《线性代数》同济大学课后习题详解

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解111《线性代数》同济大学版课后习题答案详解解abca2b2c2第一章行列式

bc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)利用对角线法规计算以下三阶行列式201(1)141183201解1411832(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644abcbcacababc解bcacab

xyxy(4)yxyxxyxyxyxy解yxyxxyxyx(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3323333xy(xy)y3xyxyx2(x3y3)2按自然数从小到大为标准次序求以下各排列的逆序数(1)1234解逆序数为0(2)4132解逆序数为441434232(3)3421acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3111abca2b2c2

解逆序数为532314241,21(4)2413解逆序数为3214143(5)13(2n1)24(2n)解逆序数为n(n1)232(1个)5254(2个)727476(3个)(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)(6)13(2n1)(2n)(2n2)2解逆序数为n(n1)32(1个)5254(2个)(2n1)2(2n1)4(2n1)6(2n1)(2n2)(n1个)42(1个)6264(2个)(2n)2(2n)4(2n)6(2n)(2n2)(n1个)3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42因此含因子a11a23的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42计算以下各行列式412420210520117

解4124412101202c2c3120210520c7c1032140117430010411022(1)43103144110c2c39910012212c300210314c1171714214112112320622141cc2140r4r22140解31214231223122123212301230506250622140rr2140413122012300000abacaebdcddebfcfefabacaebce解bdcddeadfbcebfcfefbce111adfbce1114abcdef111a100(4)1b1001c1001da100rar01aba0解1b10121b1001c101c1001d001d(1)(1aba0c3dc21abaad1)211c11c1cd01d010(1)(321abad1)11cdabcdabcdad1证明:a2abb22aab2b(ab)3;111证明

a2abb2c2c1a2aba2b2a22aab2b2aba2b2a111c3c1100(1)31aba2b2a2(ba)(ba)aba(ab)3ba2b2a12axbyaybzazbxxyz(2)aybzazbxaxby(a3b3)yzx;azbxaxbyaybzzxy证明axbyaybzazbxaybzazbxaxbyazbxaxbyaybzxaybzazbxyaybzazbxayazbxaxbybzazbxaxbyzaxbyaybzxaxbyaybzxaybzzyzazbxa2yazbxxb2zxaxbyzaxbyyxyaybzxyzyzxa3yzxb3zxyzxyxyzxyzxyza3yzxb3yzxzxyzxyxyz(a3b3)yzxzxya2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)20;(3)(c1)2(c2)2(c3)2c2d2(d1)2(d2)2(d3)2证明a2(a1)2(a2)2(a3)2b2(b1)2(b2)2(b3)2c2(c1)2(c2)2(c3)2(c4c3c3c2c2c1得)d2(d1)2(d2)2(d3)2a22a12a32a5b22b12b32b5c22c12c32c5(c4c3c3c2得)d22d12d32d5a22a122b22b1220c22c122d22d122

1111(4)abcda2b2c2d2a4b4c4d4(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明1111abcda2b2c2d2a4b4c4d411a1a1a0bcd0b(ba)c(ca)d(da)0b2(b2a2)c2(c2a2)d2(d2a2)111(ba)(ca)(da)bcdb2(ba)c2(ca)d2(da)11b1(ba)(ca)(da)0c(ccdb0b)(cba)d(db)(dba)11(ba)(ca)(da)(cb)(db)c(cba)d(dba)=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)x10000x100xna1xn1(5)00x1an1xan0anan1an2a2xa1证明用数学归纳法证明当n2时D2x1x2a1xa2命题成立a2xa1假设对于(n1)阶行列式命题成立即Dn1xn1a1xn2an2xan1则Dn按第一列张开有1000DnxDa(1)n1x100n1n11x1xDn1anxna1xn1an1xan因此对于n阶行列式命题成立设n阶行列式Ddet(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得an1anna1nannanna1nD1a11D2a11an1D3a11a1nan1n(n1)证明D1D2(1)2DD3D证明由于Ddet(aij)因此

an1anna11a1nD1n1an1anna11a1n(1)a21a2na11a1na21a2n(1)n1(1)n2an1anna31a3n1)12(n2)(n1)Dn(n1)((1)2D同理可证n(n1)a11an1n(n1)n(n1)D2(1)2ann(1)2DT(1)2Da1nn(n1)n(n1)n(n1)D(1)2D(1)2(1)2D(1)n(n1)DD32计算以下各行列式(Dk为k阶行列式)a1(1)Dn,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是01a解a00010a00000a00Dn(按第n行张开)000a01000a00001(a00001)n10a000000a0(n1)(n1)a(1)2naa(n1)(n1)a(1)n1(1)nananan2an2(a21)a(n2)(n2)xaa(2)Dnaxa;aax解将第一行乘(1)分别加到其余各行得

xaaaaxxa00Dnax0xa0ax000xa再将各列都加到第一列上得x(n1)aaaaDn0xa0a000x0[x(n1)a](xa)n10000xaan(a1)n(an)nan1(a1)n1(an)n1(3)Dn1a1an;a111解依照第6题结果有111n(n1)aa1anDn1(1)2an1(a1)n1(an)n1an(a1)n(an)n此行列式为范德蒙道德列式D(1)n(n1)[(ai1)(aj1)]2n1n1ij1(1)n(n1)[(ij)]2n1ij1(1)n(n1)(n(n1)1j)21)2(in1ij1(ij)n1ij1anbn(4)D2na1b1;c1d1cndn解anbnD2na1b1(按第1行张开)c1d1cndn

an1bn10a1b1anc1d1cn1dn1000dn0an1bn1(1)2n1bna1b1c1d1cn1dn1cn0再按最后一行张开得递推公式D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n(andnbncn)D2n2D2nnbici)D2于是(aidii2而D2a1b1a1d1b1c111D2nnbici)因此(aidi1Ddet(aij)其中aij|ij|;解aij|ij|0123n11012n2Dndet(aij)2101n33210n4n1n2n3n4011111r1r21111111111r2r311111n1n2n3n4010000c2c11200012200c3c112220n12n32n42n5n1(1)n1(n1)2n21a111(6)D11a21,其中a1a2an0n111an解1a11111a21Dn111an

a100c1c2a2a200a3a3c2c3000000100110aaa01112n000000100010a1a2an001000000(aaa)(1n1)12ni1ai用克莱姆法规解以下方程组

001001001an1an110an1an00a10011a002a1311a10n1111an00a1001a1002a1301a1n100na11i1ix1x2x3x45x12x2x34x422x13x2x35x423x1x22x311x40解由于1111D12141422315312115111D122141422315012111511D21214284221530211

5x16x26x31x15x20(2)x25x36x40x35x46x50x45x51解由于560001560001560665001560001516000D105600015601507001561001511515100010600D1224426D2005601145323250015631011010151115561005601012121500015600D42312142D301060703D40150039531200005600106D1D2D3D40011500015因此x11x22x33x41DDDD5600115600D5015602120015000011因此x11507x21145x3703x4395x4212665665665665665x1x2x309问取何值时齐次线性方程组x1x2x30有非零解？x12x2x30解系数行列式为D1111121令D0得0或1于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解(1)x12x24x3010问取何值时齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零x1x2(1)x30解？解系数行列式为

D124134231211111101(1)3(3)4(1)2(1)(3)(1)32(1)23令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解第二章矩阵及其运算已知线性变换x12y12y2y3x23y1y25y3x33y12y23y3求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换解由已知x221y1y2x2315x3323y2y12211x749y1y2637y2故315x2y323x3324y32y17x14x29x3y26x13x27x3y33x12x24x3已知两个线性变换x12y1y3y13z1z2x22y13y22y3y22z1z3x34y1y25y3y3z23z3求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换解由已知x201y1201310z1232y2201z2x2232x3415y415013z23613z149z210116z3x16z1z23z3因此有x212z14z29z3x310z1z216z31111233设A111B124求3AB2A及ATB111051111123111解3AB2A31111242111111051111

0581112132230562111217202901114292111123058ATB111124056111051290计算以下乘积431712325701431747321135解123217(2)23165701577201493(123)213解(123)2(132231)(10)121(12)322(1)2224解1(12)1(1)121233(1)3236131(4)214001211341314021312140012678解13413120561402a11a12a13x1(5)(x1x2x3)a12a22a23x2a13a23a33x3解a11a12a13x1(x1x2x3)a12a22a23x2a13a23a33x3x1(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)x2x3ax2ax2ax22axx2axx2axx111222333121213132323

5设A12B10问1312(1)ABBA吗?解ABBA由于AB34BA12因此ABBA4638(2)(AB)2A22ABB2吗?解(AB)2A22ABB2由于AB2225(AB)2222281425251429但A22ABB23868101016411812341527因此(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗?解(AB)(AB)A2B2由于AB22AB022501(AB)(AB)220206250109而A2B23810284113417故(AB)(AB)A2B2举反列说明以下命题是错误的(1)若A20则A0解取A01则A20但A000(2)若A2A则A0或AE解取A11则A2A但A0且AE00(3)若AXAY且A0则XY解取A10X11Y11001101则AXAY且A0但XY7设A10求A2A3Ak1解A21010101121A3A2A10101021131

设A01081求Ak00解第一观察A2010010110000A3A23323A0332003A4A344362A0443004A5A4A5541030554005kkk1k(k1)k02Akkk100k用数学归纳法证明当k2时显然成立

221022002k2Ak10k1

假设k时成立，则k1时，kkk1k(k1)k210Ak1AkA020kkk1100k00k1(k1)k1(k1)kk102k1(k1)k100k1由数学归纳法原理知kkk1k(k1)k2Ak02kkk100k9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵证明由于ATA因此(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBATT证明充分性由于AABB且ABBA因此TTTT(AB)(BA)ABAB即AB是对称矩阵必要性由于ATABTB且(AB)TAB因此AB(AB)TBTATBA

求以下矩阵的逆矩阵225解A12|A|1故A1存在由于25A*A11A2152A12A2221故A11A*52|A|21(2)cossinsincos解Acossin|A|10故A1存在由于sincosA*A11A21cossinA12A22sincos因此A11A*cossin|A|sincos121(3)342541121解A342|A|20故A1存在由于541A11A21A31420A*A12A22A321361A13A23A3332142A11A*210因此1331|A|221671a1a02(4)(a1a2an0)0ana10解Aa2由对角矩阵的性质知0an110a1A1a201an解以下矩阵方程25X46(1)1321

X2514635462231321122108211113(2)X2104321112111解X1134322101111113101232343233022185233(3)14X2031121101解X141312011201111243110121101121661011101230124解010100143(4)100X00120100101012001011431001解X100201001001120010010143100210100201001134001120010102利用逆矩阵解以下线性方程组x12x23x312x12x25x323x15x2x33解方程组可表示为123x11225x22351x33x1123111故x222520x335130x11从而有x20x30

x1x2x322x1x23x313x12x25x30解方程组可表示为111x12213x21325x03x1111125故x221310x332503x15故有x20x3314设AkO(k为正整数)证明(EA)1EAA2Ak1证明由于AkO因此EAkE又由于EAk(EA)(EAA2Ak1)因此(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115设方阵A满足A2A2EO证明A及A2E都可逆并求A1及(A2E)1证明由A2A2EO得A2A2E即A(AE)2E或A1(AE)E2由定理2推论知A可逆且A11(AE)2由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或(A2E)1(3EA)E4由定理2推论知(A2E)可逆且(A2E)11(3)4证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A||AE|2故|A|0因此A可逆而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1EA11(AE)2又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E因此(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)1

(A2E)11(3EA)416设A为3阶矩阵|A|1求|(2A)15A*|2解由于A11A*因此|A||(2A)15A*||1A15|A|A1||1A15A1|222|2A1|(2)3|A1|8|A|1821617设矩阵A可逆证明其陪同阵A*也可逆且(A*)1(A1)*证明由A11A*得A*|A|A1因此当A可逆时有|A||A*||A|n|A1||A|n10从而A*也可逆由于A*|A|A1因此(A*)1|A|1AA1|11又|A1(A)*|A|(A)*因此(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*设n阶矩阵A的陪同矩阵为A*证明(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O因此A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于A11A*则AA*|A|E取行列式获取|A||A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n103319设A110ABA2B求B123解由ABA2E可得(A2E)BA故2331033033B(A2E)1A11011012312112311010120设A020且ABEA2B求B101解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)001由于|AE|01010因此(AE)可逆从而100

BAE20103010221设Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]14diag(1,1,1)222diag(121)1000010022已知矩阵A的陪同阵A*10100308且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A3(E1A*)16(2EA*)12100010600601000600101060600306030123设P1AP其中P1410求A111102解由P1AP得APP1因此A11A=P11P1.|P|3P*14P111411311而11101110020211故14101427312732A11331102111168368433111124设APP其中P10211115求(A)A8(5E6AA2)解( )8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P( )P1

1P()P*|P|1111002222102000303111000121111411111125设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明由于A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积因此A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A1210103126计算010101210021002300030003解设A12A21B31010321121B22303则A1EEB1A1A1B1B2OA2OB2OA2B2而A1B1B21231235234O0121032428设A43求|A8|及A4212343O20A2B2220303093420所以解令A1A212524322A1EEB1A1A1B1B20124AAOOA2OB2OA2B20043则100092AO8O8A8121010311252故AOA2OA28即010101210124002100230043|A8||A18||A28||A1|8|A2|81016000300030009540OA4O10AB|A||B|4427取ABCD考据10501CD|C||D|AOA24O240101020002624AB010102002010429设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆求解1CD101010100201OA01010101(1)BO而|A||B|110OA1C1C2|C||D|11解设BOC3C4则|A||B|故ABOAC1C2AC3AC4EnOCD|C||D|BOC3C4BC1BC2OEsACECA13n3由此得AC4OC4OBC1OC1OBC2EsC2B1

52002100008300521OB1因此OABOA1O1(2)AOCBAO1D1D2解设CBD3D4则AOD1D2AD1AD2EnOCBD3D4CD1BD3CD2BD4OEsADEDA11n1AD2OD2O

解设AA1B18352于5200210000830052

52B83则215252112212513581A1A1BB1

是1200250000230058由此得CDBDODB1CA1313CD2BD4EsD4B1AO1A1O因此B1CA1B1CB求以下矩阵的逆阵

1000(2)120021301214解设A10B30C21则1214121000120021301214

1

AO11OACBB1CA1B1

1021~0013(下一步r3r2)00101021011216524

00014

~0013(下一步r33)00031021~0013(下一步r23r3)00011021~0010(下一步r1(2)r2r1r3)0001第三章矩阵的初等变换与线性方程组把以下矩阵化为行最简形矩阵1021203130431021解2031(下一步r2(2)r1r3(3)r1)30431021~0013(下一步r2(1)r3(2))0020

1000001000010231(2)034304710231解0343(下一步r22(3)r1r3(2)r1)04710231~0013(下一步r3r2r13r2)001302010~0013(下一步r12)00000105~0013000011343(3)33541223203342111343解33541(下一步r23r1r32r1r43r1)22320334211134300488~00366(下一步r2(4)r3(3)r4(5))005101011343~00122(下一步r13r2r3r2r4r2)0012200122

11023~00122000000000023137(4)1202432830237432313712024解32830(下一步r12r2r33r2r42r2)2374301111~12024(下一步r22r1r38r1r47r1)08891207781101111~10202r2r2(1)r4r3)0001(下一步r140001410202~01111(下一步r2r3)00014000001020201103~00014000000101011232设100A010456求A001001789010解100是初等矩阵E(12)其逆矩阵就是其自己001101010是初等矩阵E(12(1))其逆矩阵是001101E(12(1))010001010123101A100456010001789001456101452123010122789001782

321(1)315323321100321100解315010~0141103230010021013203/201/23007/229/2~010112~0101120021010011/201/21007/62/33/2~0101120011/201/2723632故逆矩阵为112101223201(2)0221123201213试利用矩阵的初等变换求以下方阵的逆矩阵32011000解02210100123200100121000112320010~01210001049510300221010012320010~01210001001110340021010212320010~012100010011103400012161012001122~010001`010010113600012161010001124~0100010100101136000121610

11240101故逆矩阵为136121610412134(1)设A221B22求X使AXB31131解由于41213r100102(A,B)22122~01015331131001124A1B102因此X153124021123(2)设A213B2求X使XAB33431解考虑ATXTBT由于02312r10024(AT,BT)21323~010171343100114XT(AT)1BT24因此1714从而XBA12114741105设A011AX2XA求X101解原方程化为(A2E)XA由于110110(A2E,A)011011101101100011~0101010011102E)1A011因此X(A101110在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式?有没有等于0的r阶子式?解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶子式1000比方A0100R(A)3001000000是等于0的2阶子式100是等于0的3阶子式00010

7从矩阵A中划去一行获取矩阵B问AB的秩的关系怎样?解R(A)R(B)这是由于B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(10100)(11000)解用已知向量简单构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵00001000010000100000此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求以下矩阵的秩并求一个最高阶非零子式3102(1)1121;13443102解1121(下一步r1r2)13441121~3102(下一步r23r1r3r1)13441121~0465(下一步r3r2)04651121~04650000矩阵的秩为2314是一个最高阶非零子式1132131(2)213137051832132解21313(下一步r1r2r22r1r37r1)7051813441~071195(下一步r33r2)02133271513441~0711950000032矩阵的秩是27是一个最高阶非零子式21

21837(3)23075325801032021837解23075(下一步r12r4r22r4r33r4)32580103200121703635~02420(下一步r23r1r32r1)1032001217000016~000014(下一步r216r4r316r2)10320012170000100000103201032001217~0000100000075700是一个最高阶非零子式11211010矩阵的秩为3580A2111~013132022120014/310设A、B都是mn矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)4x证明依照定理3必要性是成立的x134充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A与B的标准形为D则x2于是有x3A~DD~B

3x443x4由等价关系的传达性有A~B123k11设A12k3问k为什么值可使k23(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3A123kr11k解12k3~0k1k1k2300(k1)(k2)(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)3

x4故方程组的解为x1x2x3x4x13x15x1

x44343(k为任意常数)312x2x3x406x2x33x4010x2x35x40解对系数矩阵A进行初等行变换有12求解以下齐次线性方程组:12111201x1x22x3x40A3613~0010(1)2x1x2x3x405101500002x12x2x32x40解对系数矩阵A进行初等行变换有x12x2x4于是x2x2x30x4x4故方程组的解为x121x2k11k20(k1k2为任意常数)x300x4012x13x2x35x40(3)3x1x22x37x404xx3x6x01234x12x24x37x40解对系数矩阵A进行初等行变换有2315100031270100A4136~001012470001x10于是x20x30x40故方程组的解为

x10x20x30x403x14x25x37x40(4)2x13x23x32x4004x11x13x16x12347x12x2x33x40解对系数矩阵A进行初等行变换有34571023324111316~0172130000x3x13x1173174于是x19x20x2173174x3x3x4x4故方程组的解为

313171920170000x13131717x21920x3k117k2(k1k2为任意常数)17x4100113求解以下非齐次线性方程组:4x12x2x323x11x22x31011x13x28解对增广矩阵B进行初等行变换有42121338B31210~0101134113080006于是R(A)2而R(B)3故方程组无解2x3yz4x2y4z53x8y2z134xy9z6解对增广矩阵B进行初等行变换有23141021B1245~011238213000041960000

x2z1于是yz2zzx21即yk12(k为任意常数)z102xyzw1(3)4x2y2zw22xyzw1解对增广矩阵B进行初等行变换有2111111/21/201/2B42212~000102111100000x1y1z1y222于是yzzw0x111222yk1k2即100(k1k2为任意常数)z010w0002xyzw1(4)3x2yz3w4x4y3z5w2解对增广矩阵B进行初等行变换有21111101/71/76/7B32134~015/79/75/7

解依照已知可得x122x2c13c24x310x401与此等价地能够写成1435200000x1z1w6777于是y5z9w5z777zww

或

x12c1c2x23c14c2x3c1x4c2x12x3x4x23x34x4x116777y595即k17k27(k1k2为任意常数)z7w100010写出一个以22xc13c241001

或x12x3x40x23x34x40这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组15取何值时非齐次线性方程组x1x2x31x1x2x32x1x2x3(1)有唯一解(2)无解(3)有无量多个解?111解B11112为通解的齐次线性方程组r112方程组解为1(1)~01x100(1)(2)(1)(1)2x2(1)要使方程组有唯一解必定R(A)3因此当1且2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解必定R(A)R(B)故x1(1)(2)0(1)(1)20因此2时方程组无解即x2x3(3)要使方程组有有无量多个解必定R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20当2时因此当1时方程组有无量多个解.B非齐次线性方程组2x1x2x32方程组解为x12x2x32x1x1x22x3x2当取何值时有解？并求出它的解2112121x12(1)即x2解B121~011x311223000(1)(2)

x31x1x31或xxx323x3x311k10(k为任意常数)10211210121212~011211240000x32x1x32或xx2x3223x3x312k12(k为任意常数)10要使方程组有解必定(1)(2)0即12(2)x12x22x31当1时17设2x(5)x4x2123211210112x14x2(5)x31B1211~0110问为什么值时此方程组有唯一解、无解或有无量多解?并在有无量多解时求解112100002221解B254224512542~011100(1)(10)(1)(4)要使方程组有唯一解必定R(A)R(B)3即必定(1)(10)0因此当1且10时方程组有唯一解.要使方程组无解必定R(A)R(B)即必定(1)(10)0且(1)(4)0因此当10时方程组无解.要使方程组有无量多解必定R(A)R(B)3即必定(1)(10)0且(1)(4)0因此当1时方程组有无量多解此时，增广矩阵为1221B~00000000方程组的解为x1x2x31x2x2x3x3x1k2k21或x1200(k1k2为任意常数)21010x3

18证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT证明必要性由R(A)1知A的标准形为10010000(1,0,,0)0000即存在可逆矩阵P和Q使11PAQ0(1,0,,0)或AP10(1,0,,0)Q1001令aP10bT(100)Q1则a是非零列向量bT是非零行向量且0AabT充分性由于a与bT是都是非零向量因此A是非零矩阵从而R(A)1由于1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{11}1因此R(A)1设A为mn矩阵证明(1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m证明由定理7方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)R(AEm)而|Em|是矩阵(AEm)的最高阶非零子式故R(A)R(AEm)m因此方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m(2)方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)n证明注意方程YAEn有解的充分必要条件是ATYTEn有解由(1)ATYTEn有解的充分必要条件是R(AT)n因此，方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)R(AT)n20设A为mn矩阵证明若AXAY且R(A)n则XY证明由AXAY得A(XY)O由于R(A)n由定理9方程A(XY)O只有零解即XYO也就是XY第四章向量组的线性相关性1设v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2设3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得1(3a12a25a3)61TTT[3(2,5,1,3)2(10,1,5,10)5(4,1,1,1)](1234)T

已知向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能够由B组线性表示证明由032204r103124103124032204(A,B)210111~016157321213028179r103124r103124016157016157~~002051525004135004135000000知R(A)R(AB)3因此B组能由A组线性表示由204r102r102124022011B111~011~000213011000知R(B)2由于R(B)R(BA)因此A组不能够由B组线性表示已知向量组Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T证明A组与B组等价证明由11301r11301r11301因此R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相没关(B,A)02211~02211~022117问a取什么值时以下向量组线性相关？111100221100000a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明a1能由a2a3线性表示a4不能够由a1a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性没关故a2a3也线性没关又由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则由于a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能够由a1a2a3线性表示判断以下向量组是线性相关还是线性没关(131)T(210)T(141)T(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A由于121r121r121A314~077~011101022000因此R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B由于210|B|340220002

解以所给向量为列向量的矩阵记为A由a11|A|1a1a(a1)(a1)11a知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关8设a1a2线性没关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解由于a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1(a1b)2(a2b)0由此得b1a2a1a(11)a121212121212设c1则12bca1(1c)a2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2可否必然线性相关？试举例说明之解不用然比方当a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T时有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的对应重量不行比率是线性没关的举例说明以下各命题是错误的(1)若向量组a1a2am是线性相关的则a1可由a2am线性表示解设a1e1(1000)a2a3am0则a1a2am线性相关但a1不能够由a2am线性表示(2)若有不全为0的数12m使1a1mam1b1mbm0成立则a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关解有不全为零的数12m使1a1mam1b1mbm0原式可化为1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em为单位坐标向量则上式成立而a1a2am和b1b2bm均线性没关(3)若只有当12m全为0时等式1a1mam1b1mbm0才能成立则a1a2am线性没关,b1b2bm亦线性没关解由于只有当12m全为0时等式由1a1mam1b1mbm0成立因此只有当12m全为0时等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm线性没关取a1a2am0取b1bm为线性没关组则它们满足以上条件但a1a2am线性相关(4)若a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关则有不全为0的数12m使

1a1mam01b1mbm0同时成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120与题设矛盾11设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12设b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组a1a2ar线性没关证明向量组b1b2br线性没关证明已知的r个等式能够写成111(b,b,,b)(a,a,,a)01112r12r001上式记为BAK由于|K|10K可逆因此R(B)R(A)r从而向量组b1b2br线性没关13求以下向量组的秩,并求一个最大没关组(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由192r192r192(a1,a2,a3)2100408200101102~0190~0004480320000知R(a1a2a3)2由于向量a1与a2的重量不行比率故a1a2线性没关因此a1a2是一个最大没关组(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由141141141(a1,a2,a3)213r095r095154~095~00036701810000知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2由于向量a1T与a2T的重量不行比率故a1Ta2T线性没关因此a1Ta2T是一个最大没关组利用初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大没关组2531174375945313275945413425322048解由于

25311743r23r125311743r4r3759453132r33r10123r~r~759454134410135rr25322048013525311743012300130000因此第1、2、3列构成一个最大没关组.11221021512031311041解由于11221r32r111221r3r20215102151~~20313r4r102151r3r4110410022211221021510022200000因此第1、2、3列构成一个最大没关组设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T由于12a2r1113r11(a3,a4,a1,a2)233b~01a11~01a1113011b6002而R(a1a2a3a4)2因此a2b5

充分性已知任一n维向量都可由a1a2an线性表示故单位坐标向量组e1e2en能由a1a2an线性表示于是有nR(e1e2en)R(a1a2an)n即R(a1a2an)n因此a1a2an线性没关1311ab518设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1线性表示证明由于a1a2am线性相关因此存在不全为零的数12m使1a12a2mam016设a1a2an是一组n维向量已知n维单位坐标向量而且23m不全为零这是由于如若否则则1a10由a10知10矛盾e1e2en能由它们线性表示证明a1a2an线性没关因此存在k(2km)使证法一记A(a1a2an)E(e1e2en)由已知条件知存在矩阵K使k0k1k2m0于是EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0因此R(A)n从而a1a2an线性没关证法二由于e1e2en能由a1a2an线性表示因此R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n因此R(a1a2an)n从而a1a2an线性没关17设a1a2an是一组n维向量,证明它们线性没关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量由于a1a2an线性没关而a1a2ana是n1个n维向量是线性相关的因此a能由a1a2an线性表示且表示式是唯一的

1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1线性表示19设向量组Bb1br能由向量组Aa1as线性表示为(b1br)(a1as)K其中K为sr矩阵且A组线性没关证明B组线性没关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明令B(b1br)A(a1as)则有BAK必要性设向量组B线性没关由向量组B线性没关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性由于R(K)r因此存在可逆矩阵C使KCEr为K的标准形O于是(b1br)C(a1as)KC(a1ar)由于C可逆因此R(b1br)R(a1ar)r从而b1br线性没关20设123n213nn123n1证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成01111011(1,2,,n)(1,2,,n)11011110将上式记为BAK由于01111011|K|1101(1)n1(n1)01110因此K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组

12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性没关(1)记P(xAxA2x)求3阶矩阵B使APPB解由于APA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)000(x,Ax,A2x)103011000因此B103011(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0由于xAxA2x线性没关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解因此R(A)3|A|0求以下齐次线性方程组的基础解系x18x210x32x402x14x25x3x403x18x26x32x40解对系数矩阵进行初等行变换有18102r1040A2451~013/41/438620000于是得x14x3x2(3/4)x3(1/4)x4取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程组的基础解系为1(16340)T2(0104)T2x13x22x3x403x15x24x32x408x17x26x33x40解对系数矩阵进行初等行变换有2321r102/191/19A3542~0114/197/1987630000于是得x1(2/19)x3(1/19)x4x2(14/19)x3(7/19)x4取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程组的基础解系为1(214190)T2(17019)T(3)nx1(n1)x22xn1xn0.解原方程组即为xnnx1(n1)x22xn1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1

取xn11x1x2xn20得xn2因此方程组的基础解系为1(1000n)T2(0100n1)Tn1(00012)T23设A2213,求一个42矩阵B,使AB0,且9528R(B)2.解显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性没关的解由于2213r101/81/8A~9528015/811/8因此与方程组AB0同解方程组为x1(1/8)x3(1/8)x4x2(5/8)x3(11/8)x4取(x3x4)T(80)T得(x1x2)T(15)T取(x3x4)T(08)T得(x1x2)T(111)T方程组AB0的基础解系为1(1580)T2(11108)T11因此所求矩阵为B511800824求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为1(0123)T2(3210)T解显然原方程组的通解为x103x13k2x21k22x2k12k2xk121,即x2kk(k1k2R)330312x4x43k1消去k1k2得2x13x2x40x13x32x40此即所求的齐次线性方程组.设四元齐次线性方程组Ix1x20IIx1x2x30xx0xxx024234求(1)方程I与II的基础解系(2)I与II的公共解

因此方程II的基础解系为1(0110)T2(1101)TI与II的公共解就是方程x1x20x2x40x1x2x30x2x3x40的解由于方程组III的系数矩阵1100r100101010101A1110~001201110000因此与方程组III同解的方程组为x1x4x2x4x1解(1)由方程I得x2取(x3x4)T(10)T得(x1取(x3x4)T(01)T得(x1因此方程I的基础解系为

x4x4x2)T(00)Tx2)T(11)T

x32x4取x41得(x1x2x3)T(112)T方程组III的基础解系为(1121)T因此I与II的公共解为xc(1121)TcR设n阶矩阵A满足A2AE为n阶单位矩阵,证明1(0010)T2(1101)Tx1x4x由方程II得x2x43取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T

R(A)R(AE)n证明由于A(AE)A2AAA0因此R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n27设A为n阶矩阵(n2)A*为A的陪同阵证明n当R(A)nR(A*)1当R(A)n10当R(A)n2证明当R(A)n时|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0因此R(A*)n当R(A)n1时|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解由于R(A)n1因此方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此R(A*)1当R(A)n2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而R(A*)0求以下非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系x1x252x1x2x32x415x13x22x32x43解对增广矩阵进行初等行变换有11005r10108B21121~0110135322300012与所给方程组同解的方程为x1x38x2x313x42当x30时得所给方程组的一个解(81302)T与对应的齐次方程组同解的方程为

x1x3x2x3x40当x31时得对应的齐次方程组的基础解系(1110)Tx15x22x33x4115x13x26x3x412x14x22x3x46解对增广矩阵进行初等行变换有152311r109/71/21B53611~011/71/222421600000与所给方程组同解的方程为x1(9/7)x3(1/2)x41x2(1/7)x3(1/2)x42当x3x40时得所给方程组的一个解(1200)T与对应的齐次方程组同解的方程为x1(9/7)x3(1/2)x4x2(1/7)x3(1/2)x4分别取(x3x4)T(10)T(01)T得对应的齐次方程组的基础解系1(9170)T2(1102)T29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3已知123是它的三个解向量且1(2345)T23(1234)T求该方程组的通解解由于方程组中未知数的个数是4系数矩阵的秩为3因此对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量且由于123均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构性质得21(23)(12)(13)(3456)T为其基础解系向量故此方程组的通解xk(3456)T(2345)T(kR)30设有向量组Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T问为什么值时(1)向量b不能够由向量组A线性表示(2)向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解121r121(a3,a2,a1,b)1121~011145100043(1)当40时R(A)R(Ab)此时向量b不能够由向量组A线性表示(2)当4时R(A)R(Ab)3此时向量组a1a2a3线性没关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)当40时R(A)R(Ab)2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一当40时1241r1021(a3,a2,a1,b)1120~0131451010000

x1c212c1x313c1cR210cx3因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31设a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T证明三直线l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30订交于一点的充分必要条件为向量组ab线性没关且向量组abc线性相关证明三直线订交于一点的充分必要条件为方程组a1xb1yc10a1xb1yc1a2xb2yc20即a2xb2yc2a3xb3yc30a3xb3yc3有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线订交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性没关且向量组abc线性相关32设矩阵A(a1a2a3a4)其中a2a3a4线性没关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一个解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一个解由a2a3a4线性没关知R(A)3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此(1210)T是方程Ax0的基础解系方程Axb的通解为方程组(a3a2a1)xb的解为xc(1210)T(1111)TcR33设*是非齐次线性方程组Axb的一个解,12nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明(1)*12nr线性没关(2)**1*2*nr线性没关证明(1)反证法,假设*12nr线性相关由于12nr线性无关而*12nr线性相关因此*可由12nr线性表示且表示式是唯一的这说明*也是齐次线性方程组的解矛盾(2)显然向量组**1*2*nr与向量组*12nr能够相互表示故这两个向量组等价而由(1)知向量组*12nr线性没关因此向量组**1*2*nr也线性没关34设12s是非齐次线性方程组Axb的s个解k1k2ks为实数满足k1k2ks1.证明xk11k22kss也是它的解.证明由于12s都是方程组Axb的解因此Aib(i12s)从而A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1k2ks)bb因此xk11k22kss也是方程的解35设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r12nr1是它的nr1个线性没关的解试证它的任一解可表示为xk11k22knr1nr1(其中k1k2knr11).证明由于12nr1均为Axb的解因此121231nrnr11均为Axb的解

用反证法证12nr线性没关设它们线性相关则存在不全为零的数12nr使得1122nrnr0即1(21)2(31)nr(nr11)0亦即(12nr)11223nrnr10由12nr1线性没关知(12nr)12nr0矛盾因此12nr线性没关12nr为Axb的一个基础解系设x为Axb的任意解则x1为Ax0的解故x1可由12nr线性表出设x1k21k32knr1nrk2(21)k3(31)knr1(nr11)x1(1k2k3knr1)k22k33knr1nr1令k11k2k3knr1则k1k2k3knr11于是xk11k22knr1nr1设V1{x(x1x2xn)T|x1xnR满足x1x2xn0}V2{x(x1x2xn)T|x1xnR满足x1x2xn1}问V1V2可否是向量空间？为什么？解V1是向量空间由于任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1R有a1a2an0b1b2bn0从而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)0a1a2an(a1a2an)0因此(a1b1a2b2anbn)TV1(a1a2an)TV1V2不是向量空间(a1a2有a1a2b1b2从而(a1b1)(a2(a1a2因此(a1b1

由于任取an)TV1(b1b2bn)TV1an1bn1b2)(anbn)an)(b1b2bn)2a2b2anbn)TV1

TTT339考据a1(110)a2(213)a3(312)为R的一个基,并把v1(50TT7)v2(9813)用这个基线性表示.解设A(a1a2a3)由123|(a1,a2,a3)|1116003237试证由a1(011)Ta2(101)Ta3(110)T所生成的向量空间就是R3.证明设A(a1a2a3)由011|A|10120110知R(A)3故a1a2a3线性没关因此a1a2a3是三维空间R3的一组基,因此由a1a2a3所生成的向量空间就是R3.38由a1(1100)Ta2(1011)T所生成的向量空间记作V1,由b1(2133)Tb2(0111)T所生成的向量空间记作V2,试证V1V2.证明设A(a1a2)B(b1b2)显然R(A)R(B)2又由1120r112010110131(A,B)~0131000001310000知R(AB)2因此R(A)R(B)R(AB)从而向量组a1a2与向量组b1b2等价由于向量组a1a2与向量组b1b2等价因此这两个向量组所生成的向量空间相同即V1V2.

知R(A)3故a1a2a3线性没关因此a1a2a3为R3的一个基.设x1a1x2a2x3a3v1则x12x23x35x1x2x303x22x37解之得x12x23x31故线性表示为v12a13a2a3设x1a1x2a2x3a3v2则x12x23x39x1x2x383x22x313解之得x13x23x32故线性表示为v23a13a22a3已知R3的两个基为a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P解设e1e2e3是三维单位坐标向量组则111(a1,a2,a3)(e1,e2,e3)100111111(e1,e2,e3)(a1,a2,a3)100111123于是(b1,b2,b3)(e1,e2,e3)234143

1

1b1a111ba[b1,a2]b1022[b,b]1111ba[b1,a3]b[b2,a3]b33[b,b]1[b,b]21122

1121111123(a1,a2,a3)100234111143由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵为1111123234P100234010111143101第五章相似矩阵及二次型试用施密特法把以下向量组正交化111(1)(a,a,a)124123139

111011(2)(a1,a2,a3)101110解依照施密特正交化方法1b1a1011[b1,a2]b1ba1322[b1,b1]1321解依照施密特正交化方法[b1,a3]b[b2,a3]b1ba1333[b1,b1]1[b2,b2]25342以下矩阵可否是正交阵:11123(1)111;212112解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵184999(2)814999447999解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明由于HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT因此H是对称矩阵由于HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)

E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE因此H是正交矩阵4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵证明由于AB是n阶正交阵故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求以下矩阵的特色值和特色向量:212(1)533;102212(1)3解|AE|533102故A的特色值为1(三重)对于特色值1由312101AE523~011101000得方程(AE)x0的基础解系p1(111)T向量p1就是对应于特色值1的特色值向量.123213;336解|AE|123(1)(9)213336故A的特色值为102139对于特色值10由123~123A213011336000得方程Ax0的基础解系p1(111)T向量p1是对应于特色值10的特色值向量.对于特色值21,由223223AE223~001337000得方程(AE)x0的基础解系p2(110)T向量p2就是对应于特色值21的特色值向量对于特色值39由823111A9E283~0112333000得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/21/21)T向量p3就是对应于特色值39的特征值向量

00010010(3)0100.1000001解|AE|0110(1)2(1)200100故A的特色值为121341对于特色值121由10011001AE0110~01100110000010010000得方程(AE)x0的基础解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是对应于特色值121的线性没关特色值向量对于特色值341由10011001AE0110~01100110000010010000得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是对应于特征值341的线性没关特色值向量6设A为n阶矩阵证明AT与A的特色值相同证明由于|ATE||(AE)T||AE|T|AE|因此AT与A的特色多项式相同从而AT与A的特色值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特色值有公共的特色向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特色值0的线性没关的特色向量近似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特色值0的线性没关的特色向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性有对于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性没关相矛盾因此0是A的也是B的对于0的特色向量因此A与B有公共的特色值有公共的特色向量设A23A2EO证明A的特色值只能取1或2证明设是A的任意一个特色值x是A的对应于的特色向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0由于x0因此2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特色值证明由于A为正交矩阵因此A的特色值为1或1由于|A|等于所有特色值之积又|A|1因此必有奇数个特色值为1即1是A的特色值10设0是m阶矩阵AmnBnm的特色值证明也是n阶矩阵BA的特色值

证明设x是AB的对应于0的特色向量则有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)从而是BA的特色值且Bx是BA的对应于的特色向量11已知3阶矩阵A的特色值为123求|A35A27A|解令( )3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特色值故|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)3231812已知3阶矩阵A的特色值为123求|A*3A2E|解由于|A|12(3)60因此A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令( )61322则(1)1(2)5(3)5是(A)的特色值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)(2)(3)15(5)2513设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取PA则P1ABPA1ABABA即AB与BA相似20114设矩阵A31x可相似对角化求x405解由201(1)2(6)|AE|31x405得A的特色值为16231由于A可相似对角化因此对于231齐次线性方程组(AE)x0有两个线性没关的解因此R(AE)1由101r101(AE)30x~00x3404000知当x3时R(AE)1即x3为所求21215已知p(111)T是矩阵A5a3的一个特色向量1b2(1)求参数ab及特色向量p所对应的特色值解设是特色向量p所对应的特色值则21210(AE)p0即5a3101b210解之得1a3b0(2)问A能不能够相似对角化？并说明原由解由212|AE|533(1)3102得A的特色值为1231由

112r101AE523~0111b1000知R(AE)2因此齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16试求一个正交的相似变换矩阵,将以下对称阵化为对角阵:220(1)212;20解将所给矩阵记为A由220AE212(1)(4)(2)02得矩阵A的特色值为122134对于12解方程(A2E)x0即420x1232x20022x3得特色向量(122)T单位化得p1(1,2,2)T333对于21,解方程(AE)x0即120x1202x20021x3得特色向量(212)T单位化得p2(2,1,2)T333对于34,解方程(A4E)x0即220x1232