三角函数知识点和经典例题

11/11遂宁市安居区西眉中学高2017级数学资料（高中数学必修4第一章三角函数知识点及典型例题）2014年11月[例1]若A、B、C是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数是（）""①.②.③.④.""A．1B.2C.3D.4""错解：∴，故选B""错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误""正解：法1在中，在大角对大边，""法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.""[例2]已知角的终边关于轴对称，则和的关系为.""错解：∵角的终边关于轴对称，∴+，（""错因：把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称.""正解：∵角的终边关于轴对称""∴即""说明：（1）若角的终边关于轴对称，则和的关系为""（2）若角的终边关于原点轴对称，则和的关系为""（3）若角的终边在同一条直线上，则和的关系为""[例3]已知，试确定的象限.""错解：∵，∴是第二象限角，即""""从而""故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角.""错因：导出是第二象限角是正确的，由即可确定，""而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.""正解：∵，∴是第二象限角，""又由知""，故是第四象限角.""[例4]已知角的终边经过，求的值.""错解：""""错因：在求得的过程中误认为0""正解：若，则，且角在第二象限""""若，则，且角在第四象限""""说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；""（2）本题由于所给字母的符号不确定，故要对的正负进行讨论.""[例5]（1）已知为第三象限角，则是第象限角，是第象限角；""（2）若，则是第象限角.""解：（1）是第三象限角，即""，""当为偶数时，为第二象限角""当为奇数时，为第四象限角""而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上.""（2）因为，所以为第二象限角.""点评：为第一、二象限角时，为第一、三象限角，为第三、四象限角时，为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.""[例6]一扇形的周长为20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？""解：设扇形的半径为，则扇形的弧长""扇形的面积""所以当时，即时.""点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.""[例7]已知是第三象限角，化简。""解：原式＝＝""又是第三象限角，""所以，原式＝。""点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能""使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.""[例8]若角满足条件，则在第（）象限""A.一B.二C.三D.四""解：角在第二象限.故选B.""[例9]已知，且.""（1）试判断的符号；""（2）试判断的符号.""解：（1）由题意，，""，所以.""（2）由题意知为第二象限角，，所以.""四、典型习题导练""1．已知钝角的终边经过点，且，则的值为）"" A． B． C． D．""2．角α的终边和角β的终边关于y轴对称，则β为（）""αB.л-αC.（2kл+1）л-α(k∈Z)л-α（k∈Z）""3.若αα≥0∈Z，则角α的集合为（）""A．[2k－，2k+]B.(2k－,2)""C.(2k－，2)∪D.以上都不对""4．当0＜x＜时,则方程()=0的解集为()""A.B.C.D.""5．下列四个值3333的大小关系是()""3＜3＜3＜3＞3＞3＞3""3＜3＜3＜33＞3＞3＞36．已知x∈(0,),则下面四式:中正确命题的序号是.①＜x＜②()＜＜()③33x＜1④()＜()＜7．有以下四组角：(1)\F(π,2)；(2)\F(π,2)；(3)2k±\F(π,2)；(4)\F(π,2)(k∈z)其中终边相同的是（）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8．若角α的终边过点(30°，30°),则α等于（）A.\F(1,2)B.－\F(1,2)C.－\F(\R(3),2)D.－\F(\R(3),3)9．函数的定义域是,值域是.三角函数基本关系式和诱导公式一、知识导学三、典型例题导讲[例1]已知错解：两边同时平方，由得∴解得：或解得：错因：没有注意到条件时，由于所以的值为正而导致错误.正解：两边同时平方，有求出∴[例2]若、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求的值错解：由得B错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示正解：由①2+②2得a22221∴2∴2∴2∵B为锐角∴得[例3]若函数的最大值为2，试确定常数a的值.点评：本试题将三角函数“”诱导公式有机地溶于式子中，考查了学生对基础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.[例4]已知=2，求的值；（2）的值．解：（1）∵2,∴;所以=；（2）由(I),α=－,所以.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和和差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确.[例5]化简：错解：原式错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.正解：原式（1）当，时原式+=0（2）当，时原式+0[例6]若，则=（）A．B．C．D．错解：1—2=错因：诱导公式应用符号错.正解：==—=—1+2=—.故选A.[例7]．已知.（1）求－的值；（2）求的值.解法一：（1）由即又故（2）①②解法二：（1）联立方程①②由①得将其代入②，整理得故（2）点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.[例8](1)化简：\F(2α2α－1)＋2α2α(2)设(α\F(π,2))=－\F(1,4),且2α＞0求αα解：原式\F(2α2α)＋\F(2α2α)2α2α2α2α2α2α=12α2α(2)解：由(α\F(π,2))\F(1,4)∴α\F(1,4)∵2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+πkπ＜α<kπ+\F(π,2)(k∈z)∴α为第一象限或第二象限的角∵α\F(1,4)＜0∴α为第三角限角α\R(1－2α)＝\F(\R(15),4)α=\F(αα)=\R(15)点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系，在求值过程中特别注意三角函数值的符号的探讨.点评：有部分同学可能会认为不等式组（*）两者没有公共部分，所以定义域为空集，原因是没有正确理解弧度和实数的关系，总认为二者格格不入，事实上弧度也