研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

习题三1．证明以下问题：（1）若矩阵序列Am收敛于A，则AmT收敛于AT，Am收敛于A；T（2）若方阵级数cmAm收敛，则cmAmcm(AT)m.m0m0m0证明：（1）设矩阵Am(aij(m))nn,m1,2,,则AmT(a(jim))nn,Am(aij(m))nn,m1,2,,设A(aij)nn,则AT(aji)nn，A(aij)nn,若矩阵序列Am收敛于A，即对任意的i,j1,2,,n，有limaij(m)aij，m则lima(jim)aji，limaij(m)aij，i,j1,2,,n，mm故AmT收敛于AT，Am收敛于A.(2)设方阵级数

cmAm的部分和序列为m0S1,S2,,Sm,，其中Smc0c1AcmAm.若cmAm收敛，设其和为S，即m0cmAmS，或limSmS，m0m则limSmTST.m而级数cm(AT)m的部分和即为SmT，故级数cm(AT)m收敛，且其和为ST，m0m0即TcmAmcm(AT)m.m0m02.已知方阵序列Am收敛于A，且Am1，A1都存在，证明：（1）limAmA；（2）limAm1A1.mm证明：设矩阵A(a(m))nn,m1,2,,A(aij)nn,mij若矩阵序列Am收敛于A，即对任意的i,j1,2,,n，有limaij(m)aij.m(1)由于对任意的j1,j2,,jn，有limakj(m)mk故lim(1)(j1j2jn)a1(mj)a2(mj)mjnj1j2

akjk,k1,2,,n，anj(mn)＝(1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn，j1j2jn而Am(1)(jjj)(m)(m)(m)12na1ja2janjn，j1j2jnA(1)(j1j2jn)a1ja2j2anj,j1j2jn故limAmA.m由于Am11(Aij(m))nn，A11(Aij)nn.AmA其中(m)Aij，Aij分别为矩阵m与A的代数余子式.A与（1）近似可证明对任意的i,j1,2,,n，有limAij(m)Aij，m结合limAmA，m有lim1(Aij(m))nn＝1(Aij)nn，mAmA即limAm1A1.m3.设函数矩阵sintcosttA(t)sintett2，tt310其中，计算lim( ),d(),d2dd.t0t0AtAt2A(t),A(t),A(t)dtdtdtdt解：依照函数矩阵的极限与导数的看法与计算方法，有limsintlimcostlimt010t0t0t0（1）limA(t)limsintlimetlimt2110；t0t0tt0t0100limt3lim1lim0t0t0t0(sint)(cost)tcostsint1（2）dA(t)(sint)(et)(t2)tcostsintet2t；dtt(t3)t23t21000（3）d2d(dA(t))sintcost0A(t)(2t2)sint2tcostet2；dt2dtdt006tsintcostt（4）dA(t)sintett2dttt310et[3t2sintt3(sintcost)t1]t(2costtsint)t(sin2tcos2t)（5）dcostsint1＝tcostsinttdtA(t)t2e2t003t23t2etcost3sint(tcostsint).4．设函数矩阵e2xxexx2A(x)ex2e2x0，3x001x2计算A(x)dx和dA(t)dt.0dx0解：依照函数矩阵积分变限积分函数的导数的看法与计算方法，有12xdx1xexdx1e0x2dx001110（1）A(x)dx＝exdx2e2xdx0001003xdx01(e21)112e1e23110；3002e2x2x2ex2x4dx2（2）＝2xA(x2)＝ex22x20.dxA(t)dt2e03x2005.设y(y1(t),y2(t),,yn(t))T,A为n阶常数对称矩阵，f(y)yTAy，证明：（1）df2yTAdy；dtdt.（2）dy22yTdy2dtdt证明：（1）df(yTAy(yT)AyyTAyTTT((y)Ay)yAydt)2yTAdy，2yTAy（2）dy2d(yyTdt)2yTdy.2dtdtdt6.证明关于迹的以下公式：（1）dtr(XXT)dtr(XTX)2X；dXdX（2）dtr(BX)dtr(XTBT)BT；dXdXdTT（3）tr(XAX)(AA)X.其中X(xij)mnB(bij)nm,A(aij)mm.证明：（1）由于mntr(XX

T)

tr(XTX)

xij2

，i1j1而mn(xij2)2xij，xiji1j1故d

tr(XXT)

d

tr(XTX)

2XdX

dX（2）由于mBX(bikxkj)nn，k1则nmtr(BX)

tr(X

T

BT)

bjkxkj

，j1k1而nm(bjkxkj)bji，xijj1k1故d

tr(BX)

d

tr(XTBT

)

BT

.dX

dX由于x11x21xm1XTx12x22xm2,x1nx2nxmnmmma1kxk1a1kxk2a1kxknk1k1k1mmmAXa2kxk1a2kxk2a2kxknk1k1k1mmmamkxk1amkxk2amkxknk1k1k1故mmmmmmtr(XTAX)(xl1alkxk1)(xljalkxkj)(xlnalkxkn)l1k1l1k1l1k1则tr(XTAX)mmxij((xljalkxkj))xijl1k1mxljmm[alkxkjxlj(alkxkj)]xijxijl1k1k1mmaikxkjalixljk1l1故dtr(XTAX)AXATX(AAT)X.dX7．证明：d(aTb)bTdaaTdbdXTdXTdXT，其中a(X),b(X)为向量函数.证明：设a(X)(a1(X),a2(X),,am(X))T,b(X)(b1(X),b2(X),,bm(X))T，则aT(X)b(X)mai(X)bi(X)，i1故它是X的数量函数，设f(X)aT(X)b(X)，有d(aT(X)b(X))(f,f,,f)dXTx1x2xnmai(X)bi(X)mai(X)bi(X),,bi(X)ai(X)x1xnbi(X)ai(X)i1x1i1xnmai(X)m(bi(X),x1i1i1(mai(X)bi(X),mi1x1i1

ai(X)mai(X)bi(X),,bi(X))x2i1xnai(X)bi(X)mai(X)bi(X)),,x2i1xnbTdaTdbdXTaT.dX8.在R2中将向量(x1,x2)T表示成平面直角坐标系x1,x2中的点(x1,x2)T，分别画出以下不等式决定的向量x(x1,x2)T全体所对应的几何图形：(1)x11,(2)x21，(3)x1.解：依照x1x1x21,x2x12x221,xmaxx1,x21，作图以下：9.证明对任何x,yCn，总有xTyyTx221(xy2xy2).2证明：由于2(xy)T(xy)xTxxTyyTxyTyxy2xy2(xy)T(xy)xTxxTyyTxyTy2故122(xy2xy2)210.证明：对任意的xCn，有xx2证明：设x(x1,x2,,xn)T，则xmaxx1,x2,x222x1x2x1x1x2由于(maxx1,x2,,xn)2x122x2故22xx2即xx2

xTyyTxx1.,xn,2xn,xnxn2x2xn)2，(x12x1，x1.11.设a1,a2,，an是正实数，证明：对任意X(x1,x2,，xn)TCn，n12X2aixii1是Cn中的向量范数.证明：由于1n220,且X0（1）XaixiX0；i1n1n1n12222222（2）kXakxkaxikaxikX；iiiii1i1i1（3）关于Y(y1,y2,，yn)TCn，XY(xy,x2y2,，xny)T，11n则2n2n2n22XY(XY)2XYaixiaixiyiaiyii1i1i1故XYXY.n122因此X是Cn中的向量范数.i1aixi12.证明：Anmaxaij1i,jn是矩阵A(aij)nn的范数，而且与向量的1－范数是相容的.证明:由于(1)Anmaxaij0,且AOA0;1i,jn(2)kAnmaxkaijknmaxaijkA;1i,jn1i,jn(3)ABnmaxaijbijnmaxaijnmaxbijAB1i,jn1i,jn1i,jn(4)设X(x1,x2,,xn)T,则nnnanjxj)T，AX(a1jxj,a2jxj,,j1j1j1故nnnAXa1jxja1jxjanjxjj1j1j1nnnmaxa1jxjmaxa2jxjmaxanjxj1jnj11jnj11jn1jnnmaxaijxjAX11i,jnj1因此Anmaxaij是与向量的1－范数相容的矩阵范数.1i,jn13.设ACnn，且A可逆，证明：A11A.证明:由于AA1I,I1,则1IAA1AA1,故A11A.14.设ACnn，且A1,证明：IA可逆，而且有（1）(IA)111；A（2）(IA)1IA.1A证明:(1)由于(IA)1I(IA)1A,故(IA)1I(IA)即(IA)(2)由于

11

AI(IA)1A,1.1A(IA)IA,两边右乘(IA)1,可得I(IA)1A(IA)1,左乘A,整理得A(IA)1AAA(IA)1,则A(IA)1AAA(IA)1AAA(IA)1，即(IA)1IA.1A15.设A,BCnn,k,lC证明：（1）ekAekle(kl)A，特别地(eA)1eA;（2）当ABBA时，eAeBeBeAeAB；（3）deAtAeAteAtA；dt（4）当ABBA时，sin(AB)sinAcosBcosAsinB.证明:(1)e(kl)A(kl)nAn1nCnm(kA)m(lA)nmn0n!n0n!m0nml(l1Clmm(kA)m(lA)ll0(l1(lm)!(kA)m(lA)lm0l0m)!m0m)!l!m!1(kA)m(lA)l1(kA)m1(kA)lekAelA.m0l0l!m!m0m!l0l!又由于IeOeA(A)eAeA,故(eA)

1

e

A

.(2)当

AB

BA时,二项式公式n(A

B)n

CnmAnmBmm0成立，故1(AB)n1neABCnmAnmBmn0n!n0n!m0nml0(l1ClmmAlBm1AlBmm0lm)!m0l0l!m!1Al1BmeAeBl0l!m0m!同理，有eAB1Bm1AleBeA,m0m!l0l!故eAeBeBeAeAB.(3)由于幂级数1Antn对给定的矩阵A,以及任意的t都是绝对收敛的,且0n!对任意的t都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则deAtd1AntnAntn1AAltlAeA,dtn0dtn!n1(n1)!l0l!同理，有deAtAltlAeAAdtl0l!故deAtAeAteAtA.dt(4)由于eiAIiA

A22!

1iA31A43!4!(I

1

A21

A4)i(A1A31A5)2!cosA故

4!isinA

3!5!sinA1(eiAeiA).又当ABBA时，2ieAeBeBeAeAB,则sin(AB)1ei(AB)ei(AB)1eiAeiBeiAeiB2i2i1[(cosAisinA)(cosBisinB)(cosAisinA)(cosBisinB)]2isinAcosBcosAsinB同理，可得sin(AB)sinAcosBcosAsinB216.求以下三类矩阵的矩阵函数cosA,sinA,eA（1）当为幂等矩阵(A2A)时；A（2）当A为对合矩阵(A2I)时；（3）当A为幂零矩阵(A2O)时.解:(1)A2A,设矩阵的秩为r,则A的特色值为1或0,A可对角化为AP1APIrOJ,OO则sin1sinAPsinJP1Psin11P00(sin1)PJP

1

(sin1)A，cos1cosAPcosJP1Pcos1P1111cos11P1P1Pcos11P11010I(cos11)PJP1I(cos11)AeeA2PeJ2P1Pe1P111e1P1P1Pe111P010I(e1)PJP1I(e1)A(2)当A2I时，矩阵A也可对角化,A的特色值为1或1,A可对角化为1P1AP1J,11其中1有m个.则sin1sinAPsinJP1Psin1sin1P1sin1(sin1)PJP1(sin1)Acos1cosAPcosJP1Pcos1P1(cos1)Icos1cos1e当A2J1其中J又A2O,则于是

eA2PeJ21Pe1eIPPeeO时,A的特色值均为0,则存在可逆矩阵P,使得P1APJ,APJP1,,JmA2PJ2P1O,J12J2OJm2故Jordan块Jk的阶数最多为2,不如设Jk0(k1,,r),Jk010B(kr1,,m),0即则故则因此

0J0BBeiJk1,eiJk1(k1,,r);eiJk1i,eiJk1i(kr1,,m).0101eiJkeiJk0(k1,,r),02i1B(kr1,,m),eiJkeiJk002ieiJkeiJk2(k1,,r),eiJkeiJk202I(kr1,,m),020eiJeiJ101J,B2i2iB2eiJeiJ222I,2因此sinA1(eiAeiA)1P(eiJeiJ)P11(2i)PJP1A,2i2i2icosA1(eiAeiA)1P(eiJeiJ)P112PIP1I,222eA2eOII.17.若矩阵A的特色值的实部全为负，则limeAtO.t证明:设A的特色值为iaibij,j1,ai0,则存在可逆矩阵P,使得P1APJ,APJP1,J1i1其中J,Ji1Jmini则eJ1teAtPeJtP1PeJ2tP1,eJmte1tte1ttni1e1t(ni1)!其中eJite1tte1ttte1又limeitlimeaitjbitlimeait(cosbitjsinbit),ttt且ai0故limeit0，因此limeJitO,则limeAtO.ttt18．计算eAt和sinAt，其中：200（1）A010；011010（2）A101；010010（3）A001.6116解:(1)设J12,J2101,则1AJ1.J2由于2tsin2teAte,sinAt,eJ2tsinJ2t且tsint0eJ2te0,sinJ2t,tcostsinttetet则e2t00sin2t00eAt0et0,sinAt0sint0.0tetet0tcostsint(2)该矩阵的特色多项式为10()113,013最小多项式为m( ).19.计算以下矩阵函数：221（1）A131，求A100；122425（2）A649，求eA；53701，求arcsinA；（3）A4441681，求(IA)1及A2（4）A4820．证明:sin2Acos2AI，eA2iIeA，其中A为任意方阵.证明:(1)由于sinA1(eiAeiA),cosA1(eiAeiA),2i2故sin2A1(eiAeiA)21(e2iAe2iA2I),44cos2A1(eiAeiA)21(e2iAe2iA2I),44则sin2Acos2AI.(2)由于矩阵2iI的特色值均为2i,故存在可逆矩阵P,使得e2i1e2iIPP1PP1Ie2i1则eA2iIeAe2iIeAIeA21.若A为反实对称（反Hermite）矩阵，则eA为实正交（酉）矩阵.证明:由于*eAAk,又nAkn(Ak)*.k0k!k0k!k0k!