2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《几何相似综合压轴》（二）

24/242020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《几何相似综合压轴》（二）1．如图在锐角△ABC中，BC＝6，高AD＝4，两动点M、N分别在AB、AC上滑动（不包含端点），且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN＝x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y．（1）如图（1），当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值；（2）如图（2），当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式（写出x的取值范围）并求出x为何值时y最大，最大是多少？2．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．3．如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，O是AB上一点，且AO＝2．（1）求点O到直线AC的距离OH的长；（2）若P是边AC上一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于Q（不与B、C重合），设AP＝x，CQ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）在（2）的条件下，当AP为多少时能使△OPQ与△CPQ相似．4．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，∠ADC＝145°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．5．在△ABC中，∠ABC＝90°，（1）如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM～△BCN；（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，PM⊥PA交AC于点M，＝，求的值；（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，AD：BC：AC＝2：3：5，求的长．6．已知△ABC，过△ABC的顶点B作直线MN∥AC，D为BC边上一点，连结AD，作∠ADE＝∠BAC交直线MN于点E，DE交AB于点F．（1）如图1，请找出图中与∠BED相等的角（直接写出，不必证明）；（2）如图2，当△ABC是等边三角形时，请探究出线段AD，DE之间的数量关系，并证明；（3）如图3，当AB＝AC＞BC时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（4）当AB＝kAC时，请直接写出此时AD，DE之间的数量关系．（用含k的式子表示）7．在△ABC中，∠ABC＝90°，如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，则△ABM～△BCN；（1）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC＝，求tanC的值；（2）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC＝，，直接写出tan∠CEB的值．8．某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值．（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形对折，使得B、D重叠，折痕为EF，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．9．如图1，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）若AM＝2，AF＝3，求BG的长；（3）如图2，连接FG，在（2）条件下，若α＝45°，求△EFG的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．（1）连接EF，若运动时间t＝秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；（3）在运动过程中，当t取何值时，△EPQ与△ADC相似．参考答案1．解：（1）当PQ恰好落在边BC上时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴x＝．（2）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形．设ME＝NF＝h，AD交MN于G（如图2）GD＝NF＝h，AG＝4﹣h．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴＝，即＝，∴h＝﹣x+4．∴y＝MN•NF＝x（﹣x+4）＝﹣x2+4x（2.4＜x＜6），配方得：y＝﹣（x﹣3）2+6．∴当x＝3时，y有最大值，最大值是6．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE．（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得，BD＝，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得，AE＝；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝6，∴tanB＝＝，∵∠ADE＝∠B，∴tan∠ADE＝＝，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴═＝，即＝，解得，AN＝，∴MH＝AN＝，∴CH＝CM﹣MH＝，∵FD＝FC，FH⊥CD，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝9．3．解：（1）如图1，过点O作OH⊥AC，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AHO＝90°，∴△AOH∽△ABC，∴，即，∴OH＝；（2）如图2，过点O作OD⊥AC，由（1）可得OD＝，∵∠BCA＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，∴，∴AD＝，∴PD＝x﹣，∵PQ⊥OP，∴∠OPD+∠CPQ＝90°，又∵∠PQC+∠CPQ＝90°，∴∠OPD＝∠PQC，且∠ACB＝∠PDO＝90°，∴△POD∽△QPC，∴，∴∴y＝﹣x2+x﹣（＜x＜4）（3）如图3，当OQ∥AC时，△OPQ∽△CPQ，∵OQ∥AC，∴△QOB∽△CAB，∴，∴＝，∴CQ＝，∴＝﹣x2+x﹣，∴x＝，∴AP＝；如图4，作PE⊥OQ于点E，当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△CPQ，∵∠CQP＝∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，∴PC＝PE，∵∠POQ＝∠CPQ，∠DOP＝∠CPQ，∴∠POQ＝∠DOP，又∵PD⊥OD，PE⊥OE，∴PD＝PE，∴PC＝PD，即点P为CD的中点，由AP﹣AD＝AC﹣AP，∴2AP＝AC+AD＝4+，∴AP＝，综上所述：当△OPQ与△CPQ相似时，AP为．4．（1）解：如图1所示：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，∴＝＝，或＝＝2，∴CD＝10，或CD＝2.5②当∠CAD＝90°时，同理：AD＝2.5或AD＝10；（2）证明：∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝35°，∴∠A+∠ADB＝145°∵∠ADC＝145°，∴∠BDC+∠ADB＝145°，∴∠A＝∠BDC，∴△ABD∽△DBC，∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）解：∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH与△HFG相似，∵∠EFH＝∠HFG，∴△FEH∽△FHG，∴＝，∴FH2＝FE•FG，过点E作EQ⊥FG于Q，如图3所示：∴EQ＝FE•sin60°＝FE，∵FG×EQ＝2，∴FG×FE＝2，∴FG•FE＝8，∴FH2＝FE•FG＝8，∴FH＝2．5．（1）证明：∵AM⊥MN，∴∠MAB+∠MBA＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBN+∠MBA＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，又∠AMB＝∠BNC＝90°，∴△ABM～△BCN；（2）解：过点P作PD⊥AM于D．∴∠BAP+∠APB＝∠CPM+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC，∵PM⊥PA，PD⊥AM，∴△PDM∽△APM，∵＝＝＝，设DM＝2a，则DP＝a，由勾股定理得，PM＝＝3a，∴CD＝DM+CM＝DM+PM＝5a，则＝，∵∠CDP＝∠CBA＝90°，∠C＝∠C，∴△CDP∽△CBA，∴＝＝；（3）解：过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝＝，∵BC：AC＝3：5，∴BC：AB＝3：4，由（1）可知，△ABG∽△BCH，∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∵＝，∴＝，解得，n＝2m，AG＝4n＝8m，BH＝3n＝6m，由勾股定理得，BC＝＝3m，BE＝2BG＝8m，∴＝．6．解：（1）∠BAD＝∠BED，理由为：如图1，记DE与AB的交点为F，证明：∵MN∥AC，∴∠EBA＝∠BAC，∵∠BAC＝∠ADE，∴∠EBA＝∠ADE，又∵∠AFD＝∠EFB，∴△EBF∽△ADF，∴∠BED＝∠BAD；（2）AD＝DE，理由：如图2，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（3）（2）中的结论仍然成立，即：AD＝DE，理由：如图3，在BA上取一点Q，使DB＝DQ，∴∠ABC＝∠DQB，∴∠BDQ＝180°﹣2∠ABC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∴∠BDQ＝∠BAC，∵∠ADE＝∠BAC，∴∠BDQ＝∠ADE，∴∠BDE＝∠QDA，在△BED和△QAD中，，∴△BED≌△QAD（AAS），∴AD＝DE；（4）作∠BDQ＝∠ADE，交AB于点Q，如图4所示，∴∠BDQ﹣∠EDQ＝∠ADE﹣∠EDQ，即∠BDE＝∠ADQ，∵∠BED＝∠BAD，∴△BED∽△QAD，∴＝，∵∠ABC＝∠QBD，∠BDQ＝∠ADE＝∠BAC，∴△BDQ∽△BAC，∴＝＝k，∴＝k，即DE＝kAD．7．解：（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠BAM+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠AMB＝∠NBC，∴△ABM∽△BCN；（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，∴MP＝MC∵tan∠PAC＝＝＝＝，设MN＝2m，PN＝m，根据勾股定理得，PM＝＝3m＝CM，∴tanC＝＝；（3）在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，∵∠DEB＝90°，∴CH∥AG∥DE，∴＝同（1）的方法得，△ABG∽△BCH∴＝＝＝，设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，∵AB＝AE，AG⊥BE，∴EG＝BG＝4m，∴GH＝BG+BH＝4m+3n，∴＝，∴n＝2m，∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC＝＝．8．解：（1）如图1，过点G作GM⊥CB于M，过点E作EN⊥CD于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，且GM⊥BC，EN⊥CD，∴四边形DCMG是矩形，四边形ABMG是矩形，四边形AEND是矩形，四边形BCNE是矩形，∴GM＝CD＝AB，EN＝AD＝BC，∵EF⊥GH，∠BCD＝90°，∴∠EFC+∠GHC＝180°，且∠DFE+∠EFC＝180°，∴∠EFN＝∠GHC，且∠ENF＝∠GMH＝90°，∴△EFN∽△GHM，∴；（2）如图2，连接BD交EF于点O，DE，BF，∵将矩形对折，使得B、D重叠，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，且BE＝DE，∴BE＝DF，且AB∥CD，∴四边形DFBE是平行四边形，且DF＝DE，∴四边形DFBE是菱形，∴BO＝DO，EO＝FO，BD⊥EF，∵DE2＝AE2+AD2，∴DE2＝9+（4﹣DE）2，∴DE＝，∵BD＝＝＝5，∴DO＝BO＝，∴OE＝＝＝，∴EF＝2OE＝；（3）如图3，过点D作EF⊥BC，交BC的延长线于F，过点A作AE⊥EF，连接AC，∵∠ABC＝90°，AE⊥EF，EF⊥BC，∴四边形ABFE是矩形，∴∠E＝∠F＝90°，AE＝BF，EF＝AB＝8，∵AD＝AB，BC＝CD，AC＝AC，∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠EAD＝∠CDF，且∠E＝∠F＝90°，∴△ADE∽△DCF，∴，∴AE＝2DF，DE＝2CF，∵DC2＝CF2+DF2，∴16＝CF2+（8﹣2CF）2，∴CF＝4（不合题意舍去），CF＝，∴BF＝BC+CF＝＝AE，由（1）可知：＝＝．9．证明：（1）∵∠AMD＝∠B+∠D，∠BGM＝∠DMG+∠D，又∠B＝∠A＝∠DME＝α，∴∠AMF＝∠BGM，∴△AMF∽△BGM；（2）解：∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝2，∵△AMF∽△BGM，∴＝，∴BG＝＝＝；（3）如图2，过点M作MH⊥AE于H，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2AM＝4，∴AC＝BC＝4，且AF＝3，BG＝，∴CF＝1，CG＝，∵∠A＝45°，MH⊥AC，AM＝2，∴AH＝HM＝2，∴CH＝2，∵∠ACB＝∠AHM＝90°，∴HM