2021-2022学年广东省中山市八年级（上）期末数学试题及答案解析

第=page1818页，共=sectionpages1818页2021-2022学年广东省中山市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为(

)A.1.64×10−5 B.1.64×10−6 C.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是(

)A.赵爽弦图 B.费马螺线

C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(

)A.a2+b2 B.2a−b2计算：(−23xA.−2x6y3 B.827x将分式x22x+2y中的x，y同时扩大4倍，则分式的值(

)A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.缩小到原来的一半 D.保持不变已知x=2是分式方程kx+x−1x−3=1的解，那么A.0 B.1 C.2 D.4在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=8，CD=5，则△ABC的周长为(

)A.13 B.18 C.21 D.26如图，点E在AC上，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB的度数是(

)A.90°

B.180°

C.270°

D.360°

如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b=7，ab=3，则阴影部分的面积是(

)A.40

B.492

C.20

D.如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有(

)A.4个

B.5个

C.6个

D.7个二、填空题（本大题共7小题，共28分）五边形的外角和为______．已知x2−2x=−1，则代数式5+x(x−2)的值为______．已知x−3yx=0，则yx=如图，已知∠B=∠C，请你再添加一条件______使△ABE≌△ACD．

分式方程：xx−1+21−x=2在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为42°，则∠B=______．如图，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则|PB−PC|的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题6分)

计算：(2a−3)(2a+3)−(5a3+a)÷a(本小题6分)

已知m2=n3，求(本小题6分)

如图，在平面直角坐标系中，A(4,1)，B(−4,−2)，C(1,−3)．

(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

(2)在x轴上作出点P，使得PB+PC(本小题8.0分)

在(x2−2x+a)(3x+b)的运算结果中，x2的系数为−4，x的系数为−7，求a，b的值并对式子(本小题8.0分)

如图，AB，CD相交于点E且互相平分，F是BD延长线上一点，若∠FAC=2∠BAC，求证：AC+DF=AF．(本小题8.0分)

某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．该商场实际购进彩灯的单价是多少元？(本小题10.0分)

如图，△ABC中，AB=AC=BC=20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t(秒)．

(1)当0<t<5且△BMN为直角三角形时，求t的值；

(2)当t为何值，△BMN为等边三角形．

(本小题10.0分)

如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．

答案和解析1.【答案】B

【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解：0.00000164=1.64×10−62.【答案】C

【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C．

根据轴对称图形定义进行分析即可．

此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

利用平方差公式的结构特征判断即可．

【解答】

解：A.原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；

B.原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；

C.原式=(b−a)(b+a)，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；

D.原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意．

故选C．

4.【答案】D

【解析】解：(−23x2y)3=−8275.【答案】A

【解析】解：分别用4x和4y去代换原分式中的x和y，得：

(4x)22×4x+2×4y=16x24(2x+2y)=4×x22x+2y，

可见新分式是原分式的4倍．

故选：A．

6.【答案】D

【解析】解：kx+x−1x−3=1，

k(x−3)+x(x−1)=x(x−3)，

kx−3k+x2−x=x2−3x，

kx−x+3x=3k，

(k+2)x=3k，

所以x=3kk+2，

因为x=2是方程的解，

所以3kk+2=2，

整理得：3k=2k+4

解得：k=4，

经检验k=4是方程的解，

故选：7.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．

运用等腰三角形的性质，可得BD=CD，再求出△ABC的周长．

【解答】

解：在△ABC中，AB=AC，

所以△ABC是等腰三角形，

又因为AD⊥BC于点D，AB=8，CD=5．

所以BD=CD=5．

所以△ABC的周长=8+8+5+5=26．

故选：D．

8.【答案】B

【解析】解：由三角形外角的性质可得，

∠AED=∠C+∠D，∠BEC=∠A+∠B，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB=∠AED+∠BEC+∠DEB=∠AEC=180°．

故选：B．

由三角形外角的性质可得，∠AED=∠C+∠D，∠BEC=∠A+∠B，再根据平角的定义可得答案．

本题考查多边形的内角与外角，熟练掌握三角形的外角的性质是解题关键．

9.【答案】C

【解析】解：由题意可得阴影部分的面积为：

a2+b2−12a2−12(a+b)b

=a2+b2−12a2−12ab−10.【答案】C

【解析】解：①AB的垂直平分线交直线AC于点P1，交BC于点P2，(此时PA=PB)；

②以A为圆心，AB为半径画圆，交AC于二点P3，P1，交BC于点P4，(此时AB=AP)；

③以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5，P6，交AC有一点P1(此时BP=BA)．

故符合条件的点有6个．

11.【答案】360°

【解析】解：∵多边形的外角和为360°，

∴五边形的外角和为360°，

故答案为：360°．

根据多边形外角和定理求解即可．

此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的外角和为360°是解题的关键．

12.【答案】4

【解析】解：∵x2−2x=−1，

∴5+x(x−2)

=5+(x2−2x)

=5+(−1)

=4．

故答案为：4．

首先把5+x(x−2)化成5+(x2−2x)，然后把x213.【答案】13【解析】解：∵x−3yx=0，

∴x−3y=0，

∴x=3y，

∴yx=13，

14.【答案】AB=AC(答案不唯一)

【解析】解：∵∠B=∠C，∠A为公共角，

∴可添加AB=AC使△ABE≌△ACD，

在△ABE和△ACD中，

∵∠B=∠CAB=AC∠A=∠A，

∴△ABE≌△ACD(ASA)．

故答案可为：AB=AC(答案不唯一)．

要使△ABE≌△ACD，已知∠B=∠C，∠A为公共角，则可添加AB=AC，利用ASA判定其全等；或添加AE=AD，利用AAS判定其全等．

本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、15.【答案】x=0

【解析】解：去分母得：x−2=2x−2，

解得：x=0，

经检验x=0是分式方程的解．

故答案为：x=0

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

16.【答案】66°或24°

【解析】解：当△ABC为锐角三角形时，

如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，

∵∠ADE=42°，DE⊥AB，

∴∠A=90°−42°=48°，

∵AB=AC，

∴∠B=12(180°−∠A)=66°；

当△ABC为钝角三角形时，

如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，

∵∠ADE=42°，DE⊥AB，

∴∠DAB=48°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠B+∠C=∠DAB，

∴∠B=24°；

综上可知∠B的度数为66°或24°，

故答案为：66°或24°．

当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，在Rt△ADE中可求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；当△ABC为钝角三角形时，设AB的垂直平分线交AB于点E，交直线AC于点D，则可求得△BAC的外角，再利用外角的性质可求得∠B，可求得答案．

本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，三角形外角的性质等，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．17.【答案】5

【解析】解：如图．

作点B关于射线AD的对称点B′，连接AB′、CB′．

则AB=AB′，PB′=PB，∠B′AD=∠BAD=25°，∠B′AC=∠BAC−∠BAB′=110°−25°−25°=60°．

∵AB=AC=5，

∴AB′=AC=5，

∴△AB′C是等边三角形，

∴B′C=5，

在△PB′C中，|PB′−PC|≤B′C，

当P、B′、C在同一直线上时，|PB′−PC|取最大值B′C，即为5．

∴|PB−PC|的最大值是5．

故答案为：5．

作点B关于射线AD的对称点B′，连接AB′、CB′.则AB=AB′，PB′=PB，ΔAB′C是等边三角形，在△PB′C中，|PB′−PC|≤B′C，当P、B′、C在同一直线上时，|PB′−PC|取最大值B′C，即为5.所以PB−PC|的最大值是5．

本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键

18.【答案】解：(2a−3)(2a+3)−(5a3+a)÷a

=4a2【解析】按照运算顺序，先算乘除，后算加减，然后进行计算即可．

本题考查了整式的除法，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】解：(4n2−4mnm2+1)÷2n−mm

=4n2−4mn+m2m2⋅m2n−m【解析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，求出2n=3m，把2n=3m代入化简后的结果，即可求出答案．

本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．

20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

点B1的坐标为(−4,2)；

(2)如图，点P【解析】(1)根据A(4,1)，B(−4,−2)，C(1,−3)和轴对称的性质即可作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出点B1的坐标；

(2)连接B′C交x轴于点P即可使得PB+PC最短，进而可以写出点P的坐标．

本题考查了作图21.【答案】解：(x2−2x+a)(3x+b)

=3x3+bx2−6x2−2bx+3ax+ab

=3x3+(b−6)x2+(3a−2b)x+ab

因为x2的系数为−4，x的系数为−7，

所以b−6=−4，3a−2b=−7，

所以b=2，a=−1，

所以【解析】先计算多项式乘多项式，然后根据已知求出a，b的值，最后把a，b的值代入式子进行分解即可．

本题考查了多项式乘多项式，提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．

22.【答案】证明：因为AB，CD相交于点E且互相平分，

所以AE=BE，CE=DE，

在△ACE和△BDE中，

AE=BE∠AEC=∠BEDCE=DE

所以△ACE≌△BDE(SAS)

所以AC=BD，∠BAC=∠B，

因为∠FAC=2∠BAC，

∠FAC=∠BAC+∠FAB，

所以2∠BAC=∠BAC+∠FAB，

所以∠BAC=∠FAB，

所以∠FAB=∠B

所以AF=BF

因为BD+DF=BF

所以【解析】通过证明△ACE≌△BDE(SAS)进而得出结论AC=BD，∠BAC=∠B，在根据已知∠FAC=2∠BAC，可得∠FAB=∠B，AF=BF，从而AC+DF=AF．

本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】解：设商场原计划购进彩灯的单价为x元，则商场实际购进彩灯的单价为(1+20%)x元，

根据题意得：30000x−30000(1+20%)x=100，

解得：x=50，

经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意，

则(1+20%)x=60(元)，【解析】设商场原计划购进彩灯的单价为x元，则商场实际购进彩灯的单价为(1+20%)x元，由题意：某商场计划在年前用30000元购进一批彩灯，由于货源紧张，厂商提价销售，实际的进货价格比原来提高了20%，结果比原计划少购进100盏彩灯．列出分式方程，解方程即可．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

24.【答案】解：(1)当0<t<5时，点M在BC上，点N在AB上，BN=4t，MB=20−4t，

△BMN为直角三角形，则∠BNM=90°或∠NMB=90°，

①当∠BNM=90°时，

因为∠B=60°，

所以∠BMN=90°−∠B=90°−60°=30°，

所以BM=2BN，

所以20−4t=2×4t，

解得：t=53；

②当∠NMB=90°时，

因为∠B=60°，

所以∠BNM=90°−∠B=90°−60°=30°，

所以BN=2BM，

所以4t=2(20−4t)，

解得：t=103．

③点M在AC上，点N在AB上，AN=CM=40−4t，(80−8t)+(40−4t)=20，

t=253(不合题意舍去)，

综上，当t=53或103时，△BMN为直角三角形；

(2)点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则0<t≤10，

①当0<t≤5时，当MB=BN时，△BMN为等边三角形，

此时，4t=20−4t，

解得：t=52；

②当5<t≤10时，△BMN为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，

【解析】(1)根据速度与时间可得路程CM和BM；分两种情况：当∠NMB=90°时，当∠BNM=90°时，由直角三角形的性质列出方程可得出答案；

(2)分两种情况：0<t≤5和5<t≤10，列出方程可得出答案．

本题考查了等边三角形