大一高数试题及答案1

大一高数试题及答案一、填空题（每小题１分，共１０分）１１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋──────的定义域为 。２．函数ｅ

√１－ｘ2上点（０，１）处的切线方程是 。ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ───────────────h→o h＝ 。４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 。ｘ５．∫─────ｄｘ＝ １－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝ x→∞ Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝ 。R８．累次积分∫ｄｘ√R2－ｘ2∫ｆ（Ｘ2Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 。00ｄ3ｙ３ ｄ2ｙ９．微分方程───＋──（───）2的阶数为 。ｄｘ3ｘ ｄｘ2∞ ∞１０．设级数∑ａn

发散，则级数∑ａ 。nn=1 n=1000（（内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（ｘ１①１－──②１＋１──１③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变３．下列说法正确的是（）①若ｆ（X）在X＝Xo连续，则ｆ（X）在X＝Xo可导②若ｆ（X）在X＝Xo不可导，则ｆ（X）在X＝Xo不连续③若ｆ（X）在X＝Xo不可微，则ｆ（X）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（X）在X＝Xo不连续，则ｆ（X）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹５．设Ｆ'(x)＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X)为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X)为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X)＝０ｄ ｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘ ｄｘ1６．∫│ｘ│ｄｘ＝（）-1①０ ②１ ③２ ④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线

＋

＋

ｘｙｔｇ──（ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ） ②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ） ④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａ＋１ ∞n９．设ａ≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，则级数∑ａ （）n nn→∞ ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是 （）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是 （①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈〈ｘｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）1 2使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ－ｘ）2 1③ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）2 1④ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ'（ζ）（ｘ－ｘ）2 1 2 1设在X＝Xo的左右导数存在且相等是在X＝Xo可导的 （）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝ （）ｄｘ①ｃｏｓｘ ②２－ｃｏｓｘ ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3的曲线方程为ｙ＝ （）①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ ③ｘ4＋１１

④１－④ｘ4－１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝ （x→0 ｘ3 0１①０ ②１ ③── ④３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝ （x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０ ②１ ③∞ ④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是 （）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐ ｄｙ∞∞（１９．设幂级数∑）ａｘn在ｘ（ｘ≠０收敛，n o o则∑ａｘn在│ｘ│ｘo│nn=on=o①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与ａ有关nｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫─────ｄσ＝ （D ｘ①1∫1ｄｘ∫ｓｉｎｘ─────ｄｙ0xｘ1√yｓｉｎｘ②∫0ｄｙ∫y─────ｄｘｘ1√xｓｉｎｘ③∫ｄｘ∫─────ｄｙ0xｘ1√xｓｉｎｘ④∫ｄｙ∫─────ｄｘ0xｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）／ｘ－１１．设ｙ＝／────── 求ｙ'。√ ｘ（ｘ＋３）２．求ｌｉｍｓｉｎ（９ｘ2－１６）───────────。x→4/3３ｘ－４ｄｘ３．计算∫───────。（１＋ｅx）2t 1ｄｙ４．设ｘ＝∫（ｃｏｓｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，ｙ＝∫（ｓｉｎｕ）ａｒｃｔｇｕｄｕ，求───。0 tｄｘ５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。６．设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。x７．计算∫asinθ∫ｒｓｉｎθｄｒｄθ。00ｙ＋１８．求微分方程ｄｙ＝（────）2ｄｘ通解。ｘ＋１３９．将ｆ（ｘ）＝─────────展成的幂级数。（１－ｘ）（２＋ｘ）四、应用和证明题（共１５分）１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（比例常数为ｋ〉０）求速度与时间的关系。 １２．（７分）借助于函数的单调性证明：当ｘ〉１时，２√ｘ〉３－──。ｘ附：高数（一）参考答案和评分标准一、填空题（每小题１分，共１０分１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ2＋１１５．──ａｒｃｔｇｘ2＋ｃ２６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）π/2 π８．∫ｄθ ∫ｆ（ｒ2）ｒｄｒ0 ９．三阶１０．发散二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１．③２．③３．④４．④５．②６．②７．②８．⑤９．④１０．③（二）每小题２分，共２０分１１．④１２．④１３．⑤１４．③１５．③１６．②１７．①１８．③１９．①２０．②三、计算题（每小题５分，共４５分）１１．解：ｌｎｙ＝──［ｌｎ（ｘ－１）－ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ＋３）］ （２分２１ １ １ １ １──ｙ'＝──（────－──－────） （２分ｙ ２ ｘ－１ ｘ ｘ＋３１ ／ｘ－１ １ １ １ｙ'＝──／──────（────－──－────） （１分２√ｘ（ｘ＋３） ｘ－１ ｘ ｘ＋３１８ｘｃｏｓ（９ｘ2－１６）２．解：原式＝ｌｉｍ──────────────── （３分x→4/3 ３１８（４／３）ｃｏｓ［９（４／３）2－１６］＝──────────────────────＝８ （２分）３１＋ｅx－ｅx３．解：原式＝∫───────ｄｘ （２分（１＋ｅx）2ｄｘ ｄ（１＋ｅx）＝∫─────－∫─────── （１分）１＋ｅx （１＋ｅx）2１＋ｅx－ｅx １＝∫───────ｄｘ＋───── （１分１＋ｅx １＋ｅx１＝ｘ－ｌｎ（１＋ｅx）＋─────＋ｃ （１分）１＋ｅx４．解：因为ｄｘ＝（ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ，ｄｙ＝－（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ （３分）ｄｙ －（ｓｉｎｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ所以───＝────────────────＝－ｔｇｔ（２分）ｄｘ （ｃｏｓｔ）ａｒｃｔｇｔｄｔ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ （３分）ｘ－１ ｙ－１ ｚ－２所求直线方程为────＝────＝──── （２分）１ ０ －３６．解：ｄｕ＝ｅx+√y+sinzｄ（ｘ＋√ｙ＋ｓｉｎｘ） （３分）一、DCACABCCBADABADADBDA二课程代码：00020一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设函数

1 x （ ） 1 12x

f( )x

x1

f2x)

2 1xC.2(x1)2x

D.2(x1)x2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ）A.x+3C.2xlimxA.e

x )x1

（ ）

B.x-3D.-2x D.1函数y

x3(x2)(xx3

的连续区间是（ ）A.(,2)(1,)B.(,1)(1,)C.(,2)(2,1)(1,)D.3,设函数fx)

(x1)ln(x1)2 ，x

在x=-1连续则a=（ ）a ， x1A.16.设y=lnsinx,则B.-1dy=（）C.2 D.0A.-cotxdxB.cotxdxC.-tanxdxD.tanxdx7.y=ax(a>0,a1),A.0

x0（ ）B.1C.lna D.(lna)n8.xC(x),x个单位时的总成本变化率(即边际成本)0是（ ）A.C(x)x

B.C(x)x xx0C(x)dC(x)C.dC(x) D.dC(x)dx9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（ ）

dx xx0单调减小 单调增加C.不增不减 D.有增有减10.如可微函数f(x)在x0

处取到极大值f(x0

),则（ ）A.f(x )00C.f(x )0011.[f(x)xf(x)]dx（ ）A.f(x)+CC.xf(x)+C

B.f(x )00D.fx )不一定存在0B.xf(x)dxD.[xf(x)]dx设f(x)的一个原函数是x2,则xf(x)dx（ ）x332x5+Cx5x3C3

C1513.8e3xdx（ ）8A.0C.2exdx2下列广义积分中,发散的是（ 1dx

28e3xdx0D.32x2exdx2x1dxx0 x3x13x0

01x1x0满足下述何条件,级数n1

U 一定收敛（ ）nni1

U有界iU 0n nUlim nU

r1 D.

|U|收敛|Un Un

nn1幂级数n1

(x1)n的收敛区间是 （ ）A.0,2C.0,2

B.(0,2)D.(-1,1)设zx2

x2 zy,则 （ ）y

x2 x2e y

e yy22x x2 1 x2

e y D. e yy y18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（ ）A.(1,2)C.(-1,-2)

B.(-1,2)D.(1,-2)19.A.0

cos0x20y2

xcosydxdy（ ）B.1 C.-1 D.2dxA.y=x+cosx+1C.y=x-cosx+2

1sinx满足初始条件y(0)=2的特解是（ ）B.y=x+cosx+2D.y=x-cosx+3二、简单计算题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）n3n) nn3n) nn122.设yxx求y(1).求不定积分 cos2x dx.1sinxcosxz=ln(1+x2+y2)x=1,y=2.用级数的敛散定义判定级数n1

1nn n1三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）设zxyxFuu

y zFu为可导函数求xx x

yz.y计算定积分I

2xlnx22

xdx.计算二重积分ID

cos(x2y2)dxdy

,其中D是由x轴和y

所围成的闭区域.求微分方程xdyyex0y(1)=e的特解.dx四、应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+1x2. 问40要使平均成本最小,应生产多少件产品?500元出售,,应生产多少件产品?x求由曲线yx

,直线x+y=6和y=lnx,则它的弹性函数Ex

= .函数f(x)=x2e-x的单调增加区间为 .不定积分 dx = .2x3f(x)连续且0

f(t)dtx2cos2x，则f(x)= .微分方程xdy-ydx=2dy的通解