事故树分析方法 FTA课件

事故树分析方法FTA核资源与安全工程学院叶勇军11/18/2022.事故树分析方法FTA核资源与安全工程学院11/9/20221第2页第一部分概述第二部分事故树的建造及其数学描述第三部分事故树的定性分析第四部分事故树的定量分析第五部分课堂练习11/18/2022.第2页第一部分概述11/9/2022.2第3页第一部分

概述11/18/2022.第3页第一部分11/9/2022.3第4页一、名称FTA

FaultTreeAnalysis事故树分析故障树分析失效树分析11/18/2022.第4页一、名称FTA11/9/2022.4二、方法由来及特点

美国贝尔电话实验室——维森（H.A.Watson）民兵式导弹发射控制系统的可靠性分析分析事故原因和评价事故风险方法特点演绎方法全面、简洁、形象直观定性评价和定量评价11/18/2022.二、方法由来及特点美国贝尔电话实验室——维森（H.A.W5目的：找出事故发生的基本原因和基本原因组合适用范围：分析事故或设想事故使用方法：由顶上事件用逻辑推导逐步推出基本原因事件资料准备：有关生产工艺及设备性能资料，故障率数据人力、时间：专业人员组成小组，一个小型单元需时一天效果：可定性及定量，能发现事先未估计到的原因事件11/18/2022.目的：找出事故发生的基本原因和基本原因组合11/9/20226三、事故树分析的程序

熟悉系统确定顶上事件修改简化事故树建造事故树调查事故调查原因事件收集系统资料定性分析定量分析制定安全措施11/18/2022.三、事故树分析的程序熟悉系统确定顶上事件修改简化事故树建造711/18/2022.11/9/2022.8第9页第二部分

事故树的建造及其数学描述

11/18/2022.第9页第二部分11/9/2022.91、事故树的符号事件符号

顶上事件、中间事件符号，需要进一步往下分析的事件；

基本事件符号，不能再往下分析的事件；

正常事件符号，正常情况下存在的事件；

省略事件，不能或不需要向下分析的事件。一、事故树的建造11/18/2022.1、事故树的符号一、事故树的建造11/9/2022.10或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以发生（输出）；

与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，A事件才能发生（输出）；

逻辑门符号

11/18/2022.或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以11或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以发生（输出）；

与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，A事件才能发生（输出）；

逻辑门符号

11/18/2022.或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以12条件或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，还必须满足条件a，A事件才发生（输出）；

条件与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，还必须满足条件a，A事件才发生（输出）；

限制门，表示B事件发生（输入）且满足条件a时，A事件才能发生（输出）。11/18/2022.条件或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，还必须满13

转入符号，表示在别处的部分树，由该处转入（在三角形内标出从何处转入）；

转出符号，表示这部分树由此处转移至他处（在三角形内标出向何处转移）。

转移符号

11/18/2022.转移符号11/9/2022.142、事故树的建造方法顶上事件中间事件基本事件直接原因事件可以从以下三个方面考虑：

机械（电器）设备故障或损坏；

人的差错（操作、管理、指挥）；

环境不良。11/18/2022.2、事故树的建造方法顶上事件中间事件基本事件直接原因事件可以15举例：对油库静电爆炸进行事故树分析汽油、柴油作为燃料在生产过程中被大量使用，由于汽油和柴油的闪点很低，爆炸极限又处于低值范围，所以油料一旦泄漏碰到火源，或挥发后与空气混合到一定比例遇到火源，就会发生燃烧爆炸事故。火源种类较多，有明火、撞击火花、雷击火花和静电火花等。试对静电火花造成油库爆炸做一事故树分析。11/18/2022.举例：对油库静电爆炸进行事故树分析11/9/2022.1611/18/2022.11/9/2022.17二、事故树的数学描述1、事故树的结构函数结构函数——描述系统状态的函数。xi=1表示单元i发生（即元、部件故障）（i=1,2,…,n）0表示单元i不发生（即元、部件正常）（i=1,2,…,n）y=1表示顶上事件发生0表示顶上事件不发生y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系统的结构函数11/18/2022.二、事故树的数学描述1、事故树的结构函数结构函数——描述系统18Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+

x2[x4+(x3x5)]11/18/2022.Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+x2192、结构函数的运算规则①结合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交换律A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）11/18/2022.2、结构函数的运算规则①结合律11/9/2022.20④等幂律A＋A＝AA·A＝A⑤吸收律A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互补律A＋A´＝１A·A´＝０⑦对合律（A´）´＝A⑧德·莫根律（A＋B）´＝A´·B´（A·B）´＝A´＋B´11/18/2022.④等幂律11/9/2022.21练习1：写出如下事故树的结构函数11/18/2022.练习1：写出如下事故树的结构函数11/9/2022.22练习2：写出如下事故树的结构函数11/18/2022.练习2：写出如下事故树的结构函数11/9/2022.23第24页第三部分

事故树的定性分析

11/18/2022.第24页第三部分11/9/2022.24一、利用布尔代数化简事故树11/18/2022.一、利用布尔代数化简事故树11/9/2022.25等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.26练习1：化简该事故树，并做出等效图11/18/2022.练习1：化简该事故树，并做出等效图11/9/2022.27等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.28练习2：化简该事故树，并做出等效图11/18/2022.练习2：化简该事故树，并做出等效图11/9/2022.29等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.30二、最小割集与最小径集1、割集和最小割集

割集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都发生时，顶上事件必然发生。如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。也就是导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。11/18/2022.二、最小割集与最小径集1、割集和最小割集割集：事故树中312、最小割集的求法行列法

布尔代数化简法行列法行列法是1972年由富赛尔(Fussel)提出的，所以又称富塞尔法。从顶上事件开始，按逻辑门顺序用下面的输入事件代替上面的输出事件，逐层代替，直到所有基本事件都代完为止。布尔代数化简法事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。11/18/2022.2、最小割集的求法行列法布尔代数化简法行32用行列法和布尔代数化简法求最小割集11/18/2022.用行列法和布尔代数化简法求最小割集11/9/2022.33等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.34练习：用行列法求该事故树的最小割集11/18/2022.练习：用行列法求该事故树的最小割集11/9/2022.35

径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发生时，顶上事件必然不发生。如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，这样的径集就称为最小径集。也就是不能导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。3、径集和最小径集11/18/2022.径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发364、最小径集的求法最小径集的求法是将事故树转化为对偶的成功树，求成功树的最小割集即事故树的最小径集。11/18/2022.4、最小径集的求法11/9/2022.37画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树2、求成功树的最小割集3、原事故树的最小径集11/18/2022.画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树11/9/2022.38成功树11/18/2022.成功树11/9/2022.39练习：1、求其最小割集2、画成功树3、求成功树的最小割集4、原事故树的最小径集5、画出以最小割集表示的事故树的等效图6、画出以最小径集表示的事故树的等效图11/18/2022.练习：1、求其最小割集11/9/2022.40成功树11/18/2022.成功树11/9/2022.4111/18/2022.11/9/2022.425.最小割集和最小径集在事故树分析中的作用

（一）最小割集在事故树分析中的作用

最小割集在事故树分析中起着非常重要的作用,归纳起来有四个方面:

(1)表示系统的危险性。最小割集的定义明确指出,每一个最小割集都表示顶事件发生的一种可能,事故树中有几个最小割集,顶事件发生就有几种可能。从这个意义上讲,最小割集越多,说明系统的危险性越大。

(2)表示顶事件发生的原因组合。事故树顶事件发生,必然是某个最小割集中基本事件同时发生的结果。一旦发生事故,就可以方便地知道所有可能发生事故的途径,并可以逐步排除非本次事故的最小割集,而较快地查出本次事故的最小割集,这就是导致本次事故的基本事件的组合。显而易见,掌握了最小割集,对于掌握事故的发生规律,调查事故发生的原因有很大的帮助。11/18/2022.5.最小割集和最小径集在事故树分析中的作用

（一）最小割集在43(3)为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割集都代表了一种事故模式。由事故树的最小割集可以直观地判断哪种事故模式最危险,哪种次之,哪种可以忽略,以及如何采取措施使事故发生概率下降。若某事故树有三个最小割集,如果不考虑每个基本事件发生的概率,或者假定各基本事件发生的概率相同,则只含一个基本事件的最小割集比含有两个基本事件的最小割集容易发生;含有两个基本事件的最小割集比含有五个基本事件的最小割集容易发生。(4)利用最小割集可以判定事故树中基本事件的结构重要度和方便地计算顶事件发生的概率。

11/18/2022.(3)为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割44（二）最小径集在事故树分析中的作用

(1)表示系统的安全性。最小径集表明,一个最小径集中所包含的基本事件都不发生,就可防止顶事件发生。可见,每一个最小径集都是保证事故树顶事件不发生的条件,是采取预防措施,防止发生事故的一种途径。从这个意义上来说,最小径集表示了系统的安全性。

(2)选取确保系统安全的最佳方案。每一个最小径集都是防止顶事件发生的一个方案,可以根据最小径集中所包含的基本事件个数的多少、技术上的难易程度、耗费的时间以及投入的资金数量,来选择最经济、最有效地控制事故的方案。

(3)利用最小径集同样可以判定事故树中基本事件的结构重要度和计算顶事件发生的概率。在事故树分析中,根据具体情况,有时应用最小径集更为方便。就某个系统而言,如果事故树中与门多,则其最小割集的数量就少,定性分析最好从最小割集入手。反之,如果事故树中或门多,则其最小径集的数量就少,此时定性分析最好从最小径集入手,从而可以得到更为经济、有效的结果。

11/18/2022.（二）最小径集在事故树分析中的作用

(1)表示系统的45第46页第四部分

事故树的定量分析

11/18/2022.第46页第四部分11/9/2022.46一.基本事件的发生概率(1)系统的单元故障概率

基本事件的发生概率包括系统的单元(部件或元件)故障概率及人的失误概率等,在工程上计算时,往往用基本事件发生的频率来代替其概率值。

在工程实践中可以通过系统长期的运行情况统计其正常工作时间、修复时间及故障发生次数等原始数据,就可近似求得系统的单元故障概率。

11/18/2022.一.基本事件的发生概率(1)系统的单元故障概率11/9/2047(2)人的失误概率

人的失误是另一种基本事件,系统运行中人的失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或失误的概率,它表示人的失误的可能性大小,因此,人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据人的不可靠度与人的可靠度互补的规则,获得人的失误概率。11/18/2022.(2)人的失误概率

11/9/2022.48二.顶事件的发生概率(1)状态枚举法

顶事件的发生概率P(T)可用下式定义:

从式(3-17)可看出:在n个基本事件两种状态的所有组合中,只有当φp(X)=1时,该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时,只需考虑φp(X)=1的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表,根据事故树的结构求得结构函数φp(X)值,最后求出使φp(X)=1的各基本事件对应状态的概率积的代数和,即为顶事件的发生概率。

11/18/2022.二.顶事件的发生概率11/9/2022.49(2)最小割集法

事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时,顶事件等于最小割集的并集。设某事故树有是个最小割集:E1、E2、…、Er、…、Ek,则有:顶事件的发生概率为：

设各基本事件的发生概率为:q1、q2、…、qn,则顶事件的发生概率为:

安全系统工程11/18/2022.(2)最小割集法安全系统工程11/9/2022.50(3)最小径集法

由最小径集的定义可知,只要k个最小径集中有一个不发生,顶事件就不会发生,则:

即：

故顶事件的发生概率为：

安全系统工程11/18/2022.(3)最小径集法安全系统工程11/9/2022.51三、基本计算公式1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式P0=g(x1+x2+…+xn)=1－(1－q1)(1－q2)…(1－qn)2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式PA=g(x1·x2·

…·xn)=q1q2…qn11/18/2022.三、基本计算公式1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式P52四、直接分步算法各基本事件的概率分别为：q1=q2=0.01q3=q4=0.02q5=q6=0.03q7=q8=0.04求顶上事件T发生的概率11/18/2022.四、直接分步算法各基本事件的概率分别为：11/9/2022.53五、利用最小割集计算例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q7

，求顶上事件发生概率。画出等效事故树用分步计算法计算顶上事件的发生概率11/18/2022.五、利用最小割集计算例：设某事故树有3个最小割集：{x154等效事故树该方法适用于各个最小割集中彼此没有重复的基本事件11/18/2022.等效事故树该方法适用于各个最小割集中彼此没有重复的基本事件155例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x2,x3,x4},{x2,x5}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q5

，求顶上事件发生概率。列出顶上事件发生概率的表达式用布尔代数等幂律化简，消除每个概率积中的重复事件计算顶上事件的发生概率11/18/2022.例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x56六、利用最小径集计算例：设某事故树有3个最小径集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q7

，求顶上事件发生概率。画出等效事故树用分步计算法计算顶上事件的发生概率11/18/2022.六、利用最小径集计算例：设某事故树有3个最小径集：{x157等效事故树该方法适用于各个最小径集中彼此没有重复的基本事件11/18/2022.等效事故树该方法适用于各个最小径集中彼此没有重复的基本事件15811/18/2022.11/9/2022.5911/18/2022.11/9/2022.60

求图3-14成功树的最小割集为:{X1′,X3′},{X1′,X5′},{X3′,X4′},{X2′,X4′,X5′},所以图3-12事故树的最小径集为:{X1,X3},{X1,X5},{X3,X4},{X2,X4,X5}。

11/18/2022.求图3-14成功树的最小割集为:11/9/2022.61例以图3-12事故树为例,试用最小割集法、最小径集法计算顶事件的发生概率。

解:该事故树有三个最小割集:

E1={X1,X2,X3,};E2={X1,X4};E3={X3,X5}

设各基本事件的发生概率为:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式(3-18)得顶事件的发生概率:

P(T)=q1q2q3+q1q4+q3q5-q1q2q3q4-q1q2q3q4q5-q1q3q4q5-q1q2q3q5q3+q1q2q4q3q5

代人各基本事件的发生概率得:P(T)=0.001904872。

11/18/2022.例以图3-12事故树为例,试用最小割集法、最小径集法计62

事故树有四个最小径集:

P1={X1,X3,};P2={X1,X5};P3={X3,X4};P3={X2,X4,X5}

设各基本事件的发生概率为:

q1=0.01;q2=0.02;q3=0.03;q4=0.04;q5=0.05

由式(3-19)得顶事件的发生概率:

P(T)=1-[(1-q1)(1-q3)+(1-q1)(1-q5)+(1-q3)(1-q4)+(1-q2)(1-q4)(1-q5)]+(1-q1)(1-q3)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q3)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q2)(1-q4)(1-q5)+(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)-(1-q1)(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

11/18/2022.

事故树有四个最小径集:

P1={X1,X3,};63七.顶事件发生概率的近似计算化相交集为不交集求顶上事件发生概率

某事故树有k个最小割集:El,E2,…,Er,…,EK,一般情况下它们是相交的,即最小割集之间可能含有相同的基本事件。由文氏图可以看出,ErUEs为相交集合,Er+Er’Es

为不相交集合,如图3-16所示。

11/18/2022.七.顶事件发生概率的近似计算化相交集为不交集求顶上事件发生概64亦即ErUEs=Er+Er’Es(3-20)

式中U--集合并运算;

+--不交和运算。

所以有:

P(ErUEs)=P(Er)+P(Er’Es)

由式(3-20)可以推广到一般式:

当求出一个事故树的最小割集后,可直接运用布尔代数的运算定律及式(3-21)将相交和化为不交和。但当事故树的结构比较复杂时,利用这种直接不交化算法还是相当烦琐。而用以下不交积之和定理可以简化计算,特别是当事故树的最小割集彼此间有重复事件时更具优越性。

11/18/2022.亦即ErUEs=Er+Er’Es(3-20)65不交积之和定理:

命题1集合Er和Es如不包含共同元素,则应Es可用不交化规则直接展开。

命题2若集合Er和Es包含共同元素,则

式中,Er←s表示Er中有的而Es中没有的元素的布尔积。

命题3若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,则:

命题4

若集合Er和Et包含共同元素,Es和Et也包含共同元素,而且Er←tсEs←t,则：

11/18/2022.不交积之和定理:

命题1集合Er和Es如66

例以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化运算,计算顶事件的发生概率。解：事故树的最小割集为:

根据式(3-21)和命题1、命题3,得:

设各基本事件的发生概率同前,则顶事件的发生概率为:

P(T)=q1q4+(1-q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q4)(1-q5)

=0.001904872

与前面介绍的三种精确算法相比,该法要简单得多。读者也可与直接不交化算法比较其运算过程。11/18/2022.

例以图3-12事故树为例,用不交积之和定理进行不交化67顶事件发生概率的近似计算

如前所述,按式(3-１8)和(3-19)计算顶事件发生概率的精确解。当事故树中的最小割集较多时会发生组合爆炸问题,即使用直接不交化算法或不交积之和定理将相交和化为不交和,计算量也是相当大的。但在许多工程问题中,这种精确计算是不必要的,这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此,用基本事件的数据计算顶事件发生概率值时精确计算没有实际意义。所以,实际计算中多采用近似算法。

⑴最小割集逼近法:

在式(3-18)中,设:

11/18/2022.顶事件发生概率的近似计算

如前所述,按式(3-１868则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式,即：

式(3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，……等,依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限,可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。

11/18/2022.则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式,即：

69

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(3-22)可得:

11/18/2022.

用最小割集逼近法求解[例3-8]。

由式(70

顶事件发生概率近似计算及相对误差

计算项目顶事件发生概率的近似计算项目数值取值范围计算值P(T)相对误差/%。F1F2F31.906×10-3F10.0019060.0590.00114×10-3F1-F20.001904860.00062990.000012×10-3F1-F2+F30.001904872O

由表可知,当以F1作为顶事件发生概率时,误差只有0.059‰;以F1-F2作为顶事件发生概率时,误差仅有0.0006299‰。实际应用中,以F1(称作首项近似法)或F1-F2作为顶事件发生概率的近似值,就可达到基本精度要求。

11/18/2022.顶事件发生概率近似计算及相对误差计算项目顶事件发生概率71

⑵最小径集逼近法。与最小割集法相似,利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式(3-19)中,设：

11/18/2022.

⑵最小径集逼近法。与最小割集法相似,利用最小径集也可以求72则：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+S2

……

即:1-S1≤P(T)≤1-S1+S2

(3-23)

S1+S2≥P(T)≥1-S1+S2-S3

……

式(3-23)中的1-S1,1-S1+S2,1-S1+S2-S3,……等,依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲,式(3-22)和式(3-23)的上、下限数列都是单调无限收敛于P(T)的,但是在实际应用中,因基本事件的发生概率较小,而应当采用最小割集逼近法,以得到较精确的计算结果。

11/18/2022.则：P(T)≥1-S1

P(T)≤1-S1+73

(3)平均近似法。为了使近似算法接近精确值,计算时保留式(3-18)中第一、二项,并取第二项的1/2值,即:

这种算法,称为平均近似法。

(4)独立事件近似法。若最小割集Er(r=1,2,…,k)相互独立,可以证明其对立事件E/r也是独立事件,则有:

对于式(3-25),由于Xi=O(不发生)的概率接近于1,故不适用于最小径集的计算,否则误差较大。

11/18/2022.

(3)平均近似法。为了使近似算法接近精确值,计算时保74八.基本事件的结构重要度

一个基本事件对顶事件发生的影响大小称为该基本事件的重要度。重要度分析在系统的事故预防、事故评价和安全性设计等方面有着重要的作用。

事故树中各基本事件的发生对顶事件的发生有着程度不同的影响,这种影响主要取决于两个因素,即各基本事件发生概率的大小以及各基本事件在事故树模型结构中处于何种位置。为了明确最易导致顶事件发生的事件,以便分出轻重缓急采取有效措施,控制事故的发生,必须对基本事件进行重要度分析。

11/18/2022.八.基本事件的结构重要度一个基本事件对顶事件发生的影75一、基本事件的结构重要度

如不考虑各基本事件发生的难易程度,或假设各基本事件的发生概率相等,仅从事故树的结构上研究各基本事件对顶事件的影响程度,称为结构重要度分析,并用基本事件的结构重要度系数、基本事件割集重要度系数判定其影响大小。

1.基本事件的结构重要度系数

事故树分析中,只考虑对顶事件有影响的情况,即当事故树中某个基本事件的状态由不发生变为发生,除基本事件以外的其余基本事件(j=1,2,…i-1,i+1,…,n)的状态保持不变时,顶事件状态也由不发生变为发生的情况。用结构函数表示为:

φ(0i,Xj)=0;φ(1i,Xj)=1;φ(1i,Xj)_φ(0i,Xj)=1;

11/18/2022.一、基本事件的结构重要度

如不考虑各基本事件发生的76

此时,基本事件Xi发生直接引起顶事件发生,基本事件Xi

这一状态所对应的割集叫“危险割集”。若改变除基本事件Xi以外的所有基本事件的状态,并取不同的组合时,基本事件Xi的危险割集的总数为：

式中n--事故树中基本事件的个数;

2n-1--基本事件Xi(i≠j))状态组合数;

p--基本事件的状态组合序号;

Xjp--2n-1状态组合中第p个状态;

0i--基本事件不发生的状态值;

li--基本事件发生的状态值。

显然,nф(i)的值愈大,说明基本事件Xi对顶事件发生的影响愈大,其重要度愈高。

11/18/2022.

此时,基本事件Xi发生直接引起顶事件发生,基本事77

基本事件元的结构重要度系数Iφ(i)定义为基本事件的危险割集的总数nф(i)与2n-1个状态组合数的比值,即:

11/18/2022.基本事件元的结构重要度系数Iφ(i)定义为基本事件782.基本事件的割集重要度系数

用事故树的最小割集可以表示其等效事故树。在最小割集所表示的等效事故树中,每一个最小割集对顶事件发生的影响同样重要,而且同一个最小割集中的每一个基本事件对该最小割集发生的影响也同样重要

设某一事故树有k个最小割集,每个最小割集记作Er(r=1,2……,k),则1/k表示单位最小割集的重要系数;第r个最小割集Er中含有mr(Xi€Er)个基本事件,则1/mr(Xi€Er)表示基本事件Xi的单位割集重要系数。

设基本事件Xi的割集重要系数为Ik(i),则:

11/18/2022.2.基本事件的割集重要度系数

用事故树的最小割集79

利用基本事件的结构重要度系数可以较准确地判定基本事件的结构重要度顺序,但较烦琐。一般可以利用事故树的最小割集或最小径集,按以下准则定性判断基本事件的结构重要度。

(1)单事件最小割(径)集中的基本事件结构重要度最大。

(2)仅在同一最小割(径)集中出现的所有基本事件结构重要度相等。

(3)两个基本事件仅出现在基本事件个数相等的若干最小割(径)集中,这时在不同最小割(径)集中出现次数相等的基本事件其结构重要度相等;出现次数多的结构重要度大,出现次数少的结构重要度小。

11/18/2022.

利用基本事件的结构重要度系数可以较准确地判定基本事件80(4)两个基本事件仅出现在基本事件个数不等的若干最小割(径)集中。在这种情况下,基本事件结构重要度大小依下列不同条件而定:

①若它们重复在各最小割(径)集中出现的次数相等,则少事件最小割(径)集中出现的基本事件结构重要度大;

②在少事件最小割(径)集中出现次数少的,与多事件最小割(径)集中出现次数多的基本事件比较,应用下式计算近似判别值:

式中I(i)--基本事件Xi

结构重要系数的近似判别值;

ni--基本事件Xi所属最小割(径)集包含的基本事件数。

11/18/2022.(4)两个基本事件仅出现在基本事件个数不等的若干最小割(径81

二、基本事件的概率重要度

基本事件的结构重要度分析只是按事故树的结构分析各基本事件对顶事件的影响程度,所以,还应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的影响,即对事故树进行概率重要度分析。

事故树的概率重要度分析是依靠各基本事件的概率重要系数大小进行定量分析。所谓概率重要度分析,它表示第i个基本事件发生概率的变化引起顶事件发生概率变化的程度。由于顶事件发生概率函数是n个基本事件发生概率的多重线性函数,所以,对自变量qi求一次偏导,即可得到该基本事件的概率重要度系数Ig(i)为:

式中P(T)--顶事件发生概率;

qi--第i个基本事件的发生概率。

11/18/2022.

二、基本事件的概率重要度

基本事件的结构重要度分82

利用上式求出各基本事件的概率重要度系数,可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地降低顶事件的发生概率。

概率重要度有一个重要性质:若所有基本事件的发生概率都等于1/2,则基本事件的概率重要度系数等于其结构重要度系数,即:

Ig(i)|qi=1/2=Iφ(I)(3-31)

这样,在分析结构重要度时,可用概率重要度系数的计算公式求取结构重要度系数。

11/18/2022.利用上式求出各基本事件的概率重要度系数,可确定降低哪83

三、基本事件的关键(临界)重要度

当各基本事件发生概率不等时,一般情况下,改变概率大的基本事件比改变概率小的基本事件容易,但基本事件的概率重要度系数并未反映这一事实,因而它不能从本质上反映各基本事件在事故树中的重要程度。关键重要度分析,它表示第i个基本事件发生概率的变化率引起顶事件发生概率的变化率,因此,它比概率重要度更合理更具有实际意义。其表达式为:

式中Igc(i)--第i个基本事件的关键重要度系数;

Ig(i)--第i个基本事件的概率重要度系数;

P(T)--顶事件发生概率;

qi--第i个基本事件的发生概率。11/18/2022.

三、基本事件的关键(临界)重要度

当各基本事件84以图3-12事故树模型为例,计算各基本事件的结构重要度系数、割集重要度系数、概率重要度系数、关键重要度系数。假设各基本事件的发生概率同前。

解:①基本事件的结构重要度系数:

事故树中有五个基本事件,必有25=32种状态,查表3-5,并由式(3-27)得:

11/18/2022.以图3-12事故树模型为例,计算各基本事件的结构85

表3-5基本事件状态值与顶事件状态值X1X2X3X4X5Φ(0i.,Xj)X1X2X3X4X5Φ(1i,,Xj)0OOOOO1OOOOO0OOO1O1OOO1O0OO1OO1OO1O10OO11O1OO1110O1OOO1O1OOO0O1O111O1O110O11OO1O11O10O11111O111101OOOO11OOOO01OO1O11OO1O01O1OO11O1O101O11O11O111011OOO111OO1011O11111O110111OO1111O101111111111111/18/2022.

表3-5基本事件状态值与顶事件状态值X1X2X3X4X586同理,可求得其余各基本事件的结构重要度系数为:

IФ(2)=1/16,IФ(3)=7/16,IФ(4)=5/16,IФ(5)=5/16,

②已知该事故树有三个最小割集:

E1={X1,X4};E2={X3,X5};E3={X1,X2,X3}

每个最小割集中的基本事件的个数分别为:m1=2;m2=2;m2=3。所以由式(3-28)得基本事件Xl的割集重要系数为:

Ik(1)=(1/m1+1/m3)1/k=1/9(k=3)

同理:Ik(2)=(1/m3)1/k=5/18

Ik(3)=(1/m2+1/m3)1/k=5/18

Ik(4)=(1/m1)1/k=1/6

Ik(5)=(1/m2)1/k=1/6

11/18/2022.同理,可求得其余各基本事件的结构重要度系数为:

I87③基本事件的概率重要度:

由前面的计算可得:

P(T)=q1q2q3+q1q4+q3q5-q1q2q3q4-q1q3q4q5-qlq2q3q5+qlq2q3q4q5

所以,由式(3-30)得:

11/18/2022.③基本事件的概率重要度:

由前面的计算可得:

8811/18/2022.11/9/2022.89

④基本事件的关键重要度:

由式(3-32)得:

11/18/2022.

④基本事件的关键重要度:

由式(3-32)得:

90从以上计算结果可知,基本事件割集重要度系数与结构重要度系数顺序相同,其基本事件结构重要度顺序为:

Iφ(1)=Iφ(3)>Iφ(4)=Iφ(5)>Iφ(2)

基本事件概率重要度顺序为:

Ig(3)>Ig(1)>Ig(5)>Ig(4)>Ig(2)

基本事件的关键重要度顺序为:

Icg(3)>Icg(5)>Icg(1)>Icg(4)>Icg(2)

分析:

a.从结构重要度分析可知:基本事件X1、X3对顶事件发生的影响最大,基本事件X4、X5的影响次之,而基本事件X2的影响最小。

b.从概率重要度分析知:降低基本事件X3的发生概率,能迅速有效地降低顶事件的发生概率,其次是基本事件X1、X5、X4,而最不重要、最不敏感的是基本事件X2.

c.从关键重要度分析知:基本事件X3不仅敏感性强,而且本身发生概率较大,所以它的重要度仍然最高;但由于基本事件X1发生概率较低,对它作进一步改善有一定困难;而基本事件X5敏感性较强,本身发生概率又大,所以它的重要度提高了。

11/18/2022.从以上计算结果可知,基本事件割集重要度系数与结构重要度系数91三种重要度系数中,结构重要度系数是从事故树结构上反映基本事件的重要程度,这给系统安全设计者选用部件可靠性及改进系统的结构提供了依据;概率重要度系数是反映基本事件发生概率的变化对顶事件发生概率的影响,为降低基本事件发生概率对顶事件发生概率的贡献大小提供了依据;关键(临界)重要度系数从敏感度和基本事件发生概率大小反映对顶事件发生概率大小的影响,所以,关键重要度比概率重要度和结构重要度更能准确地反映基本事件对顶事件的影响程度,为找出最佳的事故诊断和确定防范措施的顺序提供了依据。

11/18/2022.三种重要度系数中,结构重要度系数是从事故树结构92第93页第五部分

课堂练习11/18/2022.第93页第五部分11/9/2022.93蒸汽锅炉缺水爆炸事故树分析事件原因顶上事件锅炉缺水缺水警报器失灵、水位下降、未察觉水位下降给水故障、排污阀故障给水故障管道阀门故障、自动给水调节失灵、停水、给水泵损坏、没蒸汽泵、爆管排污阀故障阀关闭不严、未关闭未察觉判断失误、工作失误判断失误叫水失误、假水位叫水失误忘记叫水、叫水不足假水位水位计损坏、没定期冲洗、水位计安装不合理、汽水共腾汽水共腾碱度高、汽水旋塞关闭要求：画出事故树和成功树，求成功树的最小径集，求结构重要度，给出防止事故的方案11/18/2022.蒸汽锅炉缺水爆炸事故树分析事件原因顶上事件锅炉缺水缺94事故树11/18/2022.事故树11/9/2022.95成功树11/18/2022.成功树11/9/2022.96第97页谢谢!11/18/2022.第97页谢谢!11/9/2022.97事故树分析方法FTA核资源与安全工程学院叶勇军11/18/2022.事故树分析方法FTA核资源与安全工程学院11/9/202298第99页第一部分概述第二部分事故树的建造及其数学描述第三部分事故树的定性分析第四部分事故树的定量分析第五部分课堂练习11/18/2022.第2页第一部分概述11/9/2022.99第100页第一部分

概述11/18/2022.第3页第一部分11/9/2022.100第101页一、名称FTA

FaultTreeAnalysis事故树分析故障树分析失效树分析11/18/2022.第4页一、名称FTA11/9/2022.101二、方法由来及特点

美国贝尔电话实验室——维森（H.A.Watson）民兵式导弹发射控制系统的可靠性分析分析事故原因和评价事故风险方法特点演绎方法全面、简洁、形象直观定性评价和定量评价11/18/2022.二、方法由来及特点美国贝尔电话实验室——维森（H.A.W102目的：找出事故发生的基本原因和基本原因组合适用范围：分析事故或设想事故使用方法：由顶上事件用逻辑推导逐步推出基本原因事件资料准备：有关生产工艺及设备性能资料，故障率数据人力、时间：专业人员组成小组，一个小型单元需时一天效果：可定性及定量，能发现事先未估计到的原因事件11/18/2022.目的：找出事故发生的基本原因和基本原因组合11/9/2022103三、事故树分析的程序

熟悉系统确定顶上事件修改简化事故树建造事故树调查事故调查原因事件收集系统资料定性分析定量分析制定安全措施11/18/2022.三、事故树分析的程序熟悉系统确定顶上事件修改简化事故树建造10411/18/2022.11/9/2022.105第106页第二部分

事故树的建造及其数学描述

11/18/2022.第9页第二部分11/9/2022.1061、事故树的符号事件符号

顶上事件、中间事件符号，需要进一步往下分析的事件；

基本事件符号，不能再往下分析的事件；

正常事件符号，正常情况下存在的事件；

省略事件，不能或不需要向下分析的事件。一、事故树的建造11/18/2022.1、事故树的符号一、事故树的建造11/9/2022.107或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以发生（输出）；

与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，A事件才能发生（输出）；

逻辑门符号

11/18/2022.或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以108或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以发生（输出）；

与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，A事件才能发生（输出）；

逻辑门符号

11/18/2022.或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，A事件都可以109条件或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，还必须满足条件a，A事件才发生（输出）；

条件与门，表示B1、B2两个事件同时发生（输入）时，还必须满足条件a，A事件才发生（输出）；

限制门，表示B事件发生（输入）且满足条件a时，A事件才能发生（输出）。11/18/2022.条件或门，表示B1或B2任一事件单独发生（输入）时，还必须满110

转入符号，表示在别处的部分树，由该处转入（在三角形内标出从何处转入）；

转出符号，表示这部分树由此处转移至他处（在三角形内标出向何处转移）。

转移符号

11/18/2022.转移符号11/9/2022.1112、事故树的建造方法顶上事件中间事件基本事件直接原因事件可以从以下三个方面考虑：

机械（电器）设备故障或损坏；

人的差错（操作、管理、指挥）；

环境不良。11/18/2022.2、事故树的建造方法顶上事件中间事件基本事件直接原因事件可以112举例：对油库静电爆炸进行事故树分析汽油、柴油作为燃料在生产过程中被大量使用，由于汽油和柴油的闪点很低，爆炸极限又处于低值范围，所以油料一旦泄漏碰到火源，或挥发后与空气混合到一定比例遇到火源，就会发生燃烧爆炸事故。火源种类较多，有明火、撞击火花、雷击火花和静电火花等。试对静电火花造成油库爆炸做一事故树分析。11/18/2022.举例：对油库静电爆炸进行事故树分析11/9/2022.11311/18/2022.11/9/2022.114二、事故树的数学描述1、事故树的结构函数结构函数——描述系统状态的函数。xi=1表示单元i发生（即元、部件故障）（i=1,2,…,n）0表示单元i不发生（即元、部件正常）（i=1,2,…,n）y=1表示顶上事件发生0表示顶上事件不发生y=Φ(X)或y=Φ(x1,x2,…,xn)Φ(X)——系统的结构函数11/18/2022.二、事故树的数学描述1、事故树的结构函数结构函数——描述系统115Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+

x2[x4+(x3x5)]11/18/2022.Φ(X)=x1[x3+(x4x5)]+x21162、结构函数的运算规则①结合律（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）（A·B）·C＝A·（B·C）②交换律A＋B＝B＋AA·B＝B·A③分配律A·（B＋C）＝（A·B）＋（A·C）A＋（B·C）＝（A＋B）·（A＋C）11/18/2022.2、结构函数的运算规则①结合律11/9/2022.117④等幂律A＋A＝AA·A＝A⑤吸收律A＋A·B＝AA·（A＋B）＝A⑥互补律A＋A´＝１A·A´＝０⑦对合律（A´）´＝A⑧德·莫根律（A＋B）´＝A´·B´（A·B）´＝A´＋B´11/18/2022.④等幂律11/9/2022.118练习1：写出如下事故树的结构函数11/18/2022.练习1：写出如下事故树的结构函数11/9/2022.119练习2：写出如下事故树的结构函数11/18/2022.练习2：写出如下事故树的结构函数11/9/2022.120第121页第三部分

事故树的定性分析

11/18/2022.第24页第三部分11/9/2022.121一、利用布尔代数化简事故树11/18/2022.一、利用布尔代数化简事故树11/9/2022.122等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.123练习1：化简该事故树，并做出等效图11/18/2022.练习1：化简该事故树，并做出等效图11/9/2022.124等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.125练习2：化简该事故树，并做出等效图11/18/2022.练习2：化简该事故树，并做出等效图11/9/2022.126等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.127二、最小割集与最小径集1、割集和最小割集

割集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都发生时，顶上事件必然发生。如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集。也就是导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。11/18/2022.二、最小割集与最小径集1、割集和最小割集割集：事故树中1282、最小割集的求法行列法

布尔代数化简法行列法行列法是1972年由富赛尔(Fussel)提出的，所以又称富塞尔法。从顶上事件开始，按逻辑门顺序用下面的输入事件代替上面的输出事件，逐层代替，直到所有基本事件都代完为止。布尔代数化简法事故树经过布尔代数化简，得到若干交集的并集，每个交集实际就是一个最小割集。11/18/2022.2、最小割集的求法行列法布尔代数化简法行129用行列法和布尔代数化简法求最小割集11/18/2022.用行列法和布尔代数化简法求最小割集11/9/2022.130等效事故树11/18/2022.等效事故树11/9/2022.131练习：用行列法求该事故树的最小割集11/18/2022.练习：用行列法求该事故树的最小割集11/9/2022.132

径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发生时，顶上事件必然不发生。如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，这样的径集就称为最小径集。也就是不能导致顶上事件发生的最低限度的基本事件组合。3、径集和最小径集11/18/2022.径集：事故树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发1334、最小径集的求法最小径集的求法是将事故树转化为对偶的成功树，求成功树的最小割集即事故树的最小径集。11/18/2022.4、最小径集的求法11/9/2022.134画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树2、求成功树的最小割集3、原事故树的最小径集11/18/2022.画出成功树，求原树的最小径集1、画成功树11/9/2022.135成功树11/18/2022.成功树11/9/2022.136练习：1、求其最小割集2、画成功树3、求成功树的最小割集4、原事故树的最小径集5、画出以最小割集表示的事故树的等效图6、画出以最小径集表示的事故树的等效图11/18/2022.练习：1、求其最小割集11/9/2022.137成功树11/18/2022.成功树11/9/2022.13811/18/2022.11/9/2022.1395.最小割集和最小径集在事故树分析中的作用

（一）最小割集在事故树分析中的作用

最小割集在事故树分析中起着非常重要的作用,归纳起来有四个方面:

(1)表示系统的危险性。最小割集的定义明确指出,每一个最小割集都表示顶事件发生的一种可能,事故树中有几个最小割集,顶事件发生就有几种可能。从这个意义上讲,最小割集越多,说明系统的危险性越大。

(2)表示顶事件发生的原因组合。事故树顶事件发生,必然是某个最小割集中基本事件同时发生的结果。一旦发生事故,就可以方便地知道所有可能发生事故的途径,并可以逐步排除非本次事故的最小割集,而较快地查出本次事故的最小割集,这就是导致本次事故的基本事件的组合。显而易见,掌握了最小割集,对于掌握事故的发生规律,调查事故发生的原因有很大的帮助。11/18/2022.5.最小割集和最小径集在事故树分析中的作用

（一）最小割集在140(3)为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割集都代表了一种事故模式。由事故树的最小割集可以直观地判断哪种事故模式最危险,哪种次之,哪种可以忽略,以及如何采取措施使事故发生概率下降。若某事故树有三个最小割集,如果不考虑每个基本事件发生的概率,或者假定各基本事件发生的概率相同,则只含一个基本事件的最小割集比含有两个基本事件的最小割集容易发生;含有两个基本事件的最小割集比含有五个基本事件的最小割集容易发生。(4)利用最小割集可以判定事故树中基本事件的结构重要度和方便地计算顶事件发生的概率。

11/18/2022.(3)为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施。每个最小割141（二）最小径集在事故树分析中的作用

(1)表示系统的安全性。最小径集表明,一个最小径集中所包含的基本事件都不发生,就可防止顶事件发生。可见,每一个最小径集都是保证事故树顶事件不发生的条件,是采取预防措施,防止发生事故的一种途径。从这个意义上来说,最小径集表示了系统的安全性。

(2)选取确保系统安全的最佳方案。每一个最小径集都是防止顶事件发生的一个方案,可以根据最小径集中所包含的基本事件个数的多少、技术上的难易程度、耗费的时间以及投入的资金数量,来选择最经济、最有效地控制事故的方案。

(3)利用最小径集同样可以判定事故树中基本事件的结构重要度和计算顶事件发生的概率。在事故树分析中,根据具体情况,有时应用最小径集更为方便。就某个系统而言,如果事故树中与门多,则其最小割集的数量就少,定性分析最好从最小割集入手。反之,如果事故树中或门多,则其最小径集的数量就少,此时定性分析最好从最小径集入手,从而可以得到更为经济、有效的结果。

11/18/2022.（二）最小径集在事故树分析中的作用

(1)表示系统的142第143页第四部分

事故树的定量分析

11/18/2022.第46页第四部分11/9/2022.143一.基本事件的发生概率(1)系统的单元故障概率

基本事件的发生概率包括系统的单元(部件或元件)故障概率及人的失误概率等,在工程上计算时,往往用基本事件发生的频率来代替其概率值。

在工程实践中可以通过系统长期的运行情况统计其正常工作时间、修复时间及故障发生次数等原始数据,就可近似求得系统的单元故障概率。

11/18/2022.一.基本事件的发生概率(1)系统的单元故障概率11/9/20144(2)人的失误概率

人的失误是另一种基本事件,系统运行中人的失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或失误的概率,它表示人的失误的可能性大小,因此,人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据人的不可靠度与人的可靠度互补的规则,获得人的失误概率。11/18/2022.(2)人的失误概率

11/9/2022.145二.顶事件的发生概率(1)状态枚举法

顶事件的发生概率P(T)可用下式定义:

从式(3-17)可看出:在n个基本事件两种状态的所有组合中,只有当φp(X)=1时,该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时,只需考虑φp(X)=1的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表,根据事故树的结构求得结构函数φp(X)值,最后求出使φp(X)=1的各基本事件对应状态的概率积的代数和,即为顶事件的发生概率。

11/18/2022.二.顶事件的发生概率11/9/2022.146(2)最小割集法

事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时,顶事件等于最小割集的并集。设某事故树有是个最小割集:E1、E2、…、Er、…、Ek,则有:顶事件的发生概率为：

设各基本事件的发生概率为:q1、q2、…、qn,则顶事件的发生概率为:

安全系统工程11/18/2022.(2)最小割集法安全系统工程11/9/2022.147(3)最小径集法

由最小径集的定义可知,只要k个最小径集中有一个不发生,顶事件就不会发生,则:

即：

故顶事件的发生概率为：

安全系统工程11/18/2022.(3)最小径集法安全系统工程11/9/2022.148三、基本计算公式1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式P0=g(x1+x2+…+xn)=1－(1－q1)(1－q2)…(1－qn)2、逻辑乘（与门连接的事件）的概率计算公式PA=g(x1·x2·

…·xn)=q1q2…qn11/18/2022.三、基本计算公式1、逻辑加（或门连接的事件）的概率计算公式P149四、直接分步算法各基本事件的概率分别为：q1=q2=0.01q3=q4=0.02q5=q6=0.03q7=q8=0.04求顶上事件T发生的概率11/18/2022.四、直接分步算法各基本事件的概率分别为：11/9/2022.150五、利用最小割集计算例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x3,x4,x5},{x6,x7}。各基本事件发生概率分别为：q1，q2，…，q7

，求顶上事件发生概率。画出等效事故树用分步计算法计算顶上事件的发生概率11/18/2022.五、利用最小割集计算例：设某事故树有3个最小割集：{x1151等效事故树该方法适用于各个最小割集中彼此没有重复的基本事件11/18/2022.等效事故树该方法适用于各个最小割集中彼此没有重复的基本事件1152例：设某事故树有3个最小割集：{x1,x2},{x2,x3,x4},{x2,x5}。各基本事件发生概率分别为：