(
α
α
)2
(1)m(m-1)/2
a
2m11i
j
m故
a0
disc(f
)
=
(
–
1
)
m(m-1)/2
Res(
f
,
f
)res(
f
,
f
)例:利用结式解方程组f
(
x
,
y
)
=
0g(
x
,
y
)
=
0记f
=
a0
(x)
y
m
+
a1
(x)
y
m-1
+
…+am
(x)g
=
b0
(x) y
n
+
b1
(x)
y
n-1
+
…
+
bn
(x)若(
x,
y
)
是方程组的一组解,
则…若(
x
,
y
)
是方程组的一组解,
则以下方阵的列向量线性相关,
行列式为
0
.
ymn1
a
(x)a
(x)b0
(x)a0
(x)a1
(x)a
(x)0"b2
(x)
!ma
(x)!1"am
(x)a
(x)
!"m
"!
a
(x)
nymn2
!ynyn1!b
(x)
11bn
(x)0b1(x)
b2
(x)
!"
"
"b0
(x)
b1(x)=
0第七章多项式环一元多项式环整除性与最大公因式不可约多项式与唯一分解性质重因式C,R
与Q
上的不可约多项式多元多项式对称多项式有限域非零元素都可逆的交换幺环(0
1)称为域.无限域:数域Q,R,C,…有理函数域Q(x),C(
x,y),…有限域: Fp
= Z
/pZ下面介绍从整环构造域的两种方法…回忆从整数扩充到有理数的过程Z
Q
=
{
a
/
b
|
b
0
}这里约定:a
/
b =
c/
d
a
d
=
c
ba
/
b
+
c
/
d
=
(
a
d
+
c
b
)
/
b
da
/
b
c/
d
= a
c
/
b
d加法,乘法不依赖代表元的选取设
R
=
Z
, K[
x
]
,
…
是整环,
在集合{
(
a
,
b
)
|
a
,
b
R
,
b
0
}上定义等价关系(验证!)(
a
,
b
)
(
c
,
d
)
a
d
=
c
b集合
{(a
,b
)|
a
,b
R
,b
0}被划分成一个个等价类.等价类中的任一个元素都叫做该等价类的代表元.用a
/b
表示
(a,b)所在的等价类.记
K
= {
(
a
,
b
)
|a
,
b
R
,
b
0
}
/
= {
a
/
b
| a
,
b
R
,
b
0
}在K
上定义加法,乘法a
/
b
+c/
d
=
(
a
d
+cb
)
/
b
da
/
b
c
/
d
= a
c
/
b
d这些运算不依赖于代表元的选取
,
满足整环的公理,
且非零元
a
/
b
(
a
,
b
0
)
在
K中都可逆.K
在以上加法,
乘法下构成域,
称为
R
的分式域.整环
R
可通过单射
a
!
a
/
1
嵌入到
K
中,R
可看成K
的子域.若整数a,b被正整数m除有相同的余数,则称a
,b
模m
同余,a
b
mod
m
m
|
a
–
b用
a
表示与
a模m
同余的所有整数构成的集合,
称为
a
的剩余类a
=
{
b
Z
|
b
a
mod
m
}剩余类的代表a
=
{
b
Z
|
b
a
modm
}剩余类的代表不唯一,a
=
b
有a
b
modm
.剩余类的一
元模m同余是Z上的等价关系.在此关系下,全体整数被划分为m
个剩余类:0
=
{
a
|
a
0
mod
m
}1
=
{
a
|
a
1
mod
m
}…
…m
–
1
=
{
a
|
a
m
–
1
mod
m
}剩余类的运算在集合
Z
/
mZ
={
0
,
1
,
…,
m
–
1
}
上定义两种运算
---
剩余类加法与乘法:a
+
b
=
a
+
b
,
a
b
=
a
b剩余类的运算不依赖代表元的选取:a
a
mod
m
,
b
bmod
m
a
b
a
b
mod
m
,
a
b
a
bmod
m集合
Z
/
mZ
=
{
0
, 1
,
…,
m
–
1
}
在剩余类的加法与乘法下构成的交换幺环,称为模
m
的剩余类环.其中
0
为加法零元素, 1
为乘法单位元Z/mZ={0, 1,…,
m
–1
}的可逆元为{
a
| (
a
,
m
)
=
1
}
.(a
,m
)=1
存在u
,v
Z,使得u
a
+
v
m
=
1
u
a
=
1
.m
为素数
Z
/mZ
的非零元都可逆Z/mZ
的零因子Z/mZ={0, 1,…,
m
–1
}的零因子为{
a
| (
a
,
m
)
>
1
}
.若(
a
,
m
)
=
c
>
1
,
记
m
=
b
c
, 1
<
b
<
m
.则
m
=
c
b
|
a
b
,
故
a b
=
0
.
a
是零因子.推论:
若m
>
1是合数
, Z
/
mZ
不是整环.Z/6
Z
加法表0123450012345112345022345001235501234Z/6
Z
不是整环可逆元零因子012345000000010123452024024303030340420425054321Z/5
Z
是整环可逆元01234000000无零因子1012342024321若p
是素数, Z
/pZ
没有非平凡零因子,故Z
/
pZ
是整环.Z/pZ的非零元素都可逆.非零元都可逆的交换幺环(0
1)称为域.无限域:数域Q,R,C,Q(x)…有限域: Fp
= Z
/
pZ注: Z
, Z
/6Z
,
M3(
K
)
都不是域域一定是整环,即满足消去律若
a
0
,
b,c
是域中元素,
满足
a
b
=
a
c,则有
b
=
a
-1
(
a
b
)
=
a
-1
(
a
c
)
=
c整环不一定是域,
但有限整环都是域.域F
的全体非零元在乘法下构成交换群,记为F*设
1F
是域
F
的单位元.
若对一切正整数
m,都有1F
+
1F
+
…+1F
0
,m
个则称域F
的特征(char
F)为0.否则存在最小的正整数
m
,
使得1F
+
1F
+
…
+
1F
=
0
,m
个这样的整数m
一定是素数,称为域F
的特征,记为char
F.为什么m
一定是素数?若m=k
l
,1
<
k
,
l
<
m
,1F
+
1F
+
…
+
1Fm
个=
( 1F
+
1F
+
…+
1F
)( 1F
+
1F
+
…+
1F
)k
个
l
个这与m
的取法=0特征大于0
的域设F是一个特征
p
>
0
的域.
则有对
a
F
,
有
p
a
=
a
+
a
+
…
+
a
=
0
.若
0
a
F
且
m
a
=
0
, m
Z
,则有p
|
m.若m
=
k
p
+r, 0
<
r
<
p
,
则r
a
=0
.r
a
=
(
r
1F
)
a
=
0
r
1F
=
0
,特征大于0
的域设F是一个特征
p
>
0
的域.
则有{0,1F
,1F+1F,…,(p
–1)1F
}对F
的四则运算封闭,构成F
的子域.对任意
u
,
v
F
[
x
]
,
有(
u
+
v
)
p
=
u
p
+
v
p设F
是一个域, x
是形式符号
(不定元).形式表达式an
x
n
+
an-1
x
n-1
+ +
a1
x
+
a0ai
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