最新高中立体几何证明方法及例题

1.空间角与空间距离在高考的立体几何试题中，求角与距离是必考查的问题，其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离，求角或距离的步骤是“一作、二证、三算〞，即在添置必要的辅助线或辅助面后，通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量，最后再计算。2.立体几体的探索性问题立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现，这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力，也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有：〔1〕探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么？〔2〕探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么。对命题条件的探索常采用以下三种方法：〔1〕先观察，尝试给出条件再证明；〔2〕先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；〔3〕把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件。对命题结论的探索，常从条件出发，再根据所学知识，探索出要求的结论是什么，另外还有探索结论是否存在，常假设结论存在，再寻找与条件相容还是矛盾。〔一〕平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化：2.线线、线面、面面垂直关系的转化：3.平行与垂直关系的转化：4.应用以上“转化〞的根本思路——“由求证想判定，由想性质。〞5.唯一性结论：1.三类角的定义：〔1〕异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°〔2〕直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°〔3〕二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算〞即：〔1〕找出或作出有关的角；〔2〕证明其符合定义；〔3〕指出所求作的角；〔4〕计算大小。〔三〕空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出〔或作出〕过此点与平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法〞直接求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。【典型例题】〔一〕与角有关的问题例1.〔1〕如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，那么异面直线AB与PC所成的角为〔〕 A.60° B.45° C.30° D.120°解：取AC中点G，连结EG、FG，那么∴∠EGF为AB与PC所成的角在△EGF中，由余弦定理，∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°∴选A〔2〕正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，那么这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为〔〕解：∴选A①点P到平面QEF的距离为定值；②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；③二面角P—EF—Q的大小为定值；④三棱锥P—QEF的体积为定值其中正确命题的序号是___________。解：∴①对，②错值，∴③对综上，①③④正确。例2.图①是一个正方体的外表展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图〔2〕的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答以下各题：〔1〕求MN和PQ所成角的大小；〔2〕求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；〔3〕求二面角M—NQ—P的大小。解：〔1〕如图②，作出MN、PQ∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形∴∠MNC＝60°∴PQ与MN成角为60°即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6〔3〕连结MA交PQ于O点，那么MO⊥PQ又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，那么MO⊥面PNQ过O作OE⊥NQ，连结ME，那么ME⊥NQ∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ设正方体的棱长为a∴∠MEO＝60°即二面角M—NQ—P的大小为60°。例3.如图，四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。〔1〕求点P到平面ABCD的距离；〔2〕求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：〔1〕作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE∵AD⊥PB，∴AD⊥OB〔根据___________〕∵PA＝PD，∴OA＝OD于是OB平分AD，点E为AD中点∴PE⊥AD∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°即为P点到面ABCD的距离。〔2〕由ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC故取PB中点G，PC中点F那么AG⊥PB，GF∥BC又BC⊥PB，∴GF⊥PB∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE连结GE，易证AE⊥平面POB〔2〕解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA〔二〕与距离有关的问题例4.〔1〕在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是〔〕 A.13 B.11 C.9 D.7解：设点P在△ABC所在平面上的射影为O∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°长度为___________。解：〔采用展开图的方法〕点评：此类试题，求沿外表运动最短路径，应展开外表为同一平面内，那么线段最短。但必须注意的是，应比拟其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。〔3〕在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，那么甲、乙两地的球面距离是〔〕解：〔O1为小圆圆心〕∴△AOB为正三角形〔O为球心〕∴选D例5.如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。〔1〕求证：AF∥平面PEC；距离。解：G为PC中点，连结FG、EG又∵F为PD中点∴四边形AEGF为平行四边形∴AF∥平面PEC〔2〕∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD∴AD为PD在面ABCD上射影∴CD⊥PD∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°那么△PAD为等腰直角三角形∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD∴CD⊥AF∴AF⊥面PCD作FH⊥PC于H，那么AF⊥FH又EG∥AF，∴EG⊥FH∴FH⊥面PEC，∴FH为F到面PEC的距离在Rt△PEG中，FH·PG＝PF·FG方法2：〔体积法〕∵AF∥面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d易证AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD∴EG⊥PC〔三〕对命题条件的探索例6.〔1〕如图矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，假设PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，那么满足条件E点有两个时，a的取值范围是〔〕解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，那么 AD＞2AB＝6∴选A〔2〕如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，那么P为〔〕 A.K B.H C.G D.B分析：从题目中的“中点〞条件，联想到“中位线〞。而平面PEF中，EF为定直线，连BC'那么F为BC'中点考虑到假设P为K点，那么还有AA'、BB'、CC'都平行于FK即它们也都平行于平面PEF，不合题意。同理P也不能为H点，假设P为B'点时，EF与B'A'共面也不符合题意〔这时只有一条棱平行于平面PEF〕，可见只能取G点。应选C例7.置；假设不存在，说明理由。置；解：〔1〕〔用反证法〕∴不存在点P满足题目条件〔2〕过B作BH⊥AP于H，连CH即∠BHC是二面角C—AP—B的平面角∴∠BAH＝30°下面求Q点的位置。〔四〕对命题结论的探索例8.并且总保持AP⊥BD1，那么动点P的轨迹是〔〕分析：从条件AP⊥BD1出发，可知AP必在过A点且与BD1垂直的平面B1AC上∴点P必在B1C上∴选A〔2〕如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，那么C1在底面ABC上的射影H必在〔〕 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线CA上 D.△ABC内部解：连结AC1∵AC⊥AB，又AC⊥BC1∴AC⊥面ABC1那么C在面ABC上的射影必在交线AB上∴选A例9.在四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1。〔1〕求证：平面CBD⊥平面ABD；〔2〕是否存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°？如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角θ，使得存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为θ。解：〔1〕∵AB⊥BC，AB⊥BD∴面ABD⊥面CBD〔2〕设CD＝x，在面CBD内作CE⊥BD于E由〔1〕知平面ABD⊥面BCD，且BD为交线∴CE⊥平面ABD作EF⊥AD于F，连结CF，那么CF⊥AD∴∠CFE为“二面角〞C—AD—B的平面角，且∠CFE＝30°又在Rt△BCD中，CE·BD＝CB·CD又∵CD⊥BC，又BC为AC在面BCD上射影∴CD⊥AC那么在Rt△ACD中，CF·AD＝AC·CD故不存在这样的四面体，使二面角C—AD—B的平面角为30°故θ可以取45°～90°之间的任意角。点评：此题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与条件是否符合。【模拟试题】一.选择题。1.PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60°，那么PC与平面PAB所成角的余弦值是〔〕 A. B. C. D.2.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，那么二面角B—AC—D的余弦值为〔〕 A. B. C. D.3.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，那么这个点到三棱锥顶点的距离是〔〕 A. B. C.7 D.4.A、B、C是球面上的三点，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，球心O到平面ABC的距离为，那么球的外表积为〔〕 A. B. C. D.5.△ABC边上的高线为AD，，且，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B—AD—C，假设，那么三棱锥A—BCD的侧面△ABC是〔〕 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状与a，b的值有关的三角形6.有一塔形几何体由假设干个正方体构成，构成方式如下图，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，最底层正方体的棱长为2，且该塔形的外表积〔含最底层正方体的底面积〕超过39，那么该塔中正方体的个数至少是〔〕 A.4 B.5 C.6 D.7二.填空题。7.如图，在三棱锥P—ABC中，，且，那么PA与底面ABC所成角的大小为___________。8.如图，矩形ABCD中，，沿AC把△DAC折起，当四面体的体积最大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是___________。9.如图，正方体棱长为1，M、N分别为中点，那么点C到截面MNDB的距离是___________。三.解答题。10.如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于，将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M，求：〔1〕二面角的大小；〔2〕异面直线与所成角的大小。〔用反三角函数表示〕11.如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点。〔1〕求证：AM∥平面BDE；〔2〕求二面角A—DF—B的大小；〔3〕试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。【试题答案】一.选择题。1.C 2.A 3.C 4.C 5.C6.C提示：假设有n个正方体构成，其外表积由二局部组成：〔1〕俯视图、外表只有一个正方形，其边长为2。〔2〕侧面那么由4n个正方形构成，且各层〔从下往上看〕正方形面积构成一个首项为4，公比为的等比数列。∴外表积∴n的最小值为6二.填空题。7.提示：由题意，P点在面ABC上的射影H是△ABC外心，，∴H为BC中点〕8.9.提示：，即三.解答题。10.〔1〕连结AM，∵△ABC为正三角形，M为BC边中点∴A、G、M三点共线，AM⊥BC即是二面角的平面角∵点在平面上的射影为M在中，由得即二面角的大小是60°〔2〕过作交BC于P，那么为异面直线与所成的角由是平行四边形得：于M在中，在中，在中，由余弦定理∴异面直线与所成的角为11.解：〔1〕记AC与BD交于点O，连结OE∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形∴四边形AOEM是平行四边形∴AM∥OE，平面BDE，平面BED∴AM∥平面BDE〔2〕∵AB⊥AF，AB⊥AD