上课用2第二章水静力学课件

第二章水静力学水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实际应用。主要研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的各种力之间的关系。水静力学的研究目的：确定液体对边界的作用力。静水压强及静水压力的计算。应用：主要解决结构设计的问题。例如许多水工建筑物（如坝、闸门等）的表面都直接与液体接触，要进行这些建筑物的设计，首先必须计算作用于这些边界上的水压力。注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，此时实际液体和理想液体一样。第二章水静力学水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实1章节设置第一节静水压强第二节液体平衡微分方程第三节重力作用下的静力学基本方程第四节作用在平面壁上的静水总压力第五节作用在曲面壁上的静水总压力章节设置第一节静水压强2学习要点1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强计算。3、静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几何意义。学习要点3学习要点4、静水压强的测量方法和计算。5、静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。6、绘制压力体剖面图，曲面上静水总压力的计算。学习要点4、静水压强的测量方法和计算。4第一节静水压强及其特性一、静水压力与静水压强DA面上单位面积所受的平均静水压力为：

K点的静水压强为：

静水压力的单位为N或kN；静水压强的单位为Pa或kPa。第一节静水压强及其特性一、静水压力与静水压强DA面上单位5二、静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面，即静水压力只能是垂直的压力。二、静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：在平衡液62．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压强大小相等。AB改变方位前后，作用在C点的静水压强大小仍然保持不变。C点位置固定不动2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大小和受7四面体各个面上所受表面力为：ACD面：；ABD面：ABC面：；BCD面：四面体的体积，故四面体所受的总质量力在三个坐标轴的x、y、z的分量为：；；注：X，

Y，

Z为单位质量力分别在x，

y，

z轴上的分量。四面体各个面上所受表面力为：ACD面：；8静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数而与受压面方向无关，所以按照平衡条件，所有作用于微小四面体的外力在各个坐标轴上投影的代数和应等于零。现对x轴方向建立平衡方程：由几何关系可知，，代入上式，略去高阶无穷小量，可得：，同理可得：，，因此倾斜面n的方向是任意选取的，所以当四面体无限缩小至一点时，各个方向的静水压强均相等。静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体内，任一点的静9第二节液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体各种力之间的关系式。设想在平衡液体中分割出一块微分平行六面体abcdefgh，其边长分别为dx，dy，dz，形心点在A（x，

y

，

z），该六面体应在所有表面力和质量力的作用下处于平衡。第二节液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程101.表面力作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上所作用的静水压力。垂直于x轴的左右两个平面中心点上的静水压强分别为：则静水压力分别为：和和泰勒级数：1.表面力作用于六面体的表面力，为周围液体112.质量力质量力沿三个坐标轴的分量为：，，处于静止状态下的微小平行六面体的平衡条件是作用在其上的外力，在三个坐标轴上投影的总和等于零。在x轴方向上有：整理上式，并把各项都除以微小平行六面体的质量，则得：液体（欧拉）平衡微分方程

2.质量力质量力沿三个坐标轴的分量为：，12将上式分别乘以dx、dy及dz，然后相加得：由于液体静水压强p只是空间坐标的函数，则上式右端括号内表示的是静水压强的全微分dp，故上式可写成：静水压强的全微分dp此方程是欧拉平衡微分方程组中三个单独方程的一个综合表达式，该式便于微分求解。将上式分别乘以dx、dy及dz，然后相加得：由于液体静水压强13二、等压面在平衡液体中，静水压强的大小是空间坐标的函数。一般说来，不同点具有不同的静水压强值。但可以在平衡液体中找到这样一些点，它们具有相同的静水压强值，这些点连接成的面（可能是平面也可能是曲面）称为等压面。等压面具有两个重要性质：在平衡液体中等压面既是等势面。等压面与质量力正交。即作用于静止液体上任一点的质量力必须垂直于通过该点的等压面。二、等压面在平衡液体中，静水压强的大小是空间坐标的函数。一般141.如果液体处于静止状态，即作用于液体上的质量力只有重力，则就一个局部范围而言，等压面必定是一个水平面；就一个大范围而论，等压面应是处处和地心引力成正交的曲面。2.若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。注意：3.不同流体的交界面也是等压面。此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相连通的同种液体。1.如果液体处于静止状态，即作用于液体上的质量力只有重力，15实际应用：对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等压面。实际应用：对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水16例题分析一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角q；又自由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m，求A点的压强。

例题分析一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以17例题分析解：单位质量力的三个分量为：X=-a,Y=0,Z=-g

代入液体平衡微分方程有：积分得当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而或令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为

再令中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0从而它与水平面的夹角为例题分析解：单位质量力的三个分量为：X=-a,Y=0,积分18第三节重力作用下的

静力学基本方程一、水静力学基本方程在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。若把直角坐标系的轴取在铅垂方向，则质量力只在

z轴方向有分力，即

X＝Y＝0，Z=－g，代入平衡微分方程式，则有：第三节重力作用下的

静力学基本方程一、水静力学基本方程在19均质液体中

r

为常数，以

g

代替rg

，积分得:式中的积分常数C由边界条件确定，在自由面上z=z0，p=p0。代入上式，即可得出静止液体中任意点的静水压强计算公式:或式中，h=z0-z

表示该点在自由面以下的液柱高度。上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体压强p0（当自由面与大气相通时，p0=pa

，为当地大气压强），另一部分是gh，相当于单位面积上高度为h的水柱重量。p0z0hzA均质液体中r为常数，以g代替rg，积分得:式中的20由于g

为常数，故液柱高度亦可反映压强p

的大小。由此压强的单位可有三种表示方法：1.用单位面积上的力表示：应力单位为Pa

，

kPa，

N/m2

，

kN/m2，1Pa=1N/m2。2.用液柱高度表示：m（液柱）。如，则有，，和分别为水和水银的容重。

3.用工程大气压pa

的倍数表示:，如某点压强，则可表示为，即等于两个工程大气压。由于g为常数，故液柱高度亦可反映压强p的大小。由此压21二、绝对压强与相对压强地球表面大气所产生的压强称为大气压强。海拔高度不同，大气压强也有所差异。在我国法定计量单位中，把98223.4Pa称为一个标准大气压，在实际计算中，不同情况下采用不同的基准来度量压强，即所谓绝对压强与相对压强。1.绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强。2.相对压强：把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。如果把一个压力表放在大气中，指针读数为零，那么用这一压力表所测的压强值，则为相对压强。二、绝对压强与相对压强地球表面大气所产生的压强称为大气压强。22绝对压强和相对压强，是按两种不同基准（即零点）计量的压强，它们之间相差一个当地大气压强值，二者的关系可表示为水利工程中，一般的自由表面都是开敞于大气中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，即p0=pa。因而静止液体内任意点的相对压强为：p’为绝对压强，p为相对压强，pa为当地的大气压强。

绝对压强和相对压强，是按两种不同基准（即零点）计量的压强，它23３.真空及真空度

：绝对压强总是正值，而相对压强则可能是正值，也可能是负值。当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，即其相对压强为负值时，则称该点存在真空。真空的大小常用真空度表示。真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值，即：可见，有真空存在的点，其相对压强与真空度绝对值相等，相对压强为负值，真空度为正值。故真空也称负压。

３.真空及真空度：绝对压强总是正值，而相对压强则可能是正24解：由公式，C

点绝对静水压强为：一封闭水箱，自由面上气体压强为85kN/m2，求液面下淹没深度为1m

处点C

的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。

例题分析C

点的相对静水压强为：相对压强为负值，说明C点存在真空。根据公式，真空度为：解：由公式，C点绝对静水压强为：一封闭水箱，自由面上气体压25例题分析一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面高出的值为多少？

解：因水箱和测压管内是互相连通的同种液体，故和水箱自由表面同高程的测压管内N点，应与自由表面位于同一等压面，其压强应等于自由表面上的大气压强，即。

从测压管来考虑

故

所以，当把顶部密封的测压管抽成绝对真空时，管内液面将比水箱液面高10m。

（p0=0）

例题分析一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m26三、静水压强分布图压强分布图：用线段长度表示各点压强的大小，用箭头表示压强的方向，如此绘成的压强分布图形。

压强分布图的绘制与应用要点有：

1．压强分布图中各点压强方向恒垂直指向作用面，两受压面交点处的压强具有各向等值性。2．压强分布图与受压面所构成的体积，即为作用于受压面上的静水总压力，其作用线通过此力图体积的重心。压强分布图可叠加。3．由于建筑物通常都处于大气之中，作用于建筑物的有效力为相对压强，故一般只需绘制相对压强分布图。压强分布图直观明了，有助于分析计算。

三、静水压强分布图压强分布图：用线段长度表示各点压强的大小，27静水压强分布图的绘制规则为：

按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小；用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。

静水压强分布图的绘制规则为：28上课用2第二章水静力学课件291．测压管

容器中A

点与同高程上测压管中B点，位于同一等压面上，两点压强相等。从测压管内来看，B点在自由面下的淹没深度为h，该点相对压强为

而

h

为测压管高度或压强高度

在测压管中放入轻质液体可以提高测量精度，

A点的相对压强则为

1．测压管容器中A点与同高程上测压管中B点，位于同302．U形水银测压计

U形管管子一端与大气相通，另一端则与需测量的地方相连接。当一端与被测点A

接通以后，在水压力作用下，U形管右支水银面就会上升。令被测点A与左支水银面的高差为b，右支水银面与左支水银面高差为h。

在U形管内，水银面N－N为等压面，点1和点2压强相等。

对测压计右支:对测压计左支:A点的绝对压强:A点的相对压强：

式中，g

和gm

分别为水和水银的容重。

2．U形水银测压计U形管管子一端与大气相通，另一端313．差压计

两容器内各盛一种液体，其容重分别为gA、gB，今使用水银U形差压计测量两容器中A、B两点之压差。已知，水银容重为gm

，差压计中水银面之高差为h，其余有关数据见图。

解：根据等压面特性，有：

若容器中为同种液体，则有：

A、B两点压强差为：

3．差压计两容器内各盛一种液体，其容重分别为gA、gB32五、水静力学基本方程的几何意义，水力学意义及能量意义水静力学基本方程式，各项的意义为：

1．几何意义及水力学意义

测压管水头=位置水头+压强水头

位置高度（位置水头）。

压强高度（压强水头）。

测压管水头。

静止液体中各点位置高度与压强高度之和不变；其水力学意义为静止液体中各点测压管水头相等。

五、水静力学基本方程的几何意义，水力学意义及能量意义水静力学332．能量意义

势能=位能+压能

位置势能（单位位能）（）。

压力势能（单位压能）（）。

单位势能。

静止液体中单位重量液体所具有势能相等。因此，水静力学基本方程，也是静止液体的能量方程。

2．能量意义势能=位能+压能位置势能（单位位能）34第四节作用在平面壁上的

静水总压力水工建筑物常常都与水体直接接触。所以计算某一受压面上的静水压力是经常遇到的问题。由于在工程界，习惯于把静水压强简称为静水压力，为了避免混乱，我们把某一受压面上所受的静水压力称为静水总压力。第四节作用在平面壁上的

静水总压力水工建筑物常常都与水体35解析法（适用于任意性状、处于任意方向的平面壁）大小：方向：垂直指向平面壁作用点：图解法（只适用于底边水平的矩形平面壁）大小：方向：垂直指向平面壁作用点：通过静水压强分布图体积的重心解析法（适用于任意性状、处于任意方向的平面壁）36一、解析法在与自由表面成q

倾斜角的xOy

平面内，有一任意形状的平板，其总面积为A，形心

C

点坐标为

(xc,yc)，Ox是xOy平面与自由表面的交线。现将xOy平面绕轴转90°，以便能在图上看清该平板的形状尺寸。一、解析法在与自由表面成q倾斜角的xOy平面内，有一37C点为形心点D点为压力中心

C点为形心点38平板上任意一点M

的水深为h，坐标位置为(x,y)，静水压强为gh，微小面积dA

所受静水总压力为：总面积A

所受静水总压力是由许多dP

所形成的平行力系的合力，即：因，且是受压面积A

对Ox

轴的静面矩，它等于ycA

，故上式变为：

平板上任意一点M的水深为h，坐标位置为(x,y)，39式中，等于形心点C

的水深hC

，故得：作用在平面壁上的静水总压力P

的大小，只与g、

hC

及A有关，而与该平面的形状及方位无关。由于ghC是形心C

点的静水压强pC，故

P的数值也等于pC

与A

的乘积，即：作用于任意平面上的静水总压力，等于平面形心点上的静水压强与平面面积的乘积。形心点压强pC，可理解为整个平面的平均静水压强。图式中，等于形心点C的水40静水总压力P

的方向垂直指向平面壁；P

的作用点D，称为压力中心。理论力学指出：合力对某轴的力矩等于各分力对该轴的力矩之和。现用此原理确定D

点的坐标位置(xD,yD)。合力

P对Ox

轴的力矩为：各分力

dP对Ox

轴的力矩之和为：式中，为A

对Ox

轴的惯性矩，以符号Ix

表示。图静水总压力P的方向垂直指向平面壁；P的作用点D，称为41设

IC

为A

对通过形心C

点并与Ox轴平行的轴的惯性矩，根据惯性矩平行移轴定理，有：则令即故上式表明：yD

必大于yC，即压力中心D

点的位置总是在形心C

点之下；只有当平板为水平放置或yC

为无穷大时，D

点才与C

点相重合。

设IC为A对通过形心C点并与Ox轴平行的轴的42上课用2第二章水静力学课件43如果受压面具有与Oy

轴相平行的纵向对称轴，例如矩形、等腰梯形、等腰三角形、圆形、椭圆形等，必须xD=xC；否则，应仿照上述方法对Oy轴取力矩，并令即可推导出xD为式中是对通过形心C

并平行于Ox、Oy

的轴的惯性积。如果受压面具有与Oy轴相平行的纵向对称轴，例如矩形、等腰44二、图解法图解法是根据静水压强分布图来计算静水总压力的方法。

平面上静水总压力的大小，应等于分布在平面上各点静水压强的总和。取一水中单宽（宽度b=1）平面进行分析，此时平面上所受的总压力：上式表示压强分布图的面积，同时也可以理解为受压面压强分布图的立体体积。图解法计算的静水总压力大小为：

注意：平面壁的面积

A和静水压强分布图的面积

W

的区别！二、图解法图解法是根据静水压强分布图来计算静水总压力的方法。45上课用2第二章水静力学课件46合力作用点通过压强分布图的形心，也就是立体图形的中心。如果为三角形分布，合力作用点离底部距离；当为梯形分布时，

。一般压强分布图为梯形，则：矩形平面壁图解法计算静水总压力的步骤如下：1、绘出静水压强分布图；2、通过计算压强分布图面积，计算合力的大小；3、确定合力作用点。

合力作用点通过压强分布图的形心，也就是立体图形的中心。如果为47例题分析一垂直放置的圆形平板闸门，已知闸门

R

半径为1m，形心在水下的淹没深度

hC

为8m，求作用于闸门上静水总压力的大小及作用点位置。解：计算总压力：作用点

D

应位于纵向对称轴上，故仅需求出

D

点在对称轴上的位置。其中，故

圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩。则：例题分析一垂直放置的圆形平板闸门，已知闸门R半径为1m，48例题分析有一倾斜矩形闸门

AB，试用解析法和图解法求作用在闸门上的静水总压力及其作用点。已知

解：（1）解析法。求静水总压力得：求压力中心得：例题分析有一倾斜矩形闸门AB，试用解析法和图解法求作用在闸49（2）图解法。①

绘制静水压强分布图，如图中面积。

②计算静水压强分布图的体积，即得：（2）图解法。①绘制静水压强分布图，如图中50③计算压强分布图形心点距液面的深度。形心点距底边的距离为：静水压力作用点位置：则③计算压强分布图形心点距液面的深度。形心点距底边51第五节作用在曲面壁上的

静水总压力在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等，这些曲面多数为二向曲面（或称柱面）。所以这里着重分析二向曲面的静水压力计算。作用在曲面上任意点处的相对静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以液体的单位体积的重量，即p=rgh；其方向也是垂直指向作用面。第五节作用在曲面壁上的

静水总压力在水利工程上常遇到受压52采用“先分解，后合成”的方法：式中，Ax

、Az

为曲面在铅垂面和水平面上的投影面积；Pc为铅垂投影面积Ax

形心点的压强；V为压力体的体积。大小：曲面所受静水总压力的大小方向：总压力P

的方向与水平面的夹角a作用点：总压力P

的作用线应通过Px

与Pz

的交点K，过K

点沿P

的方向延长交曲面于D，D点即为总压力P

在曲面AB

上的作用点。采用“先分解，后合成”的方法：53上课用2第二章水静力学课件54如图为一母线与Oy

轴平行的二向曲面，母线长为b，曲面在xOy

面上的投影为曲线EF，曲面左侧受静水压力的作用。计算平面上静水总压力时，可以把各部分面积上所受水压力直接求其代数和，这相当于求一个平行力系的合力。然而，对于曲面由于各部分面积上所受静水压力大小及方向均各不相同，故不能用求代数和的方法来计算静水总压力。为了把它变成一个求平行力系的合力问题，只能分别计算作用在曲面上静水总压力的水平分力Px

和垂直分力Pz，最后再将Px

与Pz

合成为总压力P。如图为一母线与Oy轴平行的二向曲面，母线长为b，曲面在551、静水总压力的水平分力

今在曲面

EF上取一微分柱面KL，其面积为dA，对微分柱面KL，可视为倾斜平面，设它与铅垂面的夹角为a，作用于KL

面上的静水压力为dP，则dP

在水平方向的分力为总压力的水平分力可看作是无限多个dPx

的合力，故1、静水总压力的水平分力今在曲面EF上取一微分柱面KL56根据平面静水压力公式其中h

为dA

面形心点在液面下的淹没深度。于是令，为dA

在yOz

坐标平面的投影面积。则(a)根据平面静水压力公式其中h为dA面形心点在液面下的淹57由理论力学可知式中：Ax

为曲面EF

在yOz坐标面上的投影面积；hC

为Ax

面形心点C

在液面下的淹没深度。将(b)式代入(a)式得(b)上式表明：作用在曲面上静水总压力P

的水平分力Px，等于曲面在yOz

平面上的投影面Ax

上的静水总压力。很明显，水平分力Px

的作用线应通过Ax

平面的压力中心。由理论力学可知式中：Ax为曲面EF在yOz坐标面上582、静水总压力的垂直分力

令，为dA

在xOy

坐标平面上的投影。则在微分柱面KL上，静水压力dP

沿铅垂方向的分力为整个

EF曲面上总压力的垂直分力Pz

，可看作许多个dPz

的合力，故2、静水总压力的垂直分力令59则得h(dA)z为KL

面所托起的水体体积，而为

EF曲面所托起的水体体积，令V

代表以面积

EFMN为底，长为b的柱体体积，该柱体称为压力体。上式表明：作用于曲面上静水总压力P的垂直分力Pz

，等于压力体内的水重。令压力体底面积（即

EFMN的面积）为W，则则得h(dA)z为KL面所托起的水体体积，而60压力体只是作为计算曲面上垂直压力的一个数值当量，它并不一定是由实际水体所构成。压力体应由下列周界面所围成：1.受压曲面本身；2.液面或液面的延长面；3.通过曲面的四个边缘向液面或液面的延长面所作的铅垂平面。关于垂直分力Pz

的方向，则应根据曲面与压力体的关系而定：当液体和压力体位于曲面的同侧时，Pz

向下（实压力体）

；当液体及压力体各在曲面之一侧，Pz

向上（虚压力体）。压力体只是作为计算曲面上垂直压力的一个数值当量，它并不一定是61当曲面为凸凹相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面向切处将曲面分开，分别绘出各部分的压力体，并定出各部分垂直水压力的方向，然后合成起来即可得出总的垂直压力的方向。垂直分力的作用线，应通过压力体的体积形心。当曲面为凸凹相间的复杂柱面时，可在曲面与铅垂面向切处将曲面分623、静水总压力由二力合成定理，曲面所受静水总压力的大小为为了确定总压力P

的方向，可以求出与水平面的夹角a值或总压力P的作用线应通过Px

与Pz

的交点K，过K

点沿P

的方向延长交曲面于D，D点即为总压力

P

在曲面AB上的作用点。

总结PPxPz3、静水总压力由二力合成定理，曲面所受静水总压力的大小为为了63作业P262.3P272.82.10P282.132.14作业P262.364第二章水静力学水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实际应用。主要研究液体处于静止（或相对平衡）状态时，作用于液体上的各种力之间的关系。水静力学的研究目的：确定液体对边界的作用力。静水压强及静水压力的计算。应用：主要解决结构设计的问题。例如许多水工建筑物（如坝、闸门等）的表面都直接与液体接触，要进行这些建筑物的设计，首先必须计算作用于这些边界上的水压力。注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，此时实际液体和理想液体一样。第二章水静力学水静力学的任务：研究液体平衡的规律及其实65章节设置第一节静水压强第二节液体平衡微分方程第三节重力作用下的静力学基本方程第四节作用在平面壁上的静水总压力第五节作用在曲面壁上的静水总压力章节设置第一节静水压强66学习要点1、静水压强的两个重要的特性和等压面的性质。2、静水压强基本公式和物理意义，静水压强计算。3、静水压强的单位和三种表示方法：绝对压强、相对压强和真空度；理解位置水头、压强水头和测压管水头的物理意义和几何意义。学习要点67学习要点4、静水压强的测量方法和计算。5、静水压强分布图，并熟练应用图解法和解析法计算作用在平面上的静水总压力。6、绘制压力体剖面图，曲面上静水总压力的计算。学习要点4、静水压强的测量方法和计算。68第一节静水压强及其特性一、静水压力与静水压强DA面上单位面积所受的平均静水压力为：

K点的静水压强为：

静水压力的单位为N或kN；静水压强的单位为Pa或kPa。第一节静水压强及其特性一、静水压力与静水压强DA面上单位69二、静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：1．静水压强的方向与受压面垂直并指向受压面（垂直指向性）在平衡液体中静水压强的方向与作用面垂直并指向作用面，即静水压力只能是垂直的压力。二、静水压强的特性静水压强有两个重要的特性：在平衡液702．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大小和受压面方向无关，或者说作用于同一点上个方向的静水压强大小相等。AB改变方位前后，作用在C点的静水压强大小仍然保持不变。C点位置固定不动2．静水压强各向同性（各向等值性）：任一点静水压强的大小和受71四面体各个面上所受表面力为：ACD面：；ABD面：ABC面：；BCD面：四面体的体积，故四面体所受的总质量力在三个坐标轴的x、y、z的分量为：；；注：X，

Y，

Z为单位质量力分别在x，

y，

z轴上的分量。四面体各个面上所受表面力为：ACD面：；72静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体内，任一点的静水压强仅是空间坐标的函数而与受压面方向无关，所以按照平衡条件，所有作用于微小四面体的外力在各个坐标轴上投影的代数和应等于零。现对x轴方向建立平衡方程：由几何关系可知，，代入上式，略去高阶无穷小量，可得：，同理可得：，，因此倾斜面n的方向是任意选取的，所以当四面体无限缩小至一点时，各个方向的静水压强均相等。静水压强第二个特性表明，作为连续介质的平衡液体内，任一点的静73第二节液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体各种力之间的关系式。设想在平衡液体中分割出一块微分平行六面体abcdefgh，其边长分别为dx，dy，dz，形心点在A（x，

y

，

z），该六面体应在所有表面力和质量力的作用下处于平衡。第二节液体平衡微分方程一、液体平衡微分方程741.表面力作用于六面体的表面力，为周围液体对六面体各表面上所作用的静水压力。垂直于x轴的左右两个平面中心点上的静水压强分别为：则静水压力分别为：和和泰勒级数：1.表面力作用于六面体的表面力，为周围液体752.质量力质量力沿三个坐标轴的分量为：，，处于静止状态下的微小平行六面体的平衡条件是作用在其上的外力，在三个坐标轴上投影的总和等于零。在x轴方向上有：整理上式，并把各项都除以微小平行六面体的质量，则得：液体（欧拉）平衡微分方程

2.质量力质量力沿三个坐标轴的分量为：，76将上式分别乘以dx、dy及dz，然后相加得：由于液体静水压强p只是空间坐标的函数，则上式右端括号内表示的是静水压强的全微分dp，故上式可写成：静水压强的全微分dp此方程是欧拉平衡微分方程组中三个单独方程的一个综合表达式，该式便于微分求解。将上式分别乘以dx、dy及dz，然后相加得：由于液体静水压强77二、等压面在平衡液体中，静水压强的大小是空间坐标的函数。一般说来，不同点具有不同的静水压强值。但可以在平衡液体中找到这样一些点，它们具有相同的静水压强值，这些点连接成的面（可能是平面也可能是曲面）称为等压面。等压面具有两个重要性质：在平衡液体中等压面既是等势面。等压面与质量力正交。即作用于静止液体上任一点的质量力必须垂直于通过该点的等压面。二、等压面在平衡液体中，静水压强的大小是空间坐标的函数。一般781.如果液体处于静止状态，即作用于液体上的质量力只有重力，则就一个局部范围而言，等压面必定是一个水平面；就一个大范围而论，等压面应是处处和地心引力成正交的曲面。2.若平衡液体具有与大气相接触的自由表面，则自由表面为等压面，因为自由表面上各点的压强都等于大气压强。注意：3.不同流体的交界面也是等压面。此外，应用等压面概念时，必须注意等压面以下的液体是相连通的同种液体。1.如果液体处于静止状态，即作用于液体上的质量力只有重力，79实际应用：对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水压强相等，故水平面即是等压面。但必须注意，这一结论只适用于质量力只有重力的同一种连续介质。对于不连续的液体（如液体被阀门隔开），或者一个水平面穿过了两种不同介质，则位于同一水平面上的各点，压强并不相等，即水平面不一定是等压面。实际应用：对于相连通的同一种连续介质，淹没深度相同的各点静水80例题分析一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以水面中心点为原点，建立xOz坐标系，试求自由表面与水平面的夹角q；又自由表面压强p0=98kPa，车壁某点A的坐标为x=-1.5m，z=-1.0m，求A点的压强。

例题分析一洒水车，以0.98m/s2的等加速度向前行驶，设以81例题分析解：单位质量力的三个分量为：X=-a,Y=0,Z=-g

代入液体平衡微分方程有：积分得当x=z=0时，p=p0，故C=p0，从而或令p0=98kPa，x=-1.5m，z=-1.0m，代入上式，得Ａ点压强为

再令中的p=p0，得自由表面方程为ax+gz=0从而它与水平面的夹角为例题分析解：单位质量力的三个分量为：X=-a,Y=0,积分82第三节重力作用下的

静力学基本方程一、水静力学基本方程在实际工程中，作用于平衡液体上的质量力常常只有重力，即所谓静止液体。若把直角坐标系的轴取在铅垂方向，则质量力只在

z轴方向有分力，即

X＝Y＝0，Z=－g，代入平衡微分方程式，则有：第三节重力作用下的

静力学基本方程一、水静力学基本方程在83均质液体中

r

为常数，以

g

代替rg

，积分得:式中的积分常数C由边界条件确定，在自由面上z=z0，p=p0。代入上式，即可得出静止液体中任意点的静水压强计算公式:或式中，h=z0-z

表示该点在自由面以下的液柱高度。上式即计算静水压强的基本公式。它表明，静止液体内任意点的静水压强由两部分组成：一部分是自由面上的气体压强p0（当自由面与大气相通时，p0=pa

，为当地大气压强），另一部分是gh，相当于单位面积上高度为h的水柱重量。p0z0hzA均质液体中r为常数，以g代替rg，积分得:式中的84由于g

为常数，故液柱高度亦可反映压强p

的大小。由此压强的单位可有三种表示方法：1.用单位面积上的力表示：应力单位为Pa

，

kPa，

N/m2

，

kN/m2，1Pa=1N/m2。2.用液柱高度表示：m（液柱）。如，则有，，和分别为水和水银的容重。

3.用工程大气压pa

的倍数表示:，如某点压强，则可表示为，即等于两个工程大气压。由于g为常数，故液柱高度亦可反映压强p的大小。由此压85二、绝对压强与相对压强地球表面大气所产生的压强称为大气压强。海拔高度不同，大气压强也有所差异。在我国法定计量单位中，把98223.4Pa称为一个标准大气压，在实际计算中，不同情况下采用不同的基准来度量压强，即所谓绝对压强与相对压强。1.绝对压强：以设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强。2.相对压强：把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。如果把一个压力表放在大气中，指针读数为零，那么用这一压力表所测的压强值，则为相对压强。二、绝对压强与相对压强地球表面大气所产生的压强称为大气压强。86绝对压强和相对压强，是按两种不同基准（即零点）计量的压强，它们之间相差一个当地大气压强值，二者的关系可表示为水利工程中，一般的自由表面都是开敞于大气中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，即p0=pa。因而静止液体内任意点的相对压强为：p’为绝对压强，p为相对压强，pa为当地的大气压强。

绝对压强和相对压强，是按两种不同基准（即零点）计量的压强，它87３.真空及真空度

：绝对压强总是正值，而相对压强则可能是正值，也可能是负值。当液体中某点的绝对压强小于当地大气压强，即其相对压强为负值时，则称该点存在真空。真空的大小常用真空度表示。真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值，即：可见，有真空存在的点，其相对压强与真空度绝对值相等，相对压强为负值，真空度为正值。故真空也称负压。

３.真空及真空度：绝对压强总是正值，而相对压强则可能是正88解：由公式，C

点绝对静水压强为：一封闭水箱，自由面上气体压强为85kN/m2，求液面下淹没深度为1m

处点C

的绝对静水压强、相对静水压强和真空度。

例题分析C

点的相对静水压强为：相对压强为负值，说明C点存在真空。根据公式，真空度为：解：由公式，C点绝对静水压强为：一封闭水箱，自由面上气体压89例题分析一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面高出的值为多少？

解：因水箱和测压管内是互相连通的同种液体，故和水箱自由表面同高程的测压管内N点，应与自由表面位于同一等压面，其压强应等于自由表面上的大气压强，即。

从测压管来考虑

故

所以，当把顶部密封的测压管抽成绝对真空时，管内液面将比水箱液面高10m。

（p0=0）

例题分析一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为98kN/m90三、静水压强分布图压强分布图：用线段长度表示各点压强的大小，用箭头表示压强的方向，如此绘成的压强分布图形。

压强分布图的绘制与应用要点有：

1．压强分布图中各点压强方向恒垂直指向作用面，两受压面交点处的压强具有各向等值性。2．压强分布图与受压面所构成的体积，即为作用于受压面上的静水总压力，其作用线通过此力图体积的重心。压强分布图可叠加。3．由于建筑物通常都处于大气之中，作用于建筑物的有效力为相对压强，故一般只需绘制相对压强分布图。压强分布图直观明了，有助于分析计算。

三、静水压强分布图压强分布图：用线段长度表示各点压强的大小，91静水压强分布图的绘制规则为：

按一定比例，用线段长度代表该点静水压强的大小；用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。

静水压强分布图的绘制规则为：92上课用2第二章水静力学课件931．测压管

容器中A

点与同高程上测压管中B点，位于同一等压面上，两点压强相等。从测压管内来看，B点在自由面下的淹没深度为h，该点相对压强为

而

h

为测压管高度或压强高度

在测压管中放入轻质液体可以提高测量精度，

A点的相对压强则为

1．测压管容器中A点与同高程上测压管中B点，位于同942．U形水银测压计

U形管管子一端与大气相通，另一端则与需测量的地方相连接。当一端与被测点A

接通以后，在水压力作用下，U形管右支水银面就会上升。令被测点A与左支水银面的高差为b，右支水银面与左支水银面高差为h。

在U形管内，水银面N－N为等压面，点1和点2压强相等。

对测压计右支:对测压计左支:A点的绝对压强:A点的相对压强：

式中，g

和gm

分别为水和水银的容重。

2．U形水银测压计U形管管子一端与大气相通，另一端953．差压计

两容器内各盛一种液体，其容重分别为gA、gB，今使用水银U形差压计测量两容器中A、B两点之压差。已知，水银容重为gm

，差压计中水银面之高差为h，其余有关数据见图。

解：根据等压面特性，有：

若容器中为同种液体，则有：

A、B两点压强差为：

3．差压计两容器内各盛一种液体，其容重分别为gA、gB96五、水静力学基本方程的几何意义，水力学意义及能量意义水静力学基本方程式，各项的意义为：

1．几何意义及水力学意义

测压管水头=位置水头+压强水头

位置高度（位置水头）。

压强高度（压强水头）。

测压管水头。

静止液体中各点位置高度与压强高度之和不变；其水力学意义为静止液体中各点测压管水头相等。

五、水静力学基本方程的几何意义，水力学意义及能量意义水静力学972．能量意义

势能=位能+压能

位置势能（单位位能）（）。

压力势能（单位压能）（）。

单位势能。

静止液体中单位重量液体所具有势能相等。因此，水静力学基本方程，也是静止液体的能量方程。

2．能量意义势能=位能+压能位置势能（单位位能）98第四节作用在平面壁上的

静水总压力水工建筑物常常都与水体直接接触。所以计算某一受压面上的静水压力是经常遇到的问题。由于在工程界，习惯于把静水压强简称为静水压力，为了避免混乱，我们把某一受压面上所受的静水压力称为静水总压力。第四节作用在平面壁上的

静水总压力水工建筑物常常都与水体99解析法（适用于任意性状、处于任意方向的平面壁）大小：方向：垂直指向平面壁作用点：图解法（只适用于底边水平的矩形平面壁）大小：方向：垂直指向平面壁作用点：通过静水压强分布图体积的重心解析法（适用于任意性状、处于任意方向的平面壁）100一、解析法在与自由表面成q

倾斜角的xOy

平面内，有一任意形状的平板，其总面积为A，形心

C

点坐标为

(xc,yc)，Ox是xOy平面与自由表面的交线。现将xOy平面绕轴转90°，以便能在图上看清该平板的形状尺寸。一、解析法在与自由表面成q倾斜角的xOy平面内，有一101C点为形心点D点为压力中心

C点为形心点102平板上任意一点M

的水深为h，坐标位置为(x,y)，静水压强为gh，微小面积dA

所受静水总压力为：总面积A

所受静水总压力是由许多dP

所形成的平行力系的合力，即：因，且是受压面积A

对Ox

轴的静面矩，它等于ycA

，故上式变为：

平板上任意一点M的水深为h，坐标位置为(x,y)，103式中，等于形心点C

的水深hC

，故得：作用在平面壁上的静水总压力P

的大小，只与g、

hC

及A有关，而与该平面的形状及方位无关。由于ghC是形心C

点的静水压强pC，故

P的数值也等于pC

与A

的乘积，即：作用于任意平面上的静水总压力，等于平面形心点上的静水压强与平面面积的乘积。形心点压强pC，可理解为整个平面的平均静水压强。图式中，等于形心点C的水104静水总压力P

的方向垂直指向平面壁；P

的作用点D，称为压力中心。理论力学指出：合力对某轴的力矩等于各分力对该轴的力矩之和。现用此原理确定D

点的坐标位置(xD,yD)。合力

P对Ox

轴的力矩为：各分力

dP对Ox

轴的力矩之和为：式中，为A

对Ox

轴的惯性矩，以符号Ix

表示。图静水总压力P的方向垂直指向平面壁；P的作用点D，称为105设

IC

为A

对通过形心C

点并与Ox轴平行的轴的惯性矩，根据惯性矩平行移轴定理，有：则令即故上式表明：yD

必大于yC，即压力中心D

点的位置总是在形心C

点之下；只有当平板为水平放置或yC

为无穷大时，D

点才与C

点相重合。

设IC为A对通过形心C点并与Ox轴平行的轴的106上课用2第二章水静力学课件107如果受压面具有与Oy

轴相平行的纵向对称轴，例如矩形、等腰梯形、等腰三角形、圆形、椭圆形等，必须xD=xC；否则，应仿照上述方法对Oy轴取力矩，并令即可推导出xD为式中是对通过形心C

并平行于Ox、Oy

的轴的惯性积。如果受压面具有与Oy轴相平行的纵向对称轴，例如矩形、等腰108二、图解法图解法是根据静水压强分布图来计算静水总压力的方法。

平面上静水总压力的大小，应等于分布在平面上各点静水压强的总和。取一水中单宽（宽度b=1）平面进行分析，此时平面上所受的总压力：上式表示压强分布图的面积，同时也可以理解为受压面压强分布图的立体体积。图解法计算的静水总压力大小为：

注意：平面壁的面积

A和静水压强分布图的面积

W

的区别！二、图解法图解法是根据静水压强分布图来计算静水总压力的方法。109上课用2第二章水静力学课件110合力作用点通过压强分布图的形心，也就是立体图形的中心。如果为三角形分布，合力作用点离底部距离；当为梯形分布时，

。一般压强分布图为梯形，则：矩形平面壁图解法计算静水总压力的步骤如下：1、绘出静水压强分布图；2、通过计算压强分布图面积，计算合力的大小；3、确定合力作用点。

合力作用点通过压强分布图的形心，也就是立体图形的中心。如果为111例题分析一垂直放置的圆形平板闸门，已知闸门

R

半径为1m，形心在水下的淹没深度

hC

为8m，求作用于闸门上静水总压力的大小及作用点位置。解：计算总压力：作用点

D

应位于纵向对称轴上，故仅需求出

D

点在对称轴上的位置。其中，故

圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩。则：例题分析一垂直放置的圆形平板闸门，已知闸门R半径为1m，112例题分析有一倾斜矩形闸门

AB，试用解析法和图解法求作用在闸门上的静水总压力及其作用点。已知

解：（1）解析法。求静水总压力得：求压力中心得：例题分析有一倾斜矩形闸门AB，试用解析法和图解法求作用在闸113（2）图解法。①

绘制静水压强分布图，如图中面积。

②计算静水压强分布图的体积，即得：（2）图解法。①绘制静水压强分布图，如图中114③计算压强分布图形心点距液面的深度。形心点距底边的距离为：静水压力作用点位置：则③计算压强分布图形心点距液面的深度。形心点距底边115第五节作用在曲面壁上的

静水总压力在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、弧形闸墩或边墩、弧形闸门等，这些曲面多数为二向曲面（或称柱面）。所以这里着重分析二向曲面的静水压力计算。作用在曲面上任意点处的相对静水压强，其大小仍等于该点的淹没深度乘以