常用微分公式资料

精品文档§1-3微分公式1（甲）基本函数的微分公式I一dxn-dnx11idX=nxn-i,neN。(2)—=—Xn-1,nwN。(3)dX=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=-sinx另^种表示：①(xn)/=nxn-1②(nx)/=-x~n-1③(c)/=0n"、'证明：⑵设a为f(x)K定义域中的任意点，则f/(a)=limfxf)x-ax^anx一nanx-na=lim=lim—===x■ax—ax■a(nx—n；a)[(n‘x)n-1+(nx)n—2-na+....+(na)n-1]=(二=na吁)=n(a1-1)n(na)n-1nn(4)设a为任意实数，fx)=sinx-.x-ax+a2sincosTOC\o"1-5"\h\zf(x)-f(a)sinx-sina22x-ax-ax-ax-ax+a2sincos——f(x)-f(a)22)=cosa。计算f/(a)=lim=lim(x-axaxTaxTa⑴(3)(5)自证（乙）导数的四则运算(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。nf(x)+g(x))=cosa。且ddx(f(x)+§(x))=条如))+土燮)域立。另一种表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点f(x)+g(x)-f(a)-g(a)=limxTax-ag(x)-g(a)f(x)-f(a)g(x)-g(a))=lim()+lim()xf(x)+g(x)-f(a)-g(a)=limxTax-ag(x)-g(a)f(x)-f(a)g(x)-g(a))=lim()+lim()x-ax-ax-axTaxTadxdxdf(x)df(x)df(x)推论：；(f(x)+f(x)+...+f(x))=1+2+•••+nd^1J22)小〃dxdxdx(2)设fx)为可微分的函数。nfx)为可微分的函数。日乌。RE—f)特别l—1时乌项^一―也且dx(C'f(x))~clT'特力」c=-1盯'dx(顼x))一-dx。⑶d(f(x)-g(x))=^^-^^，另一种表示：(f(x)-g(x))=f/(x)-g/(x)dxdxdxd…、、ddd(4)d~(c1f1(x)+c2f2(x)+-+cnfn(x))=Cidx(f1(x))+C2dx(f2(x))+'''+Cndx(fn(x))例如：(1)条(afxn+an_1xn-i+...+a1x+a0)(2)(3x5—2x3+45X)/=?(5)f(x),g(x)为可微分的函数。nf(x)g(x)为可微分的函数。且dxG(x),g(x))=djx(f(x))'g(x)+f(x)'dx(g(x))另一种表示：(f(x)-g(x))/=f/(x)-g(x)+f(x)-g/(x)证明：例如：试求幺((x2+x-3)(3x2-2x+1))=dx下面我们要推导例2的一般情形：^(f(x)+f(x)+f(x))=气*)f(x)f(x)+f(x)d2^(x)f(x)+f(x)f(x)d3(x)dx123dx231dx312dx牛(ff…f)=当f…f+…+ffn(逐次轮流微分)dx12ndx2n12dx如果f=f=…f=f，则可得《((f(x))n=n(f(x))n-1"3)12\Jdxdx例如：试求(x2+2x+3)5的导数。［例题1］证明华=rxr-1,reQ+。dx(6)若f(x),g(x)在x=a可微分，且g(a)丰0,dJ(x)fi(a)g(a)-f(a)g/(a)则()1=。dxg(x)x=a(g(a))2因此可得：(业)/=f/(x)g(x)一f(x)g/(x)g(x)(g(x))211若加Tgx?,=-(^-g/(x)例如：试求x2-1的导函数。x2+x+1例如：设r为负有理数，证明竺=rxr-1。dx结论：若设r为有理数，则四^=rxr-1。dx［例题2］求下列各函数的导函数：(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x-2)3(x2-1)(3)(x2+x+1)(4x3+x-4)(x+3)3(x+1)2(3)x3;2x+1(4"Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x-2)2(5x2-4x-3)(3)(2x+1)(4x3+x-4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x-4)-3(3x2+2)-(x+1)(x+5)I'(x3+2x+1)2I'(x-1)4精品文档［例题3］请利用(sinx)/=cosx,(cosx)/=-sinx的结果证明:(tanx)/=sec2x,(secx)/=secx-tanx(«§1.)试求下列的导函数：(1)x3-6x2+7x-11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2-12x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1).(4x)・(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)・(6x+1)5(2x3+x+1)4.(6x2+1)(«S2.)求下列各函数的导函数。_°X3+X+13x1…1(1*x)=2x2+x+3(2)/(x)=x2+3x+1(3以x)=4x3+3x2+2x+1(4)^(x)=x3+2x+1人.、2x4+2x3+7x2-4x+2,c、-3x2+3Ans:(1)―(2x2+x+3)2—⑵(x2+3x+1)2c-15,-3x2-2(3)(4x3+3x2+2x+1)2.(12x2+6x+2)(4)(x3+2x+1)2(%柬者3.)证明g(cotx)=-csc2x,—(cscx)=-cscxcotxdxdx丙)连锁法则⑴合成函数：设f(x)=x2+x+1,g(y)=3：y，则g(f(x))=3x2+x+1。x―f^x2+x+1—g^3x2+x+1，(gof)(x)=3x2+x+1所以(gof)(x)为x的函数。gof丰fog(2)连锁法则：既然(gof)(x)为x的函数，我们就可以讨论d(gof)(x)=?dx例：设f(x)=x2+2,g(x)=y3，则(gof)(x)=g(f(x))=(x2+2)3利用—((f(x))n=n(f(x))n-1冬3，可得dxdxdd,df(x)—((x2+2)3)=3(x+2)2.2x=—g(y)|.—-—dxdyy=x2+2dx上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则ChainRule)若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数(gof)(x)亦可微分，而且d((gof)(x))=dg^y)I-(df^X)或(gof)/(x)=g/(f(x))f/(x)。dxdyy=f(x)dx［例题4］求(3x2+x+1)/=？一般情形：neN，fx)可微分，求(口(x))/=?［例®5］求fx)=sin2x的导函数。Ans：2sinx・cosx［例题6］求下列函数的导函数:f(x)=tan3xf(x)=csc5x精品文档-x-sec2V1-x2v1—x2f(x)=tan1-x2Ans：(1)3tan2x-sec2x(2)-5csc5x-cot5x(3)-x-sec2V1-x2v1—x2Ans:n(fx))n-1f/(x)(%柬者5.)求J~(^'(x4+3x2-x+5)=？Ans：5(x4+3x2—x+5)：・(4x3+6x-1)(%柬者6.)［：'(x2+x+1)2=?Ans：—2)2x+D=3•点x2+x+1(SS7.)求下列各小题y(1)y=xsinx(2)y=cos3x(3)y=5cos(2x+1)y=sinxcos4x(5)y=%'1+sin2xAns：(1)sinx+xcosx(2)-3cos2xsinx(3)-10sin(2x+1)sinxcosx(4)cosxcos4x—4sinxsin4x(5)v1+sin2x(SS8.)计算下列各小题:(1)(xa''2x(1)(xa''2x-1)/=?Ans：3x-1\2x-16x-23⑵危wAns：⑶求f(x)=3xx+的导函数。Ans：f/(x)=2fJ3x-5・(3x-5)x-3

(3x+1)2%：x2+1x—1Ans：2像者9.)设可微函数九尤)满足fx+y)=x，则fAns：2［赡刀试求［*；］=?

像者10.)试求4W的导函数。Ans：3x+1(常柬者11.)求f(x)=\2x+yx2+1的导函数。Ans：f/(x)=一,x+〉、、*」+1=2\2x+、：x2+1.、：x2+1(%柬^12.)f(x)=<Vx+yx+1，求f/(3)=?毋2(%柬者13.)设y=(x+%'1+x2)10，试求穹(%柬^12.)f(x)=<Vx+yx+1［例题8］求斜率为2，而与曲线yf尤)=!尤3-2尤2+3相切之直线方程式。QQAns:4x-2y+3=0，2x-y-3=0像者14.)求过曲线yfx)=1x3+x2-2的点，而斜率最小的切线方程式。4Ans：y+3=(-1)(x+1)像者15.)求通过y=x3-3x2-4x-1上x=1处之切线与法线方程式。Ans：7x+y=0，x-7y-50=0。Ans：1x21海晋16.)函数f(x)=-21的图形上以(0,-1)为切点的切线斜率为x2+x+1［例题9］设抛物线y=ax2+bx+c与直线7x-y-8=0相切于点(2,6)，而与直线x-y+1=0相切，求a,b,c之值。Ans：a=3,b=-5,c=4(85日大自然)［例题10］直角坐标上，给定一曲线「：y=x3-3x2,自点P(2,-5)。Ans：1精品文档Ans：3x+y—1=0,15x-4y-50=0像者17.)过原点且与曲线y=x3-3x2-1相切之直线方程式。Ans：y=-3x,y=^x。像者18.)设抛物线y=ax2+bx+c过点(1,1),且与直线x-y=3相切于(2,-1)。求a,b,c之值Ans：a=3，b=-11，c=9［例题11］设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=-x3+c在点A(1,-2)处相切，L为两曲线在A点的公切线，试求(1)a,b,c(2)求L的方程式。Ans：(1)a=-5，b=2，c=-1(2)3x+y-1=0像者19.)抛物线「:y斗(x)的对称轴平行于y轴，且「与x轴交于点(2,0),并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x)=?Ans：p(x)=-6x2+16x-8像者20.)求y=x3-3x，y=x3-3x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9x-y+16=0综合练习Ans：(1)—=dx3(3x-5》(求dx=?(2)f(x)="1+X'求'/(!)=?(3)f(x)=x3(x3+5x)10,求fI(x)―-12x2+40x+3)一烦2—z\(2)-(3)\x3+5x少\33x5+65x3/VIx2+1少92.求下列各函数的导函数：(1)f(x)=3(x2+1)5⑵f(x)=(旦t2)5(3)f(x)=(2x+1)4x2+1(x2+1)510x-3(x2+1)2—10x(x2+2)4Ans：(1)f'(x)=J(2)f'(x)=—(x2+1)63

⑶f(x)=(2x+1)3(8-10x-12x2)(x2+1)63.试求下列个函数的导函数：(1)f(x)=sinx/、./兀兀、1(2)f(x)=vcosx(-—<xv—)(3)f(x)=tan—22x(4)f(x)=sin(x2—1)(5)f(x)=sin(x)(6)f(x)=tanx一se(2x(7)f(x)=v1+cos2x(8)f(x)=’I"xcosx人/‘'Cosex—sinx1*Ans：(1)(2)——(3)—-fse(2—(4)2xcos(x2—1)2侦x2t'cosxx2x-sin2x(5)6x2sin(x3)cos(x3)(6)0(7)—.=(8)sinxse(2x+siix2如1+cos2x4・(1)设f(x)=\0x2—1，若fi(1)=2,则a=?⑵设f(x)=，则f(2)=?Ans：(1)2(2)*3"I3x—5105.设y=u3+4，u=x2+2x，求空=?Ans：6x