高中数学必修2全册课时同步练习题及答案

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】第一章 空间几何体§1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公边都 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．一般地，有一个面是多边形，其余各面都由这些面所围成的多面体叫做棱锥．．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫 ．以直角三角形的一所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的转体叫做圆锥．用一的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台．(2)用一于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，称球．一、选择题棱台不具备的性质( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱3．下列说法正确的( )A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的( )A．直线绕定直线旋转形成柱B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的( )1A．①是棱台 B．②是圆台C．③是棱锥 D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿正方体的一些棱将正方体剪开外面朝上展平得到右侧的平面图形则标“△”的面的位是( )A．南 B．北 C．西 D．下二、填空题由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少个面．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是 ．三、解答题ABCD—A′B′C′DBCFE部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是棱．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的339245°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．2能力提升下列四个平面图形中每个小四边形皆为正方形其中可以沿两个正方形的相邻折叠围成一个正方体的图形的( )如图，在底面半径为1，高为2A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由AB点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．图形化归为二维图形求解．题的关键．小值是连接两点的线段长求解．3第一章 空间几何体．1 空间几何体的结构答案知识梳理1．互相平行有一个公共顶点的三角形圆柱直角边平行于棱锥底面 平行6．直径作业设计1．C 2．C B3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．][两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A线为轴旋转形成球体，故BD5．C 6．B 7．4 8．圆锥 9．①②10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义它是三棱柱BEB′—CFC′，其△BEB′和△CFC是底面．EF，B′CBC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′．其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．ADEF，BCAD为侧棱．4xcm3xAA1

交OO1的延长线于点S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°．∴SO＝AO＝3xcm，OO＝2xcm． 1(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7，∴圆台的高OO1 ∴2 11＝14cm，母线长l＝2OO＝142cm，底面半径分别为7cm和21cm．112．C解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 即蚂蚁爬行的最短距离为2 1＋π2．5【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】1.1.2 简单组合体的结构特征【课时目标】12用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．定义：组合而成的几何体叫做简单组合体．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的( )该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到( 以钝角三角形的较小边所在的直线为轴其他两边旋转一周所得到的几何体( A．两个圆锥拼接而成的组合体CD．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周所得的几何体是( A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的6水形成的几何体( )棱柱 B．棱台C．棱柱与棱锥组合体 D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能( )A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题下列叙述中错误的．(填序)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是 ．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定．三、解答题如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．7能力提升()，过一条侧棱和对边的中点作三棱()rhABCD－ABC

内接于圆锥，求这个正方体的棱长．

1111组合体的结构特征有两种组成：是由简单几何体拼接而成；基本的几何体．简单组合体的结构特征 答案知识梳理1．简单几何体 2．截去或挖去一部分作业设计1．A 2．A 3．D 4．D 5．A86．D [7．①②③④ 8．圆台和圆(或棱台和棱) 9．球体解 将该几何体分解成简单几何体可知它是由一个球一个四棱柱和一个四棱组合而成．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B13．解 如图所示过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x．因为△VAC∽△VMN，11解得2r h所以2hx＝2rh－2rx，

2rh ．2r＋2h即圆锥内接正方体的棱长为 2rh ．2r＋2h9【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】§1.2 空间几何体的三视图和直观图中心投影与平行投影空间几何体的三视图【课时目标】12画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线，而中投影的投影．2．三视图包括 、 和 ，其中几何体的 和 高度一样， 与 长度一样， 宽度一样．一、选择题1．下列命题正确的( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视( 3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④4几何体的俯视图( )105．如图所示的正方体中，M、N分别是AA、CC51 1

的中点，作四边形DMBN，则四边11形DMBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的( )1一个长方体去掉一角的直观图如图所示关于它的三视图下列画法正确的( )二、填空题根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应 ；(2)对(3)对应 ；(4)对(5)对应 ．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面长分别．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正11方体的个数最多个．三、解答题在下面图形中，图(b)是图(a))．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．12在绘制三视图时，要注意以下三点：可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．”．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．§1．2 空间几何体的三视图和直观图中心投影与平行投影答案知识梳理平行的 交于一点正视图 侧视图 俯视图 侧视图 正视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图作业设计1．D [因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，BCD2．C3．D [①三13棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]4．C[由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]5．D 6．A7．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B8．2 4解析 三棱柱的高同侧视图的高侧视图的宽度恰为底面正三角形的高故底边长为4．9．7解图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示正确画法如图所示．解 该图形的三视图如图所示．解()．它的三视图如图所示．解①17而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．14【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】1.2.3 空间几何体的直观图【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：在已知图形中取互的x轴和y轴两轴相交于点画直观图时把它画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画于x′轴或轴的线段．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长，平行于y轴的段，长度为原来．一、选择题下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行其中正确的( )A．①② B．①④C．③④ D．①③④具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )A．等腰梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直图，则原图的周长( )A．8cm B．6cmC．2(1＋3)cm D．2(1＋2)cm下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组( )15如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中( )一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰形，则该平面图形的面积等( )A 1 2 2．2＋2 B．1＋2C．1＋2 D．2＋2二、填空题利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的．(填序号)的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离．三、解答题如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．16ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．能力提升ABCa，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．在水平放置的平面1A′C该四边形的真实图形并求出其面积．17直观图与原图形的关系斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的求原图形的面积可把直观图还原为原图形水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的2倍．4真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．空间几何体的直观图 答案知识梳理垂直 (2)平行 (3)不变 一半作业设计1．B [2．B3．A [根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABCOA＝1，AB＝38cm．]4．C [5．C6．D [如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′D′E′∥A′B交B′C于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，A＝，所以SABD2＋2．7．①②

图1 图2]解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交相对线线平行关系不会改变此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．518解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．29．2解析B′x′

2·2OA＝4OA＝221 2 解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图21 2 A1B1C1D1x′，y′，z′b所示，在z′V′V′O′V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，b；擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．解(1)aABCD中，以边ABxA为原点xOy．如图b所示，画出对应的x′∠x′O′y′＝45°．在图aD点作DxE轴上取BA＝4cAE′＝AE＝3

3≈2．598cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝1

，再过点D′作2 2EDD′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2cm．A′D′B′C′x′c所示，则A′B′C′D′就是所求作的直观图．解 先画出正三角形ABC，19然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示．由斜二测画法规则知3B′C′＝a，O′A′＝4a．过A′引A′M⊥x′轴，垂足为M，则A′M＝O′A′·sin45°＝3 2＝64a×2 8a．∴SABC

1 1 6＝B′C′·A′M＝a× a△′′′2＝2＝16a

2 2 813．解 四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．20【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】§1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积【课时目标】锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．旋转体的表面积名称

图形 公式底面积：S＝ 底圆柱 侧面积：S＝ 侧表面积：S＝2πr(r＋l)底面积：S＝ 底圆锥 侧面积：S＝ 侧S圆台

上底面面积：＝ 上底下底面面积：＝ 下底侧面积 侧体积公式柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝ (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ (3)

表面积：S＝ 1S′＋S′S＋S)h．台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(一、选择题用长为宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱此圆柱的轴截面面积( )A．8 B 8

C 4 D 2．π ．π ．π一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比( )A 1＋2π 1＋4π 1＋2π 1＋4π．

2π中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B于( )A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为b形成的几何体的体积之比( )A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)为( )21A．24πcm2,12πcm3 B．15πcm2,12πcm3C．24πcm2,36πcm3 D．以上都不正6．三视图如图所示的几何体的全面积( )A．7＋2

11．2

2 C．7＋3 D 3．2．27．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有化，则孔的半径．8．圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺(单位：cm)，可得这个几体的体积．三、解答题10cm和20c结果中保留π)612，求它的侧面积．22能力提升一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积( )A．2π＋23 B．4π＋23＋3＋3C．2π 23 D．4π 2＋3＋33)．三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V ＝SSS

1S＋SS＋′S0

＝1 ．柱体 台体 3

Sh锥体 3“”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间23的数量关系．知识梳理

§1．3 空间几何体的表面积与体积答案πr2 2πrl πr2 πrl πr(r＋l) πr′2 πr2 π(r′2＋r2＋r′l＋rl)2． 1Sh (2)3Sh作业设计π1．B [2πr＝4π×2＝所以轴截面面积8×2＝π π

，全面积为＝2πr＋4π

，其比为：1＋2π．]2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π2r2则 3 3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为4πl则 3

2 2r2 2π8r2＋πr2＝11

2，B＝8

2，得A∶B＝11∶8．]A＝3π

3πr

3πr1[以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝3πb2a，以长为b的直角边所3在直线旋转得到圆锥体积V＝1πa2b．]35．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为424πcm2,12πcm3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为211．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积＝2S＋S ＝1表面 底7．3

侧面 2(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．8 288 192．π或ππ解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝6，π所以V＝π·62·8＝288cm3)．π π(π82πr＝8，所以r＝4，ππ 所以V＝π·4π

(cm3)．2480009．

cm3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，V＝1 8000 3．3Sh＝3 cm10．解如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S＋S下＝π(r＋r)·AB＋πr2＋πr21 2 1 2＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2．1h＝ AB2－OB－OA2＝ 202－102＝103，11112V＝3πh(r2＋rr＋r211123 ＝1π×103×(102＋10×20＋202)＝70003π(cm3)3 即圆台的表面积为1100πcm2，体积为70003

cm3．3 π11．解 如图、E1分别是BC、B1C1的中点O1分别是下、上底面正方形的中心则OO为正四棱台的高，则OO＝12．1 1连接OE、OE，则OE＝1AB11 2＝1 2×12＝6，O1E1＝2A1B1＝＝1 E1作E1H⊥OE，垂足为H，则EH＝OO＝12，OH＝OE＝3，1 1 11HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．在Rt△EHE中，EE2＝EH2＋HE2＝122＋321 1 1＝32×42＋32＝32×17，1所以EE＝317．125所以S

＝4×1侧 2×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(12＋6)×317＝10817．12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积1 2 23，所以该几何体3×(2)×3＝3的体积为2π＋23．]313．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36．∴该几何体的表面积为36．26【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】1.3.2 球的体积和表面积【课时目标】1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝ ，即球的表面积等于它的大圆面积的 倍．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝ ．一、选择题一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比( )6π

π6 22π D 3π2 ．π把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来( )A．2倍 B．22倍C．2倍 D．32倍正方体的内切球和外接球的体积之比( A．1∶3 B．1∶3C．1∶33 D．1∶94．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比( A．1∶2∶3 B．1∶2∶3C．1∶22∶33 D．1∶4∶75．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,58则这个球的表面积( )A．25π B．50πC．125π D．以上都不对6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3径之比( )A．4∶9 B．9∶4C．4∶27 D．27∶4二、填空题毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长万里．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4cm，则钢球的径是 ．9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体．27三、解答题如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8cm的半球形的冰淇淋，请你()冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？r球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．能力提升已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球某学生画出了四个过球心的平面截球三棱锥所得的图形，如图所示，( )AB(2)(4)是正确的C(4)是错误的D(1)(2)是正确的过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．28计算．形中，再进行相关计算．球的体积和表面积 答案知识梳理41．4πR2 4 2．3πR3作业设计1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系

6π，再由体积公式求得体积比3r为6[由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2223．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]2 1 2 4．C [由表面积之比得到半径之比为 r1∶r∶r＝1∶2∶3，从而得体积之比V∶V∶V＝1∶22∶332 1 2 5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线高)．]

a2＋b2＋c2(a、b、c分别是长、宽、3 6．A [设球半径为r，圆锥的高为h1π(3r)2h＝4πr3，可得h∶r＝4∶9．3 7．4解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍日行8万里指地球大圆的周长，即2πR

＝8，故R

＝4(万里)，所以火星的半径为2万里，其大圆的周长为4万地球里．8．3cm

地球 π π43，可得r＝3cm．解析 设球的半径为r，则36π＝3πr9．(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．6a2＝4πr2

＝4πr3＝ 6a3>a3＝V ；球 3 π

正方体29＝4

＝4πr＝63π ＝S当a3

球 2

正方体．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须≥V

＝1 4r3＝1 4 3，V圆锥 半

半球

2×3π×4V ＝1Sh＝1πr2h＝1π×42×h．圆锥 3 3 3依题意×2 1 4 3，解得h≥8．3π 4×h≥2×3π×488cm又因为S圆锥侧＝πrl＝πr

h2＋r2，当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8cm时，制造的杯子最省材料．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积为V＝V

－V ＝1π·(3r)2·3r－4πr3＝5πr3h，则＝＝水面圆的半径为

3h，从而容器内水的体积是V′＝1π·(32

1 3，由V＝V′，得h＝315r．

3 3 3h)·h 9即容器中水的深度为315r．12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大(过球心的截面13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r＝a，r＝a，所以S＝4πr2＝πa2．1 1 2 1 1②22＝2a，r＝2，所以S＝4πr2＝2πa2．2 2a 2 2③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝3a，r＝3，所以S＝4πr2＝3πa2．3 2a 3 31 2 综上可得S∶S∶S＝1∶2∶31 2 30【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】第二章 点、直线、平面之间的位置关系§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面【课时目标】掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．公理1：如果一条直线上在一个平面内，那在此面内．符号．公理2：过 的三点， 一个面．公理3：如果两个不重合的平面公共点，那么它们有且只该点的公共直线．符号．用符号语言表示下列语句：点A在平面α内但在平面β外： ．直线l经过面α内一点A，α外一点B： ．直线l在面α内也在面β内．平面α内的两条直线、n相交于A： ．一、选择题下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50M，宽是20M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念其中正确命题的个数( )A．1 B．2 C．3 D．4若点M在直线b上，b在平面β内，则Mbβ之间的关系可记( A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β已知平面α与平面βγ都相交，则这三个平面可能的交线( )A．1条或2条 B．2条或3条C．1条或3条 D．1条或2条或3条已知αβ为平面B、、N为点，a为直线，下列推理错误的( A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．AB、M∈α，A、BM∈β，且AB、M不共⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件( )A．两条直线 B．一点和一直线C．一个三角形 D．三个点31空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面( )A．2个或3个 B．4个或3个C．1个或3个 D．1个或4个二、填空题如图的序号填在题后横线上．(1)Aα，a⊂α ．(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ (3)a⊄α，a∩α＝A ．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O ．已知α∩β＝M，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为 ．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面其中正确命题的序号．三、解答题如图，直角梯形ABDCABDC所在平面外一SBDSAC的交线，并说明理由．如图所示，四边形ABCD或延长线分别与αE，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．32能力提升ABCD－ABCDAC

交于点O，AC、1111 1 1BDM，EABAA1

的中点．求证：(1)C、O、M三点共线；(2)E、C、D、F四点共面；1 11(3)CE、DF、DA三线共点．1共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这33”等依据的证明、记忆与运用．“”往往归结为平面与平面的交线．第二章 点、直线、平面之间的位置关系§2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系平 答案知识梳理两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α不在一条直线上 有且只有一个 一条 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l4．(1)A∈α，A∉β (2)A∈α，B∉α且A∈l，B∈l (3)l⊂α且l⊂β (4)M⊂α，n⊂α且M∩n＝A作业设计1．A [①②、③都不正确，故选A．]2．B 3．D4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D [14个平面．]7．(1)C (2)D (3)A (4)B8．A∈M解析 因为所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．9．③解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．34证明 因为所以确定平面因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知必在平面AC与平面α的交线上．同理、GE都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．证明1 2 1 ∵l⊂β，l⊂β，l l1 2 1 1 ∴l∩l交于一点，记交点为P1 1 ∵P∈l⊂β，P∈l⊂γ1 ∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．证明 (1)∵C1OM∈平面BDC1，又C、O、M∈平面AACC，由公理3知，点C、O、M在平面BDC

与平面AACC1 1 1 1的交线上，

1 1 1∴C1、O、M三点共线．∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．AB．由(2)可知：四点EC、D1、F又∵EF＝AB．21∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈DF⊂平面ADDA，P∈CE⊂平面ADCB．1 111∴P∈平面ADD1A∩平面ADCB＝AD．1∴CE、D1F、DA三线共点．35【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【课时目标】1．会判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．3．能用公理4解决一些简单的相关问题．空间两条直线的位置关系有且只有三种： 、 、 ．异面直线的定义 的两条直线叫做异面直线．公理4：平行于同一条直线的两条直．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对，那么这两个或 ．异面直线所成的角：直线是异面直线，经过空间任一点O，作直线使 ， ，我们把a′与b′所成叫做异面直线a与b所成的角(或夹)．如果两条直线所成的角那么我们就说这两条异面直线互相垂直两条异直线所成的角的取值范围．一、选择题1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系( A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能2．若a和b是异面直线和c是异面直线，则a和c的位置关系( A．异面或平行 B．异面或相交C．异面 D．相交、平行或异面3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系( A．一定平行 B．一定相交C．一定异面 D．相交或异面4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定( A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；l，ll

都相交的两条直线是异面直线．1 2 1 2其中假命题的个数( )A．1 B．2 C．3 D．4如图所示，已知三棱锥A－BCD中、N分别为ABCD的中点，则下列结论确的是( )361A．MN≥2(AC＋BD)B 1．MN≤2(AC＋BD)1C．MN＝2(AC＋BD)D．MN1AC＋BD)<2(二、填空题空间两个角、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为 ．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中(1)BC′与CD′所成的角；(2)AD与BC′所成的角．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号．三、解答题ABCD中，AB＝CDABCD30°，EFBC、ADEFAB所成角的大小．37aABCD－ABCD中，M，NCDAD的中点．11求证：(1)四边形MNAC11

是梯形；

1111(2)∠DNM＝∠DAC．(2)111能力提升HNGH，MN是异面直线的图形填序)．

中，E、F分别是面ABCD和AADD

的中心，则EF和CD所成的1角是( )

1111 1 1A．60° B．45° C．30° D．90°38它是我们培养空间想象能力的好工具．空间中直线与直线之间的位置关系 答案知识梳理相交直线 平行直线 异面直线不同在任何一个平面内互相平行平行 相等 互补5．a′∥a b′∥b 锐(或直角) 直角 (0°，90°]作业设计1．D[异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明ab异面，直线c3．D4．B [易证四边形EFGH为平行四边形．又∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF∥AC，又FG∥BD，∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．而AC与BD所成的角为90°，∴∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．]5．B [①④可举反例，如a、、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；39当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．]6．D[如图所示，取BC的中点E，连接MENE，则ME＝1 ，NE＝1 ，

2AC2BD2所以ME＋NE＝1(AC＋BD)．2所以 在△MNE中，有ME所以 2(AC＋BD)．]7．60°或120°8．(1)60° (2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′知∠A′BC′＝60°，AD∥BC，知AD与BC′易知∠C′BC＝45°．9．①③解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示与MN是40异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．10．解 取AC的中点连接EG、FG，则EG∥AB，GF∥CD，且由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°．由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．故EF与AB所成的角为15°或证明 (1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M、N分别是CD、AD的中点，∴MN是三角形的中位线，∴MN∥AC，MN＝1 ．2AC由正方体的性质得：AC∥AC，AC＝AC．11 11∴MN∥AC，且MN＝1 ，即MN≠AC，11 2A1C1 11∴四边形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．AC而∠DNM与∠DAC111

均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1．12．②④解析 中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，∴HG、MN必相交．13．B [41连接BD，则E为BD

中点，11 11连接AB，EF∥AB，1 1又CD∥AB，∴∠BAB为异面直线EF与CD所成的角，即∠BAB＝45°．]1 142【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系【课时目标】1．会对直线和平面的位置关系进行分类．2．会对平面和平面之间的位置关系进行分类．3．会用符号或图形把直线和平面、平面和平面的位置关系正确地表示出来．一条直线a和一个平面α有且仅三种位置关系用号语言表)两平面α与β有且仅两种位置关(用符号语言表)．一、选择题已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系( A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系( A．相交 B．b∥αC．b⊂α D．b∥αb⊂α若直线M不平行于平面α，且M⊄α，则下列结论成立的( A．α内的所有直线与M异面αM平行的直线αM平行αM都相交三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线( )A．1条 B．2条C．3条 D．1条或2条α∥βa⊂α，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数( )A．0 B．1 C．2 D．36( )A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直二、填空题正方体ABCD－ABCDFAA

的中点，则该正方体的六个表1111 1 1面中与EF平行的个．若b是两条异面直线且a∥平面则b与α的位置关系．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值．三、解答题43(1)aα内．aα相交．aα平行．、βγα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝babaβ的关系并证明你的结论．能力提升若不在同一条直线上的三点ABC到平面α的距离相等，且A、BCD/∈α，则面ABC与面α的位置关系．ABCD—A1B1C1D1QDD1A、QB1三点的截面图形的形状．44要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．在选择题中常用排除法解题．空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系答案知识梳理1．a⊂α，a∩α＝A或2．α∥β α∩β＝l作业设计1．D 2．D 3．B 4．D 5．C[若尺子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则BAD．]7．3 8．b⊂α，b∥α或b与α相交 9．4,6,7,8解 (1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图(1)直线a在平面α内：a与平面α相交：a与平面α平行：解 由α∩γ＝a知a⊂α且由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b．∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β．45平行或相交解图(1)由点Q在线段DD

上移动，当点Q与点D

重合时，截面图形为等边三角形ABD，1 1 11如图(1)所示；11当点Q与点D重合时，截面图形为矩形ABCD，如图(2)所示；11当点Q不与点D，D1

重合时，

图(2)1截面图形为等腰梯形AQRB，如图(3)所示．1图(3)46【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．直线与平面平行的定义：直线与平公共点．直线与平面平行的判定定理： 一条直线与 的一条直线平行，则该直线与此平面行．用符号表示．一、选择题(a，b)a∥b，b⊂αa∥α；a∥α，b∥αa∥b；a∥b，b∥αa∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．其中正确说法的个数( A．0 B．1 C．2 D．3已知a，b是两条相交直线则b与α的位置关系( A．b∥α B．b与α相交C．b⊂α D．b∥αbα相交如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的置关系一定( )A．平行 B．相交C．平行或相交 D．AB⊂αABCDFABBCAE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系( A．平行 B．相交C．在内 D．不能确定过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平( A．不存在 B．只能作出一个C．能作出无数个 以上都有可能ABCD－ABCDDBBD平行的直线共( )

1111 11A．4条 B．6条 C．8条 D．12条二、填空题经过直线外一点个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－ABCD的面中：8111147(1)与直线AB平行的平面(2)与直线AA1平行的平面；(3)与直线AD平行的平面．在正方体ABCD－A1B1C1D1中为DD1的中点，则BD1与过点的平面的位置关系．三、解答题ABCD—A1B1C1D1中，EFBCC1D1的中点．求证：EF∥平面BDDB．11是ABCDFBDPE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升下列四个正方体图形中B为正方体的两个顶点NP分别为其所在棱中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号．(写出所有符合要求的图形序)ABCDABEFABAE，BDAP＝DQPQBCE．()48直线与平面平行的判定方法利用定义：证明直线a与平面α助于反证法来证明．，则a∥α．使用定理时，一定要说明”aα，则必须在平面α§2．2 直线、平面平行的判定及其性质答案知识梳理无平面外 此平面内 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作业设计1．A [①a⊂αb还有可能异面．]2．D 3．C 4．A 6．D[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BBDD平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]117．无数8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1499．平行解析 设BD的中点为则10．证明 取D1B1的中点O，连接OF，OB．∵OF綊1 ，BE1 ，2B1C1 2B1C1∴OF綊BE．∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．证明 连接AF延长交BC于G，连接PG．在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴GF＝BF＝PE，FAFD EA∴∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于连接MN．∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD．又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．又∵PM∥AB∥QN，∴PM＝PE，QN＝BQ．AB AE DC BD∴PM綊QN．∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE．50方法二 如(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长于K，连接EK．∵KB∥AD，

DQ＝AQ．∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE．

∴BQ QK∴BQ PE QK PE∴又PQ⊄面BCE，EK⊂面BCE，∴PQ∥面BCE．51【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】2.2.2 平面与平面平行的判定【课时目标】1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．平面α与平面β平行是指两平公共点．若α∥β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为 ．下面的命题在“ 处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M，n为直线，α，β为平)，则此条件应．m⊂αn⊂αm∥βn∥β

⇒∥β一、选择题经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作( )A．0个 B．1个C．0个或1个 D．1个或2个α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( A．α内有无数条直线平行于βαβ的距离相等lMαl∥α，M∥βlM是异面直线且3．给出下列结论，正确的( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且AD/∈α，则( A．α∥平面ABC△ABCα△ABCα△ABCα相交5 — ( ．正方体EFGH EFGH5 — ( 111152EFGEGH1 1 1FHGFHG1 11FHHFHE11 1EHGEHG1 1 1两个平面平行的条件( )A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面CD．两个平面都平行于同一条直线二、填空题已知直线、b，平面、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为 ．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行则α∥β．其中正确的．(填序)ABCD—ABCDFGHCCCDDD、1111 1 11 1CD的中点是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满时，有MN∥平面BBDD．1 1三、解答题如图所示，在正方体ABCD ABCD中S是B

的中点，1111 11EFG分别是BC、DC和SC的中 点．求证：平面EFG∥平面BDDB．11为△ACD的重心．△ (1)MNG(2)SMNG∶SADC△ 53能力提升ABC－ABC，DBCABACD，DB

的中点．111 1 1 1 1111求证：平面A1BD∥平面ACD．11ABCD—A1B1C1D1中，OABCDDD1的QCC1QD1BQ判定或证明面面平行的方法面面平行的定义；两个平面平行；两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．54平面与平面平行的判定 答案知识梳理1．无 a∥β 2．M，n相交作业设计1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．b∥βb⊂β8．③解析①当平面β与γ不正确，当两平面相交时，也可满足条件．9．M∈线段FH解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，1 有MN∥平面BBDD1 10．证明 如图所示，连接SB，SD，、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD．11 1又∵SD⊂平面BDDB，FG⊄平面11 1∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDDB，11又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．证明 (1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，则有BM＝BN＝BG＝2，MP NF GH且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．55连接PF，FH，PH，有MN∥PF．又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD．同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD．PH BH (2)解 由(1)可MG＝BG＝2PH BH ∴MG＝2 ．又 1 又 1 同理 1 同理 1 ∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．△ ∴SMNG∶SACD＝1∶9△ 12．证明 连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，ED⊂平面AC1D，∴A1B与ED没有交点，又∵ED⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1 1∴ED∥A1B．∵E是A1CBC的中点．又∵D1

的中点，1 1 1∴BD∥CD，AD∥AD，1 1 1∴BD∥平面ACD，AD∥平面ACD．1 1 11 1又AD∩BD＝D，∴平面ABD∥平面ACD．11 1 1 1 1 1113．解 当Q为CC1的中点时平面DBQ∥平面1∵Q为CC1为DD1的中点，∴QB∥PA．1∵PO为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又B∩QB＝B，1D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．56【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】2.2.3 直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，．(1)符号语言描述(2)性质定理的作用：可以作平行的判定方法，也提供了一种的方法．一、选择题是两条异面直线是空间一点过P作平面与都平行这样的平( A．只有一个 B．至多有两个C．不一定有 D．有无数个2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系( A．平行 B．相交C．异面 D．以上均可能如图在四面体ABCD中若截面PQMN是正方形则在下列命题中错误的( )A．AC⊥BDB．ACC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°ABCD－A1B1C1D1中，E、FAA1BB1EF的平面EFGH分别交BC和AD于GH，则HG与AB的位置关系( )平行 B．相交C．异面 D．平行和异面直线a∥平面αα内有n条直线交于一点则这n条直线中与直线a平行的直( A．至少有一条 B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有1 2 3 1 如图所示，平面α∩β＝l，α∩γ＝l，β∩γ＝l，l∥l，下列说法正确的1 2 3 1 57l1l

平行于l3 232l1ll32

333不平行于l3332l1l32

不平行于ll1lll3 2 3二、填空题、nα外的两条直线，给出三个论断：以其中的两个为条件余下的一个为结论构造三个命题写出你认为正确的一个命题．(用序号表)如图所示，ABCD—A1B1C1D1aNAB、11aB1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ ．()A、B、CDAB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状．三、解答题ABCDPABCDPCDMGGAPBDMGH，求证：AP∥GH．A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形求证：CDEFGH．58能力提升如图所示，在空间四边形ABCD中、FG、H分别是四边上的点，它们共面并且AC∥平面平面当四边形EFGH是菱形时EB＝ ．ABCDNABPCPBC＝l．求证：BC∥l；MN是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用下示意图：线线在平面内作线面

线线经过或找平 ．平行或找一直线平行面与平面相交的交线平行59直线与平面平行的性质 答案知识梳理过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行∥α (1)

a⊂β ⇒a∥b (2)直线和直线 平行线β∩＝作业设计1．C 2．D3．C [∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．]4．A [∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH．又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．]5．B[n条直线的交点为PP不在直线a上，那么直线aP确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则b过点Pαa∥b．很明显这样作出的直线b直线b可能在这nn条直线中与直线a]1 2 2 6．A [∵l∥l，l⊂γ，l⊄γ1 2 2 1∴l∥γ．1又l⊂β，β∩γ＝l，1 3∴l∥l1 3∴l∥l∥l．]1 3 27．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过M的平面β与α交于l．∵M∥α，∴M∥l，∵M∥n，∴n∥l，∵n⊄α，l⊂α，∴n∥α．8228．3a解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，3∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝2a，3故PQ＝ PD2＋DQ2＝2DP＝22a．3平行四边形解析 平面ADC∩α＝EF，且得EF∥CD；60同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH是平行四边形．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH．证明 四边形EFGH为平行四边形又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．M∶n解析 ∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，BA ∴EF＝HG＝M·BE，同理EH＝FG＝n·AEBA BA ∵EFGH是菱形，∴M·BE＝n·AEBA ∴AE∶EB＝M∶n．13．(1)证明 因为BC∥AD，AD⊂平面BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解 MN∥平面61证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连接MQ、NQ．因为N为PC所以NQ∥PD．因为PD⊂平面平面，所以NQ∥平面．同理MQ∥平面NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面MN∥平面62【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载】2.2.4 平面与平面平行的性质【课时目标】 1．会用图形语言、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的性质定理能运用平面与平面平行的性质定理证明一些空间面面平行关系的简单命题平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交．(1)符号表示为(2)性质定理的作用：利用性质定理可，也可用来作空间中的平行线．面面平行的其他性质两平面平行其中一个平面内的任一直线平行 ，可用来证明线面平行；夹在两个平行平面间的平行线(3)平行于同一平面的两个平．

∥⇒a⊂一、选择题下列说法正确的( )A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行设平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线( A．不一定存在与a平行的直线a平行的直线a平行的直线a平行的直线ABCα、△′′′ PB、PC于A′B′、C′，若则SABC∶S△′′′ A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5为三个不重合的平面为三条不同的直线，则有下列命题，不正的是( )a∥ a∥① ⇒a∥b; ② ⇒a∥b；b∥ b∥63∥③β∥c⇒∥β； ∥⑤ ⇒α∥a; ⑥

β∥γβ；⇒a∥α．a∥c a∥γA．④⑥ B．②③⑥C．②③⑤⑥ D．②③设是AB的中点，当AB分别在平面β内运动时，那么所有的动点C( )不共面A、B分别在两条直线上移动时才共面A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面AB如何移动，都共面已知平面α∥平面是外一点过点P的直线M与分别交于点过点P的直线n与分别交于点且则BD的长为( )A．16 B．24 C．14 D．20二、填空题分别在两个平行平面的两个三角形，若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具关系；若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具关系．ABCD－ABCDACBABCD所在平面的1111 1 1llAC11

的位置关系．已知平面α∥β∥γ，两条直线lMβγABCDE、F

DE 2

AC＝ ．，DF＝5，则三、解答题如图所示，已知正方体ABCD－ABCD中，面对角线AB

上分别有两点E、1111 1 1F，且BE＝CF．求证：EF∥平面ABCD．1 164ABC－AB

A

的中点，平面ABM∥平面BCN，AC∩1平面BCN＝N．1求证：NAC

111 11 1 1能力提升P－ABCDEPDED＝2∶1PCFBFAEC？并证明你的结论．2ABCD－ABCD中，ABPA1111 11 111

平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．65在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：强调两个问题但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．直线不一定相互平行，也有可能异面．平面与平面平行的性质 答案知识梳理1．那么它们的交线平行∥β (1)

α∩γ＝a (2)线线平行β∩＝2．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行作业设计[C2．D [直线a与B可确定一个平面γ，∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，所以b惟一．]3．B [面面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S

＝(A′B′2＝(PA′2＝4．]

△ABC AB ) PA) 25[4①④②