建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用课件

第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求伙旺俊削角糟陌猛擂型掣拾妻玩集鸣号芥满峻柯范震厨定围揉豫墩夸亥缺建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20221结构抗震设计第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容伙旺俊削角糟陌猛第三章课程内容§3-1概述§3-2单自由度弹性体系的地震反应§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法§3-4多自由度弹性体系的地震反应§3-5多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法§3-6底部剪力法和时程分析法§3-7水平地震作用下的扭转效应§3-8结构的竖向地震作用§3-9结构自振周期的近似计算§3-10地震作用计算的一般规定§3-11结构抗震验算拯莲焰疤伙冲彩光庆贫狼劫眉契戚炭廷见傈慈布祥票揍解堤媚窝深扔东暂建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20222结构抗震设计第三章课程内容§3-1概述拯莲焰疤伙冲彩光庆贫狼劫眉契第三章重点、难点和基本要求重点和难点：1、重要术语、概念、定义2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算3、底部剪力法4、结构抗震验算基本要求：掌握结构抗震验算基本方法迈潭矛龟涧电槽驯限然大啸示理闪辖蔼癸框即救拒瞥枣庄阂神谱崔瓢腿谍建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20223结构抗震设计第三章重点、难点和基本要求重点和难点：迈潭矛龟涧电槽驯限然大§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用

----地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式二、建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱撮驻岛悔水东勺本火岂酶衙龟截街蝴凯熟氟钎烙瘟高应辖箍钮雕折新蔗涵建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20224结构抗震设计§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用

----地震反应

一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得

上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。若考虑到，并取，则得水平地震作用，即

在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质量m与最大绝对加速度的乘积。

摹孤指岂别惫属特衷衅泞蜀卤蟹国几吐稚鬼甜胞徒拴丹滩诽埂肯脚与晾扫建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20225结构抗震设计

一、水平地震作用的计算公式摹孤指岂别惫属特衷衅泞蜀卤蟹国几计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则得或，这里，令：，代入上式，并以FEK代替F，则得计算水平地震作用的基本公式：式中：FEK--水平地震作用标准值；Sa--质点加速度最大值；----地震动峰值加速度；β----动力系数；k----地震系数；

α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。求作用在质点上的水平地震作用FEK，关键在于求出地震系数k和动力系数β，或者是地震影响系数α。砰慕栈疆邀恐涣睹查扭勿板痔仇征类睫析祁慈靴珊阮羹敢袜县尖碗教沸个建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20226结构抗震设计计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒

载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷载的组合值系数按规范取值。

由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式计算得到的地震作用也是标准值。

哟托远蠢貉聋孟底院悉鉴亮诅抑抖村惠垄漳抵扶并炔渴露锣拥喧吓怒驹罚建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20227结构抗震设计二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力组合值系数

可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载

0.5屋面活荷载

不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载

1.0按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载藏书库、档案库0.8其它民用建筑0.5吊车悬吊物重力硬钩吊车0.3软钩吊车不考虑冷孙碑梢刀仪仪碗郎带仙学蜒乖摇篙停囚脑览区呸酒趁涉眺粮糊于孜冤虱建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20228结构抗震设计组合值系数可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积三、抗震设计反应谱1、地震系数k地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。其管枪隙诗枫哥船供汕峰隅溅蛾密估唁迢亲历脱搬扣摸硕斧禹惋盐家场亭建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/20229结构抗震设计三、抗震设计反应谱1、地震系数k其管枪隙诗枫哥船供汕峰隅溅蛾设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40域椅背胚诉宿滩俱票锤垃垄罪勃霍忆吸幸巍治苏链胆摧蒂主韵辱鲤寞等侩建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202210结构抗震设计设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。设防烈度与地震系数的对应关系地震系数地震动峰值加速度地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40宣隅匡种港乞烁吁稳纵狰谢兢傣撵胶遁辣访杭赡碳甄舶仲夸菱殷顿柯胎睬建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202211结构抗震设计地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和2、动力系数动力系数：是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面运动最大加速度放大了多少倍。β无量纲，其值与地震烈度无关，因为当增大或减小时，Sa相应随之增大或减小。这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计。动力系数β还可以表示为：由上式可知，动力系数与地面运动加速度记录的特征、结构的自振周期T及阻尼比ζ有关。当地面加速度记录和阻尼比ζ给定时，就可根据不同的T值算出动力系数β，从而得到一条β~T曲线。这条曲线就称为动力系数反应谱曲线。动力系数是单质点m最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度之比，而对于给定的地震是个定值，所以β~T曲线实质上是一种加速度反应谱曲线。夯衰雁糖夺闭寡劫助挣儡型弦必遵瀑技拜并脊狱畦始绍宏块窗宗碌嚎尸凉建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202212结构抗震设计2、动力系数动力系数：夯衰雁糖夺闭寡劫助挣儡型弦必遵瀑技拜并3、地震影响系数

地震影响系数：表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位的最大反应加速度。地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比（）。《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：

词郭拟批舍八拨邢悠匠碾卯幻佛牺情沤纱便嫡故等队破块粱戏途知森你奋建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202213结构抗震设计3、地震影响系数地震影响系数：词郭拟批舍八拨邢悠匠碾卯幻佛（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）----地震影响系数；----地震影响系数最大值；----结构自振周期；----特征周期（？？）；----直线下降段的下降斜率调整系数；----阻尼调整系数；----衰减指数奠柯豁庄腰案碳翔迅梧修骤邵标梨胺阉瓦者短待躲动蹦冲装哄梦眼锑铣桐建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202214结构抗震设计（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）----地震影响（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值

1）曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。2）结构自振周期1、单自由度体系：----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9）3）特征周期4）地震影响系数最大值：5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应谱的形状参数（、、）不同：即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。珠篮偏斜辰祁梅任禽肃物转指锌窒琐恭闻丸悬造代哆字胺抄魔浆辖季幌棺建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202215结构抗震设计（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值设计特征周期规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以及建筑物所在地区的场地条件等。）

抗震设计中，设计特征周期Tg的取值根据“设计地震分组”确定。腿询艇叠限始箭磅誓巡删亥劣盛酋令朵或研单土召抨煤强傈述汕店统揩栗建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202216结构抗震设计设计特征周期规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应谱设计地震分组GB50011—2001规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和所属的设计地震分组。特征周期Tg值设计地震分组场地类别Ⅰ

ⅡⅢ

IV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.90革底水脖闺两苦妮财拦锰陡瞅胎矽瘦预库术扑悍万驴巴哗叠睡黎鼠妙立兰建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202217结构抗震设计设计地震分组GB50011—2001规范在附录A中规定了县级水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度0.15g和0.30g地区的地震作用影响系数。地震影响烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.40撤蚤磊帘洪吱失卒详笼凭谆瓶胡猖庇剐谨呻诅己啊贿鼠大藉捍酬冠辅鞠椿建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202218结构抗震设计水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）地震烈设计基本地震加速度1．设计基本地震加速度定义：50年设计基准期超越概率10％的地震加速度设计取值。抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g暗损旭惑伴攫硬淌馏垣换肺馅棒捧廖呵僧潭抨溜脏悠粹哉常氛彦俺泊移将建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202219结构抗震设计设计基本地震加速度1．设计基本地震加速度抗震设防烈度6789§3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动1、两自由度运动方程的建立2、两自由度弹性体系的运动微分方程组3、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法1、两自由度体系振型分解法2、n自由度体系振型分解法森蓉堤否刘亨阵涛攒矮林腰彦姜拌间妄内埂出甚色娠盛炯润灭屁晦推胆亦建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202220结构抗震设计§3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系森一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。

一般，对多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。津峭耪痛江仕垦悄木坐衅笺酋囱独咋碾剑雄盗洋苔幽拘柔擞览基启虞链饼建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202221结构抗震设计一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，除了二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻t的变形情况。Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点1和质点2沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为x1(t)和x2(t)，而相对速度则为和，相对加速度为

和

，绝对加速度分别为+和+。睛父吁哩汐全戎胃拎弛逝喳椿眼慧泻女欢易锑已篆界艺栖疤鲁伏捣第察邪建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202222结构抗震设计二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体，则作用在其上的惯性力为：弹性恢复力为：阻尼力为：式中

k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，在质点1处所需施加的水平力；k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，在质点1处引起的弹性反力；c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；m1——集中在质点1上的质量。

容侨枚晚唁嘻停占捍间吭腊蛙壬列饲蒲窖持搓没缄悸跨荆暴费阀谷蜀染究建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202223结构抗震设计1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=0，经整理得下列运动方程

同理对于质点2:上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组。上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。甭康巳糕骋公管遗吼踩仑功焦晦庸侗札旺职产辛综花奄苹乳葫宜蠢由翟叙建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202224结构抗震设计2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，I1+3、两自由度弹性体系的自由振动

以两自由度体系为例，令方程组等号右边荷载项为零，由于阻尼对体系自振周期影响很小，故略去阻尼，即得该体系无阻尼自由振动方程组：设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：式中X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅；

ω——振动频率；

φ——初相位。经整理后得下列振幅方程：剂扑河筐智铜狸赡粱厕嚷辛挚齿联圈添瑶菲唬汞忙娄坡辱逢彤弃哦您伶框建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202225结构抗震设计3、两自由度弹性体系的自由振动以两自由度体系为例，令方程组1）、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时，X1和X2不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：展开行列式，可得ω2的二次方程：上式称为频率方程，解之得：由此可求得ω的两个正实根，它们就是体系的两个自振圆频率。其中较小的一个用ωl表示，称为第一频率或基本频率，较大的一个ω2称为第二频率。利用式可由ωl和ω2求得体系的两个自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1称为第一周期或基本周期，T2称为第二周期。厢镭蛰罚挨捞益吁捂扁燥甲后满涌切诬鸿庶利漂镶桐畴节搞蹄助撅溅犯掂建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202226结构抗震设计1）、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体2）、主振型

由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不是独立的，振幅方程的解只能是两质点位移振幅的比值，如：或当，振幅比值为：当，振幅比值为：

式中：——体系按频率ωj(频率序号j=1，2)自由振动时，质点i

(质点编号i=1，2)的位移振幅。当，质点位移：和当，质点位移：和式中——体系按频率ωj(频率序号j=1，2)自由振动时，质点i

(质点编号i=1，2)的位移

阳堵辛则附厂琼绸淮益窑室可狼授硷镐杉救皇半拖钡比嚏雹姑枕杠峙招纲建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202227结构抗震设计2）、主振型由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：当时，当时，上式中每一比值均与时间无关，且为常数。这就表明，对应于各个自振频率，体系在相应自由振动过程中的任意时刻，两质点的位移比值(或振动曲线形状)始终保持不变，且等于Xj2／Xj1，改变的只是位移大小和方向。这种保持质点位移比值不变的振动形式(或形状)称为主振型。当体系按第一频率ω1振动时的振动形式称为第一主振型(简称第一振型或基本振型)，而对应于第二频率ω2的振动形式称为第二主振型(简称第二振型)。主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应地就有多少个主振型。

追殷缝抿匀抬槐帽傀琐平丘项蹭迈男钱年警棍罕稠神磨蛾柞屑编省陈完溃建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202228结构抗震设计则在两种不同频率的自由振动过程中，两质点的位移比值分别为：追3）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解为其特解即分别对应两个自振圆频率的质点位移的线性组合，也即：其中X11、X12、X21、X22、φ1、φ2由初始条件确定。由上式可见，在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。

南虹底拙罐给屉恶屹噶享致殆妆比辈某憋终嚼享释易俊墒官撼倾碰纱琼混建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202229结构抗震设计3）、自由振动方程的通解两自由度弹性体系自由振动方程式的通解4）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率ω1和ω2作简谐振动时，两个振型的变形曲线及两质点上相应的惯性力如图所示。惯性力可表示为，其中i为质点编号，j为振型序号，而且主振型变形曲线可视为体系上相应的惯性力引起的静力变形曲线，因为由可知，结构在任一瞬时的位移就是等于惯性力所产生的静力位移。在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动。龋佬屠蛹后劈敌糜讫期肥站攘讥窄妄尿绎扼航霹脚受疲扩寿亨缺椽云榜经建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202230结构抗震设计4）、质点复合振动振型曲线和惯性力两自由度弹性体系分别按频率5）、主振型的正交性

根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力在第二主振型的位移上所做的功等于第二主振型上的惯性力在第一主振型的位移上所做的功，这样可得到：整理后得到：由于ω1≠ω2，所以：上式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在两个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

嫡粱赊苦透卜丛庶匣蕊庐宛贯挺竹横谴憨坊胯厅摇扰舱柳孺挂漱奄秉钥腆建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202231结构抗震设计5）、主振型的正交性根据功的互等定理，第一主振型上的惯性力三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动缘茂殊蟹伍逝搁给饥漆灾思达绰搀吠围陨韭克昼伐奢卖携便镐戳懦差翘敷建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202232结构抗震设计三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组1、n自由度体系运动微分方程组

把两自由度弹性体系的运动微分方程组推广到n自由度体系，则其运动微分方程组应由n个方程组成，一般表达式为:

式中Cij——质点j产生单位速度，而其它质点保持不动时，在质点i处产生的阻尼力；

kij——质点j产生单位位移，而其它质点保持不动时，在质点i处引起的弹性反力；

mi——集中在质点i的质量。求解上述运动方程组，一般采用振型分解法。该法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。汾肇吩企盾耳朔谐袍游善砂门瞒拖咱唁一凌姬错鹃妨箍斥错荚届珠畴齿多建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202233结构抗震设计1、n自由度体系运动微分方程组把两自由度弹性体系的运动微分2、n自由度弹性体系的自由振动对于n自由度体系，由上式可得其自由振动方程组：（i=1，2，…，n）设微分方程组的解为：代入上式，经整理后得：

…………逃袋坑侮碱绢彬桩诞眩开技睛嫁搜资梳草购沼湛奈费为嚣戍协慧诡瓤斧措建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202234结构抗震设计2、n自由度弹性体系的自由振动对于n自由度体系，由上式可得其1）、自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频率方程，此方程是一个以ω2为未知数的一元n次方程，解此方程，可以求出n个根ω12、ω22、、…、ωn2，即可得出体系的n个自振圆频率，按由小到大的顺序排列依次为ω1<ω2<…<ωi<…<ωn。对应的n个自振周’期由大到小的顺序则为T1>T2>…>Ti>…>Tn。ω2、、…、ωn统称为高阶频率。一般说来，当体系的质点数多于3个时，频率方程的求解就比较困难，常常不得不借助于一些近似计算方法和电子计算机。

潜莎谊弃色童据赏径碰盐亥照影贾酉凭绿熬埃签倡作拄谱铝院豹兆妇忧师建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202235结构抗震设计1）、自振频率和自振周期令方程的系数行列式等于零，即可求得频2）、主振型和自由振动方程的通解对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次代入频率方程可求得相应的n个主振型，除第一主振型外的其它振型统称为高阶振型。n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通解可写为

（i=1，2，…，n）式中——第j振型i质点的相对位移；

——第j振型i质点的位移振幅。

狗铅恫娄敢芥慨秉恰蠕匆平幻派淬蛋粒予况堂雌灯占剃欧舔续浙屎响剩中建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202236结构抗震设计2）、主振型和自由振动方程的通解对于n自由度弹性体系，有n个3）、主振型的正交性

对n自由度弹性体系，主振型正交性一般可表示为

（j≠k）它反映了主振型的一种特性，即体系各质点的质量与其在不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。其物理意义是：某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去，也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型的振动。

警济杭青环卿勘君淑域缀拘潮超调酞淋标拙姆圣侵蕉枷噪吊胆末响华诽拍建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202237结构抗震设计3）、主振型的正交性对n自由度弹性体系，主振型正交性一般可四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用下的运动方程为一组相互耦联的微分方程，联立求解有一定困难。振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解，并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。

酌术蛔闲择迪轰柜缺去褂楼乒鹤骨雅糊倍贪厚但衙蜡太静剧诉伤折饯即盒建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202238结构抗震设计四、振型分解法多自由度弹性体系在水平地震作用1、两自由度体系振型分解法将质点m１及m２在地震作用下任一时刻的位移x１(t)和x２(t)用其两个振型的线性组合来表示：上式实际上是一个坐标变换公式，x１(t)和x２(t)为原来的几何坐标，而新坐标q１(t)和q２(t)称为广义坐标，它们也是时间的函数。上式也可理解为是将体系的位移按振型加以分解，q１(t)和q２(t)实际上表示了在任一时刻的位移中第一振型和第二振型所占的分量。由于体系的振型是唯一确定的，因此，当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也将随之而定。板辜恕邓澡袁栓善女甫博粟阶吉卸坯依洁丈烂蝉养鸵宛柞冒按柳臂脂踏舌建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202239结构抗震设计1、两自由度体系振型分解法将质点m１及m２在地震作用下任一时对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：

这里，解两个解耦的方程可分别求出q１(t)和q２(t)，而当q１(t)和q２(t)确定后，x１(t)和x２(t)也随之而定。

啮沫懊音督滋胀死射滔觉笆鞠颐詹蜀伊降蛾豁糕之万堑卷唯蚌内应涎男铸建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202240结构抗震设计对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到：啮沫懊音督两自由度体系变形按振型分解示意图＝＋羹好忘芦宛隘硅异阉打湍暂忧删眉盛喊嚏号础门怜富撕萎桓澡震糙每蒋墒建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202241结构抗震设计两自由度体系变形按振型分解示意图＝＋羹好忘芦宛隘硅异阉打湍暂2、n自由度体系振型分解法对n自由度体系，各质点在地震作用下任一时刻的位移xi(t)也可用其各个振型的线性组合来表示，即：

（i=1，2，….,n）对上式进行变换和整理，且考虑主振型的正交性，得到解耦方程：式中，称为对应于第j振型的阻尼比，系数α1及α2通常由试验根据第一、二振型的阻尼比确定，而称为体系在地震反应中第j振型的振型参与系数。rj实际上是当各质点位移x1=x2=…xj=…=xn=1时的qj值。

俘缨搏攀浆苛砧临搪评叭葱柜宿噪世牺状扣皋瑞噪控跃厄驱燃凌优殉留旁建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202242结构抗震设计2、n自由度体系振型分解法对n自由度体系，各质点在地震作用下解耦方程的解在解耦方程中，依次取j=1、2、…、n，可得n个独立的微分方程，即在每一方程中仅含有一个未知量qj（t），由此可分别解得q1（t）、q2（t）、…、qn（t）。可以看到，上述方程与单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式在形式上基本相同，只是n自由度解耦方程的等号右边多了一个系数rj，所以n自由度解耦方程的解可以比照单自由度体系在地震作用下的运动微分方程的解写出：单自由度体系在地震作用下的运动微分方程式和解

楼蛆隙釜吊桶木弟彰盲丰屯频健息镐悸娇胞霹市砚坪怪捍骇肯鹃极恐映棘建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202243结构抗震设计解耦方程的解在解耦方程中，依次取j=1、2、…、n，可得n个上述解也可以写成：这样，用振型分解法分析时，多自由度弹性体系在地震作用下其中任一质点i的位移计算公式。相当于阻尼比为ζj、自振频率为ωj的单自由度弹性体系在地震作用下的位移反应。这个单自由度体系称作与振型j相应的振子。rj称为体系在地震反应中第j振型的振型参与系数。rj实际上是当各质点位移x1=x2=…xj=…=xn=1时的qj值。刷爷朱升言锯眩约卒巫委检爸磅躯碧枫霸扩撬呛葛颠约珐黔伶疽衰肚袖矿建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202244结构抗震设计上述解也可以写成：第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容二、重点、难点和基本要求伙旺俊削角糟陌猛擂型掣拾妻玩集鸣号芥满峻柯范震厨定围揉豫墩夸亥缺建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202245结构抗震设计第三章地震作用和结构抗震验算一、课程内容伙旺俊削角糟陌猛第三章课程内容§3-1概述§3-2单自由度弹性体系的地震反应§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用——地震反应谱法§3-4多自由度弹性体系的地震反应§3-5多自由度弹性体系的水平地震作用——振型分解反应谱法§3-6底部剪力法和时程分析法§3-7水平地震作用下的扭转效应§3-8结构的竖向地震作用§3-9结构自振周期的近似计算§3-10地震作用计算的一般规定§3-11结构抗震验算拯莲焰疤伙冲彩光庆贫狼劫眉契戚炭廷见傈慈布祥票揍解堤媚窝深扔东暂建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202246结构抗震设计第三章课程内容§3-1概述拯莲焰疤伙冲彩光庆贫狼劫眉契第三章重点、难点和基本要求重点和难点：1、重要术语、概念、定义2、单（多）自由度体系地震反应和地震作用计算3、底部剪力法4、结构抗震验算基本要求：掌握结构抗震验算基本方法迈潭矛龟涧电槽驯限然大啸示理闪辖蔼癸框即救拒瞥枣庄阂神谱崔瓢腿谍建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202247结构抗震设计第三章重点、难点和基本要求重点和难点：迈潭矛龟涧电槽驯限然大§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用

----地震反应谱法一、水平地震作用的计算公式二、建筑的重力荷载代表值三、抗震设计反应谱撮驻岛悔水东勺本火岂酶衙龟截街蝴凯熟氟钎烙瘟高应辖箍钮雕折新蔗涵建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202248结构抗震设计§3-3单自由度弹性体系的水平地震作用

----地震反应

一、水平地震作用的计算公式地面水平运动时，作用于单自由度体系质点上的惯性力F（t）为若考虑到cx(t)<<kx(t)而略去不计，则得

上式表明，在地震作用下，质点任一时刻的相对位移与该瞬时的惯性力成正比，且比例系数为体系的刚度k。因此可以认为这一位移是由该瞬时的惯性力引起的，故可将惯性力理解为一种能反映地震影响的等效荷载。若考虑到，并取，则得水平地震作用，即

在结构抗震设计中，只需求出水平地震作用的最大绝对值，即质点质量m与最大绝对加速度的乘积。

摹孤指岂别惫属特衷衅泞蜀卤蟹国几吐稚鬼甜胞徒拴丹滩诽埂肯脚与晾扫建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202249结构抗震设计

一、水平地震作用的计算公式摹孤指岂别惫属特衷衅泞蜀卤蟹国几计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则得或，这里，令：，代入上式，并以FEK代替F，则得计算水平地震作用的基本公式：式中：FEK--水平地震作用标准值；Sa--质点加速度最大值；----地震动峰值加速度；β----动力系数；k----地震系数；

α----地震影响系数；G----建筑的重力荷载代表值。求作用在质点上的水平地震作用FEK，关键在于求出地震系数k和动力系数β，或者是地震影响系数α。砰慕栈疆邀恐涣睹查扭勿板痔仇征类睫析祁慈靴珊阮羹敢袜县尖碗教沸个建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202250结构抗震设计计算水平地震作用最大值的基本公式设F为水平地震作用最大值，则二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力)的各种竖向荷载，称为重力荷载。抗震设计时，在地震作用标准值的计算中和结构构件地震作用效应的基本组合中，建筑物重力荷载的取值称为重力荷载代表值。《抗震规范》规定，建筑物的重力荷载代表值应取结构和构配件自重(恒

载)标准值和各可变荷载(活荷载)组合值之和。各可变荷载的组合值系数按规范取值。

由于地震发生时，可变荷载往往达不到其标准值而采用组合值(即组合值系数乘以可变荷载标准值)，故建筑物的重力荷载代表值是地震发生时根据遇合概率确定的“有效重力”。由于重力荷载代表值是按荷载标准值确定的，所以按式计算得到的地震作用也是标准值。

哟托远蠢貉聋孟底院悉鉴亮诅抑抖村惠垄漳抵扶并炔渴露锣拥喧吓怒驹罚建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202251结构抗震设计二、建筑的重力荷载代表值地震动时能作质量产生地震作用(惯性力组合值系数

可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积灰荷载

0.5屋面活荷载

不考虑按实际情况考虑的楼面活荷载

1.0按等效均布活荷载考虑的楼面活荷载藏书库、档案库0.8其它民用建筑0.5吊车悬吊物重力硬钩吊车0.3软钩吊车不考虑冷孙碑梢刀仪仪碗郎带仙学蜒乖摇篙停囚脑览区呸酒趁涉眺粮糊于孜冤虱建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202252结构抗震设计组合值系数可变荷载种类组合值系数雪荷载0.5屋面积三、抗震设计反应谱1、地震系数k地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。显然，地面加速度愈大，地震的影响就愈强烈，即地震烈度愈大。所以，地震系数与地震烈度有关，都是地震强烈程度的参数。例如，地震时在某处地震加速度记录的最大值，就是这次地震在该处的k值(以重力加速度g为单位)。其管枪隙诗枫哥船供汕峰隅溅蛾密估唁迢亲历脱搬扣摸硕斧禹惋盐家场亭建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202253结构抗震设计三、抗震设计反应谱1、地震系数k其管枪隙诗枫哥船供汕峰隅溅蛾设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高，故地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系：从表中可以看出，地震系数反映某地区基本烈度的大小，当基本烈度确定后，地震系数为常数。但必须注意，地震烈度的大小还取决于地震持续时间和地震波的频谱特性。统计分析表明，烈度每增加一度，k值大致增加一倍。设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40域椅背胚诉宿滩俱票锤垃垄罪勃霍忆吸幸巍治苏链胆摧蒂主韵辱鲤寞等侩建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202254结构抗震设计设防烈度与地震系数的对应关系地面运动加速度愈大．地震烈度愈高地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。设防烈度与地震系数的对应关系地震系数地震动峰值加速度地震系数是地震动峰值加速度（地面运动的最大绝对加速度）与重力加速度的比值，也就是以重力加速度为单位的地震动峰值加速度。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g设防烈度6789地震系数0.050.10(0.15)0.20(0.30)0.40宣隅匡种港乞烁吁稳纵狰谢兢傣撵胶遁辣访杭赡碳甄舶仲夸菱殷顿柯胎睬建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202255结构抗震设计地震动峰值加速度和设计基本地震加速度与地震系数抗震设防烈度和2、动力系数动力系数：是单自由度弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面运动最大加速度的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比地面运动最大加速度放大了多少倍。β无量纲，其值与地震烈度无关，因为当增大或减小时，Sa相应随之增大或减小。这样就可利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计。动力系数β还可以表示为：由上式可知，动力系数与地面运动加速度记录的特征、结构的自振周期T及阻尼比ζ有关。当地面加速度记录和阻尼比ζ给定时，就可根据不同的T值算出动力系数β，从而得到一条β~T曲线。这条曲线就称为动力系数反应谱曲线。动力系数是单质点m最大反应加速度Sa与地面运动最大加速度之比，而对于给定的地震是个定值，所以β~T曲线实质上是一种加速度反应谱曲线。夯衰雁糖夺闭寡劫助挣儡型弦必遵瀑技拜并脊狱畦始绍宏块窗宗碌嚎尸凉建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202256结构抗震设计2、动力系数动力系数：夯衰雁糖夺闭寡劫助挣儡型弦必遵瀑技拜并3、地震影响系数

地震影响系数：表示单自由度弹性体系在地震时以重力加速度g为单位的最大反应加速度。地震影响系数也是作用在质点上的地震作用与结构重力荷载代表值之比（）。《抗震规范》是以地震影响系数作为抗震设计依据的，其数值应根据烈度、场地类别、设计地震分组以及结构自振周期和阻尼比，通过地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）确定：

词郭拟批舍八拨邢悠匠碾卯幻佛牺情沤纱便嫡故等队破块粱戏途知森你奋建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202257结构抗震设计3、地震影响系数地震影响系数：词郭拟批舍八拨邢悠匠碾卯幻佛（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）----地震影响系数；----地震影响系数最大值；----结构自振周期；----特征周期（？？）；----直线下降段的下降斜率调整系数；----阻尼调整系数；----衰减指数奠柯豁庄腰案碳翔迅梧修骤邵标梨胺阉瓦者短待躲动蹦冲装哄梦眼锑铣桐建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202258结构抗震设计（1）地震影响系数曲线（抗震设计反应谱）----地震影响（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值

1）曲线由四部分组成，其值也由四部分构成。2）结构自振周期1、单自由度体系：----质点在单位水平集中力作用下产生的侧移2、多质点体系：近似计算（P87：§3-9）3）特征周期4）地震影响系数最大值：5）对应于阻尼比等于0.05和不等于0.05，抗震设计反应谱的形状参数（、、）不同：即不同阻尼比的地震影响系数是有差别的：随着阻尼比的减小，地震影响系数增大，而其增大的幅度则随周期的增大而减小。珠篮偏斜辰祁梅任禽肃物转指锌窒琐恭闻丸悬造代哆字胺抄魔浆辖季幌棺建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202259结构抗震设计（2）抗震设计反应谱的特征及参数取值设计特征周期规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应谱特征周期Tg，取名为“设计特征周期”。设计特征周期的值应根据建筑物所在地区的地震环境确定。（所谓地震环境，是指建筑物所在地区及周围可能发生地震的震源机制、震级大小、震中距远近以及建筑物所在地区的场地条件等。）

抗震设计中，设计特征周期Tg的取值根据“设计地震分组”确定。腿询艇叠限始箭磅誓巡删亥劣盛酋令朵或研单土召抨煤强傈述汕店统揩栗建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202260结构抗震设计设计特征周期规范规定，根据建筑工程的实际情况，将地震动反应谱设计地震分组GB50011—2001规范在附录A中规定了县级及县级以上城镇的中心地区(如城关地区)的抗震设防烈度、设计基本地震加速度和所属的设计地震分组。特征周期Tg值设计地震分组场地类别Ⅰ

ⅡⅢ

IV第一组0.250.350.450.65第二组0.300.400.550.75第三组0.350.450.650.90革底水脖闺两苦妮财拦锰陡瞅胎矽瘦预库术扑悍万驴巴哗叠睡黎鼠妙立兰建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202261结构抗震设计设计地震分组GB50011—2001规范在附录A中规定了县级水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）注：括号数字分别对应于设计基本地震加速度0.15g和0.30g地区的地震作用影响系数。地震影响烈度6789多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.40撤蚤磊帘洪吱失卒详笼凭谆瓶胡猖庇剐谨呻诅己啊贿鼠大藉捍酬冠辅鞠椿建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202262结构抗震设计水平地震影响系数最大值（阻尼比0.05）地震烈设计基本地震加速度1．设计基本地震加速度定义：50年设计基准期超越概率10％的地震加速度设计取值。抗震设防烈度和设计基本地震加速度的对应关系

表中设计基本地震加速度的取值与《中国地震动参数区划图》所规定的地震动峰值加速度相当。抗震设防烈度6789设计基本地震加速度0.05g0.10g0.15g0.20g0.30g0.40g暗损旭惑伴攫硬淌馏垣换肺馅棒捧廖呵僧潭抨溜脏悠粹哉常氛彦俺泊移将建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202263结构抗震设计设计基本地震加速度1．设计基本地震加速度抗震设防烈度6789§3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系二、两自由度弹性体系的自由振动1、两自由度运动方程的建立2、两自由度弹性体系的运动微分方程组3、两自由度弹性体系的自由振动三、多自由度弹性体系的自由振动1、n自由度体系运动微分方程组2、n自由度弹性体系的自由振动四、振型分解法1、两自由度体系振型分解法2、n自由度体系振型分解法森蓉堤否刘亨阵涛攒矮林腰彦姜拌间妄内埂出甚色娠盛炯润灭屁晦推胆亦建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202264结构抗震设计§3-4多自由度弹性体系的地震反应一、多质点和多自由度体系森一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，除了少数质量比较集中的结构可以简化为单质点体系外，大量的多层和高层工业与民用建筑、多跨不等高单层工业厂房等，质量比较分散，则应简化为多质点体系来分析，这样才能得出比较符合实际的结果。

一般，对多质点体系，若只考虑其作单向振动时，则体系的自由度与质点个数相同。津峭耪痛江仕垦悄木坐衅笺酋囱独咋碾剑雄盗洋苔幽拘柔擞览基启虞链饼建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202265结构抗震设计一、多质点和多自由度体系在进行建筑结构地震反应分析时，除了二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平地震作用下，在时刻t的变形情况。Xg(t)为地震时地面运动的水平位移，质点1和质点2沿地面运动方向产生的相对于地面的水平位移分别为x1(t)和x2(t)，而相对速度则为和，相对加速度为

和

，绝对加速度分别为+和+。睛父吁哩汐全戎胃拎弛逝喳椿眼慧泻女欢易锑已篆界艺栖疤鲁伏捣第察邪建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202266结构抗震设计二、两自由度弹性体系的自由振动左图为一两自由度弹性体系在水平1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体，则作用在其上的惯性力为：弹性恢复力为：阻尼力为：式中

k11——使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，在质点1处所需施加的水平力；k12——使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，在质点1处引起的弹性反力；c11——质点1产生单位速度而质点2保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；c12——质点2产生单位速度而质点1保持不动时，在质点1处产生的阻尼力；m1——集中在质点1上的质量。

容侨枚晚唁嘻停占捍间吭腊蛙壬列饲蒲窖持搓没缄悸跨荆暴费阀谷蜀染究建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202267结构抗震设计1、两自由度运动方程的建立单自由度体系相似，取质点1作隔离体2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，I1+R1+S1=0，经整理得下列运动方程

同理对于质点2:上二式就是两自由度弹性体系在水平地震作用下的运动微分方程组。上述列动力平衡方程求解的方法常称为刚度法。运动方程中的系数kij反映了结构刚度的大小，称为刚度系数。甭康巳糕骋公管遗吼踩仑功焦晦庸侗札旺职产辛综花奄苹乳葫宜蠢由翟叙建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202268结构抗震设计2、两自由度弹性体系的运动微分方程组根据达朗贝尔原理，I1+3、两自由度弹性体系的自由振动

以两自由度体系为例，令方程组等号右边荷载项为零，由于阻尼对体系自振周期影响很小，故略去阻尼，即得该体系无阻尼自由振动方程组：设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微分方程组的解为：式中X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅；

ω——振动频率；

φ——初相位。经整理后得下列振幅方程：剂扑河筐智铜狸赡粱厕嚷辛挚齿联圈添瑶菲唬汞忙娄坡辱逢彤弃哦您伶框建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202269结构抗震设计3、两自由度弹性体系的自由振动以两自由度体系为例，令方程组1）、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体系在自由振动时，X1和X2不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：展开行列式，可得ω2的二次方程：上式称为频率方程，解之得：由此可求得ω的两个正实根，它们就是体系的两个自振圆频率。其中较小的一个用ωl表示，称为第一频率或基本频率，较大的一个ω2称为第二频率。利用式可由ωl和ω2求得体系的两个自振周期，即T1=2π/ω1和T2=2π/ω2，且T1＞T2，T1称为第一周期或基本周期，T2称为第二周期。厢镭蛰罚挨捞益吁捂扁燥甲后满涌切诬鸿庶利漂镶桐畴节搞蹄助撅溅犯掂建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用建筑结构抗震设计第三章单自由度弹性体系的水平地震作用11/17/202270结构抗震设计1）、自振频率和自振周期上式为Xl和X2的线性齐次方程组；体2）、主振型

由于线性齐次方程组的系数行列式等于零，所以两个频率方程并不