机器人学 微分变换课件

2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系15.1引言（Introduction）

微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。第1页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系15.1引言2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系25.2微分矩阵（DerivativeMatrixes）

给出一个4×4的矩阵A

（5.1）矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下

（5.2）第2页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系25.2微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系35.3微分平移和旋转变换(DifferentialTranslationandRotation)

微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为（5.3）式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.4）如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为（5.5）此时，式中是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；是绕T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.6）第3页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系35.3微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系4

我们用符号来表示式（5.4）和式（5.6）中的并将它称为微分变换算子（5.6）这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分变换算子是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子则是针对T坐标的。在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是

100a010bTrans(a,b,c)=001c

（5.9）

0001第4页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系4我2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系5当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为

100dx010dyTrans(d)=001dz

（5.10）

0001一般性旋转变换的变换矩阵是

kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系第5页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系5当平移向量是微2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系6将上述关系代入式（5.11）可得

1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得

(5.13)第6页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系6将上述关系代入2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系75.4微分旋转(DifferentialRotations)

式（5.13）给出的微分变换算子是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为（5.14）（5.15）（5.16）第7页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系75.4微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系8在微分变换的情况下，sinθ→dθ，cosθ→1，上面三个式子变为（5.17）

（5.18）

（5.19）由此可得到（5.20）第8页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系8在微分变换的情2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系9

比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果相同，即（5.21）由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为（5.22）

微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.23）（5.24）将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D

（5.25）这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子。第9页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系92022年11月17日湖北汽车工业学院机械系10【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量δ＝0i+0.1j+0k对坐标A进行变换时，求出微分变换的结果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子由式（5.7）可得即微分变换结果如图5.1所示。xyzzAyA+dAx图5.1坐标A的微分变换第10页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系10【例5.1】2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系115.5坐标系之间的微分变换

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)

上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是已知微分变换算子，如何求出T坐标的微分变换算子。由式（5.7）和（5.8）可知（5.26）则为（5.27）上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量来推导的表达式。已知变换矩阵T为第11页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系115.5坐2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系12我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积

（5.29）式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有（5.31）第12页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系12我们用矢量的2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系13同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如（5.32）根据上述性质，式（5.30）可写成（5.33）对于正交矢量有（5.34）这样，式（5.33）可重写成

（5.35）第13页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系13同时，三重积2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系14

上式可进一步简化为（5.36）比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。第14页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系14上2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系15式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下（5.39）将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。第15页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系15式（5.372022年11月17日湖北汽车工业学院机械系16【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k

试求出坐标A上的等效微分变换dA。解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量由此可求出根据式（5.40）和式（5.41）得到第16页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系16【例5.2】2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系17用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到则上述结果与例5.1相同。第17页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系17用上述结果来2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系185.6机械手的微分变换方程——雅可比方程

（TheManipulatorJacobian）

在第四章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6

（5.42）其中每一个关节变换矩阵Ai描述了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，如果是旋转关节，关节变量是θi，它是绕前一个关节坐标z轴的旋转角度；如果是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的距离。同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，如果是旋转关节，则为dθi，如果是滑动关节，则为ddi。第18页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系185.62022年11月17日湖北汽车工业学院机械系19

机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端）的微分变换dT6可由下式表示：（5.43）则（5.44）由式（5.27）可得到机械手末端的微分变换算子（5.45）其中（5.46）如果关节i是旋转关节，则di

=0，式（5.40）和式（5.41）变为

（5.47）（5.48）第19页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系192022年11月17日湖北汽车工业学院机械系20

当，为单位微分旋转矢量时，式（5.47）和（5.48）可进一步简化为（5.49）（5.50）如果关节i是棱形滑动关节，则δi＝0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）变为（5.51）（5.52）机械手末端坐标T6的微分变换是所有6个关节微分变量的函数，可用6×6的矩阵表示，矩阵元素由6个关节的微分平移和微分旋转矢量构成，该矩阵称为雅可比矩阵。它的每一列元素为对应关节的微分平移和微分旋转矢量。应用雅可比矩阵的机械手微分变换方程——雅可比方程如下：（5.53）第20页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系202022年11月17日湖北汽车工业学院机械系215.7雅可比矩阵的定义与求法利用雅可比矩阵可以建立起机器人手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间的关系，因此机器人雅可比矩阵在机器人技术中占有重要地位。1雅可比矩阵的定义机械手的操作速度与关节速度的线性变换定义为机械手的雅可比矩阵，可视它为从关节空间向操作空间运动速度的传动比。令机械手的运动方程

x=x(q)

代表操作空间x与关节空间q之间的位移关系，对上式两边求导，即得出q与x之间的微分关系

称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度，为关节速度；J(q)是6Xn的偏导数矩阵。

第21页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系215.7雅可2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系22例：根据定义求雅可比矩阵第22页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系22例：根据定义2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系23刚体或坐标系的广义速度是由线速度v和角速度w组成的6维矢量（5.54）从而

含有n个关节的机器人，其雅可比J（q）是6Xn阶矩阵，前3行代表对夹手线速度v的传递比，后3行代表夹手的角速度w的传递比，而每一列代表相应关节速度对于夹手线速度的传递比。这样，可把雅可比J(q)分块为：（5.55）

第23页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系23刚体或坐标系2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系242.JLi的求法1）第i个关节为移动关节时，qi=di,=

设某时刻仅此关节运动，其余关节静止不动，由（5.55）式可得：设bi-1为zi-1轴上的单位向量，利用它可将局部坐标下的平移速度di转换成基础坐标下的速度比较上面两式，由于=JLi=bi-1

第24页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系242.JLi2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系25第i个关节为转动关节时，设此刻仅此关节运动，其余的关节静止不动，仍然利用bi-1将zi-1轴上的角速度转化到基础坐标中去（5.56）右图中的矢量ri-1，e起于Oi-1,止于On,所以由wi产生的线速度为而（5.57）所以将（5.56）代入（5.57）得（5.58）

第25页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系25第i个关节2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系263.Jai的求法1）第i个关节为移动关节时，qi=di,=，由于移动关节的平移不对手部产生角速度，所以此时

Jai=0(5.59)2)第i个关节为转动关节时,,由（2.56）得

（5.60）综合以上所述，可得：当第i个关节为移动关节时（5.61）

当第i个关节为转动关节时（5.62）第26页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系263.Jai2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系274.确定bi-1h和ri-1,e用b表示zi-1

轴上的单位向量，把它转换在基础坐标中，即为：（5.62）用O，Oi-1,On分别表示基础坐标系，i-1坐标及手部坐标系的原点，用矢量x表示在各自坐标系的原点把ri-1,e用齐次坐标表示，令所以第27页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系274.确定bi2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系285.8雅可比逆矩阵（TheInverseJacobian）

当微分变换是由直角坐标空间向关节坐标空间进行时，由式（5.53）可得到

（5.72）

上式等号右边矩阵是雅可比逆矩阵。显然，用符号运算来得到雅可比逆阵是很困难的。

第28页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系285.8雅可2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系295.9本章小结（Summary）

本章介绍了微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。首先我们给出了微分变换矩阵的两种表示方式，即（5.7）和（5.8）其中式（5.7）是针对基坐标的微分变换表达式，式（5.8）是针对T坐标的微分变换表达式。式中的称为微分变换算子，它是针对基坐标的；而则是针对T坐标的。微分变换算子由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.22）第29页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系295.9本章2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系30

式中的微分旋转向量δ的各个分量δx，δy，δz是分别绕基坐标的x、y、z轴旋转的角度，如果微分旋转是绕任意向量k旋转一个微小角dθ，则其对应的各个分量为（5.21）微分变换算子与的转换公式为（5.27）式（5.27）中T是由旋转向量n、o、a和平移向量p组成的齐次变换矩阵，的各个元素可由的元素计算得到，计算公式如下（5.40）

（5.41）根据微分变换的基本原理和方法，我们推导了机械手的末端直角坐标与各关节坐标的微分变换关系和相应的计算方法，这就是所谓的雅可比矩阵和逆雅可比矩阵。第30页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系302022年11月17日湖北汽车工业学院机械系315.1引言（Introduction）

微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。第1页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系15.1引言2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系325.2微分矩阵（DerivativeMatrixes）

给出一个4×4的矩阵A

（5.1）矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下

（5.2）第2页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系25.2微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系335.3微分平移和旋转变换(DifferentialTranslationandRotation)

微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为（5.3）式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.4）如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为（5.5）此时，式中是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；是绕T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.6）第3页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系35.3微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系34

我们用符号来表示式（5.4）和式（5.6）中的并将它称为微分变换算子（5.6）这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分变换算子是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子则是针对T坐标的。在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是

100a010bTrans(a,b,c)=001c

（5.9）

0001第4页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系4我2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系35当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为

100dx010dyTrans(d)=001dz

（5.10）

0001一般性旋转变换的变换矩阵是

kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0

0

01当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系第5页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系5当平移向量是微2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系36将上述关系代入式（5.11）可得

1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0

0

01由式（5.6）可得

(5.13)第6页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系6将上述关系代入2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系375.4微分旋转(DifferentialRotations)

式（5.13）给出的微分变换算子是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为（5.14）（5.15）（5.16）第7页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系75.4微分2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系38在微分变换的情况下，sinθ→dθ，cosθ→1，上面三个式子变为（5.17）

（5.18）

（5.19）由此可得到（5.20）第8页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系8在微分变换的情2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系39

比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果相同，即（5.21）由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为（5.22）

微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.23）（5.24）将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D

（5.25）这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子。第9页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系92022年11月17日湖北汽车工业学院机械系40【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量δ＝0i+0.1j+0k对坐标A进行变换时，求出微分变换的结果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子由式（5.7）可得即微分变换结果如图5.1所示。xyzzAyA+dAx图5.1坐标A的微分变换第10页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系10【例5.1】2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系415.5坐标系之间的微分变换

(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)

上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是已知微分变换算子，如何求出T坐标的微分变换算子。由式（5.7）和（5.8）可知（5.26）则为（5.27）上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量来推导的表达式。已知变换矩阵T为第11页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系115.5坐2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系42我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积

（5.29）式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量。用左乘式（5.29）可得

（5.30）上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有（5.31）第12页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系12我们用矢量的2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系43同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如（5.32）根据上述性质，式（5.30）可写成（5.33）对于正交矢量有（5.34）这样，式（5.33）可重写成

（5.35）第13页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系13同时，三重积2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系44

上式可进一步简化为（5.36）比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得

（5.37）

（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。第14页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系14上2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系45式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下（5.39）将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下

（5.40）

（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。第15页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系15式（5.372022年11月17日湖北汽车工业学院机械系46【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：

d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k

试求出坐标A上的等效微分变换dA。解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量由此可求出根据式（5.40）和式（5.41）得到第16页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系16【例5.2】2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系47用上述结果来验证坐标A上的等效微分变换dA，由式（5.8）有由已求出的、和式（5.36）可得到则上述结果与例5.1相同。第17页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系17用上述结果来2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系485.6机械手的微分变换方程——雅可比方程

（TheManipulatorJacobian）

在第四章我们介绍过，机械手的运动学方程由它的末端相对于基坐标的齐次变换矩阵T6表示，即T6=A1A2A3A4A5A6

（5.42）其中每一个关节变换矩阵Ai描述了该关节坐标相对于前一个关节坐标的变换关系，关节变量用qi表示，如果是旋转关节，关节变量是θi，它是绕前一个关节坐标z轴的旋转角度；如果是滑动关节，关节变量是di，它是沿前一个关节坐标z轴滑动的距离。同样，当我们讨论机械手的微分变换方程时，首先定义微分关节变量为dqi，如果是旋转关节，则为dθi，如果是滑动关节，则为ddi。第18页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系185.62022年11月17日湖北汽车工业学院机械系49

机械手第i个关节的微分变换引起第6个连杆末端（即机械手末端）的微分变换dT6可由下式表示：（5.43）则（5.44）由式（5.27）可得到机械手末端的微分变换算子（5.45）其中（5.46）如果关节i是旋转关节，则di

=0，式（5.40）和式（5.41）变为

（5.47）（5.48）第19页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系192022年11月17日湖北汽车工业学院机械系50

当，为单位微分旋转矢量时，式（5.47）和（5.48）可进一步简化为（5.49）（5.50）如果关节i是棱形滑动关节，则δi＝0，di=0i+0j+1k，式（5.40）和式（5.41）变为（5.51）（5.52）机械手末端坐标T6的微分变换是所有6个关节微分变量的函数，可用6×6的矩阵表示，矩阵元素由6个关节的微分平移和微分旋转矢量构成，该矩阵称为雅可比矩阵。它的每一列元素为对应关节的微分平移和微分旋转矢量。应用雅可比矩阵的机械手微分变换方程——雅可比方程如下：（5.53）第20页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系202022年11月17日湖北汽车工业学院机械系515.7雅可比矩阵的定义与求法利用雅可比矩阵可以建立起机器人手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间的关系，因此机器人雅可比矩阵在机器人技术中占有重要地位。1雅可比矩阵的定义机械手的操作速度与关节速度的线性变换定义为机械手的雅可比矩阵，可视它为从关节空间向操作空间运动速度的传动比。令机械手的运动方程

x=x(q)

代表操作空间x与关节空间q之间的位移关系，对上式两边求导，即得出q与x之间的微分关系

称为末端在操作空间的广义速度，简称操作速度，为关节速度；J(q)是6Xn的偏导数矩阵。

第21页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系215.7雅可2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系52例：根据定义求雅可比矩阵第22页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系22例：根据定义2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系53刚体或坐标系的广义速度是由线速度v和角速度w组成的6维矢量（5.54）从而

含有n个关节的机器人，其雅可比J（q）是6Xn阶矩阵，前3行代表对夹手线速度v的传递比，后3行代表夹手的角速度w的传递比，而每一列代表相应关节速度对于夹手线速度的传递比。这样，可把雅可比J(q)分块为：（5.55）

第23页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系23刚体或坐标系2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系542.JLi的求法1）第i个关节为移动关节时，qi=di,=

设某时刻仅此关节运动，其余关节静止不动，由（5.55）式可得：设bi-1为zi-1轴上的单位向量，利用它可将局部坐标下的平移速度di转换成基础坐标下的速度比较上面两式，由于=JLi=bi-1

第24页/共30页2022年11月10日湖北汽车工业学院机械系242.JLi2022年11月17日湖北汽车工业学院机械系55第i个关节为转动关节时，设此刻仅此关节运动，其余的关节静止不动，仍然利用bi-1将zi-1轴上的角速度转化到基础坐标中去（5.56）右图中的矢量ri-1，e起于Oi-1,止于On,所以由wi产生的线速度为而