文科数学-5-2偏导数和全微分

第五章多元函数微积分§1§2多元函数的概念偏导数和全微分§3二元函数的极值§4二重积分的概念§5在直角坐标系下计算二重积分偏导数已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。一、偏导数的定义及其计算法定义设函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)的某一邻xx0域内有定义，当y

固定在y0

而x

在x0

处有增量x

时，相应地函数有增量f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)，如果lim

f

(

x0

x,

y0

)

f

(

x0

,

y0

)存在，则称此极限为函数z

f

(

x,

y)在点(

x0

,

y0

)处对x

的偏导数（或偏微商），记为0y

yxx

xz00y

yx0

f，x

x，z0y

yxx

x0

或f

’(

x

,

.y

)x

0

0同理可定义的偏导数，函数

z

f

(

x

,

y

)

在点

(

x

0

,

y

0

)

处对

y为f

(

x

0

,

y

0

y

)

f

(

x

0

,

y

0

)

ylim

y

0记为x

x

0

z

y，y

y

0

y

y0x

x

0

f

yy

y0，z

y

x

x

0

或f

y’(x

0

,y

0

).如果函数z

f

(

x,

y)在区域D

内任一点(

x,

y)处对x

的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x

、

y

的函数，它就称为函数z

f

(

x,

y)对自变量x

的偏导数，x

xxz

f记作

，

，

z

或xf

’

(

x.

,

y)hf

(

x,

y)

lim

f

(

x

h,

y)

f

(

x,

y)h0xhf

(

x,

y)

lim

f

(

x,

y

h)

f

(

x,

y)h0y同理可以定义函数z

f

(

x,

y)对自变量y的偏导数，记作y

，y或y

yz

f，z f

’(

x.,

y)偏导数的求法由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求

f

时把

y

视为常数而对

x

求导x求f

时把

x

视为常数而对

y

求导y这仍然是一元函数求导问题例

1

求

z

x2

3xy

y2在点(1,2)

处的偏导数．解xz

2

x

3

y

;yz

3x

2

y

.

2

1

3

2

8

,zxx

1y2zyx

1y23

1

2

2

7

.y

x

x

y

x

yx

z

1y

ln

x1z

x

yx

y1

x

y

ln

xln

x

y

2z.原结论成立．例

3

设z

arcsinx2x

y2，求，x

yz

z

.例

2

设z

x

y

(

x

0,

x

1)，求证y

x

ln

x

yz

2z

.x

z

1证xyz

yx

y1

,

z

x

y

ln

x,yz

y

y

y2xx2x21

2x21(

x2

y2

)3(

xy)|

y

|x2

y2

xsgn

1x2

y2

y

(

y

0)y0y

x0z不存在．2

32y2(

x

y

)|

y

|x2

y2(

y2

|

y

|)|

y

|

y2

.x2解z

x

x

yx

y2x2x2

x2 2

1

1有关偏导数的几点说明：１、u偏导数

是一个整体记号，不能拆分;x求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；２、xy

,

求fx

(0,

0),

f

y

(0,

0).例如,

设z

f

(

x,

y)

解xxf

(0,0)

limx0y|

x

0

|

0

0

f

(0,0).计算

f

x

(x0

,y0

)

时可先将

y

=y0

代入f

(x

,y

)再对x求导然后代入

x

=x0计算

f

y

(x0,y0)时同理3、4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常

量，但由于变量较多，易产生

-——重要的是区分清函数的类型——这是出错的主要原因。5、若f(x

,y)=f(y

,x

)则称

f(

x

,

y)

关于

x,

y

具有轮换对称性在求时只需将所求的y

,

y2u

2ux

,

x

2u

2u中的x

,y互换即可6、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，例如,函数f

(x,y)0,

y2

0

y2

0,x

2x

22x

y2xy,依定义知在(0,0)处，

f

x

(0,0)

f

y

(0,0)

0.但函数在该点处并不连续.

偏导数存在

连续.7、偏导数的几何意义设二元函数z=f(x,y)在点（x0

,y0）有偏导设

M0

(

x0

,

y0

,

f

(

x0

,

y0

))

为曲面

z

f

(

x,

y)

上一点,如图z过点M0

作平面y=y0，此平面与曲面相交得一曲线，曲线的方程为0z

f

(x,

y).y

y由于偏导数

fx’

(x0

,y0)

为一元函数f

(x

,y0)的导数

f'

(x,

y

)

|，故由一元函数导数的几何意义知:0

xx0z几何意义:偏导数fx

(x0

,y0

)在几何上表示曲线0z

f

(x,

y).y

y偏导数fy

(x0

,y0

)在几何上表示曲线在点M0

(x0

,y0

)出的切线对x

轴的斜率.z

f

(x,

y).0x

x在点M0

(x0

,y0

)出的切线对y

轴的斜率.二、高阶偏导数函数z

f

(

x,

y)的二阶偏导数为

'x''''xx或zxx

,f

f

2

f

,

简记为 f定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

xx

x

x2

f

2

f'y,yyyyf

''

或z''fyy

y

y2

,

简记为

f

2

f'x''''xy或zxy

,fy

y

x

xy

,

简记为 f

'y''''yx或zyx

,f

f

2

f

x

x

y

yx

,

简记为

f二阶混合偏导纯偏导混合偏导例

5

设z

x

3

y2

3

xy3

xy

1，求

、x

2

yx

2

z

2

z

2

z23、

、xy

y

x

2

z

3

z及

.2

2

zx

6xy2

,3

3

zx

6

y2

,2

2

z

2x3

18xy;

2

zxy

6x2

y

9

y2

1,y

2

zyx

6x2

y

9

y2

1.例

6

设u

eax

cos

by

，求二阶偏导数.解yu

aeax

cos

by,

u

beax

sin

by;x

2u2

ax

a

e

cos

by,x2b2eax

cosby,y22u

abe

sin

by,xyax2u

axyx

abe

sin

by.2u问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？yx22y满xu足拉2x2斯方程解

ln

y2

1

ln(

x2

y2

),两个二阶混合偏导数必相等．例

7

验证函数

),(

ln,x2x

y2

u

x,x2

y2u

yyy2(

x2

y2

)2

,

2u

(

x2

y2

)

x

2x

x2x2

(

x2

y2

)2定理

如果函数z

f

(

x,

y)的两个二阶混合偏导数

2

z

2

zyx

及xy

在区域D内连续，那末在该区域内这x2(

x2

y2

)2

.2u

(

x2

y2

)

y

2

y

y2y2

(

x2

y2

)2(

x2

y2

)2

y2x2x2

y2

(

x2

y2

)2y2

2u

2u

x2

0.三、全微分的定义由一元函数微分学中增量与微分的关系得f

(

x

x,

y)

f

(

x,

y)f

(

x,

y

y)

f

(

x,

y)fx

(

x,

y)xf

y

(

x,

y)y全增量的概念二元函数对x

和对y

的偏增量二元函数对x

和对y

的偏微分并设如果函数z

f

(

x,

y)

在点(

x,

y)

的某邻域内有定义，P(x

x,y

为y)这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)为函数在点

P对应于自变量增量x,

y的全增量，记为z，即

z

=

f

(

x

x,

y

y)

f

(

x,

y)一般来讲，全增量z

与x,

y

的相依关系是比较复杂的，因此

希望能象一元函数的微分那样，用

x,

y

的线性函数Ax

By

来近似表示，并给出误差估计。由此引出如下定义：全微分的定义如果函数

z

f

(

x,

y)在点(

x,

y)的全增量z

f

(x

x,y

y)

f

(x,y)可以表示为z

Ax

By

o(

)，其中A,B

不依赖于x,y

而仅与x,y

有关，

(x

)2

(y)2

，则称函数

z

f

(

x,

y)在点(

x,

y)可微分，Ax

By

称为函数

z

f

(

x

,

y

)

在点(

x,

y

)的全微分，记为dz

，即

dz

=

Ax

By

.函数若在某区域D

内各点处处可微分，则称这函数在

D

内可微分.如果函数z

f

(

x,

y)在点(

x,

y)可微分,则函数在该点连续.事实上z

Ax

By

o(

),lim

z

0,

0lim

f

(

x

x,

y

y)x0y0

lim[

f

(

x,

y)

z]

0

f

(

x,

y)故函数z

f

(

x,

y)在点(

x,

y)处连续.可微的条件定理（必要条件）P0

(x0

,y0)可微分，则函数在该点的两个偏导数存在，如果函数

z

f(

x

,

y

)

在点A

f

'

(x

,

y

),

B

f

'

(x

,

y

).x

0

0

y

0

0并且于是函数

z

f

(

x,

y

)

在点P0

处的全微分可以表成dz

f

'

(x

,

y

)x

f

'

(x

,

y

)y.x

0

0

y

0

0一元函数在某点的导数存在

微分存在．多元函数的各偏导数存在

全微分存在．例如.

y2

00

y2

0x2x2

y2x2xyf

(

x,

y)

在点(0,0)处有f

x

(0,0)

f

y

(0,0)

0z

[

f

x

(0,0)y,(x)2

(y)2x

y如果考虑点P(x,y)沿着直线y

x

趋近于(0,0)，则(x)2

(y)2x

yx

x(x)2

(x)21

,2说明它不能随着

0而趋于0,当

0

时z

[

fx

(0,0)

x

f

y

(0,0)

y]

o(

),函数在点(0,0)处不可微.说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。在点(x0

,y0

)及它的某一领域内存在，并且在该点连续，则函数在该点可微.注：上述定理是可微的充分条件，非必要条件.例试证函数定理（充分条件）设二元函数

z

f

(

x,

y)

的偏导数f

'

(x,

y),

f

'

(x,

y)x

y0,

xy

sinf

(

x,

y)

, (

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)1x

2

y

2在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f

在点(0,0)可微.思路：按有关定义yx

；对于偏导数需分)0，,0(),(yx

)

,.(证令x

cos

,y

sin

,1则x2

y2lim

xy

sin(

x

,

y

)(0,0)

lim

2

sin

cos

sin

1

0

0

f

(0,0),故函数在点(0,0)连续,xf

(0,0)

lim

f

(x,0)

f

(0,0)xx0

lim

0

0

0,xx0同理f

y

(0,0)

0.当(x,y)

(0,0)时，fx

(

x,

y)

11y

sinx2,

y2x2

yx2cos

y2

)3

y2

(

x2当点P(x,y)沿直线y

x

趋于(0,0)时,lim

f

x

(

x,

y)(

x

,

x

)(

0,0)1

3

cos

,1x32

|

x

|

2 2

|

x

| 2

|

x

|

lim

x

sinx0

不存在.所以f

x

(x,y)在(0,0)不连续.同理可证f

y

(x,y)在(0,0)不连续.f

f

(x,

y)

f

(0,0)(x)2

(y)21

x

y

sin

o(

(x)2

(y)2

)故f

(x,y)在点(0,0)可微上，记全微分为dz

z

dx

z

dy.x

y通常

把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数du

u

dx

u

dy

u

dz.x

y

z叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例

1

计算函数z

e

xy

在点(2,1)

处的全微分.解xz

ye

xy

,z

xexy

,

e2

,x

(

2,1)z

2e2

,y

(

2,1)yz所求全微分dz

e2dx

2e2dy.4例2

求函数z

y

cos(x

2

y)，当x

，y

，4dx

，dy

时的全微分.解xz

y

sin(

x

2

y),yz

cos(

x

2

y)

2

y

sin(

x

2

y),x

z(

,)4(

,)4(

,)4dz

ydx

z

dy8

2

(4

7).2例

3

计算函数u

x

sin

y

e

yz

的全微分.解xu

1,u

1

cos

y

ze

yz

,y

2

2zu

ye

yz

,所求全微分du

dx

(1

cos

y

ze

yz

)dy

ye

yz

dz.2

2多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导若y

f

(u)而u

(

x)可导则复合函数y

f对

x

的导数为dy

dy

dudx

du

dx这一节把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。

知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？四、复合函数微分法这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如

z

f

(

x2

y2

,

xy)它是由

z

f

(u,v)及u

x2

y2

,v

xy

复合而成的由于

f

没有具体给出在求z

,z

时一元复合函数的微分法则就x

y为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。一、链式法则定理（链式法则）

设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可导，且在对应于

(x,y)的点(u,v)处，函数z=f(u,v)可微，则复合函数

f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)处也可导，且z

f

u

f

v

.y

u

y

v

y特别地，若z=f(u,v)，而u=u(x),v=v(x)，则复合函数z

=

f[

u(x),

v(x)

]是

x

的一元函数.这时，

称

z

对

x

的导数dz

f du

f dv

.dx

u

dx

v

dx为二元函数f(u,v)对x

的全导数（或全微商）.上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dz

z

du

z

dv

z

dwzdt

u

dt

v

dt

w

dtuvwt以上公式中的导数dz

称为全导数.dt上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：

z

f

[

(

x,

y),

(

x,

y)].如果u

(x,y)及v

(x,y)都在点(x,y)具有对x

和y

的偏导数，且函数z

f

(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数z

f

[

(x,y),

(x,y)]在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算z

z

u

z

v

，

z

z

u

z

v

.x

u

x

v

x

y

u

y

v

y链式法则如图示zuvxyz

z

u

z

v

,xy

u

yx

u

x

vz

z

uvy

z

v

.称为标准法则或

2

2这个公式的特征：⑴函数

z

f

[u(

x,

y),v(

x,

y)]

有两个自变量

x

和

yx

yz

,

z故法则中包含

两个公式；⑵由于在复合过程中有两个中间变量

u

和

v故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有z,

zu

v⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘”wuz

vxy类似地再推广，设u

(x,y)、v

(x,y)、w

w(

x,

y)都在点(

x,

y)具有对

x和

y

的偏导数，复合函数z

f

[

(

x,

y),

(

x,

y),

w(

x,

y)]在对应点(

x,

y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算z

z

u

z

v

z

w

,x

u

x

v

x

w

xz

z

u

zv

z

w

.y

u

y

v

y

w

y特殊地z

f

(u,

x,

y)其中u

(

x,

y)即

z

f

[

(

x,

y),

x,

y],令v

x,w

y,v

1,

w

0,

v

0,x

x

yyw

1.z

f

u

f

,x

u

x

x

f

u

f

.u

y

yzy两者的区别把复合函数

z

f

[

(

x,

y),

x,

y]中的y

看作不变而对x

的偏导数把

z

f

(u,

x,

y)中的u

及y

看作不变而对x

的偏导数区别类似注此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形z

f

(u1

,u2

,,um

)

i

1,

2,

m.如则zxjimxjz

u

j

1n,,i1

ui从以上推广中

可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关设函数z

f

(u,

v)具有连续偏导数，则有全微分dz

z

du

z

dv

;当u

(x,y)、v

(x,y)u

vx

y时，有dz

z

dx

z

dy

.全微分形式不变形的实质：无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.dz

z

dx

z

dyx

y

z

u

z

v

u

x

v

x

dx

z

u

z

v

dy

u

y

v

y

二、全微分形式不变性u

x

y

v

x

y

z

u

dx

u

dy

z

v

dx

v

dy

uv

z

du

z

dv.利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分dx,dy来说是线性的从而为解题带来很多方便，而且也不易出错uxyzxtxzu

f

f

y

f

zx

x

y

x

z

xy

x

x

t

x

u

f

f

f

x

x

y

x

y

t

x例5

设u

f

(

x,

y,

z),

y

(

x,

t

),

t

(

x,

z)各函数满足求导条件

求ux解一变量间的关系如下图所示这里变量间的关系比较用全微分来解由全微分定理du

f

dx

f

dy

f

dzx

y

z

f

dx

f

[

dx

dt]

f

dzx

y

x

t

z

f

dx

f

[

dx

(

dx

dz)]

f

dzx

y

x

t

x

z

z注意到

x

,z

是独立自变量解二注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错故du

(f

f

f

)dx

(f

f

)dzx

yx

y

t

x

y

t

z

z由全微分定义u

f

f

f

x

x

y

x

y

t

xu

f

fz

y

t

z

z隐函数的微分法1.

F

(

x,

y)

0在一元函数微分学中，可以利用复合函数求导法则求出由方程F

(x,y)

0

所确定的隐函数

y=f(x)的导数.利用二元复合函数的求导法则道出它的一般公式:将函数y=f(x)代回到原方程，得到

F

(x,f

(x))

0

.方程两边对x

求偏导数得F

F dy

0.x

y

dx于是，当F

0

时，便得到公式y' x

.yFFF

'dy

xFydx隐函数存在定理

1设函数F

(x,y)在点P(x0

,y0

)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F

(x0

,y0

)

0，Fy

(x0

,y0

)

0，则方程F

(x,y)

0在点P(x0

,y0

)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数

y

f

(

x)，它满足条件

y0

f

(

x0

)，并有dx

F’ydy

F’x

.例１

验证方程x

2

y2

1

0在点(0,1)

的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x

0时y

1的隐函数y

f(

x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x

0的值.解令则F

(

x,

y)

x2

y2

1Fx

2x,F

(0,1)

0,Fy

2

y,Fy

(0,1)

2

0,依定理知方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x

0

时y

1

的函数y

f

(x)．函数的一阶和二阶导数为dy

Fxdx

Fyy

x

,

0,dx

x0dyy2dx2d

2

y

y

xy

y2

y

y

x

x

,1y3

1.x0dx2d

2

yx

arctan

y

，求x2例

2

已知ln

y2dxdy

.解令xyF

(

x,

y)

ln

x2

y2

arctan

,则x2

y2x

y

,xF

(

x,

y)

x2

y2y

x

,yF

(

x,

y)

dy

Fxdx

Fy

x

y

.y

x2.

F

(

x,

y,

z)

0对于由方程F

(x,y,z)

0

所确定的隐函数

z=f(x,y),如F果

0

，则由F

(x,

y,

f

(x,

y))

0zy

.z

zF

'F

'

x

,zxyF

F dz

0,F

F dz

0.x

z

dxz F

'y

z

dy'

F分别有得到公式：隐函数存在定理2设函数F

(x,y,z)在点P(x0

,y0

,z0

)的某一邻域内有连续的偏导数，且F

(x0

,y0

,z0

)

0

，Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0

，则方程

F

(

x,

y,

z)

0

在点P(

x0

,

y0

,

z0

)

的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数

z

f

(

x,

y)

，它满足条件

z0

f

(

x0

,

y0

)

，并有Fz’xz

Fx’

，Fz’z

F’y

.yu

F

(r,

s),

r

x,

s

y