名师金版教程高三数学文科一轮复习66限时规范特训(含答案详析)

限时规范特训A级基础达标1．[2014·三明模拟]设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件12解析：若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－2)＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不行立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不用要条件．答案：A2．[2014·张家口模拟]解析法又称执果索因法，若用解析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac<3a”索的因应是( )A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3ab2－ac<3a2(a＋c)2－ac<3a2a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0－2a2＋ac＋c2<02a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0答案：Cy＋y，z＋z，x＋x)3．[2014·汕头模拟]设x，y，z>0，则三个数xzxyzy(A．都大于2B．最少有一个大于2C．最少有一个不小于2D．最少有一个不大于2解析：假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y＋y＋zxzxzxxyxyzzx＋y＋z＋y＝(x＋y)＋(z＋y)＋(x＋z)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z时取等号与假设矛盾，故这三个数最少有一个不小于2.另取x＝y＝z＝1，可消除A、B.答案：C4．[2014·四平质检]设a，b是两个实数，给出以下条件：a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中最少有一个大小1”的条件是( )A．②③C．③

B．①②③D．③④⑤31解析：①中若a＝4，b＝2，则a＋b>1，故①不能够；②中若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能够；③能，④中若a＝b＝－2，则a2＋b2>2，故④不能够；⑤中若a＝b＝－2，则ab>1，故⑤不能够．∴只有③能，选C.答案：C5．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A．a，b，c中最少有两个偶数B．a，b，c中最少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：自然数a，b，c中为偶数的情况为a，b，c全为偶数；a，b，c中有两个数为偶数；a，b，c全为奇数；a，b，c中恰有一个数为偶数，所以反设为a，b，c中最少有两个偶数或都是奇数．答案：B6．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数( )A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列a＋c＝2b，①解析：由已知条件，可得x2＝ab，②x2a＝b，由②③得y2c＝b，x2y2代入①，得b＋b＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，应选B.答案：B7.已知p＝a＋a－12(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．解析：p＝a＋1＝(a－2)＋1＋2≥4，而－a2＋4a－2＝2－a－2a－2(a－2)2<2，∴q<4，∴p>q.答案：p>q8．若a，b，c是不全相等的正数，给出以下判断：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；a>b与a<b及a＝b中最少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能够同时成立．其中判断正确的选项是________．解析：①②正确；③中a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a1，b＝2，c＝3.答案：①②9．请阅读以下资料：若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，那么a1＋a2≤2.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一的确数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤2.依照上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋＋a2n＝1时，你能获取的结论为________．解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋＋an)x＋1，由于对一的确数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2＋＋an)2－4n≤0，所以a1＋a2＋＋an≤n.答案：a1＋a2＋＋an≤n已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c最少有一个不小于1.解：假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2(x－12)2＋3≥3，两者矛盾；故a，b，c最少有一个不小于1.11．[2014南·京联考]已知函数f(x)＝ax＋x－2(a>1)．x＋1(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．证明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不如设x1<x2，由于a>1，ax1<ax2，∴ax2－ax1>0.又∵x1＋1>0，x2＋1>0，x2－2x1－2∴－x2＋1x1＋1x2－2x1＋1－x1－2x2＋1＝x1＋1x2＋13x2－x1＝>0，x1＋1x2＋1x2－2x1－2于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，x2＋1x1＋1即f(x2)>f(x1)，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，x0－2则ax0＝－.x0＋1∵a>1，∴0<ax0<1.x0－21∴0<－x0＋1<1，即2<x0<2，与假设x0<0相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．证法二：假设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，①若－1<x0<0，x0－2则<－2,0<ax0<1，x0＋1∴f(x0)<－1，与f(x0)＝0矛盾．x0－2②若x0<－1，则>0,1>ax0>0，x0＋1∴f(x0)>0，与f(x0)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．|a|＋|b|12．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：|a＋b|≤2.证明：a⊥b?a·b＝0，要证|a|＋|b|≤2.|a＋b|只需证|a|＋|b|≤2|a＋b|，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B级知能提升1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)．2＋3ab>2b2aa＋1CaD.b<b＋1解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B2．凸函数的性质定理为：若是函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，，xn，有fx1＋fx2＋＋fxnnf(x1＋x2＋＋xn)，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则n在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π)，fA＋fB＋fC≤f(A＋B＋Cπ∴33)＝f(3)，33即sinA＋sinB＋sinC≤3sin3＝2，33所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为2.3答案：23．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同样的交点，若f(c)＝0且0<x<c时，f(x)>0，1(1)证明：a是f(x)＝0的一个根；1(2)试比较a与c的大小；(3)证明：－2<b<－1.解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同样的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c又x1x2＝a，11∴x2＝a(a≠c)，1∴是f(x)＝0的一个根．a11(2)假设a<c，又a>0