复变函数与积分变换

第二节函数解析的充要条件一、主要定理二、典型例题三、小结与思考一、主要定理定理一u

v

,

u

v

.x

y

y

x方程

xf(u()y,z(),i)v

xy

定义在区域在

内一点

xzfDyDi(可z,

导)

的充要条与

(,)

(在,)x(点u,v)y,

xxyy

可微

并且在该—设函数内则件是:点满足介绍介绍证

(1)

必要性.设f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)定义在区域D

内,且f

(z)在D内一点z

x

yi

可导,则对于充分小的z

x

iy

0,有

f

(

z

z)

f

(z)

f

(z)z

(z)z,其中lim

(z)

0,z0令

f

(

z

z)

f

(z)

u

iv,f

(z)

a

ib,(z)

1

i2

,z0x0y0x0y0所以u

iv

(a

ib)

(x

iy)

(1

i2

)

(x

iy)

(ax

by

1x

2y)

i(bx

ay

2x

1y)于是u

ax

by

1x

2y,v

bx

ay

2x

1y.因为lim

(z)

0,

所以

lim

1

lim

2

0,由此可知u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,u

v

,

u

v

.x

y

y

x且满足方程(2)

充分性.f

(

z

z)

f

(z)

u(

x

x,

y

y)

u(

x,

y)

i[v(

x

x,

y

y)

v(

x,

y)]

u

iv,又因为u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,由于1

2x

y于是

u

u

x

u

y

x

y,3

4x

yv

v

x

v

y

x

y,(k

1,2,3,4)x0y0其中

lim

k

0,因此

f

(

z

z)

f

(z)

4

i

)y.23

i

)x

(1

y

y

x

x

u

i

v

x

u

i

v

y

(由

－

方程f

(z

z)

f

(z)

x

x

4

i

)y.23

i

)x

(1

u

i

v

(x

iy)

(u

v

i

2

v

,y

x

xu

v

,x

yf

(z

z)

f

(z)

z241u

i

v

(x

x3z

i

)

y

.z

i

)

x

(zy

1,z因为

x

1,2

41

3z

z

z0

i

)

y

0,lim

(

i

)

x

(所以

f

(z)

lim

f

(z

z)

f

(z)

u

i

v

.z0z

x

x即函数f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在点z

x

yi

可导.[证毕]根据定理一,可得函数f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在点z

x

yi

处的导数公式:f

(z)

x

i

xi

y在其定义(,)(,)

与xuvyxy

在方程.域

D内解析的充要条件是:D内可微,

并且满足

－函数在区域D内解析的充要条件定理二

函数

xf(u()y,z(),i)v

xy0解析函数的判定方法:如果能用求导公式与求导法则证实复变函数f

(z)的导数在区域D内处处存在,则可根据解析函数的定义断定f

(z)在D内是解析的.如果复变函数f

(z)

u

iv

中u,v

在D内的各一阶偏导数都存在、连续(因而u,v(x,y)可微)并满足C

R

方程,那么根据解析函数的充要条件可以断定f

(z)在D内解析.二、典型例题例1

判定下列函数在何处可导,

在何处解析:(1)

w

z;

(2)

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y);(3)

w

z

Re(z).(1)

w

z

,解

u

x,

v

y,yv

1u

u

v

x

y不满足

－x方程,故

wz

在复平面内处处不可导,

处处不解析.u

ex

cos

y,

v

ex

sin

y,u

ex

cos

y,

u

ex

sin

y,x

yv

ex

sin

y,

v

ex

cos

y,u

v

.x

y

y

xu

v

,x

y即四个偏导数均连续故f

(z)在复平面内处处可导,处处解析.且

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y)

f

(z).(2)

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y)指数函数(3)

w

z

Re(z)

x2

xyi,u

x2

,

v

xy,v

y,

v

x.x

yu

2

x,

u

0,x

y四个偏导数均连续仅当

x

y

时,

满0

足

－

方程,故函数w

z

Re(z)仅在z

0

处可导,在复平面内处处不解析.例2证明(1)

z

2;

(2)

sin

z

在复平面上不解析.证(1)

z

2

x2

y2

2xyi,u

x2

y2

,

v

2xy,u

2

x,

u

2

y,

v

2

y,

v

2

x.x

y—

方程,x

y仅当

x

时0,满足故函数w

z

2

仅在直线

x

0

上可导,在复平面内不解析.(2)

sin

z

sin

x

cosh

y

i

cos

x

sinh

y,u

sin

x

cosh

y,v

cos

x

sinh

y,xu

cos

x

cosh

y,v

cos

x

cosh

y,y(k

0,

1,

2,)时,2仅当x

k

u

v

.x

ysin

z

在复平面上不解析.例3

设

f

(

z)

x2

axy

by2

i(cx2

dxy

y2

),问常数a,

b,

c,

d

取何值时,

f

(

z)

在复平面内处处解析?y解

u

2

x

ay,

u

ax

2by,x

yv

2cx

dy,

v

dx

2

y,u

v

,

u

v

,x欲使x

2cx

dy

ax

2by,x

y

y2

x

ay

dx

2

y,所求

a

2,

b

1,

c

1,

d

2.例4西－满0

足)(

柯xy

在点z

证证明函数

zf

方程但在点z

因为

f

(z)

xy

,不可导.0所以

u

xy

,v

0,x0xyx

0

y

uy

0u

0),(0lim

uy0yxu

(0,0)

lim

u(

x,0)

u(0,0)

0

v

(0,0),0)

0

v

(0,0),成立0.—

方程在点z

但当z

沿第一象限内的射线y

kx

趋于零时,z

0f

(z)

f

(0)

xykx

iy

1

ik,

随k

变化,故

lim

f

(z)

f

(0)

不存在,z

0z0函数

f

(

z)

xy

在点z

0

不可导.例5解析,并且v

u2

,求f

(z).设f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在区域D内解(1)u

v

2u

u

,x

y

yu

v

2u

u

,

(2)y

x

x将(2)代入(1)得x由

(4u2

1)

0

u

0,xu

(4u2

1)

0,y由(2)得u

0,所以u

c

(常数),(常数).于是

f

(z)

c

ic

2课堂练习函数,试确定l,m,n的值.设my3

nx2

y

i(x3

lxy2

)为解析答案l

n

3,

m

1.例6如果f

(z

)在区域D内处处为零,则f

(z

)在区域D内为一常数.证

f

(z)

u

i

v

v

i

u

0,x

x

y

yu

v

u

v

0,x

y

y

x故所以u

常数,v

常数,因此f

(z)在区域D内为一常数.参照以上例题可进一步证明:如果f

(z)在区域D内解析,则以下条件彼此等价.(2)

f

(z)

0;(1)

f

(z)

恒取实值;(3)

f

(z)

常数;(4)f

(z)解析;(5)Re[f

(z)]

常数;(6)Im[f

(z)]

常数;(7)

v

u2;(8)

arg

f

(z)

常数.例7

设f

(z)

u

iv

为一解析函数,且f

(z)

0,那末曲线族u(x,y)

c1

与v(x,y)

c2

必相互正交,其中c1

,c2

为常数.证因为

f

(z)

v

1

u

0,y i

y所以v

与u

不全为零,y

y如果在曲线的交点处v

与u

都不为零,y

y根据隐函数求导法则,曲线族u(x,y)

c1

与v(x,y)

c2

中任一条曲21线的斜率分别为

k

yxyxvuu

v,

k

,根据

－

方程得

y

u

v

ux

vx

k1

k2

y

1,

y

y

u

vv

y

uy

故曲线族u

x

y

c1

与v

x

y

(,c)2

(相,.

)互正交如果uy

和vy

中有一个为零,则另一个必不为零,两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的,另一条是铅直的,它们仍然相互正交.例8z

0

满足Im

z

2

的实、虚部在点证明函数f

(z)证因为

f

(z)

2

xy

,

所以

u

2

xy

,

v

0,x0xyx

0

y

uy

0u

0),(0lim

uy0yxu

(0,0)

lim

u(

x,0)

u(0,0)

0

v

(0,0),0)

0

v

(0,0),成立0.—

方程在点z

26但在点z

0,zx

iy2xyf

(z)