九年级上知识点汇编

白山第四中学九年级上册数学知识点汇编第二十一章二次根式1．二次根式的定义一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做，“”称为。如：当x为时，在实数范围内意义；当x时，在实数范围内有意义。2．二次根式的双重非负性，在中，a≥0，≥0。如：在y=中，x=,y=,xy=。3．（）2=a（a≥0）如：计算：（2）2=、（-）2=。4．=|a|=a（a≥0）4．=|a|=-a（a≤0）如：化简：a=，=，=。5．二次根式的乘法法则：=，（a≥0，b）。反过来：=（a≥0，b≥0）。如：计算：==6．二次根式的除法法则：=，（其中a≥0，b）。反过来，就得到=，（其中a,b）。如：计算：==7．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含，不含小数，分母中不含；（2）被开方数中不含能开得尽方的或。如：下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．8．同类二次根式的概念：将二次根式化为后，如果相同，则称它们为同类二次根式。如：已知a+b与最简二次根式能合并，则a=,b=。9．二次根式的加减法则二次根式化简时，主要体现在三步：一化：，二找：，三合并：。如：计算：①5②10．二次根式与其它知识的综合运用。已知：a=时，求的值。第二十二章一元二次方程1．一元二次方程的定义方程的等号两边都是，只含有个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程叫做一元二次方程。如：下列方程中，是一元二次方程的为（）A．x2+x+1=yB．x2+=1C．x2+3x=2x2-1D．x2=x2+x+1已知(a-1)+3x=1是一元二次方程，则a=。已知(a-1)x2+3x=1是一元二次方程，则a。2．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，二次项为，一次项为，常数项为。如:已知一元二次方程–x2-x=1，则二次项系数、一次项系数与常数项的和是。3．根：一元二次方程的，也叫做它的根。作用体现在能使。如：已知方程x2+x+k=0的一个根是1-，求它的另一个根及k的值。4．配方法：通过配成，来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方的目的是为了，把一个一元二次方程转化成两个来解。主要步骤：化为一般形式化二次项系数为1移常数项到方程等号的右边配方（方程两边加上项的系数的的一半的）写成完全平方式，并整理右边化为两个一元一次方程解一元一次方程检验。如：用配方法解：2x2+x-1=05．公式法:先将方程化为一般形式（a≠0），当b2-4a≥0时，x=。如：用公式法解：2x2+x-1=06．根的判别式：（1）当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1=,x2=。（2）当=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有个相等的实数根，x1=x2=。（3）当b2-4ac0时，没有。如：1、选择题：x2=0的实数根的个数为（）A、1B、2C、0D、无数7．因式分解法：将一元二次方程化为两个的乘积为的形式，再使这两个一次式分别等于，从而实现。这种解法叫做因式分解法。如：用因式分解法解：x2=x+568．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即。如：三角形的两边分别是3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长为（）A．11B．13C．11或13D．11和139．传播问题：如：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了多少个人？10．增长率问题：如：某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？11．面积问题：如：（2005吉林省）一条长64的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160，求两个正方形的边长。如：（2005南京市）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子。镜子的长与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米20元，另外制作这面镜子还需加工费45元。如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。12．加速度问题：如：一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方有情况，紧急刹车用了3秒时间停下。（1）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（2）从刹车到停车，汽车滑行了多少路程？（3）刹车后汽车滑行到15米时约用了多少时间？13．赛场安排问题：如:参加一次篮球联赛每两队之间要进行2次比赛，共比赛90场，问有多少队参加比赛？第二十三章旋转1．旋转的定义：把一个图形着某一点转动的图形变形叫做旋转，叫旋转中心，叫做旋转角。如：等边三角形绕着它的中心，至少旋转度能够与它本身重合。2．旋转的性质：ADBPCP′（1）对应点到旋转中心的ADBPCP′BACPBACP点C按逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC=2，则PP′=。（2）如图，P是正△ABC内部一点，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，则PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小分别为。3．中心对称：把一个图形着要一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说“这两个图形关于这个点对称或。这个点叫做对称中心。如：成中心对称的两个图形，对称线段的位置关系是，数量关系是。4．中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所。关于中心对称的两个图形是。如：下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的一组是（）A．平行四边形、正方形、等腰三角形B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．平行四边形、正方形、菱形、矩形D．正方形、菱形、矩形、圆5．中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转1800，如果旋转后的图形能够与的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。如：既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．线段B．射线C．锐角D．等腰梯形6．关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（，）。如：在坐标平面内，点P（4-2a，a-4）关于原点的对称点P′在第一象限，则a的取值范围是。第二十四章圆1．圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O，另一个端点A所叫做圆，固定的端点O叫做，线段OA叫做。如：要确定一个圆，需要两个基本条件：和，其中确定圆的位置，确定圆的大小。2．集合思想定义圆：圆心为O，半径为r的圆可以看是。圆的内部可以看作是，圆的外部可看作是。如：和已知点A的距离等于3cm的点的集合是。3．车轮都做成圆形的数学道理：车轮上各点到车轮中心（）的距离都等于车轮的，当车轮在平面上滚动时，与·O·OACDEB如：如图，AB为⊙O的直径，∠EOB=860，CE交⊙O于D，且CD=OA，则∠C=。4．圆的基本概念：弦：连接叫做弦；经过的弦叫做直径；弧：圆上叫做圆弧，简称弧；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做，用个字母表示；小于半圆的弧叫，用个字母表示。如：以已知点A为圆心，可以画个圆；过已知点A可以画个圆；以已知线段为半径，可以画个圆；过线段AB的两个端点可以画无数个圆；以A为圆心，AB的长为半径可以画个圆；过不在同一条直线上的三点A、B、C可以画个圆。5．圆的对称性：圆是轴图形，任何一条直径都是它的对称轴。如：下列命题中，正确的个数是（）①每一条经过圆心的直线都是圆的对称轴②每一条弦的中垂线都是圆的对称轴③每一条直径都是圆的对称轴④圆既是轴对称图形，又是中心对称图形A．1个B．2个C．3个D．4个6．垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分弦所对称的。推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分。垂直定理的实质：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分优弧；⑤平分劣弧，以上五个条件，只要满足其中两个，就可以推出其它三个结论。·O·OACDMB∵CD为直径，且CD⊥AB；∴AM=，AC=，AD=。·O·OACDEB∵AB=2AE，且AD=BD∴CD是，AB⊥，AC=。ACDEB∵ACDEB∴CD过，=AC，=BD。AACDHB·如：如图，⊙O的两弦AB、CD垂直相交于点H，AH=4，BH=6，CH=3，DH=8，求⊙O的半径。 ⌒7．圆心角：把顶点在圆心的角叫。圆心角的度数与它所对的弧的度数。⌒如：如图：⊙O的半径为5，AB的度数为1200，·OAB·OAB8．弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，两个，，，中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。··ABDCNMO几何语言：∵AB=CD；∴AB=DC，∠AOB=，而OM⊥AB、ON⊥DC，∴OM=。如：已知如图，⊙O的弦AB与半径OE、OF分别交于C、D，AC=BD。求证：（1）OC=OD；（2）AE=BF。··OABCDFE9．圆周角定义：顶点在，并且两边都与圆的角叫做圆周角。111111ABCD10．圆周角定理在或等中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的。·OABC如：①如图，已知圆心角·OABC则圆周角∠ACB的度数为。AABCD②如图，四边形ABCD为圆O的内接四边形，则∠A+∠C=。11．圆周角定理推论：⌒半圆（或直径）所对圆周角是，900的圆周角所对的弦是。⌒·OABD·OABDHFEC12．圆周角定理的逆定理：ABCDABCD几何语言：如图：∵∠A=。∴AD=BC。ABCDE如：如图，ABCDE13．点与圆的位置关系：设⊙O的半径r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外；②d=r；③点P在圆内。如：已知：⊙O的半径为5cm，圆心O到直线C的距离OD=3cm，在直线C上有P、Q两点且PD=4cm、QD=5cm，则点D、P、Q和⊙O的位置关系分别是。14．圆的确定：①过一点可作个圆；②过两点可作个圆，圆心在。③的三个点确定一个圆。如：过平面内任意四个点，一定可能做一个圆吗？15．三角形的外接圆：经过三角形的三个可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的。ABC·O如：如图：三角形ABC是ABC·O⊙O是△ABC的。三角形外心：三角形的的叫做三角形的外心；或三角形的三边的的交点，叫做三角形的。如：已知在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与三个顶点的距离为。17．反证法：假设不成立，由此经过得出，由断定所作不成立，从而得到原命题成立。这种方法叫做。如：用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”首先应假设（）A.d＜rB.d≤rC.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或者点P在⊙O内18．直线和圆的位置关系图示位置关系公共点的个数公共点的名称直线的名称圆心到直线的距离(d)与半径r的数量关系0无切点d=r相交交点重点：位置关系数量关系：直线l和⊙O相交d＜r；d=r；直线C和⊙O相离。如：⊙O的半径为r，圆心到割线的距离为d，则（）ANO·MA．d＜rB．0＜d＜rC．0＜dANO·M19．切线的判定定理：经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线。几何语言：∵OA为⊙O的半径，MN⊥OA于A；∴MN是。AC·OEBP如：（1）如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径的AC·OEBP如图，△ABC内接于大圆O，∠B=∠C，D是AB的中点，以O为圆心，OD为半径做小圆。求证：AC是小圆的切线。AAC·OBDAAN·OM20．切线的性质：圆的切线。几何语言：∵MN切⊙O于A；∴OA。如：如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=700；求∠A的度数。AAC·BDFEPNO·M21．切线长定理：从圆外一点引圆的，它们的切线长PNO·M几何语言：∵PM、PN分别切⊙O于M、N；PNO·CDABPNO·CDAB如：如图直角梯形ABCD中，∠A=900，以ＡＢ为直径的半圆切另一腰CD于Ｐ，若ＡＢ＝12cm，梯形的面积为120cm2，CBCBO·A三角形的内切圆：与三角形各边都的圆叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。如图：若△ABC是⊙O的外切三角形，那么⊙O是△ABC的。23．三角形的内心：三角形的内切圆的叫做三角形的内心；或三角形的三个角的的交点，叫做三角形的。如：已知等腰三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为。相离24．圆与圆的位置关系：相交相切图示位置关系公共点个数圆心距d与两圆半径(r1＞r2)的数量关系··O1·O1·O1·O1·O1·O2·O2·O2·O2·O2如:已知两个圆的半径分别是2，3，圆心距是d，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（）A．d=1B．d=5C．1=d=5D．1≤d≤525．正多边形与圆的关系：正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的正多方形，这个圆就是这个正多边形的。如：正多边形的一个外角等于450，那么这个正多边形的内角和等于，中心角。26．正多边形的相关概念：正多边形的的圆心，叫做正多边形的中心；外接圆的叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的叫做正多边形的中角；到正多边形的的叫做正多·？·？？？如：一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们的面积之比为。27．正多边形的画法：两种：①平分圆心角平分弧等分点顺次连接。②核心思想：“平分弧”抓特征（等边三角形）。如：用方法①画一个正五边形，用方法②画一个正十二边形。⌒⌒28．弧长：n0的圆心角所对的弧长为：L=，重抄：。⌒⌒·OCBA如:：半径为R的圆弧AB的长为，则AB所对的圆心角为·OCBA29．扇形的面积：圆心角为n0的扇形的面积：S扇形==。如：如图：A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，ιrO·ιrO·30．母线：连接圆锥顶点与的线段叫做圆锥的母线。沿一条母线将圆锥侧面剪开并，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个