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文档简介
2022年高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.113.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.84.已知函数,,若成立,则的最小值为()A.0 B.4 C. D.5.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.6.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.67.已知正方体的棱长为,,,分别是棱,,的中点,给出下列四个命题:①;②直线与直线所成角为;③过,,三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④三棱锥的体积为.其中,正确命题的个数为()A. B. C. D.8.已知是双曲线的左、右焦点,是的左、右顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的渐近线方程为()A. B. C. D.9.已知函数,若则()A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(b)<f(a)10.已知复数,满足,则()A.1 B. C. D.511.设集合,,若,则()A. B. C. D.12.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,为正实数,且,则的最小值为________________.14.若函数为奇函数,则_______.15.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.16.已知双曲线:(,),直线:与双曲线的两条渐近线分别交于,两点.若(点为坐标原点)的面积为32,且双曲线的焦距为,则双曲线的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵,二阶矩阵满足.(1)求矩阵;(2)求矩阵的特征值.18.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.19.(12分)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.(1)求物理原始成绩在区间的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.(附:若随机变量,则,,)20.(12分)秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,为推动新能源汽车产业迅速发展,有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区年至年新能源汽车的销量(单位:万台)按季度(一年四个季度)统计制成的频率分布直方图.(1)求直方图中的值,并估计销量的中位数;(2)请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量(同一组数据用该组中间值代表),并以此预计年的销售量.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的极值;(Ⅱ)若,且,求证:.22.(10分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试计算小张该笔贷款的总利息;(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.2.B【解析】
根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.3.C【解析】
先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.【点睛】本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.4.A【解析】
令,进而求得,再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上减,在上增,所以,所以的最小值为0.故选:A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用,考查了转化的数学思想,恰当的用一个未知数来表示和是本题的关键,属于中档题.5.C【解析】
求得双曲线的渐近线方程,可得圆心到渐近线的距离,由点到直线的距离公式可得的范围,再由离心率公式计算即可得到所求范围.【详解】双曲线的一条渐近线为,即,由题意知,直线与圆相切或相离,则,解得,因此,双曲线的离心率.故选:C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径,考查化简整理的运算能力,属于中档题.6.B【解析】
根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.7.C【解析】
画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可.【详解】如图;连接相关点的线段,为的中点,连接,因为是中点,可知,,可知平面,即可证明,所以①正确;直线与直线所成角就是直线与直线所成角为;正确;过,,三点的平面截该正方体所得的截面为五边形;如图:是五边形.所以③不正确;如图:三棱锥的体积为:由条件易知F是GM中点,所以,而,.所以三棱锥的体积为,④正确;故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,涉及空间几何体的体积,直线与平面的位置关系的应用,平面的基本性质,是中档题.8.D【解析】
根据为等腰三角形,可求出点P的坐标,又由的斜率为可得出关系,即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图,因为为等腰三角形,,所以,,,又,,解得,所以双曲线的渐近线方程为,故选:D【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于中档题.9.C【解析】
利用导数求得在上递增,结合与图象,判断出的大小关系,由此比较出的大小关系.【详解】因为,所以在上单调递增;在同一坐标系中作与图象,,可得,故.故选:C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查利用函数的单调性比较大小,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.10.A【解析】
首先根据复数代数形式的除法运算求出,求出的模即可.【详解】解:,,故选:A【点睛】本题考查了复数求模问题,考查复数的除法运算,属于基础题.11.A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.12.D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由,为正实数,且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出结果.【详解】解:,为正实数,且,可知,,.当且仅当时取等号.的最小值为.故答案为:.【点睛】本题考查了基本不等式的性质应用,恰当变形是解题的关键,属于中档题.14.-2【解析】
由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值.【详解】由题意,的定义域为,,是奇函数,则,即对任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题.15.【解析】
先分离出,应用基本不等式转化为关于c的二次函数,进而求出最小值.【详解】解:若取最小值,则异号,,根据题意得:,又由,即有,则,即的最小值为,故答案为:【点睛】本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值,属于中档题.16.或【解析】
用表示出的面积,求得等量关系,联立焦距的大小,以及,即可容易求得,则离心率得解.【详解】联立解得.所以的面积,所以.而由双曲线的焦距为知,,所以.联立解得或故双曲线的离心率为或.故答案为:或.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质,考查运算求解能力以及函数与方程思想,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)特征值为或.【解析】
(1)先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.(2)令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值.【详解】解:(1)设矩阵由题意,因为,所以,即所以,(2)矩阵的特征多项式,令,解得或,所以矩阵的特征值为1或.【点睛】本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.18.(1)或;(2).【解析】
(1)利用绝对值的几何意义,将不等式,转化为不等式或或求解.(2)根据-2在R上恒成立,由绝对值三角不等式求得的最小值即可.【详解】(1)原不等式等价于或或,解得:或,∴不等式的解集为或.(2)因为-2在R上恒成立,而,所以,解得,所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.(Ⅰ)1636人;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)根据正态曲线的对称性,可将区间分为和两种情况,然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率,进而可求出相应的人数;(Ⅱ)由题意得成绩在区间[61,80]的概率为,且,由此可得的分布列和数学期望.【详解】(Ⅰ)因为物理原始成绩,所以.所以物理原始成绩在(47,86)的人数为(人).(Ⅱ)由题意得,随机抽取1人,其成绩在区间[61,80]内的概率为.所以随机抽取三人,则的所有可能取值为0,1,2,3,且,所以,,,.所以的分布列为0123所以数学期望.【点睛】(1)解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间,再根据特殊区间上的概率求解,解题时注意结合正态曲线的对称性.(2)解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布,然后可得分布列及其数学期望.当被抽取的总体的容量较大时,抽样可认为是等可能的,进而可得随机变量服从二项分布.20.(1),中位数为;(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为万台,以此预计年的销售量约为万台.【解析】
(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可计算出的值,利用中位数左边的矩形面积之和为可求得销量的中位数的值;(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积,相加可得出销量的平均数,由此可预计年的销售量.【详解】(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为,则,解得,由于,因此,销量的中位数为;(2)由频率分布直方图可知,新能源汽车平均每个季度的销售量为(万台),由此预测年的销售量为万台.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.21.(Ⅰ)极大值为:,无极小值;(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可求出函数的极值;(Ⅱ)得到,根据函数的单调性问题转化为证明,即证,令,根据函数的单调性证明即可.【详解】(Ⅰ)的定义域为且令,得;令,得在上单调递增,在上单调递减函数的极大值为,无极小值(Ⅱ),,即
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