弹性力学第四章习题课件

例题1（习题4-8）试考察应力函数

能解决图中所示弹性体的何种受力问题？

yxaa0第四章习题课例题1（习题4-8）试考察应力函数yxaa1解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。

然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：第四章习题课解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程2再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四章习题课再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四章3

半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）第四章习题课例题2（习题4-9）第四章习题课4

解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得第四章习题课解：首先检验，已满足5再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，第四章习题课再考察边界条件。注意本题有两个面,即6设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3（习题4-18）第四章习题课设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求7（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。第四章习题课（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的8（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，（3）将代入相容方程，得第四章习题课（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设9其解为于是得的四个解

；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得

第四章习题课其解为于是得10（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

在的边界上，有（4）由求得应力分量，第四章习题课（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶（4）由11为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)第四章习题课为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o12上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出

代入应力公式，得最后的应力解答，(b)第四章习题课上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出

13设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4（习题4-19）

xy0F第四章习题课设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下14（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得第四章习题课（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应15（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：第四章习题课（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上16将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第四章习题课将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第17（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。

第四章习题课（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数18由物理方程求出应变分量，第四章习题课由物理方程求出应变分量，第四章习题课19代入几何方程，得由前两式积分，得第四章习题课代入几何方程，得由前两式积分，得第四章习题课20将代入第三式，并分开变量，得第四章习题课将代入第三式，并分开变量，得第四章习题21为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)第四章习题课为了使上式在区域内任意的都成立22将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)第四章习题课将式（c）对求导一次，再求出再将上式的23将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第四章习题课将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代24试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。例题5第四章习题课试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）25解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，第四章习题课解：用直角坐标系的应力分量表示，第四章习题课26第四章习题课第四章习题课27以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章习题课以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分28两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，第四章习题课两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，29再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得第四章习题课再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分30于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得第四章习题课于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式31将和代入的表达式；并由式（c）得得解为第四章习题课将和代32代入后，得出位移的解答如下，第四章习题课代入后，得出位移的解答如下，第四章习题课33由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。

代入，得最后的位移解，第四章习题课由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H34水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是第四章习题课水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点35圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题6第四章习题课圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相36解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，第四章习题课解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

37（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有第四章习题课（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类38因此，圆盘在对径受压时，其应力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为第四章习题课因此，圆盘在对径受压时，其应力解是39由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量

现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有第四章习题课由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量40读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章习题课读者试求出CD线和AB线上的水平正应力41

图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。例题7第四章习题课例题7第四章习题课42解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：第四章习题课解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可43在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者任一截面上，有边界条件第四章习题课在主要边界上，边界44上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四章习题课上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四章45注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出第四章习题课注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)46其中曲杆中的应力分量为第四章习题课其中曲杆中的应力分量为第四章习题课47

例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第四章习题课例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界48解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数第四章习题课解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常49得出的应力解答是第四章习题课得出的应力解答是第四章习题课50在截面mn上，正应力和切应力为第四章习题课在截面mn上，正应力和切应力为第四章习题课51

例题9

图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章习题课例题9进行求解，试求其应力分量。第四章习题课52解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。第四章习题课解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均53本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章习题课本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章习题课54图中所示的半平面体，在的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。例题10第四章习题课图中所示的半平面体，在的边界上受到均布55

解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。第四章习题课解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以56本题的应力解答是第四章习题课本题的应力解答是第四章习题课57

（一）本章的学习重点及要求1、本章建立了在极坐标系中，平面问题的基本方程和按应力求解的方法，并介绍了一批有实用价值的解答。本章小结（一）本章的学习重点及要求1、本章建立了582、对于圆型、环型或由经向线和环向线围成的物体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表示这些物体的边界非常简单，从而使边界条件简化，求解方便。

本章小结2、对于圆型、环型或由经向线和环向线本章小结593、极坐标是一种最简单的曲线坐标。在极坐标中，平面内的任一点用经向坐标和环向坐标表示。极坐标和直角坐标(x,y)相比，除了都是正交坐标系外，两者有下列区别：在直角坐标系中，x和y的坐标线都是直线，有固定的方向，x和y的量纲都是长度L。本章小结3、极坐标是一种最简单的曲线坐标。在本章小结60在极坐标中，坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不同的点有不同的方向；坐标线是直线，而坐标线为圆孤曲线；的量纲为L，而的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的差异。本章小结在极坐标中，坐标线（=常数）和坐标线（=常数）在不614、读者应理解和掌握在极坐标系中基本方程的建立和按应力求解的方法，并与直角坐标系中的基本方程进行对比，了解两者的相似之处和不同之处。5、有关常微分方程的一些解答见<<弹性力学简明教程学习指导>>附录。

本章小结4、读者应理解和掌握在极坐标系中本章小结62（二）本章内容提要1.极坐标中的基本方程和边界条件（1）平衡微分方程本章小结（二）本章内容提要1.极坐标中的基本方程和边界条件（1）平衡63（2）几何方程本章小结（2）几何方程本章小结64（3）物理方程（平面应力问题）当物体的边界面为面或面时，位移或应力边界条件都非常简单。本章小结（3）物理方程（平面应力问题）当物体的边界面为面或652.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换式变量转换：函数转换：矢量转换：导数转换：一阶导数（二阶和高阶导数可以类推）：本章小结2.从直角坐标系到极坐标系的物理量的变换式变量转换：导数转换66拉普拉斯算子本章小结拉普拉斯算子本章小结67应力转换：3.极坐标中按应力函数求解，应满足：（1）区域内的相容方程（2）边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件）。本章小结应力转换：3.极坐标中按应力函数求解，应满足：（1）区68（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

当不记体力时，应力分量的表达式为本章小结（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。

694.轴对称应力和相应的位移应力函数：应力：本章小结4.轴对称应力和相应的位移应力函数：应力：本章小结70位移（平面应力问题）：本章小结位移（平面应力问题）：本章小结71极坐标中满足相容方程的应力函数的通解，可以表达如下：（三）相容方程的通解本章小结极坐标中满足相容方程的应力函数的通72上式中第一行的前三项代表轴对称的应力分布，第四项代表半平面体受均布法向和切向荷载的应力解答，第五项给出纯剪的解答。第二行中的第一项代表在面上荷载沿为线性分布的解答，其余各项代表一般圆环被径项力弯曲时的解答，综合第二行所有各项，可得无限大板上作用一集中力之解。本章小结上式中第一行的前三项代表轴对称的应力分布，第73第三行也可得到相似于第二行的解答，只是力的方向改变了最后两行代表与和成比例的法向力和剪力作用于圆环的内外边界上的解答。对于整圆环，还须考虑位移的单值条件。本章小结第三行也可得到相似于第二行的解答，只是力的方74例题1（习题4-8）试考察应力函数

能解决图中所示弹性体的何种受力问题？

yxaa0第四章习题课例题1（习题4-8）试考察应力函数yxaa75解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程，是满足的。

然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量：第四章习题课解：本题应按逆解法求解。首先校核相容方程76再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四章习题课再求出边界上的面力：读者可由此画出边界上的面力分布。第四章77

半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数求解应力分量。例题2（习题4-9）第四章习题课例题2（习题4-9）第四章习题课78

解：首先检验，已满足。由求应力，代入应力公式得第四章习题课解：首先检验，已满足79再考察边界条件。注意本题有两个面,即，分别为面。在面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有代入公式，得应力解答，第四章习题课再考察边界条件。注意本题有两个面,即80设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。例题3（习题4-18）第四章习题课设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求81（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即，应力只能以形式组合。解：应用半逆解法求解。第四章习题课（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的82（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设。删去因子，得一个关于的常微分方程。令其解为，代入上式，可得到一个关于的特征方程，（3）将代入相容方程，得第四章习题课（2）应比应力的长度量纲高二次幂，可假设83其解为于是得的四个解

；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得本题中结构对称于的轴，而是反对称荷载，因此，应力应反对称于轴，为的奇函数，从而得

第四章习题课其解为于是得84（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。

在的边界上，有（4）由求得应力分量，第四章习题课（5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶（4）由85为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心，为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件，前一式自然满足，而第二式成为(a)第四章习题课为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o86上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出

代入应力公式，得最后的应力解答，(b)第四章习题课上式中前两式自然满足，而第三式成为再由式（a）得出

87设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解，例题4（习题4-19）

xy0F第四章习题课设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下88（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应力公式，得第四章习题课（1）经校核，上述满足相容方程。解：（2）代入应89（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其三个平衡条件：第四章习题课（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上90将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第四章习题课将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出(a)第91（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。

第四章习题课（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数92由物理方程求出应变分量，第四章习题课由物理方程求出应变分量，第四章习题课93代入几何方程，得由前两式积分，得第四章习题课代入几何方程，得由前两式积分，得第四章习题课94将代入第三式，并分开变量，得第四章习题课将代入第三式，并分开变量，得第四章习题95为了使上式在区域内任意的都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，由式（b）解出(b)第四章习题课为了使上式在区域内任意的都成立96将式（c）对求导一次，再求出再将上式的代入，得显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须(d)(e)第四章习题课将式（c）对求导一次，再求出再将上式的97将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：第四章习题课将式（a）代入上式，得将式（a）、（f）代98试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）在边界上受一水平集中力F作用下的应力和位移的解答。例题5第四章习题课试由书中式（4-21）的解答，导出半平面体（平面应力问题）99解：由书中式（4-21），当时，用直角坐标系的应力分量表示，第四章习题课解：用直角坐标系的应力分量表示，第四章习题课100第四章习题课第四章习题课101以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分量，再代入几何方程，分别积分求出位移分量：第四章习题课以下来求位移解答。将应力代入物理方程得应变分102两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，第四章习题课两边对积分，得得由几何方程第一式，由几何方程第二式，103再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分别为的函数，各应等于同一常数G，即两边对积分，得第四章习题课再将式（a）和（b）代入几何方程的第三式，分开变量后，两边分104于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式再求一次导数，得第四章习题课于是得两个常微分方程。式（c）中的前一式为对式（c）的后一式105将和代入的表达式；并由式（c）得得解为第四章习题课将和代106代入后，得出位移的解答如下，第四章习题课代入后，得出位移的解答如下，第四章习题课107由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H和K，因未有约束条件不能求出。

代入，得最后的位移解，第四章习题课由反对称条件，当时，而另两个刚体位移分量H108水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点为参考点，则M点的相对水平位移是第四章习题课水平位移是在半平面体的左半表面，铅直沉陷是取B点109圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相反的集中力F的作用，试求其应力。例题6第四章习题课圆盘的直径为d，在一直径AB的两端点受到一对大小相同，方向相110解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

（a）假设GH以下为半平面体，在A点的F作用下，引用书中式（4-22）之解，第四章习题课解：本题可应用半平面体受铅直集中力的解答，进行叠加而得出。

111（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类似地得出（c）对于圆周上的点M，分别作用且，并有显然，在圆周上有第四章习题课（b）假设IJ以上为半平面体，在B点的F作用下，类112因此，圆盘在对径受压时，其应力解是

(a),(b),(c)三部分解答之和。

两者合成为圆周上的法向分布压力为了消除圆周上的分布压力，应在圆周上施加分布拉力其对应的应力分量为第四章习题课因此，圆盘在对径受压时，其应力解是113由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量

现在来计算水平直径CD线上的值。对于N点，设则有第四章习题课由于最大压应力发生在圆盘的中心，得到CD线上的应力分量114读者试求出CD线和AB线上的水平正应力值，并证明在中心线AB上，为常量的拉应力。AB线上的常量拉应力，便是劈裂试验的参考解答。第四章习题课读者试求出CD线和AB线上的水平正应力115

图示的曲杆，其截面为狭矩形，内外半径分别为r和R，在两端受有力矩M的作用，试求其应力。例题7第四章习题课例题7第四章习题课116解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可以引用轴对称应力解：第四章习题课解：本题中每一个截面上，内力都是M，因而也属于轴对称问题，可117在主要边界上，边界条件是由于，后两式自然满足，而其余两式为在两端部，或者任一截面上，有边界条件第四章习题课在主要边界上，边界118上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四章习题课上式中第一式自然满足。对于后两式，注意有积分式得到第四章119注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)、(b)、(d)解出第四章习题课注意式(c)实际上是式(a)和(b)的组合。由式(a)120其中曲杆中的应力分量为第四章习题课其中曲杆中的应力分量为第四章习题课121

例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界受到均布压力q的作用，试用下列应力的函数求出其应力分量。第四章习题课例题8图示的三角形悬臂梁，在上边界122解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数第四章习题课解：应力函数应满足相容方程和边界条件，从中可解出常123得出的应力解答是第四章习题课得出的应力解答是第四章习题课124在截面mn上，正应力和切应力为第四章习题课在截面mn上，正应力和切应力为第四章习题课125

例题9

图中所示的半平面体，在的边界上受到均布压力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。第四章习题课例题9进行求解，试求其应力分量。第四章习题课126解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均满足，就可以求出应力分量。第四章习题课解：将上述的应力函数代入相容方程，并校核边界条件，若两者均127本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章习题课本题的应力分量用极坐标表示的解答为第四章习题课128图中所示的半平面体，在的边界上受到均布切力q的作用，也可以应用下列用极坐标表示的应力函数进行求解，试求其应力分量。例题10第四章习题课图中所示的半平面体，在的边界上受到均布129

解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以求出应力分量。第四章习题课解：校核相容方程和边界条件，若上述应力函数均能满足，就可以130本题的应力解答是第四章习题课本题的应力解答是第四章习题课131

（一）本章的学习重点及要求1、本章建立了在极坐标系中，平面问题的基本方程和按应力求解的方法，并介绍了一批有实用价值的解答。本章小结（一）本章的学习重点及要求1、本章建立了1322、对于圆型、环型或由经向线和环向线围成的物体，宜用极坐标求解。因为用极坐标表示这些物体的边界非常简单，从而使边界条件简化，求解方便。

本章小结2、对于圆型、环型或由经向线和环向线本章小结1333、极坐标是一种最简单的曲线坐标。在极坐