高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

-.z.异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移〔尤其是图中出现了中点〕：补形平移法："补形法〞是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用"补形法〞找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直角平移法：1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中EF＝FG＝EG＝1∴∠EGF＝120°∴AD与BC成60°的角。2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．正确答案：45°BMANCS3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝BMANCS证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN，则QN∥SM∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SC＝a，在△BQN中BN＝NQ＝SM＝aBQ＝∴COS∠QNB＝4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，假设BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，易证∠GNA是BM与AN所成的角．设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝BM＝，cos∠GNA＝。5．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE,∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,即直线AE与D1F所成的角为直角。BB(图1－28)AABCDCDFE6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线；(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值解：(1)∵A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′，且BCC′,∴直线BA′与CC′是异面直线同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线(2)∵CC′∥BB′，∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角∵∠A′BB′=45°∴BA′和CC′所成的角是45°(3)∵AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EFABAB,∴ABFE是平行四边形，从而BFAE,即BF∥AE且BF=AE.∴BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角AABFM(图1－29)A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：cos∠A′BF＝7.长方体ABCD—A1B1C1D1中，假设AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，∠DB1E=∴∠DB1E=。解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。练习：8.如图，PA矩形ABCD，PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？在长方体ABCD-A1B1C1D1中，假设棱BB1=BC=1，AB=，求DB和AC所成角的余弦值.？中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE=∴∠BOE=解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。课堂练习在正四面体ABCD中，E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在图形外补作一个一样的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，∴异面直线DB1与BC1所成的角是。课堂练习：求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

二、利用模型求异面直线所成的角模型1引理：平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ=cosθ1·cosθ2。在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B连接OB，则OB⊥b.在直角△AOP中，.在直角△ABC中，.在直角△ABP中，.所以所以PbPbABOαOB//b，如下图。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。可知PB⊥AB。所以cosθ1=，cosθ=，cosθ2=。所以cosθ=cosθ1·cosθ2。利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。AABCDM解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB，直线MB与平面ABCD所成的角为45°，直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°，所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足cosθ=cos45°·cos45°=，所以直线AC与MB所成的角为60°。13.三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.应选DPEDPEDFABC解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°，射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°·cos45°=，所以其大小为arccos。模型2定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为，则有证明：

所以有：长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角？

解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得由定理得：所以二、向量法求异面直线所成的角16.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。解法一：〔作图法〕作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到*个点上。BACDFEB1A1BACDFEB1A1D1C1GHSRPQ连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。在△GHS中，设正方体边长为a。GH=a〔作直线GQ//BC交BB1于点Q，连QH，可知△GQH为直角三角形〕，HS=a〔连A1S，可知△HA1S为直角三角形〕，GS=a〔作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形〕。∴Cos∠GHS=。BACDFEB1BACDFEB1A1D1C1解法二：〔向量法〕分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为*轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。则点A1的坐标为〔0，2，2〕，点E的坐标为〔1，0，1〕，点B1的坐标为〔0，0，2〕，点F的坐标为〔2，1，1〕；所以向量的坐标为〔-1，2，1〕，向量的坐标为〔2，1，-1〕，所以这两个向量的夹角θ满足cosθ===-。所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为ABCABCDMN解：由得，空间向量，，不共面，且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到=〔+〕，=+所以向量与向量的夹角θ〔即角α或者α的补角〕满足cosθ=，其中·=〔+〕·〔+〕=〔·+·+〔〕·+·〕=a2〔++1〕=a2；||2=〔+〕·〔+〕=〔1+1+1〕a2=a2；||2=〔+〕·〔+〕=+1a2=a2。所以cosα=|cosθ|=。ABCDABCDEFG解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG，可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。由向量的知识可知=+=+，设向量和的夹角为θ。则由||2=〔+〕·〔+〕=4+1+4cosθ=7，得cosθ=，所以AB和CD所成的角为60°。〔思考题〕如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.∴BD1与AC所成角的余弦值为.判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错；选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．5．(2)相交，(5)平行，其余异面；〔6〕：(D)，取AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；〔7〕答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)；三．，取AD中点E，则∠MEN＝90°；四．，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝3；五．，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则MP＝a；六．，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．异面直线所成的角---作业：班级：**：一、判断是非(以下命题中，正确的打"√〞，错误的打"×〞)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面(C)平行或异面(D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是()(A)异面(B)平行(C)平行或异面(D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)*一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线4.a、b是异面直线，b、c也是异面直线，则a、c的位置是()(A)异面(B)异面或平行(C)异面或相交(D)相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1)AB和CC1；(2)A1C和BD1；(3)A1A和CB1；(4)A1C1和CB1；(5)A1B1