大学物理竞赛专题辅导之电学课件

大学物理竞赛培训电学第四讲理学院物理系张晚云大学物理竞赛培训电学第四讲理学院物理系一、场强与电通量的计算；二、电势、电场力做功的计算；四、与电容器、电介质有关的计算；五、电场能量的计算。三、静电平衡问题的计算；本讲主要内容大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算一、场强与电通量的计算；二、电势、电场力做功的计算；四、与电一、场强与电通量的计算对于点电荷系：对于连续带电体：应特别注意矢量的运算方法１直接积分法方法２典型带电体的场强场强叠加原理方法３利用高斯定理求特殊对称分布带电体的场强方法４利用场强与电势的关系大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算对于点电荷系：对于连续带电体：应特别注例1.很细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，两端空隙为2cm，电荷量为3.12×10-9C的正电荷均匀分布在细棒上。求圆心处场强的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：运用补偿法。圆心处的场强等于缺口段负电荷所产生的场强。<d<R缺口段的电荷可以看作为点电荷。∵´q=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO´=0.72

V/m方向由圆心指向缺口一、场强与电通量的计算大学物理竞赛培训第四讲例1.很细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，两端空则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=

其方向为由圆心O点指向

变1：真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为今在球面上挖去非常小块的面积ΔS(连同电荷)，不影响原来的电荷分布，且假设Q(Q>0)。大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=其方向为由圆心O点··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－腔内场强：半径为R1的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－均匀带电球内场强空腔内为匀强场。变2．在半径为R1，体电荷密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球中心O1间的距离为a，且R1＞a＞R2。求空腔内任一点的电场强度E。大学物理竞赛培训第四讲叠加一、场强与电通量的计算··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均[C]例2如图，一个带电量为q的点电荷位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd

的电场强度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算[C]例2如图，一个带电量为q的点电荷位于正立方体的变1.如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆形平面。设q在垂直于平面并通过圆心o的轴线上A点处，A点与圆心o点的距离为d试计算通过此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A点对平面所张的立体角为：通过整个球面(即立体角4π)为的电通量为qε0通过圆平面的电通量为=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算变1.如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆形平例3.半径为ao的球壳均匀带电量q，球壳外分布着体电荷，其密度仅与到球壳中心的距离r有关，若球壳外任一点的电场的大小相等，求电荷体密度ρ与r的关系。解：球壳外任一点的场强大小＝球壳表面处场强取半径分别为r和r+△r的两个同心球面作为高斯面由高斯定律：由此解得：大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算例3.半径为ao的球壳均匀带电量q，球壳外分布着体电荷，变1.设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用右式表示式中r是到圆住轴线的距离,ρ0是轴线处的电荷体密度,a是常量。试计算其场强分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先计算高斯面内的电量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πla2大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算变1.设气体放电形成的式中r是到圆住轴线的距离,ρ0是轴线处E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πla2高斯面内的电量为：理学院物理系张晚云大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+raqOO’d解：建立如图坐标系，由Gauss定理可得：x点电荷受力：点电荷在范围内作简谐振动例4、如图，在两平行无限大平面内是电荷体密度ρ(>0)的均匀带电空间。有一质量为m，电量为q(<0)的点电荷在带电板的边缘自由释放。在仅考虑电场力不考虑其他阻力的情况下，求该点电荷运动到中心对称面OO’的时间。大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算qOO’d解：建立如图坐标系，由Gauss定理可得：x点电荷二、电势（电势能）的计算对于点电荷系：对于连续带电体：标量直接求和方法Ⅰ直接积分法方法Ⅱ典型带电体的电势电势叠加原理方法Ⅲ场强积分法（沿电力线积分）熟记电偶极子、均匀带电圆环/圆盘、均匀带电球面/球体，无限长均匀带电圆柱面/柱体、无限大带电平面的E、Ｕ分布。大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算对于点电荷系：对于连续带电体：标量直例1、三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P、Q两点（均为相应正三角形的中心）的电势分别为和，若撤去BC棒，则P、Q两点的电势各为多少？BPQAC解：根据对称性，设AB、BC、CA三棒对P点的电势贡献及AC对Q点的电势贡献皆为AB、BC棒对Q点的电势贡献皆为撤去BC棒后，应有大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例1、三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷例2、如图，半径分别为R1与R2的均匀带电半球面相对放置，二半两球面上的面电荷密度为σ1与σ2

满足关系σ1R1=-σ1R2。(1)试证小球面所对的圆截面S为一等势面；(2)求等势面S上的电势。提示：将两半球面均补全为闭合球面因上述任一闭合带电球面内为等势体，则小球面所围区域内各点电势为各去掉一半时，由电势叠加大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例2、如图，半径分别为R1与R2的均匀带电半球面相对放置，二变1、在xOy平面上倒扣着一半径为R的均匀带电半球面，其面电荷密度为σ，A点的坐标为(0,R/2),B点的坐标为(3R/2,0),如图所示。则A、B两点处的电势差为_________。根据对称性BxryAC解：取如图所示C点(0,3R/2)补上下半球面成为完整球面后再由根据对称性大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算变1、在xOy平面上倒扣着一半径为R的均匀带电半球面，其面电··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－均匀带电球体内、外的场强：变2．在半径为R1，体电荷密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球中心O1间的距离为a，且R1＞a＞R2。求空腔中心处的电势。均匀带电球体内某点的电势大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均例3.如图，某质子加速器使每个质子获得2KeV的动能，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离d=r/2。假定质子与金属相碰后将其电荷全部交给金属球，经足够长时间后，金属球的最高电势（以无穷远处的电势为零）为

。qedr解：当金属球达到最高电势时，质子轨迹刚好与金属球相切。此时，质子与金属球组成的系统角动量守恒，且机械能守恒。大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例3.如图，某质子加速器使每个质子获得2KeV的动能，很细三、静电平衡问题的计算1、导体的静电平衡状态及其特点【静电平衡状态】导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动的状态.特点(a)导体内部任一点的电场强度都等于零(b)导体表面任一点的场强方向垂直于表面(c)整个导体为一等势体2、导体在静电平衡状态下的电荷分布(1)净电荷只能分布于导体的表面上.(2)导体表面任意点的电荷的面密度与该点附近的场强的关系.(3)孤立带电导体：电荷面密度与曲率半径成反比。大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算1、导体的静电平衡状态及其特点【静电平3、解决静电平衡问题的基本依据1.静电平衡的条件2.基本性质方程3.电荷守恒定律(没接地时）注：导体接地时，其电势必为零，但其表面电荷不一定为零大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算3、解决静电平衡问题的基本依据1.静电平衡的条件2.基本性质例1.面积为S的接地金属板，距板为d处有一点电荷+q(d很小)，则板上离点电荷最近处的感应电荷面密度σ=

。解：因金属板接地，在背离+q的面上无感应电荷，感应电荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由静电平衡条件：其中：大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算例1.面积为S的接地金属板，距板为d处有一点电荷+q(d很变1、带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放置，P为导体球表面附近一点，若无限大带电平面的面电荷密度为，P点附近导体球表面的面电荷密度为，则P点电场强度的大小等于__________。解：导体球达到静电平衡后，导体球为等势体，其内部场强为零，球表面的电荷形成稳定分布O此时，导体外表面附近的电场强度仅由该处电荷面密度决定：大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算变1、带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放置，P为导体球表q2q1d2d1ROQ提示：静电感应过程中总电量不变；静电平衡后，导体球为等势体。例2、如图所示，有一半径为R，带电量Q的导体球，在距球心O点d1处放置一已知点电荷q1，在距球心d2处再放置一点电荷q2，当q2电荷电量为_______时可使导体球电势为零（以无穷远处为电势零点）。大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算q2q1d2d1ROQ提示：静电感应过程中总电量不变；例2、电荷守恒:例3空腔导体球壳外有点电荷求：⑴感应电荷在O处的⑶空腔接地，求感应电荷的总量.已知:⑵腔内任一点的解:⑴感应电荷在O处的感应电荷在O处的电势:大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算电荷守恒:例3空腔导体球壳外有点电荷求：⑴感应电荷在O接地后，球壳电势:由电势叠加原理:导体为等势体:腔内任一点:⑵求腔内任一点的⑶空腔接地，求感应电荷的总量大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算接地后，球壳电势:由电势叠加原理:导体为等势体:腔内任一点:例4、如图所示，两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳半径为a，外球壳半径为b。另有一电量为Q的点电荷置于两球壳之间，距球心r处，则内球上的感应电荷q1=

，外球上的感应电荷q2=

。解：将两薄球壳视为一导体组，若不接地，由静电感应，系统将产生+Q感与-Q的感应电量，两者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算例4、如图所示，两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳半径为a，四、电介质中静电场的计算1、电介质中的电场强度2、极化电荷面密度:介质+真空导体+介质3、均匀、线性、各向同性电介质中的电极化强度：４、电位移:大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算1、电介质中的电场强度2、极化电荷面例1、在电荷面密度为的无限大带电导体板两侧分别充以介电常数与的均匀电介质，如图所示，则导体两侧电场强度的大小

，

。解：设加介质后导体板两侧的自由电荷面密度分别为由D的高斯定理，得设板两侧界面处的束缚电荷面密度为导体板两侧均相当于均匀无限大带电平面，为保证导体板内E=0，必有故两侧介质中的电场大小相等由(1)、(2)式可得大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例1、在电荷面密度为的无限大带电导体板两侧分别充以介电常数变1、厚度为d的无限大平板内分布有均匀电荷密度()的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为和的电介质，如图。（1）求板内外的电场分布；（2）板外的A点和B点分别距左右两板壁为l，求。提示：由电荷分布的特点可知，在板内一定存在一个E=0的平面(MM′)，它距左、右侧面分别为a、b.dllMM′abx板内板外AB大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算变1、厚度为d的无限大平板内分布有均匀电荷密度(例2、板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为的电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球P,电容器充电后P恰好处于平衡状态，断开电源后将电介质快速抽出,不计静电平衡经历的时间及带电球P对电容器极板电荷分布的影响，则P将经多久后到达某极板。提示：设小球质量为m电量为q，电容器极板面积S,电量为Q抽出电介质前P抽出电介质后由牛顿第二定律大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例2、板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分变1、如图，一直流电源与一水平放置的板间距为2d、其下半部分充满相对介电常量为的固态电介质的大平行板电容器相连，设此时图中带电小球P恰好处于平衡状态，现将电介质快速抽出,稳定后P将经t=

后到达某极板。提示：设小球质量为m电量为-q，抽出电介质前P+-抽出电介质后由牛顿第二定律大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算变1、如图，一直流电源与一水平放置的板间距为2d、其下半部分例3.如图，半径为R的金属球外面包一层相对介电常数为、外径为2R的均匀电介质壳，介质内均匀地分布着电量为

，的自由电荷，金属球接地，则介质壳的电势为

。解：金属球接地，U=0，其上电量设为q，介质壳内的场强为介质壳外的场强为故介质壳外表面的电势为大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例3.如图，半径为R的金属球外面包一层相对介电常数为、外五、电容器及其储能的计算大学物理竞赛培训第四讲1、电容器及其电容（1）孤立导体(无穷远处为电势零点)（2）双导体电容器（3）电容器的串并联熟记平行板电容器、球形电容器与圆柱形电容器的电容。五、电容器及其储能的计算大学物理竞赛培训第四讲1、电容器及其2、静电场的能量（1）点电荷系的相互作用能（2）连续带电体的静电能（自能）U为所有电荷元在dq（非点电荷）所在处激发的电势Ui为除qi

以外的所有电荷在qi处产生的电势（3）电容器的储能（4）一般静电场的能量大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算2、静电场的能量（1）点电荷系的相互作用能（2）连续带电体的五、电容器及其储能的计算例1:求两平行长直导线单位长度间的电容（导线半径a，轴线间距离d）解：设单位长度带电（导体内）（导体间）大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例1:求两平行长直导线单位长度间的例2一同轴圆柱形电容器，外导体筒的内径为b，内导体筒的外径可调，两筒间充满了各向同性均匀电介质。已知电介质的击穿场强为E0，试求该电容器所能承受的最大电压

xb解：设内筒的外径为x，内、外筒的电量线密度为λ、-λ,由高斯定理可得内、外筒的电势差为由(1)式知，最大场强（即击穿场强）为大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例2一同轴圆柱形电容器，外导体筒的内径为b，内导体筒的外径例3在长为L、内芯导线半径为a、外导体圆筒内径b的的同轴圆柱形电容器中充以相对介电常数为的固体电介质。则(1)若把该电容器与电势为U的电源相连后，抽出电介质一部分，当不计边缘效应时，为维持电介质拉出的位置不动，需多大的力，方向如何？(2)若与上述电源充电后，断开电源，则结果如何。解：同轴圆柱形电容器中充满电介质时的电容为当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(1)电介质的移动使电容器的储能发生变化，为维持两板间电压不变，电源必须做功。且电源的功转化为储能的增量和电力的功方向指向内部大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例3在长为L、内芯导线半径为a、外导体圆筒内径b的的同轴圆当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(2)电容器充电后断开电源，则电量固定。此时，储能的变化量等于电力的功方向指向内部注意：电容器内的电场有“吸引”电介质的作用！因此，当把电容器浸入液体介质中时，会使得液体在电容器内部上升形成液柱，当液柱的重力与上述静电引力相平衡时，液面不再上升。大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(2)六、有关电路的计算1、电阻大学物理竞赛培训第四讲对非均匀截面电阻：2、欧姆定律微分形式的欧姆定律：一段含源电路的欧姆定律：电流方向和电动势方向与A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有关电路的计算1、电阻大学物理竞赛培训第四讲对非均匀截面六、有关电路的计算4、基尔霍夫第一、第二定律大学物理竞赛培训第四讲对电路的“节点”：IiS节点(1)基尔霍夫第一定律规定从节点流出：

I

>0，流入节点：I

<0。(2)基尔霍夫第二定律在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。六、有关电路的计算4、基尔霍夫第一、第二定律大学物理竞赛培训六、有关电路的计算5、RC充、放电电路大学物理竞赛培训第四讲(1)电路似稳

(2)Kirchhoff方程仍然适用(3)时间常数充电：放电：六、有关电路的计算5、RC充、放电电路大学物理竞赛培训第1、电阻的计算例1：一电缆的芯线是半径为

r1的铜线，在铜线外包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外径为r2，电阻率为ρ，在绝缘层外又用铅层保护起来。当电缆在工作时，芯线与铅层之间存在着径向漏电电流。试求长为l的这种缆线的径向漏电电阻。分析：由于漏电电流沿径向通过不同截面的圆柱，因此绝缘层的电阻可视为无数圆柱薄层的电阻串联而成。解：在此绝缘层沿径向取半径为r、厚为dr的薄圆柱层，其电阻为：大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算1、电阻的计算例1：一电缆的芯线是半径为r1的铜线，在铜线例2：一长为L的金属接头具有如图所示的圆台状，电流从半径为r1的端面S1流向半径为r2的端面S2，且在任一截面上都是均匀分布的，试求：S1和S2面之间的电阻。O大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算例2：一长为L的金属接头具有如图所示的圆台状，电流从半径为例3：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚为t、内半径为r1，外半径为r2

的一层碳构成。A、B为引出端，环形碳膜总张角为,电流沿圆周曲线流动。求：A、B之间的电导？ABr1

r2

A、B

间电阻可视为由若干不同长度而截面相同的电阻并联而成。电导为：大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算例3：碳膜电位器中的碳膜，它是蒸敷在绝缘基片厚为t、内半径为2、欧姆定律的微分形式应用欧姆定律微分形式常涉及到电场和电势，它们之间仍有：例1：一高压输电线被风吹断，一端触地，从而使强度为I的电流由接触点流入地内，高地面水平，土地的电阻率为ρ，当人走近输电线接地端，左右两脚（间距为l）间的电压称为跨步电压.试求距触地点为L处的跨步电压。分析：高压线触地后，电流以触地点为球心，呈半球状沿径向流入地面，离地r处的电流密度为rab距触地点为L处的跨步电压离触地点越近，跨步电压越高。大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算2、欧姆定律的微分形式应用欧姆定律微分形式常涉及到电场和电势变1：在一块很大的电阻材料的水平表面上，竖直并排地插四根金属针，针间距都是d，针与表面接触良好。外边两针间接以电源，中间两针接电压表。设流过电源的电流为I,电压表读数为U.则材料的电阻率为

。分析：电阻材料中的电流是流入电流与流出电流（均以接触点为球心，呈半球状沿径向流入或流出）的叠加，当只有流入存在时，媒质中的电流密度为r电压表两端所在位置的电势差为dddab同理，当只有流出电流时，电压表两端所在位置的电势差为故电压表读数应为材料电阻率为大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算变1：在一块很大的电阻材料的水平表面上，竖直并排地插四根金属例2：球形电容器的两个极为两同心金属球壳，极间充满均匀各向同性的线性介质，其相对介电常数为。当电极带电后，其极上电荷量因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为ρ，t=0时，内外电极上电量分别为±Q，求电极上电量随时间减少的规律以及两极间与球心相距为r的任一点处的传导电流密度。解：取包围内电极，位于内外电极之间的任一闭合面，由电流连续性方程高斯定理因电流密度与电场均呈球对称，有0大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算例2：球形电容器的两个极为两同心金属球壳，极间充满均匀各向同变1：已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b(b>a)，中间充满电导率为，且，其中K为常数，现将两球壳维持恒定电压U，求两球壳间的电流。解：在两金属球壳间取半径为r的球面，则穿过此面的电流为而两金属球壳间的电势差大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算变1：已知两个同心金属球壳的半径分别为a、b(b>a)，中间例3、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分别为和；且。现将此电容器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面上的自由电荷与束缚电荷面密度。解：(1)两板间电阻+-故损耗功率为(2)由电流连续大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算例3、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一定导变1、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的介电常数、电导率和厚度分别为和；且。现将此电容器接至电压为U的电源上，。试求稳定时(1)电容器所损耗的功率P；(2)介质A和B中的电场能量WA和WB；(3)两介质交界面上的自由电荷与束缚电荷面密度。(3)在两介质交界面应用D的高斯定理，得+-由E的高斯定理，得大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算变1、一厚度为d、极板面积为S的平行板电容器有两层具有一定导例4、如图所示，电键S原来置于a端，电容器C已经被充满了电。现将S由a端掷向b端，直至电容器完全放完电。试证明：在此过程中，电容器原来所储存的能量完全转化为电阻器中的焦耳热。大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算证:把电容器C接在电动势为ε的电源上，充满电以后，电容器中储存的能量为：当电键S掷向b时，电容器经电阻R放电。放电过程中电流随时间的变化关系为：由此可计算出电阻R中的焦耳热：即电容器所储存的能量在放电过程中完全转化为电阻器中的焦耳热例4、如图所示，电键S原来置于a端，电容器C已经被充满了电。大学物理竞赛培训电学第四讲理学院物理系张晚云大学物理竞赛培训电学第四讲理学院物理系一、场强与电通量的计算；二、电势、电场力做功的计算；四、与电容器、电介质有关的计算；五、电场能量的计算。三、静电平衡问题的计算；本讲主要内容大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算一、场强与电通量的计算；二、电势、电场力做功的计算；四、与电一、场强与电通量的计算对于点电荷系：对于连续带电体：应特别注意矢量的运算方法１直接积分法方法２典型带电体的场强场强叠加原理方法３利用高斯定理求特殊对称分布带电体的场强方法４利用场强与电势的关系大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算对于点电荷系：对于连续带电体：应特别注例1.很细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，两端空隙为2cm，电荷量为3.12×10-9C的正电荷均匀分布在细棒上。求圆心处场强的大小和方向。Rd=3.12mRld=π2q=l

l解：运用补偿法。圆心处的场强等于缺口段负电荷所产生的场强。<d<R缺口段的电荷可以看作为点电荷。∵´q=l

d=2.0×10-11CπqR2ε40=EO´=0.72

V/m方向由圆心指向缺口一、场强与电通量的计算大学物理竞赛培训第四讲例1.很细的不导电的塑料棒弯成半径为50cm的圆弧，两端空则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=

其方向为由圆心O点指向

变1：真空中一半径为R的均匀带电球面，总电量为今在球面上挖去非常小块的面积ΔS(连同电荷)，不影响原来的电荷分布，且假设Q(Q>0)。大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=其方向为由圆心O点··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－腔内场强：半径为R1的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－均匀带电球内场强空腔内为匀强场。变2．在半径为R1，体电荷密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球中心O1间的距离为a，且R1＞a＞R2。求空腔内任一点的电场强度E。大学物理竞赛培训第四讲叠加一、场强与电通量的计算··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均[C]例2如图，一个带电量为q的点电荷位于正立方体的A角上，则通过侧面abcd

的电场强度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算[C]例2如图，一个带电量为q的点电荷位于正立方体的变1.如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆形平面。设q在垂直于平面并通过圆心o的轴线上A点处，A点与圆心o点的距离为d试计算通过此平面的E通量。ARqo.πΩ2=()rrdr2=π2()rdr解：A点对平面所张的立体角为：通过整个球面(即立体角4π)为的电通量为qε0通过圆平面的电通量为=Φeqεπ40Ωd()=qεπ40π2Rd2+2Rd2+2dr大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算变1.如图所示，在点电荷q的电场中，取半径为R的圆形平例3.半径为ao的球壳均匀带电量q，球壳外分布着体电荷，其密度仅与到球壳中心的距离r有关，若球壳外任一点的电场的大小相等，求电荷体密度ρ与r的关系。解：球壳外任一点的场强大小＝球壳表面处场强取半径分别为r和r+△r的两个同心球面作为高斯面由高斯定律：由此解得：大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算例3.半径为ao的球壳均匀带电量q，球壳外分布着体电荷，变1.设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用右式表示式中r是到圆住轴线的距离,ρ0是轴线处的电荷体密度,a是常量。试计算其场强分布。1+ar20()ρρ(r)=2解：先计算高斯面内的电量πρ2rld=dq()rr1+ar20()ρ=2π2ldrr1+ar20()ρ=2π2ldrrqòr01+ra20()ρ=πla2大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算变1.设气体放电形成的式中r是到圆住轴线的距离,ρ0是轴线处E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：q1+ra20()ρ=πla2高斯面内的电量为：理学院物理系张晚云大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算E.dS=sòòqε0.=π2Erlε00ρπla21+raqOO’d解：建立如图坐标系，由Gauss定理可得：x点电荷受力：点电荷在范围内作简谐振动例4、如图，在两平行无限大平面内是电荷体密度ρ(>0)的均匀带电空间。有一质量为m，电量为q(<0)的点电荷在带电板的边缘自由释放。在仅考虑电场力不考虑其他阻力的情况下，求该点电荷运动到中心对称面OO’的时间。大学物理竞赛培训第四讲一、场强与电通量的计算qOO’d解：建立如图坐标系，由Gauss定理可得：x点电荷二、电势（电势能）的计算对于点电荷系：对于连续带电体：标量直接求和方法Ⅰ直接积分法方法Ⅱ典型带电体的电势电势叠加原理方法Ⅲ场强积分法（沿电力线积分）熟记电偶极子、均匀带电圆环/圆盘、均匀带电球面/球体，无限长均匀带电圆柱面/柱体、无限大带电平面的E、Ｕ分布。大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算对于点电荷系：对于连续带电体：标量直例1、三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P、Q两点（均为相应正三角形的中心）的电势分别为和，若撤去BC棒，则P、Q两点的电势各为多少？BPQAC解：根据对称性，设AB、BC、CA三棒对P点的电势贡献及AC对Q点的电势贡献皆为AB、BC棒对Q点的电势贡献皆为撤去BC棒后，应有大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例1、三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷例2、如图，半径分别为R1与R2的均匀带电半球面相对放置，二半两球面上的面电荷密度为σ1与σ2

满足关系σ1R1=-σ1R2。(1)试证小球面所对的圆截面S为一等势面；(2)求等势面S上的电势。提示：将两半球面均补全为闭合球面因上述任一闭合带电球面内为等势体，则小球面所围区域内各点电势为各去掉一半时，由电势叠加大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例2、如图，半径分别为R1与R2的均匀带电半球面相对放置，二变1、在xOy平面上倒扣着一半径为R的均匀带电半球面，其面电荷密度为σ，A点的坐标为(0,R/2),B点的坐标为(3R/2,0),如图所示。则A、B两点处的电势差为_________。根据对称性BxryAC解：取如图所示C点(0,3R/2)补上下半球面成为完整球面后再由根据对称性大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算变1、在xOy平面上倒扣着一半径为R的均匀带电半球面，其面电··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均匀带电球半径为R2的均匀带电球－均匀带电球体内、外的场强：变2．在半径为R1，体电荷密度为的均匀带电球体内，挖去一个半径为R2的球体空腔，空腔中心O2与带电球中心O1间的距离为a，且R1＞a＞R2。求空腔中心处的电势。均匀带电球体内某点的电势大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算··O1O2a解：补缺法＋叠加法补：半径为R2的均例3.如图，某质子加速器使每个质子获得2KeV的动能，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离d=r/2。假定质子与金属相碰后将其电荷全部交给金属球，经足够长时间后，金属球的最高电势（以无穷远处的电势为零）为

。qedr解：当金属球达到最高电势时，质子轨迹刚好与金属球相切。此时，质子与金属球组成的系统角动量守恒，且机械能守恒。大学物理竞赛培训第四讲二、电势（电势能）的计算例3.如图，某质子加速器使每个质子获得2KeV的动能，很细三、静电平衡问题的计算1、导体的静电平衡状态及其特点【静电平衡状态】导体的内部和表面都没有电荷作任何宏观定向运动的状态.特点(a)导体内部任一点的电场强度都等于零(b)导体表面任一点的场强方向垂直于表面(c)整个导体为一等势体2、导体在静电平衡状态下的电荷分布(1)净电荷只能分布于导体的表面上.(2)导体表面任意点的电荷的面密度与该点附近的场强的关系.(3)孤立带电导体：电荷面密度与曲率半径成反比。大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算1、导体的静电平衡状态及其特点【静电平3、解决静电平衡问题的基本依据1.静电平衡的条件2.基本性质方程3.电荷守恒定律(没接地时）注：导体接地时，其电势必为零，但其表面电荷不一定为零大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算3、解决静电平衡问题的基本依据1.静电平衡的条件2.基本性质例1.面积为S的接地金属板，距板为d处有一点电荷+q(d很小)，则板上离点电荷最近处的感应电荷面密度σ=

。解：因金属板接地，在背离+q的面上无感应电荷，感应电荷只分布在面向+q的一面Pd+qσ由静电平衡条件：其中：大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算例1.面积为S的接地金属板，距板为d处有一点电荷+q(d很变1、带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放置，P为导体球表面附近一点，若无限大带电平面的面电荷密度为，P点附近导体球表面的面电荷密度为，则P点电场强度的大小等于__________。解：导体球达到静电平衡后，导体球为等势体，其内部场强为零，球表面的电荷形成稳定分布O此时，导体外表面附近的电场强度仅由该处电荷面密度决定：大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算变1、带电导体球O和无限大均匀带电平面如图放置，P为导体球表q2q1d2d1ROQ提示：静电感应过程中总电量不变；静电平衡后，导体球为等势体。例2、如图所示，有一半径为R，带电量Q的导体球，在距球心O点d1处放置一已知点电荷q1，在距球心d2处再放置一点电荷q2，当q2电荷电量为_______时可使导体球电势为零（以无穷远处为电势零点）。大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算q2q1d2d1ROQ提示：静电感应过程中总电量不变；例2、电荷守恒:例3空腔导体球壳外有点电荷求：⑴感应电荷在O处的⑶空腔接地，求感应电荷的总量.已知:⑵腔内任一点的解:⑴感应电荷在O处的感应电荷在O处的电势:大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算电荷守恒:例3空腔导体球壳外有点电荷求：⑴感应电荷在O接地后，球壳电势:由电势叠加原理:导体为等势体:腔内任一点:⑵求腔内任一点的⑶空腔接地，求感应电荷的总量大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算接地后，球壳电势:由电势叠加原理:导体为等势体:腔内任一点:例4、如图所示，两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳半径为a，外球壳半径为b。另有一电量为Q的点电荷置于两球壳之间，距球心r处，则内球上的感应电荷q1=

，外球上的感应电荷q2=

。解：将两薄球壳视为一导体组，若不接地，由静电感应，系统将产生+Q感与-Q的感应电量，两者地后，+Q被移入大地。故有aQrb大学物理竞赛培训第四讲三、静电平衡问题的计算例4、如图所示，两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳半径为a，四、电介质中静电场的计算1、电介质中的电场强度2、极化电荷面密度:介质+真空导体+介质3、均匀、线性、各向同性电介质中的电极化强度：４、电位移:大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算1、电介质中的电场强度2、极化电荷面例1、在电荷面密度为的无限大带电导体板两侧分别充以介电常数与的均匀电介质，如图所示，则导体两侧电场强度的大小

，

。解：设加介质后导体板两侧的自由电荷面密度分别为由D的高斯定理，得设板两侧界面处的束缚电荷面密度为导体板两侧均相当于均匀无限大带电平面，为保证导体板内E=0，必有故两侧介质中的电场大小相等由(1)、(2)式可得大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例1、在电荷面密度为的无限大带电导体板两侧分别充以介电常数变1、厚度为d的无限大平板内分布有均匀电荷密度()的自由电荷，在板外两侧分别充有介电常数为和的电介质，如图。（1）求板内外的电场分布；（2）板外的A点和B点分别距左右两板壁为l，求。提示：由电荷分布的特点可知，在板内一定存在一个E=0的平面(MM′)，它距左、右侧面分别为a、b.dllMM′abx板内板外AB大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算变1、厚度为d的无限大平板内分布有均匀电荷密度(例2、板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为的电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球P,电容器充电后P恰好处于平衡状态，断开电源后将电介质快速抽出,不计静电平衡经历的时间及带电球P对电容器极板电荷分布的影响，则P将经多久后到达某极板。提示：设小球质量为m电量为q，电容器极板面积S,电量为Q抽出电介质前P抽出电介质后由牛顿第二定律大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例2、板间距为2d的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分变1、如图，一直流电源与一水平放置的板间距为2d、其下半部分充满相对介电常量为的固态电介质的大平行板电容器相连，设此时图中带电小球P恰好处于平衡状态，现将电介质快速抽出,稳定后P将经t=

后到达某极板。提示：设小球质量为m电量为-q，抽出电介质前P+-抽出电介质后由牛顿第二定律大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算变1、如图，一直流电源与一水平放置的板间距为2d、其下半部分例3.如图，半径为R的金属球外面包一层相对介电常数为、外径为2R的均匀电介质壳，介质内均匀地分布着电量为

，的自由电荷，金属球接地，则介质壳的电势为

。解：金属球接地，U=0，其上电量设为q，介质壳内的场强为介质壳外的场强为故介质壳外表面的电势为大学物理竞赛培训第四讲四、电介质中静电场的计算例3.如图，半径为R的金属球外面包一层相对介电常数为、外五、电容器及其储能的计算大学物理竞赛培训第四讲1、电容器及其电容（1）孤立导体(无穷远处为电势零点)（2）双导体电容器（3）电容器的串并联熟记平行板电容器、球形电容器与圆柱形电容器的电容。五、电容器及其储能的计算大学物理竞赛培训第四讲1、电容器及其2、静电场的能量（1）点电荷系的相互作用能（2）连续带电体的静电能（自能）U为所有电荷元在dq（非点电荷）所在处激发的电势Ui为除qi

以外的所有电荷在qi处产生的电势（3）电容器的储能（4）一般静电场的能量大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算2、静电场的能量（1）点电荷系的相互作用能（2）连续带电体的五、电容器及其储能的计算例1:求两平行长直导线单位长度间的电容（导线半径a，轴线间距离d）解：设单位长度带电（导体内）（导体间）大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例1:求两平行长直导线单位长度间的例2一同轴圆柱形电容器，外导体筒的内径为b，内导体筒的外径可调，两筒间充满了各向同性均匀电介质。已知电介质的击穿场强为E0，试求该电容器所能承受的最大电压

xb解：设内筒的外径为x，内、外筒的电量线密度为λ、-λ,由高斯定理可得内、外筒的电势差为由(1)式知，最大场强（即击穿场强）为大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例2一同轴圆柱形电容器，外导体筒的内径为b，内导体筒的外径例3在长为L、内芯导线半径为a、外导体圆筒内径b的的同轴圆柱形电容器中充以相对介电常数为的固体电介质。则(1)若把该电容器与电势为U的电源相连后，抽出电介质一部分，当不计边缘效应时，为维持电介质拉出的位置不动，需多大的力，方向如何？(2)若与上述电源充电后，断开电源，则结果如何。解：同轴圆柱形电容器中充满电介质时的电容为当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(1)电介质的移动使电容器的储能发生变化，为维持两板间电压不变，电源必须做功。且电源的功转化为储能的增量和电力的功方向指向内部大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算例3在长为L、内芯导线半径为a、外导体圆筒内径b的的同轴圆当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(2)电容器充电后断开电源，则电量固定。此时，储能的变化量等于电力的功方向指向内部注意：电容器内的电场有“吸引”电介质的作用！因此，当把电容器浸入液体介质中时，会使得液体在电容器内部上升形成液柱，当液柱的重力与上述静电引力相平衡时，液面不再上升。大学物理竞赛培训第四讲五、电容器及其储能的计算当拉出一部分电介质时，设拉出部分长度为x，则电容变为(2)六、有关电路的计算1、电阻大学物理竞赛培训第四讲对非均匀截面电阻：2、欧姆定律微分形式的欧姆定律：一段含源电路的欧姆定律：电流方向和电动势方向与A→B方向一致的取“﹢”,反之，取“-”。3、焦耳-楞次定律的微分形式六、有关电路的计算1、电阻大学物理竞赛培训第四讲对非均匀截面六、有关电路的计算4、基尔霍夫第一、第二定律大学物理竞赛培训第四讲对电路的“节点”：IiS节点(1)基尔霍夫第一定律规定从节点流出：

I

>0，流入节点：I

<0。(2)基尔霍夫第二定律在稳恒电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和等于零。六、有关电路的计算4、基尔霍夫第一、第二定律大学物理竞赛培训六、有关电路的计算5、RC充、放电电路大学物理竞赛培训第四讲(1)电路似稳

(2)Kirchhoff方程仍然适用(3)时间常数充电：放电：六、有关电路的计算5、RC充、放电电路大学物理竞赛培训第1、电阻的计算例1：一电缆的芯线是半径为

r1的铜线，在铜线外包一层同轴的绝缘层，绝缘层的外径为r2，电阻率为ρ，在绝缘层外又用铅层保护起来。当电缆在工作时，芯线与铅层之间存在着径向漏电电流。试求长为l的这种缆线的径向漏电电阻。分析：由于漏电电流沿径向通过不同截面的圆柱，因此绝缘层的电阻可视为无数圆柱薄层的电阻串联而成。解：在此绝缘层沿径向取半径为r、厚为dr的薄圆柱层，其电阻为：大学物理竞赛培训第四讲六、有关电路的计算1、电阻的计算例1：一电缆的