初中数学中考复习专题 最短路径问题

初中数学中考复习专题最短路径问题●●●ABPA'l●数无形时少直观形少数时难入微

——华罗庚一、确定起点的最短路径问题

最短路径问题是初中阶段图论研究中的经典算法问题，旨在寻找图（有结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法形式包括：二、确定终点的最短路径问题三、确定起点、终点的最短路径问题四、全局最短路径问题最短路径简介问题原型“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”涉及知识“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”出题背景角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等解题思路找对称点实现“折”转“直”.最短路径简介最短路径十二个基本问题问题1作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小连AB与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB问题2“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B＇，连AB＇与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为ABl●●●APB问题3作法图形原理在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＂，连P＇P＂与两直线交点即为M，N两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＂的长最短路径十二个基本问题最短路径十二个基本问题问题4作法图形原理在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇,连Q＇P＇与两直线交点即为M，N两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇Q＇的长最短路径十二个基本问题问题5“造桥选址”作法图形原理直线m∥n，在m、n上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇B+MN问题6作法图形原理在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小．将点A向右平移a个长度单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＂，连A＂B，交直线l于点N，将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＂B+MN最短路径十二个基本问题问题7作法图形原理在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小．作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长最短路径十二个基本问题问题8作法图形原理A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小．作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长最短路径十二个基本问题最短路径十二个基本问题问题9作法图形原理在直线l上求一点P，使︱PA-PB︱的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．︱PA-PB︱＝0．问题10作法图形原理在直线l上求一点P，使︱PA-PB︱的值最大.作直线AB,与直线l的交点即为P.三角形任意两边之差小于第三边．︱PA-PB︱≤AB．︱PA-PB︱最大值＝AB最短路径十二个基本问题问题11作法图形原理在直线l上求一点P，使︱PA-PB︱的值最大．作B关于l的对称点B＇,作直线AB＇与l交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边︱PA-PB︱≤AB＇．︱PA-PB︱最大值＝AB＇最短路径十二个基本问题问题12“费马点”作法图形原理△ABC中每一内角都小于1200，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC最小．所求点为“费马点”，既满足∠APB=∠BPC=∠APC=1200.以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE,连CD、BE相交于P，点P即为所求点.两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值=CD.

如图,已知正方形ABCD，点M为BC边的中点，P为对角线BD上的一动点，要使PM+PC的值最小，请确定点P的位置.随堂练习一PABCDPM●

如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时，折线AMNB长度最短？

B1●●N●A1M●随堂练习二随堂练习三2.如图，点A、B位于直线L同侧，定长为a的线段MN在直线L上滑动，请问当MN滑到何处时，折线AMNB长度最短？

A1●●N●A2M●

如图，已知点P是直线x=1上的一动点，点A的坐标为（0，－2），若△OPA的周长最小,试在图中确定点P的位置.O’●●P随堂练习四

如图，正方形的边长为2，E为AB的中点，P是BD上一动点．连结AP、EP，则AP+EP的最小值是_______；PP随堂练习五

如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值.解：作点C关于x轴的对称点C′，连接C'D交x轴于点M，此时MC＋MD的值最小．∵C(0,-5)∴C′(0,5)